- SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG. - Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113. - 1 Phương pháp quy nạp 2. - 1.1 Nguyên lý quy nạp. - 1.2 Phương pháp chứng minh bằng quy nạp. - 1.2.1 Cơ sở quy nạp. - 1.2.2 Quy nạp. - 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải một số bài toán . - 4 2 Phương pháp chứng minh phản chứng 17 2.1 Cơ sở lý thuyết. - 2.2 Nội dung của phương pháp phản chứng. - 2.3 Trình bày lời giải của phương pháp phản chứng. - 2.4 Một số ví dụ minh họa. - 3 Phương pháp suy luận trực tiếp 28 3.1 Vài nét về phương pháp suy luận trực tiếp. - 3.2 Các ví dụ về vận dụng phương pháp suy luận trực tiếp. - 4 Phương pháp đồ thị 35 4.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lí thuyết đồ thị. - 4.2 Phương pháp đồ thị. - 4.2.2 Dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc lý luận trực tiếp suy ra đáp án của bài toán D. - 4.3 Một số ví dụ. - 5 Phương pháp bảng 53 5.1 Giới thiệu về phương pháp bảng. - 5.2 Một số ví dụ minh họa. - 6 Phương pháp sơ đồ 67 6.1 Các bước thực hiện phương pháp sơ đồ. - 6.1.2 Dựa vào cấu trúc của sơ đồ mô tả quan hệ và điều kiện đã cho trong bài toán mà suy ra đáp án. - 6.2 Một số ví dụ. - Mỗi chủng loại đòi hỏi một phương pháp giải thích hợp. - Bởi vậy có nhiều phương pháp giải toán phổ thông.. - Với khối lượng có hạn, luận văn chỉ xin phép trình bày sáu trong những phương pháp thường dùng nhất.. - Chương I trình bày về phương pháp quy nạp, Chương II trình bày về phương pháp phản chứng,. - Chương III trình bày về phương pháp suy luận trực tiếp, Chương IV trình bày về phương pháp đồ thị,. - Chương V trình bày về phương pháp bảng, Chương V I trình bày về phương pháp sơ đồ.. - Mỗi phương pháp đều có phần tóm tắt cơ sở lý thuyết và phần vận dụng phương pháp để giải bài tập.. - Phương pháp quy nạp. - Phương pháp quy nạp có vai trò vô cùng quan trọng trong toán học, khoa học và cuộc sống. - Đối với nhiều bài toán trong chương trình toán phổ thông là những bài toán logic, tức những bài toán không mẫu mực phương pháp quy nạp cho ta nhiều cách giải hữu hiệu.. - của tập thể suy ra tính chất của cá thể, nên luôn luôn đúng, còn quá trình ngược lại, tức quá trình quy nạp: đi từ "tính chất". - của một số các thể suy ra "tính chất". - của tập thể thì không phải lúc nào cũng đúng, mà quá trình này chỉ đúng khi nó thỏa mãn một số điều kiện nào đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp.. - Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau:. - ta cần chứng minh tính đúng đắn của S(n) đối với n = t + 1 , thì khiØS(n) đúng với mọi n ≥ k 0. - Giả sử khẳng định S(n) xác định với mọi n ≥ t 0 . - Để chứng minh S(n) đúng. - n ≥ t 0 bằng quy nạp ta cần thực hiện theo hai bước sau:. - Giả sử khẳng định S(n) đã đúng đến n = t (hoặc đối với mọi n (t 0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ t 0. - Trên cơ sở giả thiết này ta chứng minh tính đúng đắn của S(n) đối với n = t + 1 , tức S(t + 1) đúng.. - Nếu cả ba bước trên thỏa mãn, thì theo nguyên lý quy nạp S(n) đúng với. - Chú ý: Trong quá trình quy nạp nếu không thực hiện đầy đủ cả ba bước: Cơ sở quy nạp, giả thiết quy nạp và chứng minh quy nạp, thì có thể dẫn đến kết quả sai lầm, chẳng hạn:. - Do bỏ bước cơ sở quy nạp, ta đưa ra kết luận không đúng: Mọi số tự nhiên đều bằng nhau! Bằng cách quy nạp như sau: Giả sử các số tự nhiên không vượt quá k + 1 đã bằng nhau. - Khi đó ta có. - Cứ như vậy suy ra mọi số tự nhiên không nhỏ hơn k đều bằng nhau. - Kết hợp với giả thiết quy nạp: Mọi số tự nhiên không vượt quá k đều bằng nhau, đi đến kết luận sai lầm: Tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau!. - Do bỏ qua khâu quy nạp nên nhà toán học Pháp P.Fermat đã cho rằng các số dạng 2 2 n + 1 đều là số nguyên tố.. - Với n = 0 cho là số nguyên tố . - n = 1 cho là số nguyên tố . - n = 2 cho là số nguyên tố . - n = 3 cho là số nguyên tố . - n = 4 cho là số nguyên tố. - 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải một số bài toán Phương pháp quy nạp được sử dụng trong tính toán, trong chứng minh và trong suy luận dưới nhiều dạng khác nhau, nhưng trong phần này chỉ trình bày việc vận dụng phương pháp quy nạp để giải các bài toán logic, tức các bài toán. - Ví dụ 1.2.1. - Chứng minh rằng: Nếu trong túi có một số tiền nguyên (nghìn) không ít hơn 8000 đ, thì luôn luôn có thể mua vé sổ số loại 5000 đ và 3000 đ.. - Lời giải: Ta sẽ giải quyết bài toán này bằng phương pháp quy nạp.. - 1) Cơ sở quy nạp. - 2) Quy nạp. - Như vậy trong mọi trường hợp từ kết quả tiêu k nghìn đầu tiên đã suy ra được cách tiêu nghìn thứ k + 1 , nên bài toán đã được giải quyết xong.. - Ví dụ 1.2.2. - Lời giải:. - 2) Tính đúng đắn của công thức S(n) được khẳng định bằng quy nạp theo n . - 1 0 ) Cơ sở quy nạp. - 2 0 ) Quy nạp. - Giả sử sau k bước em An đã nhận được số mảnh giấy là S(k. - Ví dụ 1.2.3. - Cho x + 1 x , x 6 = 0 là một số nguyên. - Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , số. - x n + 1 x n cũng là số nguyên.. - Lời giải: Khẳng định được chứng minh bằng quy nạp.. - Giả sử khẳng định đúng với mọi số nguyên k(n ≥ k ≥ 1) nghĩa là. - Phương pháp quy nạp là số nguyên.. - x k −1 + 1 x k −1 theo giả thiết quy nạp, các số x + 1 x , x k − 1 + x k 1 − 1 và x k + x 1 k đều nguyên, nên T (k + 1, x) là số nguyên và khẳng định đúng với mọi số nguyên dương n . - Ví dụ 1.2.4. - Chứng minh rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể viết dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố.. - Lời giải: Ta chứng minh khẳng định bằng quy nạp theo n . - Cơ sở quy nạp. - Với n = 2 , ta có 2 = 2. - Với n = 3 , ta có 3 = 3 , n = 4 , ta có 4 = 2 × 2 Vậy khẳng định đúng với n . - Quy nạp. - Giả sử với mọi số nguyên n đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố. - Ta chứng minh n + 1 cũng phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố.. - Nếu n + 1 là số nguyên tố thì nó bằng tích của chính n + 1. - Theo giả thiết quy nạp, thì a, b đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.. - Suy ra, n + 1 cũng phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.. - Theo nguyên lý quy nạp, mọi số nguyên n >. - các thừa số nguyên tố.. - Ví dụ 1.2.5. - Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n số 2 3 n + 1 chia hết cho 3 n+1 h. - Lời giải: Bài toán được giải quyết bằng quy nạp. - 1) Cơ sở quy nạp.. - Với n = 1 ta có A nên A 1. - Với n = 2 ta có A nên A 2. - Phương pháp sơ đồ. - Lời giải: Bài toán gồm có hai nhóm đối tượng: