- Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn phương trình. - Gọi là ước nguyên tố bất kỳ của , suy ra. - Gọi , suy ra. - Vì nên suy ra (2). - Nếu thì từ suy ra (3). - Vì nên suy ra. - Cho và với mọi số nguyên dương Chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên dương tồn tại số nguyên dương sao cho chia hết cho. - Hướng dẫn giải Giả sử là số nguyên dương thỏa mãn bài toán, ta có. - Suy ra tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn. - Nếu thì do đó từ suy ra , hay . - Nếu thì từ suy ra , hay . - Vậy thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi là một số nguyên dương chẵn.. - Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn. - Xét số nguyên dương ta chứng minh tồn tại số nguyên dương sao cho. - là số nguyên,mặt khác là số hữu tỷ nên là số nguyên.. - Gọi là số các số nguyên dương viết trong hệ thập phân có chữ số, trong đó có chữ số và chữ số . - Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình. - Không tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện. - Nếu lẻ thì tồn tại 2 số nguyên dương sao cho:. - Tìm tất cả các cặp số nguyên dương với nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình. - Tìm tất cả các cặp số nguyên dương với nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình . - Cho các số nguyên với . - Cho n là số nguyên lẻ và . - Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho là số chính phương và là số nguyên dương nhỏ nhất sao là số chính phương. - Chứng minh rằng là số nguyên tố khi và chỉ khi và. - Nếu là số nguyên tố, khi đó. - Giả sử tồn tại với là các số nguyên tố. - Gọi là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn sao cho chia hết cho ( tồn tại vì chia hết cho. - Ta viết, với nào đó và là tích các số nguyên tố còn lại,. - Vậy là số nguyên tố.(đpcm). - Cho là các số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ nhất của hai số bất kì trong chúng đều lớn hơn . - Ký hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. - Cho là các số nguyên khác thỏa mãn là một số nguyên. - Đặt với là các số nguyên và. - Ta có là số nguyên. - Mặt khác là số nguyên ac bd ac d a d. - TH1: suy ra phương trình (1) có nghiệm. - TH2: suy ra phương trình (1) có nghiệm. - Cho là các số nguyên dương phân biệt sao cho . - Cho là hai số nguyên dương lẻ sao cho chia hết cho . - Khi đó và từ suy ra. - Ta có. - suy ra. - Suy ra , mâu thuẫn.. - Ta có Suy ra , mâu thuẫn.. - Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho không chia hết cho. - Nhận xét rằng khi là số nguyên tố thì do nên hiển nhiên không chia hết cho , và do đó không chia hết cho. - Suy ra:. - Suy ra hoặc (Do thì n trở thành số nguyên tố). - Suy ra hoặc (Do. - Suy ra (Do. - Giả sử tổng của số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ bằng. - Tìm tất cả số nguyên sao cho chia hết cho. - chia hết cho. - chia hết cho . - Có bao nhiêu cách phân tích thành tích của 3 số nguyên dương, biêt các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính 1 lần?. - a) Ta có:. - Tồn tại hay không hai số nguyên dương phân biệt sao cho chia hết cho với mọi số nguyên dương. - Giả sử tồn tại hai số p, q nguyên dương phân biệt sao cho chia hết cho với mọi số nguyên dương , thế thì. - Giả sử là một số nguyên tố lớn hơn và là số tự nhiên thỏa mãn . - Từ (4) và (5) suy ra . - Vậy không tồn tại hai số nguyên dương phân biệt sao cho chia hết cho với mọi số nguyên dương. - Tìm số nguyên dương lẻ sao cho với mọi số nguyên dương lớn hơn luôn tồn tại số nguyên thỏa mãn. - Với , suy ra tồn tại nguyên dương sao cho. - Do đó: Tồn tại nguyên thỏa mãn: Suy ra. - Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , thì phần nguyên của số là số lẻ.. - Vì là số nguyên và , nên theo định nghĩa phần nguyên ta có:. - Tính tổng , trong đó là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực. - Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên không chia hết cho và thỏa mãn. - Đặt , ta sẽ chứng minh luôn tồn tại hai số nguyên không chia hết cho và thỏa mãn. - Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho:. - Ta có:. - Vì thế từ (2) suy ra:. - (3) Lại có nên từ (3) ta có:. - Vậy chia hết cho 5 khi và chỉ khi số nguyên tố có dạng. - Cho là các số nguyên dương sao cho Chứng minh rằng nếu và có các ước nguyên tố giống nhau, thì là một lũy thừa của. - Cho số nguyên . - Tìm số lớn nhất các cặp gồm 2 phần tử phân biệt của tập sao cho tổng của các cặp khác nhau là các số nguyên khác nhau và không vượt quá. - Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho là số nguyên và là ước của 2415.. - Trước hết ta chứng minh bổ đề: Cho số nguyên tố . - Nếu , là các số nguyên sao cho chia hết cho thì và chia hết cho. - Áp dụng bổ đề vào bài toán, giả sử tồn tại số các số nguyên dương , sao cho , là số nguyên và là ước của 2415. - Suy ra và . - Ta lại được , nhưng không có các số nguyên dương , thỏa mãn vì. - Vậy tất cả các cặp số nguyên dương cần tìm có dạng trong đó. - Cho là các số nguyên. - Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên sao cho là lẻ với ít nhất giá trị của. - Ta có (do (2)) (3) Tương tự, ta có (4). - Vì và nên suy ra . - Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất để chia hết cho với ( là phần nguyên của số. - Như vậy, số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đầu bài chỉ có thể là 5.. - Ta có chia hết cho . - Cho số nguyên dương thỏa mãn chia hết cho . - Ta có (vì nếu thì vô lí). - Gọi là số nguyên dương bé nhất sao cho . - Ta có . - Suy ra . - Do là số nguyên tố, nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có . - Điều này mâu thuẫn với cách chọn là ước số nguyên tố bé nhất của . - Do là ước nguyên tố của , suy ra chẵn (đpcm).