- Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ. - rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo. - giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.. - Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.. - Trong chương trình Toán THCS các bài toán về cực trị trong hình học rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. - Trong khi đa số học sinh tại trường THCS Yên Lâm không có hứng thú với loại toán này, bởi hầu hết các em học sinh cảm thấy khó khăn khi gặp các bài toán cực trị trong hình học và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác.. - Vì vậy để giúp các em khắc phục được những khó khăn đó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán cực trị trong hình học".. - Các bài toán về cực trị trong hình học rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. - Các bài toán cực trị đã gắn toán học với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.. - Trong khi đa số học sinh tại trường THCS Yên Lâm không có hứng thú với loại toán này bởi lẽ, hầu hết các em học sinh cảm thấy khó khăn khi gặp các bài tập toán cực trị trong hình học và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác.. - trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì đa số học sinh không biết làm như thế nào.. - 1 - Dạng chung của bài toán cực trị hình học:. - “Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích…) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng:. - a) Bài toán về dựng hình.. - Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.. - Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.. - c) Bài toán về tính toán.. - Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h.. - Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.. - 2 - Hướng giải bài toán cực trị hình học:. - a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được:. - Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m. - b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được:. - Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m. - 3 - Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học:. - Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn (P không trùng với O). - Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.. - Như vậy trong tất cả các dây đi qua P, dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất.. - AB nhỏ nhất OH lớn nhất. - B III - Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học:. - b - Các ví dụ:. - Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.. - Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. - Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. - Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất.. - Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.. - Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A, I, K, M, C thẳng hàng.. - 3- Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn:. - (h.17) b - Các ví dụ:. - Ví dụ 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. - Xác định vị trí của cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn nhất.. - AC là dây của đường tròn (O), do đó AC lớn nhất khi AC là đường kính của. - Ví dụ 6: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn. - Xác định dây AB đi qua P sao cho OAB có giá trị lớn nhất.. - Xét tam giác cân OAB, góc ở đáy OAB lớn nhất. - góc ở đỉnh AOB nhỏ nhất.. - Góc AOB nhỏ nhất. - Cung AB nhỏ nhất. - dây AB nhỏ nhất Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất.. - max f = m với A = 0 b - Các ví dụ:. - Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.. - HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất.. - Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm, khi đó AE = 2 cm.. - Tính diện tích lớn nhất của tứ giác. - x + y không đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y + Dạng 4: Với x ≥ 0. - xy không đổi thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. - Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất.. - Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.. - S ADME lớn nhất ADME. - S lớn nhất Kẻ BK AC cắt MD ở H.. - Do S không đổi nên: BC nhỏ nhất tg 2. - nhỏ nhất 2. - nhỏ nhất. - nhỏ nhất BAC nhỏ nhất. - 90 0 ) KAM lớn nhất. - DAM nhỏ nhất. - x + y nhỏ nhất tg (x + y) nhỏ nhất Giả sử AB : BC = 1: m ( m>. - tg (x + y) nhỏ nhất 4m 1. - 5 5m nhỏ nhất Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:. - 5 5m m = 1 2 Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m = 1. - Do đó KAM lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1.. - a) Lớn nhất.. - b) Nhỏ nhất.. - Xác định vị trí các điểm D, E sao cho:. - a) DE có độ dài nhỏ nhất.. - b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất.. - a, Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE.. - b, Giá trị nhỏ nhất của diện tích MDE.. - Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất.. - Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất. - Tìm vị trí của I sao cho tổng IM 2 + IN 2 + IK 2 nhỏ nhất.. - Tìm vị trí của I sao cho tổng x 2 + y 2 + z 2 nhỏ nhất.. - Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.. - Tính độ dài nhỏ nhất của MN.. - Xác định vị trí của các tia đó để ABC có diện tích lớn nhất.. - Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất.. - b) Tìm vị trí của điểm D để tổng a b c. - y z nhỏ nhất.. - Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất.. - Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.. - Bài 15: Cho đường tròn (O;R). - Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O 1 ) và(O 2. - Sau khi áp dụng hướng dẫn học sinh giải bài tập toán cực trị trong hình học, thực tế các em dần dần chú trọng khi giải, không lúng túng, khó khăn như trước.. - Học sinh có hứng thú, tự tin hơn khi học Toán.. - Giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong hình học 9 có phương pháp hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết các bài tập có liên quan, kích thích được sự đam mê học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán cực trị nói riêng.. - Với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán cực trị trong hình học” tôi đã hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong hình học 9. - Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài toán cực trị trong hình học 9. - 2 – Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh Toán 8, 9 Nhà xuất bản Giáo dục.. - 4 Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng ở THCS Vũ Hữu Bình (chủ biên. - 5 Các bài toán cực trị hình học phẳng Nhà xuất bản TP.Hồ Chí Minh.