- Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số MỤC LỤC MỤC LỤC. - SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 III. - ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ. - Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -2- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. - 1 -q Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -3- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2. - Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi u1 = 3, un = 2un -1 "n ³ 2 . - Ta có: un = 3.2n -1 . - Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -4- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Dạng 1: Dãy số (un. - n -1 ïu1 .a +b khi a ¹ 1 î a -1 Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định bởi u1 = 2. - ìïu = 2 Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un. - Tìm CTTQ của dãy (un. - u1 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -5- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. - f (n ) ta có được. - Thay vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h(n. - từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn . - Suy ra ta có CTTQ của dãy (un. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -6- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = 1 Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un. - í n .Tìm CTTQ của dãy (un. - un = a.un -1 + b.a n , ta đặt un = x n + y.a n . - Khi đó ta có: u ïî n = a .un -1 + b.a "n ³ 2 · Nếu a = a Þ un = éëab(n - 1. - a -a a -a Chú ý : Trong trường hợp a = a ta có thể tìm CTTQ của dãy (un ) như sau: Đặt un = x n + y.n.a n . - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -7- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = -2 Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un. - Qua ví dụ trên ta có kết quả sau: ìïu1 = p Dạng 4: Để tìm CTTQ của dãy số (un. - Nếu a = 1 Þ un - un -1 = b.a n + c.b n + d n -2 Þ un = u1 + å (un -i - un -i -1 ) i =0 n -2 n -2 n -2 = u1 + å (b.a n -i + c.b n -i + d. - a -a b -b 1-a Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -8- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số n -1 æ a 2b b 2c d ö n -1 Khi đó: vn = a.vn -1 Þ vn = v1 .a = ç u1. - ìïu1 = 1 Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un. - "n ³ 2 thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -9- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy (un. - ïîvn +1 = 3vn Sử dụng kết quả 2, ta có: un = 5.3n - 6.2n . - ïî n + 1 n n -1 Hãy xác định CTTQ của dãy (un. - Ta có: un +1 = (x + y )un - xyun -1 Û un +1 - x .un = y(un - xun -1. - Hãy xác định CTTQ của dãy (un. - ïîun +1 = a.un + b.un -1 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 10 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Giải: Ta viết lại công thức truy hồi của dãy đã cho như sau: un +1 - x .un = y(un - x .un -1. - ìïv = q - x .p Đặt vn = un - x .un -1 . - Ta có: í 1 Þ vn = (q - xp)y n -1 v ïî n +1 = yvn Þ un - x .un -1 = (q - px )y n -1. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 11 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số · Nếu (1) có nghiệm kép X1 = X 2 = a thì un = (pn + q ).a n , dựa vào u 0 , u1 ta tìm được p, q . - "n ³ 2 CTTQ của dãy (un. - u2 = q Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số: (un. - Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy (x n. - từ đó ta tìm được CTTQ của dãy (un. - u2 = q Dạng 7: Để tìm CTTQ của dãy (un. - í 1 , a .u ïî n + 1 + b.un + c.un -1 = f (n. - u1 = 3 Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un. - u ïî n - 5un -1 + 6un -2 = 5.2 "n ³ 2 Giải: Đặt un = x n + y.2n . - u1 = 3 Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy (un. - Ta chọn y = 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 14 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïx = 1. - u1 Dạng 8: Cho dãy số (un ) xác định bởi: í . - Để xác u ïî n + b.un -1 + c.un -2 = d .a n . - "n ³ 2 định CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 15 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu = 0, u2 = 1, u3 = 3, Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (un. - un = 2un -1 + vn -1 Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số (un ),(vn. - Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 16 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ì q - lr ïïxn + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n - yn ) Ta đưa vào các tham số phụ l , l ' Þ í ls - p ïx q + l 'r n +1 + l ' yn + 1 = (p + l ' s )(x n + y ) îï p + l 's n ì q - lr ïïl = Ta chọn l , l ' sao cho í ls - p Þ ïìx n + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n - lyn ) í ïl. - x ïî n +1 + l ' yn +1 = (p + l ' s )n (x 1 + l ' y1 ) ìu1 = 1 ï Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy (un. - Để tìm CTTQ của dãy (xn) run -1 + s ta làm như sau: Đặt un = xn + t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có: px n -1 + pt + q (p - rt )x n -1 - rt 2 + (p - s )t + q