Ma Tran Dinh Thuc He Phuong Trinh Tuyen Tinh

- MA TRẬN - ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH1.
- Cộng 2 ma trận (cùng kích thước m x n): 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 ↔ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , 𝑣ớ𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑣à 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛2.
- Nhân vô hướng một số k với ma trận: 𝑘.
- Chuyển vị ma trận: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗.
- Nhân 2 ma trận: b11 b12 b13 B= b21 b22 b23Cho 𝐴𝑚×𝑛 𝑣à 𝐵𝑛×𝑝 , khi đó 𝐶𝑚×𝑝 = 𝐴𝑚×𝑛 ⋅ 𝐵𝑛×𝑝Với: a11 a12 c11 = a11b11 + a12b21 𝑛 a21 a22𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗.
- Nếu 𝐴 là ma trận đối xứng: 𝐴𝑇 = 𝐴 (𝐴𝑚×𝑛 + 𝐵𝑚×𝑛 )𝐶𝑛×𝑝 = 𝐴𝑚×𝑛 𝐶𝑛×𝑝 + 𝐵𝑚×𝑛 𝐶𝑛×𝑝 12.
- Định thức (det):Cho ma trận vuông 𝐴𝑛×𝑛 .
- Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(𝐴) ℎ𝑜ặ𝑐 |𝐴| được tính như sau: 𝑎11 𝑎12 𝑎11 𝑎12𝐴2×2 = [𝑎 𝑎22.
- 𝑎21 𝑎22.
- a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎 𝑎22 𝑎23 ] a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22𝐴3×3.
- 21 𝑎31 𝑎32 𝑎33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 Dấu + Dấu.
- 1 𝑎11 𝑎12 𝑎13→ |𝐴.
- |𝑎21 𝑎22 𝑎23.
- 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎23 𝑎32 𝑎11 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 𝑎31 𝑎32 𝑎33Tính chất: 1.
- 𝐷𝑒𝑡 của một ma trận tam giác bằng tích các số trên đường chéo chính.
- 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑚Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp: 8.
- (detA)𝑘 , ∀k ∈ 𝑁Chú ý: Có thể dùng định lý Laplace để tính định thức cho ma trận cấp 𝒏 ≥ 𝟑.
- Hạng của ma trận:Cho ma trận 𝐴𝑚×𝑛 , gọi i là dòng zero(0) nếu tất cả các phần từ trên dòng i này đều bằng 0.
- 𝐴 𝑑ò𝑛𝑔 5 𝑔ọ𝑖 𝑙à 𝑑ò𝑛𝑔 𝑧𝑒𝑟𝑜 Vậy khi đó, hạng của ma trận 𝐴5×4 chính là số lượng dòng không phải là dòng zero và bằng 4.Ký hiệu là: 𝑟(𝐴.
- Tìm hạng của ma trận:Cho ma trận 𝐴𝑚×𝑛 có ít nhất một định thức con cấp k khác 0 và mọi định thức con cấp k+1 đều bằng 0 thì hạngcủa ma trận 𝐴𝑚×𝑛 là 𝑟(𝐴.
- 𝑘Để tìm hạng của ma trận, ta có thể dùng các phép biển đổi sơ cấp trên dòng (không làm thay đổi hạng của matrận) để đưa ma trận A về dạng ma trận bậc thang để thấy định thức con khác 0 cấp cao nhất của ma trận A là baonhiêu.
- (nếu là ma trận vuông thì gọi là ma trận tam giác trên).Ma trận bậc thang là ma trận mà các phần tử 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 > 𝑗 Dùng phép biến đổi sơ cấp 0 −1 −5 3𝐴4×4.
- Trong quá trình biển đổi về ma trận bậc thang, có thể làm cho các phần tử trên đường chéo chính = 0 (là các phần tử 𝒂𝒊𝒋 có 𝒊 = 𝒋.
- 𝒏 • Trong hệ phương trình tuyến tính, gọi A là ma trận hệ số cấp 𝒏 × 𝒏.
- 𝒏 → hệ phương trình có nghiệm duy nhất o 𝟎 < 𝒓(𝑨.
- 𝒏 → có r(A) dòng không là dòng zero → hệ phương trình có vô số nghiệm Ví dụ: r(A.
- 2, n = 3 → hệ phương trình có 3 ẩn nhưng chỉ có 2 ẩn là có thể xác định giá trị, ẩn còn lại bằng bao nhiều tùy ý.9.
- Ma trận nghịch đảo:Tồn tại 𝐴−1 là ma trận nghịch đảo của ma trận vuông 𝐴𝑛×𝑛 khi và chỉ khi |𝐴.
- Khi đó 𝐴−1 được tính như sau: 1 𝑃𝐴 : là ma trận phụ hợp có các 𝐴−1 = 𝑃 |𝐴| 𝐴 phần tử 𝐴𝑖𝑗 là phần bù đại số của các phần tử 𝑎𝑖𝑗 của ma trận A***Qua phần giải hệ phương trình tuyến tính sẽ hướng dẫn tính 𝐴−1 bằng cách tìm ma trận 𝑃𝐴 .Ngoài ra, có thể dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để tìm ma trận nghịch đảo 𝐴−1 : (𝐴|𝐼.
- (𝐼|𝐴−1 )Tính chất:Cho 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông khả nghịch: 1.
- Nếu A là ma trận đối xứng (𝐴 = 𝐴𝑇 ) và |𝐴.
- Hệ phương trình tuyến tính:10.1.
- Giải hệ phương trình bằng cách tìm ma trận nghịch đảo:Hệ phương trình tuyến tính được viết lại dưới dạng ma trận như sau: 𝐴𝑋 = 𝐵 ↔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵Vậy, để giải và tìm vector 𝑋, ta chỉ cần đi tìm ma trận 𝐴−1 là ma trận nghịch đảo của ma trận hệ số 𝐴 sau đó nhân𝐴−1 với ma trận hệ số 𝐵 (hay còn gọi là vector 𝐵).*Ma trận hệ số 𝐴2×2 : 𝑎 𝑏 𝑥1 𝑢 𝐴.
- Ta chỉ cần tính: 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 → 𝑘ℎ𝑖 đó 𝑡𝑎 𝑡í𝑛ℎ 𝐴−1 đú𝑛𝑔Nghiệm của hệ phương trình 𝑥1 1 𝑑 −𝑏 𝑢 𝑋 = [𝑥.
- 2 |𝐴| −𝑐 𝑎 𝑣 Ma trận hệ số 𝐴3×3 : 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑥1 𝑏1 𝑎 𝐴.
- 21 𝑎22 𝑎23.
- 𝐵 = [𝑏2 ] 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑥3 𝑏3Tính 𝐴−1 nó phức tạp hơn một chút so với 𝐴2×2 .Gọi 𝑀𝑖𝑗 là định thức con bù của phần tử 𝑎𝑖𝑗 của ma trận A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j.Ví dụ:Tính 𝑀11: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎 𝑎23 𝑎 𝐴.
- 22 𝑎32 𝑎33 | 𝑎31 𝑎32 𝑎33Tính 𝑀23 : 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎 𝑎12 𝐴 = [𝑎21 𝑎22 𝑎23.
- 11 𝑎31 𝑎32 | 𝑎31 𝑎32 𝑎33Tương tự như vậy cho các M ở các vị trí còn lại.Bước 1: Tính |𝐴|(𝑑𝑒𝑡𝐴)Có thể tính |𝐴| như kiểu đường chéo.
- (Cáchnày có thể dùng để tính |𝑨| của ma trận cấp 4x4, 5x5…)Ví dụ:Dùng dòng 1: |𝐴.
- 𝑎11 𝑀11 + 𝑎12 (−𝑀12.
- 𝑎13 𝑀13(thông thường dùng dòng cho dễ tính toán, chọn dòng nào có nhiều số 0 hoặc nhiều số 1)Dùng cột 2: |𝐴.
- 𝑎12 (−𝑀12.
- 0 thì phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.|𝐴.
- 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất (qua bước 2)Bước 2: Tìm ma trận liên hợp của ma trận A.
- Ký hiệu là 𝐶: 𝐶11 𝐶12 𝐶13 𝐶 𝐶.
- 21 𝐶22 𝐶23 ] 𝐶31 𝐶32 𝐶33Trong đó, 𝐶𝑖𝑗 được gọi là phần bù đại số của phần tử 𝑎𝑖𝑗 của ma trận A.
