Bình phương cực tiểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.
HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
---------------o0o---------------
BÁO CÁO
BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Đề tài: BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
GVHD:PTS. NGUYỄN HỮU HIỆP

 THÀNH VIÊN THAM GIA MSVV
1) Bùi Sỹ Tiến 1915468
2) Đoàn Công Tín 1915509
3) Khằm Thanh Tình 1915531
4) Nguyễn Văn Toàn 1915556
5) Đặng Thế Triệu 1915635
6) Nguyễn Đình Trung 1915687
7) Đinh Trung Trực 1915753
8) Nguyễn Quang Trường 1915737
9) Nguyễn Kim Tú 1915817
10) Nguyễn văn Tú 1915819
11) Đào Trọng Tuấn 1915756
12) Lê Nguyễn Hoàng Tuấn 1915769
MỤC LỤC
BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU .................................................................................................. 3

1. Cơ sở lý thuyết và giới thiệu chung .......................................................... 3
1.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX+B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH
PHƯƠNG CỰC TIỂU.
1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = A X2 + BX + C BẰNG PHƯƠNG PHÁP
BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.
2. CHƯƠNG TRÌNH MATLAB.......................................................................................... 5
2.1 Viết chương trình dùng PP bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy
Y = Ax+B
2.2 VÍ DỤ MINH HỌA ...................................................................................................... 6

1. Cơ sở lý thuyết của bài toán bình phương cực tiểu
Trong toán học cũng như trong thực tế ta thường gặp các bài toán liên quan đến
khảo sát và tính giá trị của hàm y = f(x) nào đó. Tuy nhiên trong thực tế không
phải lúc nào ta cũng xác đinh được sẵn hàm số mà chỉ nhận được các dữ kiện
rời rạc x¬I tương ứng với giá trị yi. Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm tại
các điểm còn lại. Một trong các cách làm đó là ta đi xác định biểu thức hàm
f(x).Có rất nhiều lớp các bài toán thực tế mà qua khảo sát người ta xác định
được nó có dạng tuyến tính như y = ax+b, y = ax2 + bx + c, một trong các
phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán trên là phương pháp bình phương
cực tiểu.
GIỚI THIỆU CHUNG
Phương pháp bình phương cực tiểu thường được dùng để lập công thức thực nghiệm.
Giả sử cần tìm mối quan hệ hàm số giữa hai đại lượng x và y, muốn thế ta tiến hành
thí nghiệm rồi quan sát, đo đạc, ta nhận được bảng tương ứng:
Việc từ bảng trên lập ra mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công thức thực
nghiệm. Nói chung việc tìm ra hàm số f(x) là gần đúng, việc tìm ra hàm số xấp xỉ của
hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu sẽ rất phức tạp nếu không biết
trước dạng của hàm số xấp xỉ. Một trong các hàm số xấp xỉ đã biết và rất hay dùng
trong các bài toán thực tế có dạng:
a) y = ax + b
b) y = ax2 + bx + c
1.1.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX+B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH
PHƯƠNG CỰC TIỂU.
+) Vì các cặp số (x1,y1), (x2, y2), … , (xn, yn) nhận được từ thí nghiệm chỉ là những giá trị
gần đúng của x, y nên chúng không hoàn toán là nghiệm đúng của phương trình y = ax + b nghĩa
là:
y1 – ax2 – b = v1
y2 – ax2 – b = v2
………………..
yn – axn – b = vn
trong đó : vi là các sai số.
-Phương pháp bình phương bé nhất nhằm xác định các các hệ số a và b sao cho tổng bình
phương của các sai số nói trên là bé nhất.
-Nghĩa là :
Như vậy a, b phải thỏa mãn hệ phương trình:

-Rút gọn ta có hệ sau:
-Đây là hệ 2 phương trình hai ẩn số a và b, n là số lần làm thí nghiệm. Giải hệ này ta tìm được a và b như sau:
1.2.. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = A X2 + BX + C BẰNG PHƯƠNG

PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.
-Hàm hồi quy có dạng Y = ax2 + bx + c
Sai số : vi = (ax2 + bx + c ) – yi với i = 1, 2 ,…, n
Tổng các bình phương của các sai số trên là bé nhất nghĩa là:
-Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình:
-Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau:

-Giải hệ ta tìm được các giá trị của a, b, c
+) lập bảng dạng sau:
 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB

2.1…Viết chương trình dùng PP bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi
quy Y = A + Bx
X = input('X = ');
Y = input('Y = ');
% Phuong trinh duong y = A + Bx
n = size(X,2); % so phan tu cua X
syms ABx
sum_x = 0;
sum_y = 0;
sum_square_x = 0;
sum_xy = 0;
for i=1:n
sum_x = sum_x + X(i);
sum_y = sum_y + Y(i);
sum_square_x = sum_square_x + X(i)^2;
sum_xy = sum_xy + X(i)*Y(i);
end
pt1 = n*A + sum_x*B - sum_y;

pt2 = sum_x*A + sum_square_x*B - sum_xy;
nghiem = solve(pt1,pt2,A,B);
A = nghiem.A;
B = nghiem.B;
pt = A + B*x;
fprintf('Phuong trinh y = %s\n',pt);
2.2 Một vài ứng dụng ( Chủ yếu dùng để dự đoán kết quả dựa vào bảng số liệu biết
trước)
- Leonard Chapman đã tổng hợp dữ liệu liên quan đến một điểm trung bình
(GPA) nhóm học sinh trung học với điểm họ đạt được ở trường đại học
Điểm 2.0 2.5 3.0 3.0 3.5 3.5 4.4
TH
Điểm 1.5 2 2.5 3.5 2.5 3.3 3.5
ĐH
Từ dữ liêu trên chúng ta có thể tìm được phương trình hồi quay và từ đó sử
dụng nó để giúp ta dự đoán GPA đại học của một học sinh mà điểm trung
học là 3.7
Bảng dưới đây cung cấp tỷ lệ trung bình học sinh-giáo viên trong các trường
công lập những năm được chọn. Nguồn: Trung tâm Quốc gia về thống kê
giáo dục.
Năm 1990 1994 1998 2002 2006 2010

Tỷ lệ 17.2 17.3 16.4 15.9 15.6 15.3
• Dùng PP bình phương bé nhất. Cho x tương ứng với số năm kể từ năm
1990 và cho y tương ứng với số trung bình của học sinh cho mỗi giáo viên.
• Chúng ta có thể dự đoán tỷ lệ học sinh-giáo viên trong năm bất kỳ mà

chúng ta muốn.
Bảng sau đây cho biết tuổi trung bình kết hôn lần đầu của phụ nữ ở Mỹ đối
với một số năm được chọn. Nguồn: U.S Census Bureau.
Năm 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Tuổi 21.5 20.3 20.3 20.8 22.0 23.9 25.1 26.5
Chúng ta có thể dự đoán được số tuổi TB kết hôn lần đầu trong năm nào đó
dựa vào PP bình phương cực tiểu.

Bình phương cực tiểu

Uploaded by

Document Information

Original Title

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

Bình phương cực tiểu

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.

Đề tài: BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

GVHD:PTS. NGUYỄN HỮU HIỆP

BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU .................................................................................................. 3

2.2 VÍ DỤ MINH HỌA ...................................................................................................... 6

Như vậy a, b phải thỏa mãn hệ phương trình:

1.2.. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = A X2 + BX + C BẰNG PHƯƠNG

-Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình:

-Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau:

 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB

pt1 = nA + sum_xB - sum_y;

Năm 1990 1994 1998 2002 2006 2010

• Chúng ta có thể dự đoán tỷ lệ học sinh-giáo viên trong năm bất kỳ mà

Năm 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

You might also like