Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm không khí

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài này trình bày những phương trình liên hợp được phân tích dựa trên các phương trình đã được thừa nhận các điều kiện biên, điều kiện ban đầu đồng thời nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được mức độ tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm không khí

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG VƯƠNG TOÀN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01.01 Thái Nguyên - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG VƯƠNG TOÀN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 Cán bộ hướng dẫn: GS. TS Đặng Quang Á Thái Nguyên - 2015
LỜI CẢM ƠN Bằng tấm lòng thành kính, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng tới: - Thầy giáo, GS TS. Đặng Quang Á đã quan tâm, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình triển khai nghiên cứu đề tài và hoàn thành luận văn này. - Các thầy cô trong Khoa CNTT cùng toàn thể các cán bộ , nhân viên trường ĐH Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông - Đại Học Thái Nguyên, trung tâm học liệu của Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu khoa học, tạo thuận lợi các thủ tục hành chính, tài liệu cần thiết để tôi hoàn thành luận văn. - Ban Giám hiệu trường THCS Cộng Hòa, các thầy cô giáo trong tổ Khoa học Tự nhiên và anh em bè bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2015. Học viên Vương Toàn Dũng 1
Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 Mở đầu 3 1 Mô hình toán học của bài toán ô nhiễm khí quyển 7 1.1 Phương trình khuếch tán - truyền tải vật chất trong không khí và bài toán khuếch tán - truyền tải dừng . . . . . . . . . . . 8 1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán khuếch tán truyền tải dừng . 9 1.3 Nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán-truyền tải dừng trong trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Phương pháp số giải bài toán lan truyền khí thải 14 2.1 Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán ô nhiễm . . . . . 14 2.2 Giới thiệu sơ lược về phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Phương pháp sai phân giải bài toán khuếch tán - truyền tải . 27 2.3.1 Xây dựng lược đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Giải hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . 31 3 Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải trong không khí 35 3.1 Thiết kế chương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Đánh giá kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tài liệu tham khảo 50 2
Danh sách hình vẽ 2.1 Nghiệm số xấp xỉ trên lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π 2.2 Nghiệm chính xác (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 = . . . 18 6 2.3 Nghiệm số với h = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Nghiệm số với h = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Nghiệm số với h = 0.001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Sai số với h = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.7 Sai số với h = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.8 Sai số với h = 0.001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1 Giao diện chính của chương trình . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Nhập các dữ liệu của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Nhập hoàn chỉnh các dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Thực hiện tính nồng độ của chất gây ô nhiễm . . . . . . . . . 38 3.5 Các tùy chọn để lấy dữ liệu đầu ra . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6 Đường bình độ khi vận tốc gió u = 4 × (z + 0.2)0.15 . . . . . 45 3.7 Mặt phân bố nồng độ x và z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8 Phân bố nồng độ khí thải theo x thì cố định z . . . . . . . . 46 3.9 Phân bố nồng độ khí thải theo z tại x = jhx . . . . . . . . . 46 3
Mở đầu Ngày nay thế giới nói chung và Việt nam nói riêng đang phải đối mặt với một thực tế là môi trường không khí, nước và đất ngày càng bị ô nhiễm nghiêm trọng. Với sự công nghiệp hóa ngày càng cao nhiều nhà máy, xí nghiệp được mọc lên và đi vào hoạt động đã và đang thải ra môi trường nhiều chất độc hại ảnh hưởng trực tiếp đến sức khỏe con người và hủy hoại môi trường sinh thái. Vì thế việc tính toán dự báo mức độ ô nhiễm môi trường là vô cùng quan trọng trong quy hoạch phát triển các xí nghiệp công nghiệp. Để làm việc này cần nghiên cứu mô hình toán học của bài toán lan truyền khí thải trong môi trường khí, phương pháp giải bài toán này và xây dựng chương trình tính toán các kịch bản có thể xảy ra phục vụ cho thẩm định môi trường trong các dự án đầu tư phát triển các khu công nghiệp. Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm môi trường có nhiều ứng dụng trong trong thực tế. Chẳng hạn, đó là những bài toán về cơ học lượng tử, năng lượng hạt nhân, hóa học và một số bài toán trong các lĩnh vực khác. Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các bài toán liên quan đến môi trường và khí hậu. Sự tác động qua lại của các phần tử khí trong môi trường chính là trọng tâm cần nghiên cứu mang tính khoa học và thực tiễn cao vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống của trái đất. Trong môi trường không khí, khí quyển, các thành phần khí cũng như các thành phần khác được pha trộn lẫn nhau (theo một tỷ lệ nào đó) dưới tác động của gió và hiện tượng khuếch tán trong môi trường. Khí thải công nghiệp là tác nhân lớn nhất gây ô nhiễm không khí. Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lò hạt nhân, núi lửa . . . ) được lan truyền, khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau dưới sự ảnh hưởng của nhiệt độ và độ ẩm tạo thành một hợp chất phức tạp, gọi chung là hợp chất khí. Trong quá trình chuyển động các thành phần của hợp 4
chất khí tác động với nhau, một số thành phần đang từ không độc hại trở thành độc hại đối với đời sống sinh vật. Quá trình này dẫn đến ô nhiễm các lục địa và đại dương. Để giải quyết được vấn đề đó ta cần biết được những quá trình lan truyền và khuếch tán ác thực thể nhiễm bẩn trong môi trường vì khi di chuyển chúng sẽ không biến thành những thành phần có hại và ngược lại. Đó là vấn đề rất đáng quan tâm. Vì thế giới không ngừng hoàn thiện, bên cạnh đó là nền công nghiệp phát triển. Chính vì vậy, để bảo vệ môi trường chúng ta phải điều chỉnh những tiềm năng sẵn có trong thiên nhiên để ít bị mất đi, mà còn nâng cao nó, cải thiện môi trường. Tuy nhiên, đòi hỏi một lượng kinh phí rất lớn, cần sự chung tay, góp sức của cả quốc gia và sự quan tâm của nhân loại. Nội dung của đề tài này, chúng tôi trình bày những phương trình liên hợp được phân tích dựa trên các phương trình đã được thừa nhận các điều kiện biên, điều kiện ban đầu đồng thời nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được mức độ tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ. Phần trình bày của luận văn gồm có 03 chương, cụ thể Chương 1: Mô hình toán học của bài toán ô nhiễm Nội dung là phân tích mô hình toán học của bài toán ô nhiễm không khí. Phương trình khuếch toán-truyền trải vật chất trong khí quyển, bài toán khuếch tán-truyền tải dừng, nghiệm giải tích trong trường hợp riêng Chương 2: Phương pháp số giải bài toán lan truyền khí thải. Nội dung của chương này trình bày một số phương pháp khác nhau giải bài toán ô nhiễm. Trong đó, luận văn tập trung chính vào phương pháp sai phân giải bài toán khuếch tán - truyền tải. Lược đồ sai phân cho bài toán khuếch tán - truyền tải được xây dựng. Đồng thời phương pháp giải hệ phương trình sai phân thu được từ được từ việc rời rạc hóa phương trình sai phân được đưa ra. Chương 3: Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải trong không khí. Trong chương này, xây dựng phương pháp giải các bài toán đã đặt ra 5
ở Chương 1. Do độ phức tạp của phương trình, với những giả thiết về điều kiện biên, giá trị ban đầu chặt chẽ người ta mới nhận được nghiệm chính xác của bài toán. Thực tế cho thấy các bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn. Do đó, việc tìm các phương pháp giải số cho lớp các bài toán trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được sử dụng. Luận văn trình bày phương pháp sai phân của bài toán khuếch tán đặt ta ở Chương 1 bằng toán tử sai phân với độ chính xác cấp hai theo các biến không gian và thoả mãn tính không âm. Trong luận văn này các lược đồ sai phân giải bài toán ô nhiễm môi trường được cài đặt bằng ngôn ngữ MatLab trên máy tính PC. 6
Chương 1 Mô hình toán học của bài toán ô nhiễm khí quyển Môi trường, các trạng thái của nó và vấn đề ô nhiễm từ lâu đã trở thành vấn đề trọng tâm nghiên cứu của các nhà khoa học. Các chất thải công nghiệp với các thành phần nhiễm bẩn được thải vào khí quyển và đại dương gây tác động xấu đến môi trường không khí, môi trường nước, đất và môi trường sinh thái của các vùng công nghiệp lớn. Điều này đã làm tăng nồng độ cacbondioxit và các thành phần khác trong khí quyển. Những thay đổi của quá trình sinh thái được biểu hiện rõ nét ở những khu công nghiệp lớn như ”mưa a - xít” . . . Sự lan truyền các thực thể nhiễm bẩn trong khí quyển là do các luồng gió và sự chuyển động rối. Dòng chảy trung bình của các thực thể vật chất ấy được trung bình hoá và được xem như là hiện tượng khuếch tán trên nền chuyển động trung bình. Ta sẽ xét các mô hình toán học khác nhau của sự truyền tải và khuếch tán vật chất trong môi trường lỏng và môi trường khí. Bài toán 1. Cho một nguồn phát thải với công suất f , cho trường gió với vận tốc → − u = u, v, ω . Giả sử hệ số khuếch tán theo phương nằm ngang là µ, hệ số khuếch tán theo phương thẳng đứng là ν . Ta cần xác định nồng độ khí thải tại điểm (x, y, z) tại thời điểm t , ký hiệu là ϕ(x, y, z, t). Các kết quả của phần này dựa trên kết quả của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược (xem [8]). 7
1.1 Phương trình khuếch tán - truyền tải vật chất trong không khí và bài toán khuếch tán - truyền tải dừng Trong mục này chúng ta giới thiệu về bài toán khuếch tán - truyền tải vật chất trong không khí và bài toán khuếch tán - truyền tải dừng. Như chúng ta đã biết, quá trình khuếch tán - truyền tải các chất gây ô nhiễm trong khí quyển có thể được mô tả bằng phương trình đạo hàm riêng có dạng (xem [8]) ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ +u +v + (ω − ωg ) − µ∆ϕ − ν + σϕ = f, (1.1) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z trong đó • ϕ là nồng độ của chất gây ô nhiễm. • u, v, ω là các thành phần của vận tốc gió. • f là công suất của nguồn phát thải. • ωg = const là vận tốc rơi của chất gây ô nhiễm bởi trọng lực. • σ = const ≥ 0 là hệ số biến đổi của chất gây ô nhiễm, ν, µ là các hệ số khuếch tán. ∂2 ∂2 • ∆ = 2 + 2 là toán tử Laplace. ∂x ∂y Phương trình (1.1) là cực kỳ phức tạp. Không có hi vọng tìm được nghiệm chính xác. Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản (được chấp nhận trong thực tế) chúng ta có thể tìm được nghiệm giải tích của (1.1) (xem [8]). Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong mục 1.3 cuối chương này. Bây giờ, chúng ta xét bài toán khuếch tán - truyền tải (1.1) với các giả thiết 1. Nguồn phát thải có công suất phát thải không đổi Q và tập trung tại một điểm. Tức là f = Qδ(x)δ(y)δ(z − z0 ), trong đó δ là ký hiệu của hàm Dirac. 2. Quá trình lan truyền đã ổn định (tức là không còn phụ thuộc thời gian) ∂ϕ = 0. ∂t 8
3. Hướng gió trùng với trục Ox và tốc độ gió chỉ phụ thuộc vào độ cao, u = u(z) > 0, v = ω = 0. Với các giả thiết (i), (ii), (iii) như trên, hệ số khuếch tán theo hướng của trục Ox có thể được bỏ qua. Vì thế, phương trình (1.1) có thể đưa về dạng ∂ϕ ∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ϕ ∂ϕ u − ωg −µ 2 − ν + σϕ = Qδ(x)δ(y)δ(z − z0 ). (1.2) ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z Bài toán (1.2) được gọi là bài toán khuếch tán - truyền tải dừng. Cùng với phương trình (1.2), chúng ta xét điều kiện biên sau: ϕ = 0, x, y → ±∞, (1.3) ϕ = 0, z → +∞, (1.4) ∂ϕ = αϕ, z = 0. (1.5) ∂z Trong đó, α = const ≥ 0 là hệ số đặc trưng cho sự phản xạ và hấp thụ của bề mặt đáy. Trong phần tiếp theo chúng ta trình bày một số kết quả định tính liên quan đến nghiệm của bài toán khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5). Cụ thể, đó là sự tồn tại nghiệm và một cách biểu diễn nghiệm bài toán (1.2) - (1.5) thông qua nghiệm của bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình parabolic. 1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán khuếch tán truyền tải dừng Đầu tiên, chúng ta ký hiệu D+ = (x, y, z), z ≥ 0 , H = H 1 (D+ ). Định lý sau đây của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược (xem [8]) chỉ ra rằng trong lớp H bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) có không quá một nghiệm. Định lý 1.1. Trong lớp H bài toán bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) có không quá một nghiệm. 9
Chứng minh. Giả sử rằng bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) có hai nghiệm ϕ1 , ϕ2 ∈ H . Chúng ta sẽ chỉ ra ϕ1 − ϕ2 ≡ 0. Thật vậy, đặt ψ = ϕ1 − ϕ2 , . Khi đó ψ thỏa mãn phương trình thuần nhất: ∂ψ ∂ψ ∂ 2ψ ∂ ∂ψ u − ωg −µ 2 − ν + σψ = 0, (1.6) ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z với các điều kiện biên (1.3) - (1.5). Nhân phương trình (1.6) với ψ , sau đó thực hiện lấy tích phân trong miền ta thu được. Z+∞ Z Z Z+∞ ψ 2 (x, y, 0) ∞ ∂ψ 2 Z ωg dxdy+ dxdy µ( ) dz + 2 0 ∂y −∞ −∞ Z+∞ Z Z+∞ Z ∂ψ +∞ ∂ψ 2 Z ν(0) (ψ ) |z=0 dxdy + dxdy ν( ) dz (1.7) ∂z 0 ∂z −∞ −∞ Z+∞ Z Z +∞ +σ dxdy ψ 2 dz = 0. 0 −∞ Từ (1.5) ta thu được Z+∞Z Z+∞ Z ∂ψ (ψ ) |z=0 dxdy = α ψ 2 (x, y, 0)dxdy. (1.8) −∞ ∂z −∞ Kết hợp (1.7) và (1.8) ta thu được ψ ≡ 0. Từ đó, Định lý được chứng minh. Bây giờ ta xét bài toán dưới đây ∂ ϕ˜ ∂ ϕ˜ ∂ 2 ϕ˜ ∂ ∂ ϕ˜ u − ωg −µ 2 − ν + σ ϕ˜ = 0, x > 0, (1.9) ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z uϕ˜ = Qδ(y)δ(z − z0 ), x=0 (1.10) ϕ˜ = 0, y → ±∞, (1.11) ϕ˜ = 0, z → +∞, (1.12) ∂ ϕ˜ = αϕ, ˜ z = 0. (1.13) ∂z 10
Bài toán (1.9) - (1.13) là bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình parabolic. Giả sử ϕ˜ là nghiệm của bài toán này. Ta đặt  ϕ(x, ˜ y, z), x ≥ 0, ψ(x, y, z) = (1.14) 0, x < 0.  Kết quả sau đây của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược([8]) chỉ ra rằng hàm ψ xác định bởi (1.14) là một nghiệm của bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5). Định lý 1.2. Hàm số ψ xác định bởi (1.14) là một nghiệm của bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5). Chứng minh. Xem [8]. Tiếp theo, chúng ta xem xét bài toán (1.9) - (1.13) dưới giả thiết µ = k0 u, k0 = const > 0. (1.15) Giả thiết (1.15) được đề xuất bởi các nhà vật lý, giả thiết này phù hợp với các điều kiện trong thực tế (xem [9]). Kết quả sau đây của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược ([8]) cho ta một cách biểu diễn nghiệm của bài toán (1.9) - (1.13). Định lý 1.3. Nếu u = u(z), ν = ν(z) và µ thỏa mãn (1.15) thì nghiệm của bài toán (1.9) - (1.13) có thể biển diễn dưới dạng ϕ(x, ˜ y, z) = ϕ(x, ¯ z).P (x, y), (1.16) trong đó 1 −y 2 P (x, y) = √ e (4k0 x) , (1.17) 2 πk0 x và ϕ(x, ¯ z) là nghiệm của bài toán ∂ ϕ¯ ∂ ϕ¯ ∂ ∂ ϕ¯ u − ωg − ν + σ ϕ, ¯ x>0 (1.18) ∂x ∂z ∂z ∂z uϕ¯ = Qδ(z − z0 ), x = 0, (1.19) ϕ¯ = 0, z → ∞, (1.20) ∂ ϕ¯ = αϕ, ¯ z = 0. (1.21) ∂z 11
Định lý 1.2 và 1.3 cho ta một cách biểu diễn nghiệm của bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) thông qua nghiệm của bài toán biên giá trị đầu cho phương trình parabolic (bài toán (1.9) - (1.13) và bài toán (1.18) - (1.21)). Trong phần cuối của chương này ta sẽ đưa ra biểu thức nghiệm giải tích (chính xác) cho bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong trường hợp cụ thể. 1.3 Nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán-truyền tải dừng trong trường hợp riêng Như ta đã phân tích trước đó, bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) là cực kỳ phức tạp, không có hi vọng tìm được nghiệm chính xác trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, trong trường hợp riêng xét ở mục này chúng ta sẽ đưa ra được biểu thức giải tích cho nghiệm của bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5). Đối với các chất gây ô nhiễm bảo toàn các dạng khí và các hạt mịn (gaseous and fine - particle conservative pollutants) (ωg = σ = 0) ta có thể biết một nghiệm giải tích của bài toán (1.18) - (1.21) khi u(z) và ν(z) là các hàm công ∂ϕ suất trong các trường hợp α = 0 (tương ứng với điều kiện biên = 0) và ∂z α = ∞ (tương ứng với trường hợp ϕ = 0). Ở đây, ta xét trường hợp tổng quát với α ≥ 0. Nhưng bên cạnh giả thiết ωg = σ = 0 ta giả sử thêm rằng u = const > 0, ν = const > 0. Trong kết quả của mình, Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược chỉ rằng (xem [8]): Định lý 1.4. Nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) Đối với các chất gây ô nhiễm bảo toàn các dạng khí và các hạt mịn trong trường hợp khi u = const > 0, µ = const > 0, ν = const > 0 là −uy 2 −a2 (z+z0 ) −a2 (z−z0 )  Q 1    ϕ(x, y, z) = 4 πνµx e √ 4µx { πx (e √ 4x + e 4x ) a2 x √   − 2α e a2 +a(z+z  a(z+z √ 0 ) + a x )}, 0 ) erf c( x>0 a 2 x a (1.22)       ϕ(x, y, z) = 0, x < 0,  12
trong đó ∞ 2 Z 2 erf c(x) = √ e−u du. π x Chứng minh. Xem [8]. Định lý 1.4 cho ta công thức nghiệm giải tích của bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong trường hợp riêng. Thực tế cho thấy các bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn. Nói chung, không thể xác định được nghiệm giải tích của bài toán. Do đó, việc tìm các phương pháp giải gần đúng bài toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) là thực sự quan trọng và cần thiết. Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ trình bày về phương pháp sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho phương trình khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trong các trường hợp tổng quát hơn. 13
Chương 2 Phương pháp số giải bài toán lan truyền khí thải 2.1 Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán ô nhiễm Trong thời kỳ đầu của sự phát triển về khoa học môi trường, đối với việc tính toán khuếch tán chất gây ô nhiễm từ các nguồn điểm trên cao (ống khói, ống xả khí), có thể kể đến một vài công thức tính toán khuếch tán được áp dụng trong thực tế như công thức của Sutton (1947), công thức của Bosanquet và Pearson (1936). Trong thời kỳ này, các công thức của Sutton và Bosanquet và Pearson được áp dụng rộng rãi để đánh giá phân bố nồng độ của chất gây ô nhiễm xuôi theo chiều gió của nguồn điểm liên tục (nguồn hoạt động liên tục) . Các công thức này được đề xuất dựa trên cơ sở lý thuyết khuếch tán của Taylor G. I (1915) và Shmidt W (1917) (xem [2], Chương 3). Ngoài ra, còn có thể kể đến một số công thức khác như công thức xác định phân bố nồng độ chất gây ô nhiễm theo luật phân bố chuẩn Gaus hay công thức của Berliand và cộng sự (xem [2], Chương 3 ). Các công thức này được đề xuất dựa trên cơ sở lý thuyết khuếch tán của Taylor G. I (1915) và Shmidt W (1917) kết hợp với phương trình khuếch tán chất gây ô nhiễm (dạng khí và dạng lơ lửng). Dưới góc độ của toán học thì việc xác định nồng độ của chất gây ô nhiễm trong không khí thực chất là việc giải phương trình đạo hàm riêng khuếch tán - truyền tải (1.2). Như chúng ta đã biết thì các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thủy động lực, đàn dẻo, cơ học, lượng tử, chất lỏng, điện - từ trường . . . Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng. Chỉ có 14
một lớp phương trình rất hẹp là có thể tìm được nghiệm giải tích trong một số trường hợp đặc biệt. Chẳng hạn, phương trình khuếch tán - truyền tải dừng ta xét trong Chương 1 là một ví dụ. Chính vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học lý thuyết nói chung và toán học tính toán nói riêng. Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều các phương pháp giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng. Có thể kể đến hai lớp phương pháp truyền thống, được sử dụng phổ biến và rộng rãi trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phương pháp sai phân hay còn gọi là phương pháp lưới và phương pháp phần tử hữu hạn. Nhìn chung, cả hai phương pháp này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng khác nhau tùy theo các lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau. Có thể đối với nhiều phương trình đạo hàm riêng thì phương pháp sai phân có có ưu thế hơn so với phương pháp phần tử hữu và ngược lại. Đối với bài toán ô nhiễm khí quyển nói riêng thì cả hai lớp phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân đều đã được xây dựng. Cụ thể, trong luận án tiến sĩ của Supot Witayangkurn năm 2002 (xem [12]), tác giả đã xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn cho các bài toán ô nhiễm không khí. Trước đó, năm 1994 trong kết quả của Đặng Quang Á, Ngô Văn lược (xem [7]), các tác giả đã xây dựng phương pháp sai phân cho bài toán ô nhiễm khí quyển dừng. Trong khuôn khổ của luận văn ta không xét đến phương pháp phần tử hữu hạn mà chỉ xét đến phương pháp sai phân cho bài toán ô nhiễm khí quyển. Phần trình bày này dựa trên kết quả của Đặng Quang Á và Ngô Văn Lược (xem [7]). Trong phần tiếp theo, trước khi trình bày về phương pháp sai phân giải phương trình truyền tải - khuếch tán dừng, chúng ta sẽ trình bày một cách sơ lược về phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng. 15