xn = -t = (1). - (2 - 2) úû 2 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 18 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2 æ un -1 ö çç. - Ta có bài toán sau: vn ïx n = î 2x n -1 ìx1 = 2 ï Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số (xn. - v1 = b Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 19 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu = u 2 + a.v 2 ì(u + au = (un -1 + aun -1 )2 n n -1 n -1 ï n n -1 Ta có: í Þí ïî a .vn = 2 a .vn -1un -1 (u - aun -1 = (un -1 - aun -1 )2 îï n ì 1é 2n - 1 n -1 ù ïïun = ê(a + b a. - 2 6 2 6 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 20 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Dạng 13: ìu1 = 1 ï 1) Dãy (un. - Tìm un ? u ï n = "n ³ 2 î un - 2 Giải: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 21 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ta có: u 3 = 3. - Ta có. - 2 3 2 3 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 22 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số II. - Xác định CTTQ của dãy (un. - 2 a2 2 a2 2 a4 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 23 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 1 2n -1 1 Ta chứng minh được un = (a + n -1 ) "n ³ 1 . - ç u1 + u1 - 1 ÷ ê 2 è ø è ø ú ë û ì 3 ïu1 = Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số (un. - 6 Nhận xét: ìïu1 = p 1) Để tìm CTTQ của dãy (un. - ç u1 + u1 - 1 ÷ ê 2 è ø è ø ú ë û 2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 24 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = p 1 1 (un. - ç ÷ 2è a3 ø 2 êëè ø è ø ú û ì 3 ïu1 = Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ của dãy (un. - ì 1 ïu1 = ï 2 Ví dụ 2.4: Tìm CTTQ của dãy số (un. - ë3 8û Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 26 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số æ p 2002p ö æp p ö Vậy u2003 = tan ç. - 2n -1.3 2n -1.3 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 27 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số III. - n n ! 2 2 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 28 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 1 1 1 x n - 3) x n Þ (1 - x )2 =1- x. - Tìm CTTQ của dãy (an. - 5(2x - 1) 5 6 Ta có. - 1 - 3x Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 29 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 1 = (1 - 2x x + 22 x 2. - Ví dụ 3.2: Tìm CTTQ của dãy số a 0 = 1 và ana 0 + an -1a1. - Ta có: A(x )A(x. - 2n .n ! Ví dụ 3.3: Tìm CTTQ của dãy số: a 0 = 1. - 2 22 2! 2n n! Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 30 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Þ hệ số của x k trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của 1 - 4x bằng k - 3).2k 1 + 1 - 4x. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 31 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số IV. - vn - 2 vn - 2 Từ công thức truy hồi của dãy ta có được vn > 2n "n ³ 2 (a). - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 32 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 4.2: Cho dãy số (an. - 2 Ví dụ 4.3: Cho dãy số (xn. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 33 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu = 20. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 34 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2x n + 1 Ví dụ 4.5: Cho dãy (xn. - 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 35 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïx = -1 ìïx = -3x n2 - 2xn yn + 8yn2 n +1 Ví dụ 4.7: Cho hai dãy (xn ),(yn. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 36 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Giải: 1 1 1 Ta có. - 2 t 2 1-t 1-t p p 1 2 Vì n ³ 2 Þ 0 < an < Þ 0 < t < tan = Þ £ 1 - t Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 37 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 2 Þ2. - 1 ï Ví dụ 4.10: Cho dãy số (xn. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 41 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số · an = 0 . - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 42 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ của các dãy số sau 1) u1 = 1. - u2 = 0, un +1 - 2un + un -1 = 3.2n , n ³ 2 3) u1 = 0. - Î N ï n Bài 3: Cho dãy số un. - 1) uk2 + uk2 -1 - 10uk .uk uk - uk -1 M 4 và 3.uk2 - 1M 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 43 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïx = 1. - x1 = 0 Bài 4: Cho dãy số x n xác định như sau: í 0 . - Bài 8: Cho dãy số p(n ) được xác định như sau: p(1. - Xác định p(n ) (TH&TT T7/244). - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 44 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ì 1 a ïï 1 = 2 Bài 12: Cho dãy số (an ) được xác định như sau: (an. - an + 3 = 3an + 2 - 3an +1 + an "n ³ 0 a ) Tìm CTTQ của dãy (an. - Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 45 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ìïu1 = 1