- Sau mỗi ngày người ta lại thay đổi vị trí của thỏ sao cho không có hai con thỏ nào đã nằm chung chuồng những ngày trước đó lại nằm chung chuồng thêm một lần nữa. - 4, trong số đó không có ba điểm nào thẳng hàng. - chứng minh rằng có ít nhất tứ gác lồi tạo thành có đỉnh nằm trong số n điểm đã cho.. - Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn. - là số các tổ hợp chập k của n phần tử). - Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số : các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. - Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm.. - a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là 8.. - b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.. - a) Giả sử ô chính giữa không có sỏi và điểm số của cách đặt là 8. - Khi đó các ô đối xứng với a, b, c, d qua tâm sẽ có số sỏi tương ứng là sao cho. - Vậy không tồn tại cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện bài toán.. - b) Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với nhau nếu ô trên cùng bên trái của chúng có số sỏi khác nhau và các ô còn lại tương ứng có số sỏi như nhau.. - Như vậy, các cách đặt sỏi chia thành từng cặp đôi một liên hợp với nhau.. - Xét hai cách đặt liên hợp với nhau (B) và (B. - Tổng số sỏi ở dòng 1, cột 1 và 1 đường chéo cả hai bảng đôi một khác nhau về tính chẵn lẻ. - Do đó điểm số của ( B) và (B’) khác nhau 3 đơn vị, suy ra số điểm của ( B) và (B’) có tính chẵn lẻ khác nhau.. - Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, một cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt còn lại có điểm số là một số lẻ suy ra điều phải chứng minh.. - Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số trên.. - Cho tập hợp X có 2016 phần tử. - Chọn ra 64 tập con. - Chứng minh tồn tại tập con A của X có số phần tử không vượt quá 6 mà , với. - Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 21 hình chữ nhật với đỉnh cùng màu và các cạnh song song với các cạnh của hình vuông.. - Lấy một hàng bất kỳ, ta giả sử tồn tại k ô đen và 7 – k ô trắng. - Khi đó tồn tại. - Vậy tồn tại ít nhất 7.9 = 63 cặp ô cùng màu trên cùng hàng. - Tiếp theo tồn tại cặp cột. - Suy ra tồn tại 21.2 = 42 tổ hợp của màu và cặp cột. - Với tổ hợp , giả sử tồn tại ji cặp trong cùng một tổ hợp, thì tồn tại ít nhất ji – 1 hình chữ nhật cho tổ hợp này. - Vì tổng của ji ít nhất là 63 nên tồn tại ít nhất. - Vậy tồn tại ít nhất 21 hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu của bài toán. - Cho tập hợp . - Cần phải loại khỏi ít nhất bao nhiêu phần tử để tập hợp còn lại có tính chất: Không phần tử nào bằng tích của hai phần tử khác.. - Loại khỏi tập hợp , tập này có 43 phần tử. - Rõ ràng tập này thỏa mãn yêu cầu: Không có phần tử nào là tích của hai phần tử khác. - Ta sẽ chứng minh mọi cách tách khỏi một tập hợp có nhiều nhất 42 phần tử đều không thỏa mãn yêu cầu đề bài. - Vì nên toàn bộ các phần tử của 43 bộ ba đều là khác nhau và đều nằm trong tập hợp. - Vì ta tách ra khỏi tối đa 42 phần tử, nên phần còn lại của (sau khi tách) phải có ít nhất một bộ ba nói trên. - Vậy mọi cách tách như thế không thỏa mãn yêu cầu đầu bài. - 2.0 đ Kết luận: Số phần tử ít nhất cần tách khỏi là 43 phần tử.. - Cho 51 điểm bất kì phân biệt nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 5, trong đó không có không có 3 điểm nào thẳng hàng. - Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong số 51 điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc phần giao của 3 hình tròn có tâm cũng chính là 3 điểm đó.. - Chia hình vuông ABCD thành 25 hình vuông đơn vị ( có cạnh bằng 1). - Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất 1 hình vuông đơn vị chứa không ít hơn 3 điểm. - Có bao nhiêu cách tô khác nhau sao cho không có 3 điểm liên tiếp nào cùng màu.. - Gọi là số cách tô màu thỏa mãn cho n. - Từ đó sinh ra hai số đặc trưng là số cách tô n bi mà hai bi cuối cùng màu, là số cách tô màu n bi mà hai bi cuối khác màu và cả hai cùng thỏa mãn 3 bi liên tiếp khác màu.. - Công thức xác định với thỏa mãn: Sau đó cho ta được kết quả bài toán.. - Đối với mỗi giá trị của , tìm số k lớn nhất thỏa mãn trong tập hợp gồm n phần tử có thể chọn ra k tập con khác nhau sao cho hai tập con bất kỳ đều có giao khác rỗng.. - Số tập con của X là . - Giả sử chọn được tập con của X có giao khác rỗng. - Ta chia các tập con của X thành cặp được tạo bởi một tập con của X và phần bù của tập con đó trong X. - Có cặp, chọn ra tập từ cặp nên theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 2 tập thuộc cùng một cặp, và do đó giao của nó bằng rỗng. - Số tập con của X không chứa phần tử là . - Số tập con của X chứa là . - Do đó có tập con của X có giao là phần tử nên số k lớn nhất cần tìm là