- +Bước 3: Sau khi có được các 𝐶𝑖𝑗 của ma trận liên hợp 𝐶, ta suy ra được ma trận phụ hợp 𝑃𝐴 = 𝐶 𝑇 (là ma trậnchuyển vị của 𝐶) 𝐶11 𝐶12 𝐶13 𝐶11 𝐶21 𝐶31 𝐶 = [𝐶21 𝐶22 𝐶23.
- 𝑃𝐴 = 𝐶 𝑇 = [𝐶12 𝐶22 𝐶32 ] 𝐶31 𝐶32 𝐶33 𝐶13 𝐶23 𝐶33 6Khi đó: 1 𝐴−1 = ∙𝑃 |𝐴| 𝐴Tính nghiệm của hệ phương trình: 𝐴.
- [𝐴 𝐴22 𝐴32 ] [𝑏2 ] 𝑥3 |𝐴| 12 𝐴13 𝐴23 𝐴33 𝑏3.
- Tính nhanh ma trận nghịch đảo 𝑨−𝟏 bằng cách giải hệ phương trình bằng máy tính Casio: 2 7 3 𝐴 Lần lượt giải 3 hệ phương trình sau với các cột hệ số 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑𝑖 : 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅𝟏 𝒏 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟑 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅𝟐 𝒏 𝐴−1.
- Dùng phương pháp Cramer:Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer cho ta một nghiệm duy nhất.*Ma trận hệ số 𝐴2×2 : 𝑎 𝑏 𝑥1 𝑢 𝐴.
- 𝑎𝑣 − 𝑢𝑐 𝑐 𝑣Bước 3: Tính nghiệm của hệ phương trình 𝐷1 𝐷2 𝑥1.
- 𝑥2 = 𝐷 𝐷 Ma trận hệ số 𝐴3×3 : 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑥1 𝑏1 𝐴 = [𝑎21 𝑎22 𝑎23.
- 𝐵 = [𝑏2 ] 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑥3 𝑏3Bước 1: Tính DÁp dụng định lý Laplace cho dòng 1.
- Dùng các phần tử (𝑎11 , 𝑎12 , 𝑎13 ) nhân với các (𝑀11 , 𝑀12 , 𝑀13 ) tương ứng rồicộng lại (nhớ lưu ý cái dấu của các M là + hoặc – tùy theo vị trí) 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝐷= |𝐴| 𝑎.
- 𝑎11 𝑀11 + 𝑎12 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 𝑎31 𝑎32 𝑎33.
- 𝑎22 𝑎23 𝑎21 𝑎23 𝑎21 𝑎22 Dấu của 𝑀11 , 𝑀12 , 𝑀13 là.
- 𝑎13 |𝑎31 𝑎32 | 32.
- 𝐾ℎ𝑖 đó 𝑡𝑎 𝑠ẽ 𝑡í𝑛ℎ 𝑐á𝑐 𝐷𝑗 8Bước 2: Tính các 𝐷𝑗 .Áp dụng định lý Laplace cho dòng 1Tính 𝐷1: Thay cột 1 bằng vector B rồi tính det 𝑏1 𝑎12 𝑎13 𝐷1 = |𝑏2 𝑎22 𝑎23.
- 𝑏1 𝑀11 + 𝑎12 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 𝑏3 𝑎32 𝑎33.
- 𝑎22 𝑎23 𝑏2 𝑎23 𝑏 𝑎22 Dấu của 𝑀11 , 𝑀12 , 𝑀13 là.
- 𝑎11 𝑀11 + 𝑏1 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 𝑎31 𝑏3 𝑎33.
- 𝑏2 𝑎23 𝑎21 𝑎23 𝑎21 𝑏2 Dấu của 𝑀11 , 𝑀12 , 𝑀13 là.
- +Tính 𝐷3: Thay cột 3 bằng vector B rồi tính det 𝑎11 𝑎12 𝑏1 𝐷3 = |𝑎21 𝑎22 𝑏2.
- 𝑎11 𝑀11 + 𝑏1 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 𝑎31 𝑎32 𝑏3.
- 𝑎22 𝑏2 𝑎 𝑏2 𝑎21 𝑎22 Dấu của 𝑀11 , 𝑀12 , 𝑀13 là.
- 9Bước 3: Tính nghiệm của hệ phương trình 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝑥1.
- Dùng phương pháp Gauss:Cho hệ phương trình có m phương trình, n ẩn: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2.
- 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2.
- 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 (𝐼) 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2.
- 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚Gọi 𝐴 là ma trận hê số, 𝐴𝐵 là ma trận hệ số mở rộng: 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2 𝐴 = 𝑎31 𝑎32 ⋯ 𝑎3𝑛 .
- 𝐴𝐵 = 𝑎31 𝑎32 ⋯ 𝑎3𝑛 | 𝑏3.
- [𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ] 𝑎 [ 𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 ]Dùng các phép điến đổi sơ cấp trên dòng, đưa 𝐴𝐵 về dạng ma trận bậc thang 𝐴′𝐵 𝛼11 𝛼12 𝛼13 ⋯ 𝛼1𝑘 ⋯ 𝛼1𝑛 𝑑1 0 𝛼22 𝛼23 ⋯ 𝛼2𝑘 ⋯ 𝛼2𝑛 𝑑2 0 0 𝛼33 ⋯ 𝛼3𝑘 ⋯ 𝛼3𝑛 | 𝑑3 𝐴′𝐵.
- Mô hình Input – Output Mở Leontief:Mô hình này xác định đầu ra của mỗi ngành trong n ngành sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu của nềnkinh tế đó.Cho: 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴.
- 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛A là ma trận hệ số đầu vào.𝒂𝒊𝒋 là giá trị của lượng nguyên liệu mà ngành j nhận được từ ngành i để sản xuất ra một lượng sản phẩm có giá trị1 đơn vị tiền.Vd:𝑎23 = 0.6 nghĩa là ngành thứ 3 sẽ cần một lượng nguyên liệu trị giá là 0.6 từ ngành thứ 2 để sản xuất một lượngsản phẩm trị giá 1 đơn vị tiền.Ngành mở: là ngành cung cấp những đầu vào thiết yếu cho n ngành trên, thường kí hiệu là 𝑎0𝑗 (𝑗 = [1, 𝑛]) 𝑎0𝑗 = 1 − (𝑎1𝑗 + 𝑎2𝑗.
- (cái này đề cho).Khi đó ta có hpt: 𝑥1 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2.
- 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 + 𝑑1 𝑥2 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2.
- 𝑥𝑛 = 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2.
- 𝐷---Nếu đề không yêu cầu cụ thể, ta có thể giải hệ phương trình.
- 13Vd:Trong mô hình Input – Output mở có 3 ngành, xét ma trận hệ số đầu vào 𝐴 Tìm sản lượng của 3 ngành biết yêu cầu của ngành mở đối với 3 ngành là Giải:Ta có: (𝐼 − 𝐴).
- Ngành thứ i tiết kiệm nguyên vật liệu của n ngành:Cho ma trận hệ số đầu vào của 3 ngành 𝐴 Giả sử ngành 1 tiết kiệm được 20% nguyên vật liệu của 3 ngành, ngành 2 tiết kiệm được 50% nguyên vật liệu của3 ngành.
- Khi đó ma trận A là:Ngành j tiết kiệm k% nguyên liệu của n ngành thì lấy cột j nhân với (100.
- Sự thay đổi yêu cầu của ngành mở đối với ngành thứ i:Cho ma trận hệ số đầu vào của 3 ngành: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎 𝐴.
- 21 𝑎22 𝑎23 ] 𝑎31 𝑎32 𝑎33Xét các phép nhân ma trận sau: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 1 𝑎11 [𝑎21 𝑎22 𝑎23.
- 𝑐ộ𝑡 1 𝑐ủ𝑎 𝐴 𝑎31 𝑎32 𝑎33 0 𝑎31 𝑎11 𝑎12 𝑎13 0 𝑎12 [𝑎21 𝑎22 𝑎23.
- 𝑐ộ𝑡 2 𝑐ủ𝑎 𝐴 𝑎31 𝑎32 𝑎33 0 𝑎32 𝑎11 𝑎12 𝑎13 0 𝑎13 [𝑎21 𝑎22 𝑎23.
- 𝑐ộ𝑡 3 𝑐ủ𝑎 𝐴 𝑎31 𝑎32 𝑎33 1 𝑎33Giả sử: 𝑑1Ban đầu yêu cầu ngành mở của 3 ngành là: 𝐷 = [𝑑2 ] 𝑑3Sau đó: 𝑑1 + 1Ngành 1 tăng yêu cầu lên 1 đơn vị: 𝐷1

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt