Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số MỤC LỤC MỤC LỤC ..................................................................................................................... 1 LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................ 2 I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT..................................... 3 II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH................................. 28 IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ .... 32 BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP ......................................................................... 32 BÀI TậP ÁP DụNG ..................................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -1- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số. Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ” nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản thân đúc rút được trong qua trình học tập. Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục : I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số có dạng công thức truy hồi đặc biệt. II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số - tổ hợp . Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho các em học sinh. Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt hơn. Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -2- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC . 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho với mọi số nguyên n ³ 2 ta có: un = un -1 + d . d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số Định lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n - 1)d (1). Định lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSC (un ) có công sai d. Ta có: n [2u + (n - 1)d ] (2). 2 1 1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un +1 = q.un "n Î ¥ * gọi là cấp số nhân công bội q Sn = n -1 Định lí 3: Cho CSN (un ) có công bội q. Ta có: un = u1q (3). Định lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSN (un ) có công bội q . Ta có: Sn = u1 1 - qn 1 -q Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong (4). -3- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi u1 = 1, un = un -1 - 2 "n ³ 2 . Giải: Ta thấy dãy (un ) là một CSC có công sai d = -2 . Áp dụng kết quả (1) ta có: un = 1 - 2(n - 1) = -2n + 3 . Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi u1 = 3, un = 2un -1 "n ³ 2 . Giải: Ta thấy dãy (un ) là một CSN có công bội q = 2 . Ta có: un = 3.2n -1 . Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy (un ) được xác định bởi: u1 = -2, un = 3un -1 - 1 "n ³ 2 . Giải: Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VT. Ta tìm cách làm mất -1 đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện ý đồ này ta đặt un = k .vn + l ; k, l là các hằng số và k ¹ 0 ( ta sẽ chọn k, l sau). 2l - 1 Khi đó, ta có: k .vn + l = 3k .vn -1 + 3l - 1 Û vn = 3vn + . k ìk = 1 2l - 1 1 ï Ta chọn k, l : = 0 Û l = và k bất kì nên ta chọn í 1. k 2 l = ï î 2 ìvn = 3vn -1 ï Þ (vn ) : í 5 . Dễ thấy dãy (vn ) là CSN với công bội q = 3 v = ï 1 î 2 5 1 5.3n -1 1 Þ vn = v1 .q n -1 = - .3n -1 . Suy ra: un = vn + = + 2 2 2 2 Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn k = 1 . Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -4- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x 0 , un = aun -1 + b "n ³ 2 ( a,b ¹ 0 là các hằng số) có CTTQ là: ìu1 + (n - 1)b khi a = 1 ï . un = í a n -1 - 1 n -1 +b khi a ¹ 1 ïu1 .a î a -1 Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định bởi u1 = 2; un +1 = 2un + 3n + 2 . Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây không phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n . Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước cách giải ở trên làm mất 3n + 2 ở VP, ta đặt : un = k .vn + t.n + l ; k , t, l là các hằng số k ¹ 0 . Khi đó ta có: t+3 l -t +2 . kvn + 1 + t(n + 1) + l = 2kvn + 2tn + 2l + 3n + 2 Û vn +1 = 2vn + .n + k k ìt + 3 ìt = -3 =0 ïï ï Ta chọn k , t, l sao cho: í k Û íl = -1 , ta chọn k = 1 . ïl - t + 2 = 0 ïk ¹ 0 ïî k î ìïv = 6 Þ (vn ) : í 1 Þ vn = 6.2n -1 = 3.2n . Vậy un = vn - 3n - 1 = 3.2n - 3n - 1 . v = 2vn -1 îï n Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k , nên khi đặt ta có thể chọn k = 1 . ìïu = 2 Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : í 1 . Tìm CTTQ của dãy (un ) . ïîun = un -1 + 2n + 1 Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì 2 1-t sau khi đặt ta có : vn +1 = vn + .n + dẫn đến ta không thể làm mất n được. k k Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho dưới dạng sau un - un -1 = 2n + 1 . Từ đây ta có: un = (un - un -1 ) + (un -1 - un - 2 ) + ... + (u2 - u1 ) + u1 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -5- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ( ) = 2n + 1 + 2(n - 1) + 1 + ... + 2.2 + 1 + 2 = 2 n + n - 1 + ... + 2 + 1 + n - 1 n(n + 1) + n - 1 = n 2 + 2n - 1 . 2 Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau: =2 Đặt un = vn + an 2 + bn + c . Khi đó, ta có: vn + an 2 + bn + c = vn -1 + a(n - 1)2 + b(n - 1) + c + 2n + 1 Û vn = vn -1 + 2(1 - a )n + a - b + 1 . ìï1 - a = 0 ìïa = 1 Ta chọn í , c bất kì nên ta chọn c = 0 . Ûí a b + 1 = 0 b = 2 ïî îï ìïv = -1 Khi đó: (vn ) : í 1 Þ vn = vn -1 = vn - 2 = ... = v1 = -1 v = v n -1 îï n Vậy un = vn + n 2 + 2n = n 2 + 2n - 1 . Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt un = vn + an 2 + bn = vn + n(an + b) Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của ìïu = x 0 dãy (un ) được xác định bởi: í 1 , trong đó f (n ) là một đa thức bậc k u = a . u + f ( n ) n -1 îï n theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: * Nếu a = 1 , ta đặt un = vn + n.g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n bậc k , thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g(n ) : ng(n ) - (n - 1)g(n - 1) = f (n ) ta có được ( ) ( ) dãy vn là CSN với công bội q = 1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn suy ra ta có CTTQ của dãy (un ) . * Nếu a ¹ 1 , ta đặt un = vn + h(n ) với h(n ) là một đa thức theo n bậc k . Thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h(n ) : h(n ) - ah(n - 1) = f (n ) ta có được dãy (vn ) là CSN với công bội q = a ( ) từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn . Suy ra ta có CTTQ của dãy (un ) . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -6- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = 1 Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : í .Tìm CTTQ của dãy (un ) . n u = 3 u + 2 ; n = 2, 3,... ïî n n -1 Giải: Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: un = vn + a.2n . Ta có: vn + a.2n = 3(vn -1 + a.2n -1 ) + 2n Û vn = 3vn -1 + 2n (a + 2) Ta chọn a = -2 Þ vn = 3vn -1 = v1.3n -1 = 5.3n -1 Vậy un = 5.3n -1 - 2n + 1 . Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un -1 + b.a n , ta đặt un = x n + y.a n . Khi đó , ta có: x n + y.a n = a.xn -1 + ay.a n -1 + b.a n ba Þ xn = a.x n -1 + éëy(a - a ) + ba ùû a n -1 . Do đó, nếu a ¹ a , ta chọn y = a -a ba 2 n -1 ba Þ un = (u1 )a + .a n Þ xn = a.xn -1 Þ x n = x1.a a -a a -a Trường hợp a = a Þ un - a.un -1 = b.a n n -1 Þ un = (un - a.un -1 ) + a(un -1 - un - 2 ) + ... + a n - 2 (u2 - au1 ) + u1.a n -1 Þ un = b(n - 1)a n + u1a n -1 . Vậy ta có kết quả sau. ìïu1 = p Dạng 3: Cho dãy (un ) : í . Khi đó ta có: n u = a . u + b . a " n ³ 2 ïî n n -1 · Nếu a = a Þ un = éëab(n - 1) + u1 ùû a n -1 . ba 2 n -1 ba )a + .a n . a -a a -a Chú ý : Trong trường hợp a = a ta có thể tìm CTTQ của dãy (un ) như sau: · Nếu a ¹ a Þ un = (u1 - Đặt un = x n + y.n.a n . Khi đó ta có: x n + y.n.a n = a.x n -1 + ay(n - 1).a n -1 + b.a n Þ xn = a.xn -1 + (-y + b).a n nên ta chọn y = b Þ xn = x1.a n -1 Þ un = (u1 - ab)a n -1 + bn.a n = éëab(n - 1) + u1 ùû a n -1 . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -7- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = -2 Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í . n n u = 5 u + 2.3 6.7 + 12 ; n = 2, 3,... ïî n n -1 Giải: Đặt un = vn + a.3n + b.7n + c . Khi đó , ta có: vn + a.3n + b.7n + c = 5(vn -1 + a.3n -1 + b.7n -1 + c) + 2.3n - 6.7n + 12 Û vn = 5vn -1 + 3n -1(2a + 6) - 7n -1(2b + 42) + 4c + 12 . ì2a + 6 = 0 ìa = -3 ï ï Ta chọn a, b, c : í2b + 42 = 0 Û íb = -21 . ï4c + 12 = 0 ïc = -3 î î Khi đó: vn = 5vn -1 Þ vn = v1.5n -1 = 157.5n -1 Vậy un = vn - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 = 157.5n -1 - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 . Qua ví dụ trên ta có kết quả sau: ìïu1 = p Dạng 4: Để tìm CTTQ của dãy số (un ) : í , n n ïîun = a.un -1 + b.a + c.b + d ; "n ³ 2 ( trong đó a,b, c ¹ 0; a , b ¹ 1; a .b ¹ a ) ta làm như sau: · Nếu a = 1 Þ un - un -1 = b.a n + c.b n + d Þ un = u1 + = u1 + n -2 å (un -i - un -i -1 ) i =0 n -2 å (b.a i =0 n -i + c.b n -i n -2 + d ) = u1 + b å a i =0 n -i n -2 + c å b n - i + d .(n - 1) i =0 æ 1 - an ö æ1 - bn ö Þ un = u1 + b.a . ç - 1 ÷ + c.b . ç - 1 ÷ + d .(n - 1) . ç 1-a ÷ ç 1- b ÷ è ø è ø · Nếu a ¹ 1 , ta đặt un = vn + x .a n + y.b n + z Ta có: vn = a.vn -1 + (ax - xa + ab)a n -1 + (by - y b + b c)b n -1 + z (a - 1) + d Ta chọn : x = ab bc d . ;y = ;z = a -a b -b 1-a Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -8- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Khi đó: vn = a.vn -1 Þ vn = v1 .a n -1 æ a 2b b 2c d ö n -1 = ç u1 ÷a ç ÷ a a b b 1 a è ø æ a 2b b 2c d ö n -1 b c d un = ç u1 + an + bn + ÷a . ç ÷ a a b b 1 a a a b b 1 a è ø Chú ý : Nếu a = a hoặc b = a thì khi đặt un theo vn thì ta nhân thêm n vào trước a n hoặc b n . ìïu1 = 1 Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í . n u = 2 u + 3 n ; " n ³ 2 ïî n n -1 ( ) Giải: Để tìm CTTQ của dãy un ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3 Đặt un = vn + a.3n + bn + c . ( ) Ta có: vn + a.3n + bn + c = 2 vn -1 + a.3n -1 + b(n - 1) + c + 3n - n Û vn = 2vn -1 + (-a + 1)3n -1 + (b - 1)n - 2b + c . Ta chọn a = b = 1;c = 2 . Khi đó: vn = 2vn -1 Þ vn = v1.2n -1 = -5.2n -1 Vậy un = -5.2n -1 + 3n + n + 2 . ìïu1 = p Dạng 5: Nếu dãy số (un ) : í , trong đó f (n ) là đa n u = a . u + b . a + f ( n ); " n ³ 2 ïî n n -1 thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau: * Nếu a ¹ 1 ta đặt un = vn + x .a n + g(n ) , với g(n ) là đa thức theo n bậc k . Ta sẽ chọn sao cho dãy (vn ) là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy (vn ) từ đó ta có CTTQ dãy (un ) . * Nếu a = 1 thì ta tìm được un theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3. Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -9- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy (un ) : u0 = -1, u1 = 3, un +1 = 5un - 6un -1 "n ³ 1. Giải: Ta viết công thức truy hồi của dãy lại như sau: un +1 - 2un = 3(un - 2un -1 ) (1) ìïv = 5 Đặt vn +1 = un +1 - 2un , ta có: í 1 Þ vn = 5.3n -1 Þ un - 2un -1 = 5.3n -1 . ïîvn +1 = 3vn Sử dụng kết quả 2, ta có: un = 5.3n - 6.2n . Trong lời giải trên ta đã phân tích 5 = 2 + 3 và 6 = 2.3 để viết lại công thức truy hồi như (1), từ đó ta đưa vào được dãy phụ (vn ) là một CSN. Các hệ số xuất hiện trong công thức truy hồi là 5;6 nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổng quát ta có luôn phân tích được các hệ số như vậy hay không ? Nếu được thì phân tích như thế nào ?. Ta xét ví dụ sau: ìïu = 1; u1 = 2 Ví dụ 1.10: Cho dãy số un được xác định bởi : í 0 . u = 4 u + u " n ³ 1 ïî n + 1 n n -1 Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) . ( ) Giải: ìïx + y = 4 Gọi x , y là hai số thỏa mãn: í Û x , y là nghiệm PT: X 2 - 4X - 1 = 0 xy = 1 ïî Û X = 2 ± 5 , ta chọn x = 2 + 5; y = 2 - 5 . Ta có: un +1 = (x + y )un - xyun -1 Û un +1 - x .un = y(un - xun -1 ) . Đặt vn = un - x .un -1 Þ v1 = 2 - x và vn +1 = y.vn Þ vn = v1.y n -1 = (2 - x )y n -1 Þ un - x .un -1 = (2 - x )y n -1 . Áp dụng kết quả 3, ta có: un = y -2 n 2-x n 1é x + y = (2 + 5)n + (2 - 5)n ù . û y -x y -x 2ë Ví dụ 1.11: Cho a,b, c là các số thực khác không và dãy (un ) được xác định bởi ìïu 0 = p; u1 = q . Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) ? í ïîun +1 = a.un + b.un -1 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 10 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Giải: Ta viết lại công thức truy hồi của dãy đã cho như sau: un +1 - x .un = y(un - x .un -1 ) . ìïx + y = a Ta xác định x , y sao cho: í Þ x, y là nghiệm PT: X 2 - aX - b = 0 (1). ïîxy = -b Giả sử tồn tại tại x , y , tức là phương trình (1) có nghiệm. ìïv = q - x .p Đặt vn = un - x .un -1 . Ta có: í 1 Þ vn = (q - xp)y n -1 v = yv ïî n +1 n Þ un - x .un -1 = (q - px )y n -1 . · Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hay x ¹ y . Áp dụng kết quả 2, ta có: yp - q n q - xp n un = x + y . y -x y -x a · Ta xét trường hợp còn lại: (1) có nghiệm kép Þ x = y = . 2 n -1 æa ö a pa a Þ un - un -1 = (q - )( )n -1 . Áp dụng kết quả 2: un = ç ÷ 2 2 2 è2ø Vậy ta có kết quả tổng quát sau: é pa ap ù + (q - )n ú . ê 2 û ë 2 Dạng 6: Cho a,b, c là các số thực khác không; a 2 - 4b ³ 0 và dãy (un ) được xác định ìïu = p; u1 = q bởi: í 0 . Khi đó: u = a . u + b . u ïî n +1 n n -1 y.u0 - u1 n u1 - x .u0 n x + y , trong đó x , y là nghiệm của · Nếu a 2 - 4b > 0 thì un = y -x y -x phương trình : X 2 - aX - b = 0 (1). n -1 æa ö é pa ap ù · Nếu a - 4b = 0 thì un = ç ÷ + (q - )n ú . ê 2 û è2ø ë2 Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy. Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy (un ) nói trên ta có thể trình bày như sau Xét phương trình đặc trưng (1) 2 · Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X1, X 2 thì un = x .X1n + y.X 2n , dựa vào u 0 , u1 ta tìm được x , y . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 11 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số · Nếu (1) có nghiệm kép X1 = X 2 = a thì un = (pn + q ).a n , dựa vào u 0 , u1 ta tìm được p, q . ìïu0 = -1; u1 = 3 Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : í 2 ïîun - 5un -1 + 6un - 2 = 2n + 2n + 1; CTTQ của dãy (un ) . "n ³ 2 . Xác định Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách: Đặt un = xn + an 2 + bn + c . Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được x n - 5x n -1 + 6xn -1 + 2an 2 - (14a + 2b)n + 19a - b + 2c = 2n 2 + 2n + 1 ì2a = 2 ìa = 1 ï ï Ta chọn a,b, c : í14a + 2b = -2 Û íb = -8 . Khi đó: ï19a - b + 2c = 1 ïc = -13 î î ìïx = 12; x1 = 23 . Áp dụng kết quả 3, ta có: (xn ) : í 0 ïîx n - 5x n -1 + 6xn - 2 = 0 x n = 13.2n - 3n Þ un = 13.2n - 3n + n 2 - 8n - 13 . ìïu = p; u2 = q Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số: (un ) : í 1 ,( ïîa.un +1 + b.un + c.un -1 = f (n ) ; "n ³ 2 trong đó f (n ) là đa thức theo n và b 2 - 4ac ³ 0 ). Giải: Đặt un = x n + g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n . Thay vào công thức truy hỗi của dãy ta được: a.x n + b.x n -1 + c.x n - 2 + a.g(n ) + b.g(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) Ta chọn g(n ) : a.g(n ) + bg(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) (*). Khi đó: a.x n + bx n -1 + c.x n - 2 = 0 . Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy (x n ) , từ đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) . Vấn đề còn lại là giải phương trình (*). Giả sử g(n ) = ak n k + ak -1n k -1 + ... + a1n + a 0 là đa thức bậc k . Khi đó hệ số của x k và x k -1 trong VP là: ak .(a + b + c)x k và éë -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 ùû x k -1 .Do đó : Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 12 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số * Nếu PT: aX 2 + bX + c = 0 (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì a + b + c ¹ 0 nên VT(*) là một đa thức bậc k . * Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1 Þ a + b + c = 0 và -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 = -(b + 2c).k .ak ¹ 0 nên VT là một đa thức bậc k - 1. * Nếu PT (1) có nghiệm kép x = 1 Þ a + b + c = 0 và éë -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 ùû x k -1 nên VT(*) là một đa thức bậc k - 2 . Vậy để chọn g(n ) ta cần chú ý như sau: v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n ) là một đa thức cùng bậc với f (n ) v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g(n ) là đa thức lớn hơn bậc của f (n ) một bậc. v Nếu (1) có nghiệm kép x = 1 thì ta chọn g(n ) là đa thức có bậc lớn hơn bậc của f (n ) hai bậc. ìïu = p; u2 = q Dạng 7: Để tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1 , a . u + b . u + c . u = f ( n ) ; " n ³ 2 ïî n + 1 n n -1 ( trong đó f (n ) là đa thức theo n bậc k và b 2 - 4ac ³ 0 ) ta làm như sau: · Xác định đa thức g(n ) : a.g(n ) + bg(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) , trong đó g(n ) là: đa thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ; đa thức bậc k + 1 nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 ; đa thức bậc k + 2 nếu (1) có nghiệm kép x = 1 · Khi xác định được g(n ) ta đặt un = x n + g(n ) , ta có dãy (xn ) được xác định bởi: ìïx 0 = p - g(0); x1 = u1 - g(1) . Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của (xn ) , từ í ïîa.x n + 1 + bx n + c = 0 "n ³ 1 đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) . ìïu0 = -1; u1 = 3 Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í . n u 5 u + 6 u = 5.2 " n ³ 2 ïî n n -1 n -2 Giải: Đặt un = x n + y.2n . Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: (un - 2un -1 ) - 3(un -1 - 2un - 2 ) = 5.2n Đặt x n = un - 2un -1 Þ xn - 3x n -1 = 5.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 13 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số x n = 25.3n -1 - 10.2n Þ un - 2un -1 = 25.3n -1 - 10.2n Sử dụng chú ý ở kết quả 3, ta đặt un = vn + a.3n + bn.2n Ta được: vn = 2vn -1 + (25 - a )3n -1 - (b + 10)2n . Ta chọn a = 25,b = -10 Þ vn = v0 .2n = -26.2n Þ un = 25.3n - (5n + 13).2n + 1 . Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau: Đặt un = xn + yn.2n , ta có: x n - 5x n -1 + 6x n - 2 - y.2n -1 = 5.2n , ta chọn y = -10 ìïx = -1; x1 = 23 . Áp dụng kết quả 4, ta có: Þ (x n ) : í 0 ïîxn - 5x n -1 + 6x n - 2 = 0 "n ³ 2 x n = -26.2n + 25.3n Þ un = 25.3n - (5n + 13).2n + 1 . ìïu0 = 1; u1 = 3 Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í n. u 4 u + 4 u = 3.2 ïî n n -1 n -2 Giải: Với dãy số này nếu ta đặt un = x n + y.2n thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: (un - 2un -1 ) - 2(un -1 - 2un - 2 ) = 3.2n Đặt x n = un - 2un -1 , ta có: x n - 2x n -1 = 3.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có: Þ xn = (6n - 5).2n -1 Þ un - 2un -1 = (6n - 5).2n -1 Þ un = (un - 2un -1 ) + 2(un -1 - 2un - 2 ) + ... + 2n -1(u1 - 2u0 ) + 2n .u0 n é n ù = 2n -1 å (6i - 5) + 2n = 2n -1 ê6å i - 5n + 2 ú i =1 ëê i =1 ûú é (n + 1)n ù = ê6 - 5n + 2 ú 2n -1 = (3n 2 - 2n + 2)2n -1 . 2 ë û Lưu ý : Từ CTTQ của dãy (un ) ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau Đặt un = x n + yn 2 .2n . Ta có: x n - 4x n -1 + 4xn - 2 + 2y.2n = 3.2n . Ta chọn y = Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 3 2 - 14 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïx = 1; x1 = 0 . Áp dụng kết quả 4, ta được Þ (x n ) : í 0 x 4 x + 4 x = 0 " n ³ 2 ïî n n -1 n -2 x n = (2 - 2n )2n -1 Þ un = (2 - 2n ).2n -1 + 3n 2 .2n -1 = (3n 2 - 2n + 2)2n -1 . Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau: ìïu 0 ; u1 Dạng 8: Cho dãy số (un ) xác định bởi: í . Để xác n u + b . u + c . u = d . a ; " n ³ 2 ïî n n -1 n -2 định CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau: · Nếu phương trình : X 2 + bX + c = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt un = x n + da .a n , ta có: a.x n + 1 + bxn + c.x n -1 = 0 . aa 2 + ba + c Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un . da 2 · Nếu x = a là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: un = x n n.a n , ta có: b + 2c a.x n + 1 + bxn + c.x n -1 = 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un . da 2 .n 2 .a n , ta có: · Nếu x = a là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: un = x n + ba + 4c a.x n +1 + bxn + c.x n -1 = 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un . Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau ìïu = x, u2 = y, u3 = z Dạng 9: Cho dãy (un ) : í 1 .Để xác định CTTQ ïîaun + 2 + bun + 1 + cun + dun -1 = 0 "n ³ 2 của dãy ta xét phương trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) ( (1)gọi là phương trình đặt trưng của dãy). · Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 Þ un = a x1n + b x 2n + g x 3n . Dựa vào u 0 , u1, u2 ta tìm được a , b , g . · Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: x1 = x 2 ¹ x 3 Þ un = (a + b n )x1n + g .x 3n Dựa vào u0 , u1, u2 ta tìm được a , b , g . · Nếu (1) có nghiệm bội 3 x1 = x 2 = x 3 Þ un = (a + b n + g n 2 )x1n . Dựa vào u 0 , u1, u2 ta tìm được a , b , g . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 15 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu = 0, u2 = 1, u3 = 3, Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1 ïîun = 7un -1 - 11.un - 2 + 5.un - 3 , "n ³ 4 Giải : Xét phương trình đặc trưng : x 3 - 7x 2 + 11x - 5 = 0 Phương trình có 3 nghiệm thực: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5 Vậy an = a + b n + g 5n Cho n = 1, n = 2, n = 3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được a =Vậy an = - 1 3 1 , b = , g = 16 4 16 1 3 1 + ( n - 1) + .5n -1 . 16 4 16 ìïu = 2; un = 2un -1 + vn -1 Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số (un ),(vn ) : í 0 "n ³ 1 . v = 1; v = u + 2 v ïî 0 n n -1 n -1 Giải: Ta có: un = 2un -1 + un - 2 + 2vn - 2 = 2un -1 + un - 2 + 2(un -1 - 2un - 2 ) Þ un = 4un -1 - 3un - 2 và u1 = 5 Áp dụng kết quả 4, ta có: un = Tương tự ta có kết quả sau: 1 + 3n +1 -1 + 3n +1 Þ vn = un +1 - 2un = . 2 2 ìïx = pxn + qyn x1 = a Dạng 10: Cho dãy (xn ),(yn ) : í n + 1 . Để xác định CTTQ của hai y = ry + sx y = b ïî n +1 n n 1 dãy (xn ),(yn ) ta làm như sau: Ta biến đổi được: x n + 1 - (p + s )x n + (ps - qr )x n -1 = 0 theo kết quả 4 ta xác định được x n , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được yn . Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 16 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ì q - lr yn ) ïïxn + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n l s p Ta đưa vào các tham số phụ l , l ' Þ í q + l 'r ïx + l ' yn + 1 = (p + l ' s )(x n + y ) n +1 p + l 's n îï ì q - lr ïïl = ls - p Þ ïìx n + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n - lyn ) Ta chọn l , l ' sao cho í í q + l ' r ïîx n + 1 + l ' yn + 1 = (p + l ' s )(x n + l ' yn ) ïl ' = ïî l 's + p ìïx - lyn +1 = (p - ls )n (x1 - ly1 ) n +1 giải hệ này ta tìm được ( xn ) , ( yn ) . í n x + l ' y = ( p + l ' s ) ( x + l ' y ) ïî n +1 n +1 1 1 ìu1 = 1 ï Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í . 2un -1 "n ³ 2 ïun = 3u +4 î n -1 Giải: Ta có 3u +4 3 1 1 1 = n -1 = +2 . Đặt x n = , ta có: un 2un -1 2 un -1 un ìx1 = 1 5.2n -1 - 3 2 ï Þ un = í 3 . Áp dụng kết quả 1, ta được: x n = 2 5.2n -1 - 3 ïx n = 2x n -1 + î 2 ìu1 = 2 ï Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í . -9un -1 - 24 u = " n ³ 2 ï n 5un -1 + 13 î Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt un = x n + a . Thay vào công thức truy hồi, ta có: xn + a = -9x n -1 - 9a - 24 5x n -1 + 5a + 13 Þ xn = (-9 - 5a )xn -1 - 5a 2 - 22a - 24 5x n -1 + 5a + 13 Ta chọn a : 5a 2 + 22a + 24 = 0 Þ a = -2 Þ x1 = 4 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 17 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Þ xn = 1 3 1 11.3n -1 - 10 4 Þ =5+ Þ = Þ xn = +3 xn x n -1 xn 4 11.3n -1 - 10 x n -1 5xn -1 Þ un = x n - 2 = -22.3n -1 + 24 n -1 11.3 - 10 . Dạng 11: Cho dãy (xn): u1 = a ; un = pun -1 + q run -1 + s "n ³ 2 . Để tìm CTTQ của dãy (xn) ta làm như sau: Đặt un = xn + t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có: xn = px n -1 + pt + q run -1 + rt + s -t = (p - rt )x n -1 - rt 2 + (p - s )t + q rx n -1 + rt + s (1). Ta chọn t : rt 2 + (s - p)t - q = 0 . Khi đó ta chuyển (1) về dạng: Áp dụng kết quả 1, ta tìm được 1 1 =a +b xn x n -1 1 , từ đó suy ra x n Þ un . xn ïìu = 2 Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) : í 1 và v = 1 ïî 1 ìïu = u 2 + 2v 2 n n -1 n -1 "n ³ 2 . í ïîvn = 2un -1vn -1 Giải: 2 ì ìïu = u 2 + 2v 2 ïun + 2vn = (un -1 + 2vn -1 ) n n -1 n -1 Ta có: í Þí 2 2 v = 2 2 u v ïî ïîun - 2vn = (un -1 - 2vn -1 ) n n -1 n -1 n -1 ì 2n - 1 = (2 + 2)2 ïun + 2vn = (u1 + 2v1 ) Þí n -1 n -1 ïun - 2vn = (u1 - 2v1 )2 = (2 - 2)2 î ì 1é 2n -1 2n - 1 ù u = (2 + 2) + (2 2) ïï n úû 2 êë . Þí n -1 n -1 ù 1 é 2 2 ïvn = - (2 - 2) êë(2 + 2) úû ïî 2 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 18 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2 ìïu = u 2 + 2v 2 un un2 -1 + 2vn2 -1 n n 1 n 1 Nhận xét: Từ í Þ = v = 2 u v v 2un -1vn -1 ïî n n -1 n -1 n un Do vậy nếu ta đặt x n = vn æ un -1 ö çç ÷÷ + 2 v = è n -1 ø æu ö 2 ç n -1 ÷ çv ÷ è n -1 ø ìx1 = 2 ï ta được dãy số (xn ) : í x n2 -1 + 2 . Ta có bài toán sau: ïx n = 2x n -1 î ìx1 = 2 ï Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số (xn ) : í . x n2 -1 + 2 x = " n ³ 2 ï n 2x n -1 î Giải: ìïu1 = 2 ìïu = u 2 + 2v 2 n -1 n -1 "n ³ 2 . Xét hai dãy (un ),(vn ) : í và í n v = 1 ïî 1 ïîvn = 2un -1vn -1 Ta chứng minh x n = · n = 2 Þ x2 = · Giả sử x n -1 = u2 v2 un vn (*). = 2 Þ n = 2 (*) đúng. un - 1 vn -1 Þ xn = xn2 -1 + 2 2x n -1 = un2 -1 + 2vn2 -1 2un -1vn -1 n -1 Theo kết quả bài toán trên, ta có: x n = 2 (2 + 2)2 2n - 1 (2 + 2) = un vn Þ (*) được chứng minh n -1 + (2 - 2)2 2n - 1 . - (2 - 2) Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) được xác định ìïu = u 2 + a.v 2 ; u = a n -1 n -1 1 bởi: í n (trong đó a là số thực dương) như sau: v = 2 v u ; v = b ïî n n -1 n -1 1 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 19 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ì(u + au ìïu = u 2 + a.v 2 = (un -1 + aun -1 )2 ï n n n -1 n -1 n -1 Ta có: í Þí (u - aun -1 = (un -1 - aun -1 )2 ïî a .vn = 2 a .vn -1un -1 îï n n -1 ù ì 1é 2n - 1 + (a - b a )2 ú ïïun = ê(a + b a ) 2ë û . Þí 1 é 2n - 1 2n - 1 ù ïvn = ( a + b a ) ( a b a ) ê úû ïî 2 a ë ìx1 = a ï 2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy (xn ) : í x n2 -1 + a . ïx n = 2x n -1 î ìïu = u 2 + a.v 2 ; u = a n -1 n -1 1 Xét hai dãy (un ),(vn ) : í n ; v1 = 1 ïîvn = 2vn -1un -1 Khi đó: x n = un vn n -1 = a (a + a )2 2n - 1 (a + a ) n -1 + (a - a )2 2n - 1 . + (a - a ) ìïu1 = 1 Ví dụ 1.23: Cho dãy (un ) : í . Tìm un ? 2 u = 5 u + 24 u 8 " n ³ 2 ïî n n -1 n -1 Giải: Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 . Giả sử: un = xun -1 + yun - 2 ìï9x + y = 89 Þí Û 89 x + 9 y = 881 îï ìïx = 10 . Ta chứng minh: un = 10un -1 - un - 2 "n ³ 3 í y = 1 îï Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (un - 5un -1 )2 = 24un2 -1 - 8 Û un2 - 10un un -1 + un2 -1 + 8 = 0 (1) thay n bởi n - 1 , ta được: un2 - 2 - 10un - 2un -1 + un2 -1 - 8 = 0 (2) . Từ (1),(2) Þ un - 2 , un là hai nghiệm của phương trình : t 2 - 10un -1t + un2 -1 - 8 = 0 Áp dụng định lí Viet, ta có: un + un - 2 = 10un -1 . Vậy un = 6 -2 2 6 ( 5-2 6 ) n -1 + 6 +2 2 6 ( 5+2 6 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong ) n -1 . - 20 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Dạng 13: ìu1 = 1 ï 1) Dãy (un ) : í là dãy nguyên Û a = 24 . 2 u = 5 u + au 8 " n ³ 2 ïî n n -1 n -1 Thật vậy: u2 = 5 + a - 8 = 5 + t ( t = a - 8 Î ¥ ) Þ u3 = 5 + (t 2 + 8)(t + 5)2 - 8 Þ u3 Î ¢ Û f (t ) = (t 2 + 8)(t + 5)2 - 8 = m 2 (m Î ¢) . Mà (t 2 + 5t + 4)2 < f (t ) < (t 2 + 5t + 14)2 kết hợp với f (t ) là số chẵn ta suy ra { } m = t 2 + 5t + x với x Î 6, 8,10,12 . Thử trực tiếp ta thấy t = 4 Þ a = 24 . ìïu1 = a , với a 2 - b = 1 ta xác định 2) Với dãy số (un ) : í 2 ïîun = aun -1 + bun -1 + c "n ³ 2 CTTQ như sau: Từ dãy truy hồi Þ (un - aun -1 )2 = bun2 -1 + c Û un2 - 2aun un -1 + un2 -1 - c = 0 Thay n bởi n - 1 , ta có: un2 - 2 - 2aun -1un - 2 + un2 -1 - c = 0 Þ un + un - 2 = 2aun -1 . ìu1 = a ïï un - 1 3) Với dãy (un ) : í un = ï a + cun2 -1 + b ïî xác định CTTQ như sau: Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng: "n ³ 2 ,trong đó a > 0;a > 1 ; a 2 - b = 1 ta 1 a b 1 = + c+ . Đặt x n = un un -1 un un2 -1 Ta có un = aun -1 + bx n2 -1 + c đây là dãy mà ta đã xét ở trên. ìu1 = u2 = 1 ï Ví dụ 1.24: Cho dãy (un ) : í . Tìm un ? un2 -1 + 2 u = " n ³ 2 ï n un - 2 î Giải: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 21 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ta có: u 3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 . Ta giả sử un = xun -1 + yun -2 + z .Từ u3 = 3; u4 = 11; ìx + y + z = 3 ï u5 = 41 ta có hệ phương trình: í3x + y + z = 11 Û ï11x + 3y + z = 41 î ìïu = u2 = 1 Ta chứng minh (un ) : í 1 u = 4un -1 - un - 2 "n ³ 3 îï n · Với n = 3 Þ u3 = 4u2 - u1 = 3 Þ n = 3 đúng ìx = 4 ï íy = -1 Þ un = 4un -1 - un - 2 ïz = 0 î · Giả sử uk = 4uk -1 - uk - 2 . Ta có: uk + 1 = = uk2 + 2 uk -1 ( 4uk -1 - uk -2 ) = 2 uk -1 +2 = 16uk2 -1 - 8uk -1uk - 2 + uk -1uk - 3 uk -1 16uk2 -1 - 8uk -1uk - 2 + uk2 - 2 + 2 uk -1 = 16uk -1 - 8uk -2 + uk - 3 = 4(4uk -1 - uk - 2 ) - (4uk - 2 - uk - 3 ) = 4uk - uk -1 Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm Þ un = Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 3 +1 2 3 ( 2- 3 ) n -1 + 3 -1 2 3 ( 2+ 3 ) n -1 - 22 - . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau ì 1 ïu1 = Ví dụ 2.1: Cho dãy (un ) : í . Xác định CTTQ của dãy (un ) . 2 2 ïun = 2un -1 - 1 "n ³ 2 î Giải: Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin 1 p p 2p Ta có: u1 = = cos Þ u2 = 2 cos2 - 1 = cos 2 3 3 3 2p 4p 8p .... Þ u3 = 2 cos2 - 1 = cos Þ u4 = cos 3 3 3 2n -1 p Ta chứng minh un = cos . Thật vậy 3 22 -1 p 2p (đúng) · Với n = 2 Þ u2 = cos = cos 3 3 n -1 2n - 2 p p 2n -1 p 2 2 2 · Giả sử un -1 = cos Þ un = 2un -1 - 1 = 2 cos - 1 = cos 3 3 3 n -1 2 p Vậy un = cos "n ³ 1 . 3 Nhận xét: Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi u1 £ 1 . Vậy trong trường hợp u1 > 1 thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của dãy 1 1 (a + ) ( trong đó a ¹ 0 và cùng dấu với u1 ). 2 a 1 1 1 1 1 1 Khi đó u2 = (a 2 + 2 + ) - 1 = (a 2 + ) Þ u3 = (a 4 + ) .... 2 2 2 a2 a2 a4 số (un ) ta đặt u1 = Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 23 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 1 2n -1 1 (a + n -1 ) "n ³ 1 . Trong đó a là nghiệm (cùng dấu 2 a2 với u1 ) của phương trình : a 2 - 2u1a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghiệm có tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau é 2n - 1 2n - 1 ù 1 êæ ö æ ö 2 2 ú. un = ç u1 - u1 - 1 ÷ + ç u1 + u1 - 1 ÷ ê ú 2 è ø è ø ë û Ta chứng minh được un = ì 3 ïu1 = Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số (un ) : í . 2 3 ïu = 4u - 3un -1 "n ³ 2 n -1 î n Giải: 3 p p p 32 p 3p Ta có: u1 = ..... = cos Þ u2 = 4 cos - 3 cos = cos 3 Þ u3 = cos 2 6 6 6 6 6 3n -1 p Bằng quy nạp ta chứng minh được: un = cos . 6 Nhận xét: ìïu1 = p , ta làm như sau 1) Để tìm CTTQ của dãy (un ) : í 3 u = 4 u 3 u " n ³ 2 ïî n n -1 n -1 · Nếu | p |£ 1 Þ $a Î éë0; p ùû : cos a = p . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : un = cos 3n -1a . · Nếu | p |> 1 , ta đặt u1 = 1æ 1ö a + ç ÷ ( a cùng dấu với u1 ) 2è aø 1 æ 3n -1 1 ö + n -1 ÷ . ça ÷ 2 çè a3 ø é 3n - 1 3n - 1 ù 1 êæ ö æ ö 2 2 ú. Hay un = ç u1 - u1 - 1 ÷ + ç u1 + u1 - 1 ÷ ê ú 2 è ø è ø ë û 2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số Bằng quy nạp ta chứng minh được un = Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 24 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = p (un ) : í bằng cách đặt u1 = 3 u = 4 u + 3 u " n ³ 2 ïî n n -1 n -1 ta chứng minh được : é 3n - 1 1 æ 3n -1 1 ö 1 êæ un = ç a - n -1 ÷ = ç u1 + u12 + 1 ö÷ + æç u1 ç ÷ 2è ø è a3 ø 2 êëè 1 1 (a - ) . Khi đó bằng quy nạp 2 a - u12 + 1 ö÷ ø 3n - 1 ù ú. ú û ì 3 ïu1 = Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í . 2 2 ïun = 2 - un -1 "n ³ 2 î Giải: Đặt - æp ö 3 = cos a , a Î ç ; p ÷ , khi đó : 4 è2 ø u1 = -2 cos a Þ u2 = 2(1 - 2 cos2 a ) = -2 cos 2a . Bằng quy nạp ta chứng minh được un = -2 cos 2n -1 a . ì 1 ïu1 = 2 ï Ví dụ 2.4: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í 2 - 2 1 - un2 -1 ï ïîun = 2 Giải: Ta có: u1 = 1 p = sin Þ u2 = 2 6 2 - 2 1 - sin2 p 6 2 Bằng quy nạp ta chứng minh được: un = sin Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong p 2n -1.6 = . "n ³ 2 p 2(1 - cos ) 6 = sin p 2 2.6 . - 25 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 2.5: Cho a,b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a < b và hai dãy (an ),(bn ) ì a +b ;b1 = b.a1 ïïa1 = 2 được xác định: í . Tìm an và bn . a + b n 1 n 1 ïa = ;bn = anbn -1 "n ³ 2 ïî n 2 Giải: æ pö a a Ta có: 0 < < 1 nên ta đặt = cos a với a Î ç 0; ÷ b b è 2ø b cos a + b b(1 + cos a ) a a a = = b cos2 và b1 = b.b cos2 = b cos 2 2 2 2 2 a 2a b cos + b cos a +b 2 2 = b cos a .cos2 a và b = b cos a cos a . a2 = 1 1 = 2 2 2 2 2 22 22 Bằng quy nạp ta chứng minh được: a a a a a a an = b cos cos ...cos2 và bn = b cos cos ...cos . 2 2 22 2n 22 2n Khi đó: a1 = ìu = 3 ïï 1 Ví dụ 2.6: Cho dãy (un ) : í . Tính u2003 (Trích đề thi un -1 + 2 - 1 u = " n ³ 2 ï n 1 + (1 - 2)un -1 ïî Olympic 30 – 4 – 2003 Khối 11). Giải: Ta có tan p = 2 - 1 Þ un = 8 un -1 + tan p 8 p u 8 n -1 p p tan + tan p 3 8 = tan(p + p ) Mà u1 = 3 = tan Þ u2 = 3 p p 3 8 1 - tan tan 3 8 ép pù Bằng quy nạp ta chứng minh được un = tan ê + (n - 1) ú . 8û ë3 1 - tan Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 26 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số æ p 2002p ö æp p ö Vậy u2003 = tan ç + ÷ = tan ç + ÷ = -( 3 + 2) . 8 ø è3 è3 4ø ìu1 = a ï Chú ý : Để tìm CTTQ của dãy (un ) : í . un - 1 + b u = " n ³ 2 ï n 1 - bu î n -1 Ta đặt a = tan a ;b = tan b , khi đó ta chứng minh được: un = tan éëa + (n - 1)b ùû ìu = 3 ïï 1 un -1 Ví dụ 2.7: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í un = ï 1 + 1 + un2 -1 ïî Giải: Ta có: "n ³ 2 . 1 1 1 1 . Đặt x n = khi đó ta được dãy (xn ) được xác = + 1+ un un -1 un u2 n -1 định như sau: x1 = 1 3 và x n = x n -1 + 1 + xn2 -1 . p 1 p p p 3 = cot p Vì x1 = = cot Þ x 2 = cot + 1 + cot2 = 3 3 3 p 2.3 3 sin 3 p p Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n = cot Þ un = tan "n = 1,2,... 2n -1.3 2n -1.3 1 + cos Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 27 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH Trong mục này chúng tôi sử dụng một số kiến thức của toán cao cấp để xây dựng một phương pháp xác định CTTQ của dãy số. Phương pháp này đưa vòa chỉ mang tính chất tham khảo, đó là phương pháp hàm sinh. Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng các kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor). Trước hết ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1: Cho dãy số a 0 , a1, a2 ,..., an ,... . Chuỗi hình thức A(x ) = a 0 + a1x + a2x 2 + ... + an x n + ... gọi là hàm sinh của dãy (an ) Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội tụ hay tính giá trị của chuỗi mà ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện vậy. Ta đưa vào một số phép toán trên các chuỗi để xác định các hệ số cho các lũy thừa biến x . Định nghĩa 2: Với hai chuỗi bất kì A(x ) = a 0 + a1x + ... + an x n + ... và chuỗi B(x ) = b0 + b1x + b2x 2 + ... + bn x n + ... . Ta định nghĩa: a ) Phép cộng: A(x ) + B(x ) = a 0 + b0 + (a1 + b1 )x + ... + (an + bn )x n + ... b) Phép nhân với một số: k .A(x ) = ka 0 + ka1 + ... + kan x n + ... c) Tích hai chuỗi: A(x ).B(x ) = c0 + c1x + ... + cn x n + ... với ck = akb0 + ak -1b1 + ... + a 0bk = k å aibk -i . i =0 Trong phương pháp này ta thường hay sử dụng công thức khai triển Newton mở rộng x2 xn sau: 1 + x = 1 + a x + a a - 1 + ... + a a - 1 ... a - n + 1 + ... 2 n! Với a là một số hữu tỉ, a ¹ 0 . Ta xét một số trường hợp đặc biệt. ( a ) ( ) ( ) ( ) 1 x2 x3 xn n =1-x +2 - 3! + ... + (-1) n ! + ... · a = -1 Þ (1 + x ) = 1+x 2! 3! n! = 1 - x + x 2 - x 3 + ... + (-1)n x n + ... a Từ đây Þ (1 - x )-1 = 1 + x + x 2 + ... + x n + ... 1 1 1 1 1 x2 1 1 3 x3 1 1 3 2n - 3 x n · a = Þ (1 + x )2 = 1 + x - . + - ... - (-1)n ... - .. 2 2 2 2 2 2 2 2 3! 222 2 n! 1.3.5..(2n - 3) x n 1 1 x 2 1.3 x 3 =1+ x + - ... - (-1)n - ... 2 2! 3 3! n 2 n ! 2 2 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 28 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Þ (1 - 1 x )2 1.3.5...(2n - 3) x n 1 1 x2 =1- x - ... + ... 2 n! 22 2! 2n 1 1 1 3 x2 1 3 5 x3 2n - 1 x n 1 n 13 2 + ... + (-1) ... + .. · a = - Þ (1 + x ) = 1 - x + 2 2 2 2 2 2 2 2 3! 22 2 n! n 1 1.3 x 2 n 1.3.5...(2n - 1) x =1- x + + ... + (-1) + ... 2 n! 22 2! 2n 1 2 1.3.5...(2n - 1) x n 1 1.3 x 2 Þ (1 - x ) = 1 + x + + ... + + ... 2 n! 22 2! 2n Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm CTTQ của dãy số có thể tóm tắt như sau Để tìm CTTQ của dãy (an ) , ta xét hàm sinh A(x ) của dãy (an ) . Khi đó do tính chất của - dãy (an ) nên A(x ) phải thỏa mãn một số hệ thức nhất định. Giải các hệ thức đó ta tìm được A(x ) = f (x ) trong đó f (x ) là một hàm số chứa các biểu thức số học (cộng, trừ nhân, chia, lũy thừa,...), ta tìm cách khai triển f (x ) thành chuỗi và so sánh hệ số của x n ta tìm được an . ìïa = -1; a1 = 3 Ví dụ 3.1: Cho dãy (an ) : í 0 . Tìm CTTQ của dãy (an ) . ïîan - 5an -1 + 6an -1 = 0 "n ³ 2 Giải: Xét A(x ) là hàm sinh của dãy (an ) . Khi đó: A(x ) = a 0 + a1x + ... + an x n + ... Þ 5xA(x ) = 5a 0x + 5a1x 2 + ... + 5an -1x n + 5an x n + 1 + ... 6x 2A(x ) = 6a 0x 2 + 6a1x 3 + ... + 6an - 2x n + 6an -1x n +1 + 6an x n + 2 + ... Þ A(x ) - 5xA(x ) + 6x 2A(x ) = a 0 + (a1 - 5a 0 )x + (a2 - 5a1 + 6a 0 )x 2 + ... + + (an - 5an -1 + 6an - 2 )x n + ... Vì an - 5an -1 + 6an = 0 "n ³ 2 . Þ (1 - 5x + 6x 2 )A(x ) = -1 + 8x Þ A(x ) = 8x - 1 = 8x - 1 (2x - 1)(3x - 1) 6x 2 - 5x + 1 6(3x - 1) - 5(2x - 1) 8x - 1 5 6 Ta có: = = (2x - 1)(3x - 1) (2x - 1)(3x - 1) 1 - 3x 1 - 2x 1 Mà = (1 - 3x )-1 = 1 + 3x + 32 x 2 + ... + 3n x n + ... 1 - 3x Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 29 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 1 = (1 - 2x )-1 = 1 + 2x + 22 x 2 + ... + 2n x n + ... 1 - 2x Þ A(x ) = -1 + (5.3 - 6.2)x + ... + (5.3n - 6.2n )x n + ... Vậy an = 5.3n - 6.2n . Ví dụ 3.2: Tìm CTTQ của dãy số a 0 = 1 và ana 0 + an -1a1 + ... + a 0an = 1 "n ³ 1 . Giải: Xét A(x ) là hàm sinh của dãy (an ) . Khi đó: A(x ) = a 0 + a1x + ... + an x n + ... Ta có: A(x )A(x ) = a 02 + (a1a 0 + a 0a1 )x + ... + (ana 0 + an -1a1 + ... + a 0an )x n + ... = 1 + x + x 2 + ... + x n + ... = (1 - x )-1 1 2 1.3.5...(2n - 1) x n 1 1.3 x 2 Þ A(x ) = (1 - x ) = 1 + x + + ... + + ... 2 n! 22 2! 2n 1.3.5...(2n - 1) Vậy an = . 2n .n ! Ví dụ 3.3: Tìm CTTQ của dãy số: a 0 = 1; an = a 0an -1 + a1an - 2 + ... + an -1a 0 "n ³ 1 . - Giải: Ta có a 0 = a1 = 1 Xét A(x ) là hàm sinh của dãy (an ) . Khi đó: A(x ) = a 0 + a1x + ... + an x n + ... Ta có: A(x )A(x ) = a 02 + (a1a 0 + a 0a1 )x + ... + (ana 0 + an -1a1 + ... + a 0an )x n + ... = a1 + a2x + a 3x 2 + ... + an +1x n + ... Þ x 2A2 (x ) = x (a1x + a2x 2 + ... + an x n + ...) = x (A(x ) - a 0 ) = xA(x ) - x ( Û xA(x ) xA(x ) = ) 2 - xA(x ) + x = 0 . Giải phương trình này đối với xA(x ) , ta được: 1 ± 1 - 4x . 2 Ta có: 1 - 4x = (1 - 1 4x )2 1.3.5...(2n - 3) 4n n 4 1 42 x 2 =1- x - ... x - ... 2 n! 22 2! 2n Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 30 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Þ hệ số của x k trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của 1 - 4x bằng: - 1.3.5...(2k - 3).2k 1 + 1 - 4x vì các hệ số của x k < 0 Þ xA(x ) không thể bằng k! 2 1 - 1 - 4x 2 ù 2n .1.3.5...(2n - 3) n 1é2 22 Þ xA(x ) = ê x + x 2 + ... + x + ...ú 2 êë 1! 2! n! úû trong xA(x ) là các số nguyên dương. Do đó: xA(x ) = 2n.1.3...(2n - 1) n 2 22.1.3 2 Þ A(x ) = 1 + x + x + ... + x + ... 2! 3! (n + 1)! 2n .1.3...(2n - 1) 2n .1.2.3.4...(2n - 1)2n Vậy an = = (n + 1)! (n + 1)!.2.4.6...2n = 2n .(2n )! (n + 1)!.n !.2n = 1 C 2nn . n +1 Chú ý : an ở bài toán trên ta thường gọi là số catalan . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 31 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP Trong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quá trình giải các bài toán đó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên. un2 -1 1 1 Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên (un ) : u1 = 2; u2 = 7 và - < un £ (2). 2 un - 2 2 Chứng minh un lẻ "n ³ 2 . Giải: 2 2 æ u2 1 1 un -1 1 1 un -1 ù n 1 ú Từ giả thiết, ta có: - < un £ + . Vì trên khoảng ç - ; + ç un - 2 2 2 un - 2 ú un - 2 2 2 un - 2 è û (có độ dài bằng 1 ) có duy nhất một số nguyên nên dãy đã cho xác định là duy nhất. Ta có: u 3 = 25; u 4 = 89 . Ta giả sử un = xun -1 + yun - 2 . un2 -1 ìï7x + 2y = 25 ìïx = 3 Từ u 3 = 25; u 4 = 89 ta có hệ: í . Ûí ïî25x + 7y = 89 ïîy = 2 ìïv = 2; v2 = 7 Ta chứng minh dãy (vn ) : í 1 thỏa mãn (2) ïîvn = 3vn -1 + 2vn - 2 "n ³ 3 Thật vậy, ta có: vn - vn2 -1 vn - 2 = vn .vn - 2 - vn2 -1 vn - 2 . Từ công thức truy hồi của dãy ta có được vn > 2n "n ³ 2 (a). Mặt khác: vn vn - 2 - vn2 -1 = vn - 2 (3vn -1 + 2vn - 2 ) - vn -1(3vn - 2 + 2vn - 3 ) = -2(vn -1vn - 3 - vn2 - 2 ) = ... = (-2)n - 3 (v3v1 - v22 ) = (-2)n - 3 (b) vn2 -1 1 1 Từ (a) và (b) ta suy ra: - < vn £ . 2 vn - 2 2 ìïu = 2; u2 = 7 . Từ công thức truy hồi của dãy (un ) ta thấy un Þ (un ) : í 1 u = 3 u + 2 u " n ³ 2 ïî n n -1 n -2 là số nguyên lẻ "n ³ 2 . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 32 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 4.2: Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an +1 = 2an - an -1 + 1 "n ³ 1 . Chứng minh rằng A = 4anan + 2 + 1 là số chính phương. Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta thay n + 1 bởi n ta được: ïìan +1 = 2an - an -1 + 1 Þ an + 1 - 3an + 3an -1 - an - 2 = 0 . í a = 2 a a + 1 ïî n n -1 n -2 Xét phương trình đặc trưng l 3 - 3l 2 + 3l - 1 = 0 Û l = 1 Þ an = (a + b n + g n 2 ) , do a 0 = 0, a1 = 1, a2 = 3 Þ a = 0, b = g = 1 . 2 1 (n + n 2 ) Þ A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n 2 + 3n + 1)2 Þ đpcm. 2 Ví dụ 4.3: Cho dãy số (xn ) : x1 = 7, x 2 = 50; x n +1 = 4x n = 5x n -1 - 1975 "n ³ 2 . Þ an = Chứng minh rằng x1996 M1997 (HSG Quốc Gia – 1997 ) Giải: Vì -1975 = 22(mod1997) do đó ta chỉ cần chứng minh dãy x n +1 = 4x n + 5x n -1 + 22 M1997 Đặt yn +1 = ax n +1 + b = a(4x n + 5xn -1 + 22) + b = 4(ax n + b) + 5(ax n -1 + b) + 22a - 8b = 4yn + 5yn -1 + 22a - 8b . Ta chọn a, b sao cho: 22a - 8b = 0 , ta chọn a = 4 Þ b = 11 . Þ yn +1 = 4x n +1 + 11 Þ y1 = 39, y2 = 211; yn +1 = 4yn + 5yn -1 8(-1)n + 25.5n 8 + 25.51996 Từ đây ta có được: yn = Þ y1996 = . 3 3 Vì 8 + 25.51996 º -1 + 1 = 0(mod 3) Þ y1996 Î ¢ Theo định lí Fecma 51996 º 1(mod1997) Þ y1996 º 11(mod1997) Þ 4x1996 + 11 º 11(mod1997) Þ x1996 º 0(mod1997) . Nhận xét: Từ bài toán trên ta có kết quả tổng quát hơn là: x p -1 M p với p là số nguyên tố lẻ. Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 33 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu = 20; u1 = 100 Ví dụ 4.4: Cho dãy số (un ) : í 0 .Tìm số nguyên dương u = 4 u + 5 u + 20 " n ³ 2 ïî n +1 n n -1 h bé nhất sao cho: un + h - un M1998 "n Î ¥ * (HSG Quốc Gia Bảng A – 1998 ). Giải: ìïa = 45;a1 = 205 Đặt an = 2un + 5 , ta có dãy (an ) : í 0 ïîan +1 = 4an + 5an -1 "n ³ 2 10 125 n 125 n 5 5 Þ an = (-1)n + .5 Þ un = .5 + (-1)n - . 3 3 6 3 2 Vì an + h - an = 2(un + h - un ) Þ un + h - un M1998 Û an + h - an M 2.1998 = 22.33.37 Mà an + h (-1)n .10 é 125.5n h - an = (-1)h - 1ù + (5 - 1) ë û 3 3 ì5h - 1M 4 ïï 125.5 - an = (5h - 1)M 4.27.37 Û í5h - 1M 81 (*) 3 ï h ïî5 - 1M 37 n · Nếu h chẵn Þ an + h Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 5k - 1M 37 . Vì 536 - 1M 37 Þ 36 M k Þ k Î 1,2, 3, 4,12,18, 36 thử trực tiếp ta thấy chỉ có k = 36 thỏa mãn { } Þ 5h - 1M 37 Þ h M 36 (1) Chứng minh tương tự, ta cũng có: 5h - 1M 81 Þ h Mj(81) = 54 Từ (1) và (2) ta suy ra (*) Û h M éë36, 54 ùû = 108 Þ h ³ 108 . (2) · Nếu h lẻ: Vì un + h º un (mod 1998) ìïu º u 0 º 20(mod1998) Nên ta có: í h Þ 5uh -1 º uh +1 - 4uh - 20 º 0(mod1998) ïîuh + 1 º u1 º 100(mod1998) Þ uh -1 M 0(mod1998) 125 h 25 125 h -1 5 và uh -1 = .5 .5 6 6 6 6 º 0(mod1998) mâu thuẫn với uh º 20(mod1998) . Vì h lẻ Þ h - 1 chẵn Þ uh = Þ uh º 5uh -1 Với h = 108 ta dễ dàng chứng minh được un + h º un (mod1998) "n ³ 1 . Vậy h = 108 là giá trị cần tìm. Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 34 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 4.5: Cho dãy (xn ) : x 0 = 2; xn + 1 = 2x n + 1 xn + 2 1) Tính x 2000 ? 2) Tìm phần nguyên của A = 2000 å xi (Olympic 30 – 4 – 2000 khối 11 ). i =1 xn - 1 Giải: Ta có: x n + 1 - 1 = xn + 2 Þ 1 x n +1 - 1 =1+ 3 1 . Đặt an = Þ a 0 = 1 và xn - 1 xn - 1 3n +1 - 1 2 Þ xn = 1 + . n +1 2 3 -1 +1 an + 1 = 3an + 1 Þ an = a) Ta có: x 2000 = 32001 32001 - 1 2000 1 i =1 3i +1 - 1 b) Ta có: A = 2000 + 2 å Vậy [A] = 2000 . Þ 2000 < A < 2000 + Ví dụ 4.6: Cho dãy (xn ) : x1 = 1; x n +1 = 2 2000 1 å < 2001 3 i =1 3i (2 + cos 2a )xn + cos2 a (2 - 2 cos 2a )x n + 2 - cos 2a . n 1 "n ³ 1 . Tìm a để dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới + 1 i =1 i hạn đó. ( HSG Quốc Gia Bảng A – 2004 ). Giải: Đặt yn = Ta có å 2x 1 2x n + 1 2 sin2 a 1 1 1 1 = + Þ = + (1 )sin2 a n n 1 +1 3 3(2x n + 1) 2x n + 1 3 3 n 1 Þ yn = å = 2 x + 1 i =1 i Vì lim 1 n 3 n 1 i =1 3i å n 1 i =1 3i -1 + sin a å (1 2 )= 1 1 3 1 (1 - ) + [n - (1 - )]sin2 a 2 2 3n 3n = 0 nên dãy (yn ) có giới hạn hữu hạn Û sin a = 0 Û a = kp Khi đó lim yn = 1 . 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 35 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïx = -3x n2 - 2xn yn + 8yn2 n +1 "n ³ 1 . í 2 2 y = 2 x + 3 x y 2 y ïî n +1 n n n n Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho x p + y p không chia hết cho p . (TH&TT – 327 ) ìïx = -1 Ví dụ 4.7: Cho hai dãy (xn ),(yn ) : í 1 và y = 1 ïî 1 Giải: n -1 Ta có: x n + 2yn = (xn -1 + 2yn -1 )2 = ... = (x1 + 2y1 )2 = 1 (1) Giả sử có một số tự nhiên k để yk = 2xk Þ yk +1 = 0 . Khi đó, ta có: ìïx = -3x k2 +1 k +2 vô lí. Vậy yn +1 = (2x n - yn )(x n + 2yn ) ¹ 0 "n . í x = 1 ïî k + 2 x (3x n - 4yn )(x n + 2yn ) -3x n + 4yn Suy ra : n + 1 = = . yn + 1 (2x n - yn )(x n + 2yn ) 2x n - yn Đặt an + 1 = x n +1 yn + 1 Þ an + 1 + 2 = Þ an = Þ a1 = -1; an + 1 = an + 2 2an - 1 1 - 4.(-5)n -1 1 + 2.(-5)n -1 Þ = 1 an + 1 xn yn -3an + 4 2an - 1 1 + 2(-5)n -1 5 1 =2Þ = +2 an + 2 an + 2 3 (2) 1 - 4.(-5)n -1 1 + 2.(-5)n -1 2 - 2(-5)n -1 . ; yn = Þ x n + yn = 3 3 3 * Nếu p = 2 Þ x 2 + y2 = 4 M 2 Þ p = 2 không thỏa yêu cầu bài toán. Từ (1) và (2) Þ xn = * Nếu p = 3 Þ x 3 + y 3 = -16 không chia hết cho 3 Þ p = 3 thỏa yêu cầu bài toán. * Nếu p = 5 ta thấy cũng thỏa yêu cầu bài toán. * Nếu p > 5 Þ (-5)p -1 º 1(mod p) Þ x p + y p º 0(mod p) Vậy p = 3, p = 5 là hai giá trị cần tìm. ì 2 ïïu1 = 3 Ví dụ 4.8: Cho dãy (un ) : í . Tính tổng của 2001 số un -1 ïun = "n ³ 2 2(2n - 1)un -1 + 1 ïî hạng đầu tiên của dãy (un ) (HSG Quốc Gia – 2001 ). Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 36 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Giải: Ta có: 1 1 1 = + 4n - 2 (1). Đặt = xn + n(an + b) thay vào (1) ta được: un un -1 un x n + an 2 + bn = x n -1 + a(n - 1)2 + b(n - 1) + 4n - 2 Þ xn = x n -1 + (-2a + 4)n + a - b - 2 . Ta chọn a = 2;b = b Þ x n = x1 = Þ un = Þ 2001 å i =1 (2n - 1)(2n + 1) 1 1 1 Þ = - + 2n 2 = 2 un 2 2 2 1 1 = (2n - 1)(2n + 1) 2n - 1 2n + 1 ui = 2001 æ 1 1 ö 1 å ç 2i - 1 - 2i + 1 ÷ = 1 - 4003 i =1 è ø = 4002 . 4003 ìx = x + 1 + x n2 -1 ìx = 3 n n -1 ï ï ï Ví dụ 4.9: Cho hai dãy số (xn ); (yn ) xác định : í 1 và í yn -1 ïîy1 = 3 ïyn = 1 + 1 + yn -1 ïî "n ³ 2 . Chứng minh rằng 2 < xn yn < 3 "n ³ 2 . (Belarus 1999). Giải: Ta có: x1 = 3 = cot p p p Þ x 2 = cot + 1 + cot2 = 6 6 6 Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n = cot p +1 p 6 = cot p 2.6 sin 6 cos p . 2n -1.6 p Theo kết quả của ví dụ 7 mục II, ta có: yn = tan 2n -1.3 p Đặt an = Þ x n = cot an ; yn = tan 2an Þ x n .yn = tan 2an . cot an 2n .3 2t 1 2 Đặt t = tan an Þ tan 2an .cot an = . = . 2 t 2 1-t 1-t p p 1 2 Vì n ³ 2 Þ 0 < an < Þ 0 < t < tan = Þ £ 1 - t2 < 1 6 6 3 3 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 37 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Þ2< 2 1-t 2 < 3 Þ 2 < x n yn £ 3 "n ³ 2 Þ đpcm. ì| x1 |< 1 ï Ví dụ 4.10: Cho dãy số (xn ) : í . -x n + 3 - 3x n2 ïx n +1 = "n ³ 2 î 2 1) Cần có thêm điều kiện gì đối với x1 để dãy gồm toàn số dương ? 2) Dãy số này có tuần hoàn không ? Tại sao ? (HSG Quốc Gia 1990). Giải: æ p pö Vì | x1 |< 1 nên tồn tại a Î ç - ; ÷ : sin a = x1 . Khi đó: è 2 2ø 1 3 p x 2 = - sin a + cos a = sin( - a ) 2 2 3 1 p 3 p x 3 = - sin( - a ) + | cos( - a ) | . 2 3 2 3 p p · Nếu - £ a < Þ x 3 = sin a 6 2 p p 2p · Nếu - < a < - Þ x 3 = sin(a - ) . 2 6 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được: ìsin a khi n = 2k + 1 p p ï i ) Nếu - £ a < thì: x n = í p 6 2 khi n = 2k ïsin( - a ) î 3 ì 2p sin( a ) khi n = 2k + 1 ï p p ï 3 ii ) Nếu - < a < - thì: x n = í "k ³ 1 . p 2 6 ïsin( - a ) khi n = 2k ïî 3 ì p ìsin a > 0 0<a < ï p ï ï 2 1) Dãy gồm toàn số dương Û í æ p Ûí Û 0<a < ö 3 ïsin ç 3 - a ÷ > 0 ï- p £ a < p ø î è ïî 6 3 3 là điều kiện cần phải tìm. 2 2) Dựa vào kết quả trên ta có: Vậy 0 < x1 < Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 38 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số æp ö p 1 · Nếu sin a = sin ç - a ÷ Û a = Û x1 = . Khi đó từ (1) ta có được 6 2 è3 ø x 1 = x 2 = ... = x n = ... Þ (x n ) là dãy tuần hoàn. ì 1 ïï - £ x1 < 1 thì dãy số có dạng x1, x 2 , x1, x 2 ,.... · Nếu í 2 1 ïx ¹ ïî 1 2 1 · Nếu -1 < x1 < - thì dãy số có dạng x1, x 2 , x 3 , x 2 , x 3 .... 2 Ví dụ 4.11: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + .. + 2n - 1 , với n là số tự nhiên n ³ 1 . Giải: Ta có: S1 = 1 và Sn - Sn -1 = 2n - 1 . Áp dụng nhận xét (1), ta đặt : Sn = x n + n(an + b) , thay vào (1), ta được: x n - x n -1 + n(an + b) - (n - 1) éëa(n - 1) + b ùû = 2n - 1 Þ xn - x n -1 + 2an + b - a = 2n - 1 Þ ta chọn a = 1;b = 0 Þ xn = xn -1 = ... = x1 = 0 Þ Sn = n 2 . Ví dụ 4.12: Tính tổng Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n 2 với n là số tự nhiên n ³ 1 . Giải: Ta có S1 = 1 và Sn - Sn -1 = n 2 (2). Sử dụng nhận xét 1, ta đặt Sn = x n + n(an 2 + bn + c) . Thay vào (2) ta được: x n - x n -1 + n(an 2 + bn + c) - (n - 1) éa(n - 1)2 + b(n - 1) + c ù = n 2 ë û Þ xn - x n -1 + 3an 2 - (3a - 2b)n + a - b + c = n 2 ì 1 a= ï ì3a = 1 3 ï ï 1 ï Ta chọn a, b, c : í3a - 2b = 0 Û íb = . 2 ïa - b + c = 0 ï î ïc = 1 ïî 6 æ1 1 1 ö n(2n + 1)(n + 1) . Þ xn = x n -1 = ... = x1 = 0 Þ Sn = n ç n 2 + n + ÷ = 3 2 6 6 è ø Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 39 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 4.13: Tính tổng Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) "n ³ 1 . Giải: Ta có: S1 = 6 và Sn - Sn -1 = n(n + 1)(n + 2) "n ³ 2 . 1é 1 (n + 1)4 - n 4 ù + é(n + 1)3 - n 3 ù û 2ë û 4ë 1 1 - é(n + 1)2 - n 2 ù - éë(n + 1) - n ùû . û 2 4ë 1 1 1 1 Đặt f (n ) = (n + 1)4 + (n + 1)3 - (n + 1)2 - (n + 1) 4 2 4 2 Þ Sn - f (n ) = Sn -1 - f (n - 1) = ... = S1 - f (1) = 0 Do n(n + 1)(n + 2) = Þ Sn = f (n ) = n(n + 1)(n + 1)(n + 3) . 4 Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, trong đó không có ba đường nào đồng quy và đôi một không cắt nhau. Hỏi n đường thẳng trên chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi an là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Ta có: a1 = 2 . Ta xét đường thẳng thứ n + 1 (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểm và bị n đường thẳng chia thành n + 1 phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của an . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của an sẽ chia miền đó thành 2 miền, nên số miền có thêm là n + 1 . Do vậy, ta có:an +1 = an + n + 1 n(n + 1) . 2 Chú ý : Với giả thiết ở trong ví dụ trên nếu thay yêu cầu tính số miên bằng tính số đa (n - 2)(n - 1) giác tạo thành thì ta tìm được: an = . 2 Ví dụ 4.15: Trong không gian cho n mặt phẳng, trong đó ba mặt phẳng nào cũng cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào cùng đi qua qua một điểm. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi bn là số miền do n mặt phẳng trên tạo thành Xét mặt phẳng thứ n + 1 (ta gọi là (P ) ). Khi đó (P ) chia n mặt phẳng ban đầu theo n Từ đây ta có: an = 1 + Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 40 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số giao tuyến và n giao tuyến này sẽ chia (P ) thành 1 + n(n + 1) miền, mỗi miền này nằm 2 trong một miền của bn và chia miền đó làm hai phần.Vậy bn +1 = bn + Từ đó, ta có: bn = n2 + n + 2 . 2 (n + 1)(n 2 - n + 6) . 6 Ví dụ 4.16: Trong một cuộc thi đấu thể thao có m huy chương, được phát trong n ngày 1 thi đấu. Ngày thứ nhất, người ta phất một huy chương và số huy chương còn lại. 7 1 Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương và số huy chương còn lại. Những ngày 7 còn lại được tiếp tục và tương tự như vậy. Ngày sau cùng còn lại n huy chương để phát . Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và đã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). Giải: Gọi ak là số huy chương còn lại trước ngày thứ k Þ a1 = m , khi đó ta có: k -1 ak +1 æ6ö 6 6k = ak Þ ak = ç ÷ 7 7 è7ø n -1 æ6ö Þ an = n = ç ÷ è7ø ( ) (m - 36) - 6k + 42 n -1 æ7ö (m - 36) - 6n + 42 Þ m - 36 = 7(n - 6) ç ÷ è6ø Vì 6, 7 = 1 và 6n -1 > n - 6 nên ta có n - 6 = 0 Û n = 6 Þ m = 36 . Vậy có 36 huy chương được phát và phát trong 6 ngày. Ví dụ 4.17: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n trong đó không có hai bit 1 đứng cạnh nhau? Giải: Gọi cn là số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta có c1 = 2 ; c2 = 3 . Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài có dạng anan -1an - 2 ......a2a1 . Có hai trường hợp · an = 1 . Khi đó an -1 = 0 và an - 2 ......a2a1 có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài n - 2 thỏa điều kiện. Có cn -2 xâu như vậy, suy ra trường hợp này có cn -2 xâu. Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 41 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số · an = 0 . Khi đó an -1......a2a1 có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài n - 1 thỏa điều kiện. Có cn -1 xâu như vậy, suy ra trường hợp này có cn -1 xâu. Vậy tổng cộng xây dựng được cn -1 + cn - 2 xâu, hay cn = cn -1 + cn - 2 . n -1 n -1 5 - 2 æ1 - 5 ö 2 - 5 æ1 + 5 ö Þ cn = + ç ÷ ç ÷ . ç ÷ ç ÷ 2 2 5 è 5 è ø ø Ví dụ 4.18: Cho số nguyên dương n . Tìm tất cả các tập con A của tập X = 1,2, 3,...,2n sao cho không tồn tại hai phần tử x , y Î A thỏa mãn: x + y = 2n + 1 { } (Thụy Sỹ 2006). Giải: Để giải bài toán này ta sẽ đi đếm số tập con A của X thỏa mãn luôn tôn tại hai phần tử x , y Î A sao cho x + y = 2n + 1 (ta gọi tập A có tính chất T ). { } Gọi an là số tập con A của tập 1, 2,...,2n có tính chất T { } Khi đó các tập con A Ì 1,2,...,2n,2n + 1,2n + 2 xảy ra hai trường hợp. TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 1 và 2n + 2 , trong trường hợp này số tập A có tính chất T chình bằng số tập con của tập gồm 2n phần tử 2, 3, 4,...,2n,2n + 1 và số tập { } con của tập này bằng 22n . TH2: Trong tập A không chứa đầy đủ hai phần tử 1 và 2n + 2 . Khi đó A phải chứa một tập A ' là tập con của tập 2, 3, 4,...,2n,2n + 1 sao cho có hai phần tử x ', y ' Î A ' : { } x ' + y ' = 2n + 3 . Ta thấy số tập con A ' như trên chính bằng số tập con của tập { } {1,2,...,2n} có tính chất T (Vì ta trừ các phần tử của 2, 3, 4,...,2n,2n + 1 đi một đơn vị ta được tập {1,2,...,2n} và x ', y ' Î A ' : x ' + y ' = 2n + 1 ) Hơn nữa với mỗi tập A ' ta có được ba tập A (bằng cách ta chọn A là A ' hoặc {1} È A ' hoặc {2n + 2} È A ' ) Do vậy: an +1 = 3an + 22n Þ an = 4n - 3n Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4n - an = 3n . Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 42 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ của các dãy số sau 1) u1 = 1; u2 = 0, un + 1 - 2un + un -1 = n + 1, n ³ 2 2) u1 = 0; u2 = 0, un +1 - 2un + un -1 = 3.2n , n ³ 2 3) u1 = 0; u2 = 0, un + 1 - 2un - 3un -1 = n + 2n , n ³ 2 4) u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un -1 - 11.un - 2 + 5.un - 3 , n ³ 4 ì ïu1 5) í ïu î n ì ïu1 ï 6) í ïu ï n î = 3 = 3 3 un -1 + 2 - 3 . 6 = 24un3 -1 - 12 6un2 -1 + 15un -1 - 6 "n ³ 2 = . "n ³ 2 1 - ( 3 - 2)un -1 { } Bài 2: Cho dãy số bn ìïb = 2.b + bn - 2 n -1 xác định bởi : í n ïîb1 = 1, b2 = 2 n ÎN (n ³ 3 ) n æ5ö Chứng minh rằng bn £ ç ÷ , "n Î N è2ø { } Bài 3: Cho dãy số un ìu Î Z + , " Î N ï n thoả mãn như sau : íu 0 = 1, u1 = 9 ïu = 10.u - un - 2 "n Î N , n ³ 2 n -1 î n Chứng minh : "k Î N , k ³ 1 . 1) uk2 + uk2 -1 - 10uk .uk -1 = -8 2) 5.uk - uk -1 M 4 và 3.uk2 - 1M 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 43 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïx = 1; x1 = 0 Bài 4: Cho dãy số x n xác định như sau: í 0 . x 2 x + x = 2 " n ³ 2 ïî n n -1 n -2 Xác định số tự nhiên n sao cho : x n +1 + xn = 22685 . ìïx = 1; x1 = 5 Bài 5: Cho dãy (xn ) được xác định bởi í 0 . ïîx n + 1 = 6xn - x n -1 "n ³ 1 Tìm lim x n { 2x } n (TH&TT T7/253). 1 æ 2 ç 1 - (1 - a )2 n 1 ö2 ÷ 1 Bài 6: Xét dãy (an ) : a1 = và an + 1 = ç ÷ "n ³ 1 . 2 2 ç ÷ ç ÷ è ø Chứng minh rằng: a1 + a2 + ... + a2005 < 1, 03 (TH&TT T10/335). Bài 7: Cho dãy (an ) : a 0 = 2; an + 1 = 4an + 15an2 - 60 "n ³ 1 . Hãy xác định CTTQ 1 (a + 8) có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 5 2n ba số nguyên liên tiếp với "n ³ 1 (TH&TT T6/262). Bài 8: Cho dãy số p(n ) được xác định như sau: p(1) = 1; của an và chứng minh rằng số { } p(n ) = p(1) + 2p(2) + ... + (n - 1)p(n - 1) "n ³ 2 . Xác định p(n ) (TH&TT T7/244). ìïu1 = 2 Bài 9: Xét dãy (un ) : í . Chứng minh rằng 3 2 u = 3 u + 2 n 9 n + 9 n 3 " n ³ 2 ïî n n -1 p -1 với mỗi số nguyên tố p thì 2000 å ui chia hết cho p (TH&TT T6/286). i =1 ìïx 0 = a Bài 10: Dãy số thực (xn ) : í . 2 x = 2 x 1 " n ³ 0 ïî n +1 n Tìm tất cả các giá trị của a để x n < 0 "n ³ 0 (TH&TT T10/313). Bài 11: Dãy số (xn ) : x 0 = 1, x1 = x n +1 .xn 1 và x n + 2 = 2 2002x n + 1 + 2001x n + 2000x n + 1xn "n ³ 0 . Hãy tìm CTTQ của x n (TH&TT T8/298). Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 44 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ì 1 a = ïï 1 2 Bài 12: Cho dãy số (an ) được xác định như sau: (an ) : í . an - 1 ïan = "n ³ 1 2nan -1 + 1 ïî Tính tổng a1 + a2 + ... + a1998 . Bài 13: Cho dãy số (an ) được xác định bởi : a1 = 1.2.3, a2 = 2.3.4, ..., an = n(n + 1)(n + 2) . Đặt Sn = a1 + a2 + ... + an . Chứng minh rằng 4Sn + 1 là số chính phương . (HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) Bài 14: Cho hai dãy số (an ),(bn ) được xác định như sau: a 0 = 2;b0 = 1 và an + 1 = 2anbn an + bn , bn + 1 = an + 1bn "n ³ 0 . Chứng minh rằng các dãy (an ) và (bn ) có cùng một giới hạn chung khi n ® +¥ . Tìm giới hạn chung đó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bai 15: Cho các số nguyên a,b . Xét dãy số nguyên (an ) được xác định như sau a 0 = a;a1 = b;a2 = 2b - a + 2; an + 3 = 3an + 2 - 3an +1 + an "n ³ 0 a ) Tìm CTTQ của dãy (an ) . b) Tìm các số nguyên a,b để an là số chính phương với "n ³ 1998 . (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B). n 1 ìïa = 3 Bài 16: Cho dãy số (an ) : í 0 . Tính å i = 1 ai ïî(3 - an )(6 + an -1 ) = 18 "n ³ 1 (Trung Quốc – 2004 ). ìa 0 = 1 ï Bài 17: Cho dãy số (an ) : í . Chứng minh 7an -1 + 45an2 -1 - 36 ïan = "n ³ 1 î 2 1) an là số nguyên dương với "n ³ 0 . 2) an +1an - 1 là số chính phương "n ³ 0 . ( Trung Quốc – 2005 ). Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 45 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = 1; u2 = 2 un2 - 1 Bài 18: Cho dãy số (un ) : í . Chứng minh rằng là số u = 4 u u " n ³ 3 3 ïî n n -1 n -2 chính phương ( Chọn đội tuyển Nghệ an – 2007 ). Bài 19: Có n tấm thẻ được đánh số từ 1 đến n . Có bao nhiêu cách chọn ra một số thẻ (ít nhất 1 tấm) sao cho tất cả các số viết trên các tấm thẻ này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn. Bài 20: Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 3x2n bằng các viên gạch kích thước 1x2? Bài 21: Trong mặt phẳng cho n đường tròn đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào có điểm chung. Hỏi n đường tròn đó chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ? Bài 22: Cho dãy đa thức : P (x ) = x 3 - 6x + 9 và Pn (x ) = P (P (...(P (x )))) n lần. Tìm số nghiệm cảu P (x ) và Pn (x ) ? (Dự tuyển Olympic). Bài 23: Xác định hệ số x 2 trong khai triển chính quy của đa thức Qk (x ) = (...(((x - 2)2 - 2)2 - 2)2 - ...)2 - 2)2 (có k dấu ngoặc). Bài 24: Cho dãy x n : x 0 = 1, x1 = 1, x n +1 = 4x n - x n -1 "n ³ 1 và dãy số (yn ) : y0 = 1, y1 = 2, yn +1 = 4yn - yn -1 "n ³ 1 . Chứng minh rằng: yn2 = 3x n2 + 1 "n ³ 0 (Canada – 1998 ). Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá 2n (Macedonian – 1997 ). Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 46 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đại Số và Giải Tích lớp 11 Nâng Cao [2] Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 [3] Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 [4] Các phương pháp đếm nâng cao, Trần Nam Dũng [5] Tạp chí Toán Học Và Tuổi Trẻ [6] Các diễn đàn Toán học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org … [7] Tuyển tập các chuyên đề thi Olympic 30 – 4 Khối 11 [8] Phép quy nạp trong hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển dịch xuất bản năm 1987) Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 47 -