2.2 Giới thiệu sơ lược về phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng Ý tưởng chính của các phương pháp sai phân là rời rạc hóa các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân bằng các công thức sai phân và thay thế các hàm số (liên tục) xuất hiện trong phương trình bằng các hàm số rời rạc xác định trên các nút lưới. Khi đó, bài toán vi phân được rời rạc hóa thành bài toán sai phân. Việc tìm nghiệm số gần đúng lúc này dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Việc nghiên cứu các phương pháp giải các hệ đại số tuyến tính nhận được từ việc rời rạc hóa các phương trình đạo hàm riêng cũng là một vấn đề quan trọng được các nhà toán học hết sức quan tâm ([10], [11]). Để minh họa cho việc sử dụng phương pháp sai phân giải các phương trình đạo hàm riêng ta xét hai ví dụ đơn giản sau đây. Ví dụ 2.1. Xét bài toán vi phân đơn giản: Tìm hàm u(x) xác định trên đoạn [0, 1] thỏa mãn phương trình vi phân −u00 (x) = f (x), 0 < x < 1, (2.1) với các điều kiện biên u(0) = µ0 , u(1) = µ1 . (2.2) Bài toán (2.1) - (2.2) được gọi là bài toán biên hai điểm đối với phương trình vi phân cấp hai. Các kết quả liên quan tới sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính chất của nghiệm của bài toán (2.1) - (2.2) được trình bày trong tất cả các giáo trình về phương trình vi phân. Trong ví dụ này ta giả sử bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất xác định trên đoạn [0, 1]. Để giải gần đúng hay cụ thể hơn là tìm nghiệm số của bài toán (2.1) - (2.2), đầu tiên ta rời rạc hóa trục thời gian bằng phân hoạch (không nhất thiết đều) π = {0 = x0 < x1 < x2 < . . . xk < xk+1 < . . . < xN = 1}. Các giá trị hn = xn+1 − xn được gọi là bước lưới. Để đơn giản ta xét bước đều, tức là hn = hn+1 = h với mọi n = 1, N − 1. Chúng ta xẽ tìm cách xây 16
dựng các giá trị xấp xỉ vn ≈ u(xn ) ≡ un tại các nút lưới t0 , t1 , . . . TN . Ta n=N gọi các giá trị vn n=0 nghiệm số xấp xỉ, hay ngắn gọn là nghiệm số của phương pháp trên lưới π . v0 vk ≈ u(xk ) vk+2 ≈ u(xk+2) vN x0 xk xk+1 xN xk+2 Hình 2.1: Nghiệm số xấp xỉ trên lưới Với mục tiêu này xuất phát từ phương trình vi phân (2.1) ta có −u00 (xi ) = f (xi ), i = 1, N − 1. (2.3) Bây giờ, ta xấp xỉ u00 (xi ) bằng các công thức sai phân. Chẳng hạn, ta sử dụng công thức sai phân sau để xấp xỉ đạo hàm cấp hai ([1], [3], [10]) u(xi−1 ) − 2u(xi ) + u(xi+1 ) u00 (xi ) ≈ , h2 ký hiệu ui = u(xi ) thì ta có ui−1 − 2ui + ui+1 u00 (xi ) ≈ . h2 Khi đó, từ (2.3) ta nhận được hệ phương trình sai phân sau  u −2u +u − i−1 h2i i+1 ≈ f (xi ), i = 1, N − 1, (2.4) u0 = u(x0 ) = µ0 , uN = u(xN ) = µ1 .  Ký hiệu vi ≈ ui , fi = f (xi ) ta có hệ phương trình đại số tuyến tính xác định vi  v −2v +v − i−1 h2i i+1 = fi , i = 1, N − 1 (2.5) v0 = µ0 , v N = µ1  Hệ phương trình sai phân (2.5) được gọi là lược đồ sai phân cho bài toán (2.1) - (2.2). Ta chú ý rằng hệ (2.5) là hệ phương trình đại số tuyến tính dạng ba đường chéo ([1]). 17
Chúng ta xét bài toán (2.1) - (2.2) trong trường hợp cụ thể với hàm π f (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 = . 6 Khi đó bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm chính xác x3 sin πx u(x) = − . 6 π2 Nghiệm chính xác của bài toán trong trường hợp này được biểu diễn trong hình 2.2 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 π Hình 2.2: Nghiệm chính xác (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 = 6 Ta viết lại lược đồ sai phân (2.5) cho bài toán dưới dạng  −vi−1 + 2vi − vi+1 = h2 fi , i = 1, N − 1, (2.6) v0 = µ0 , vn = µ1 .  Ta cần xác định v1 , . . . , vN −1 từ (2.6). Hệ (2.6) được viết trong dạng tường minh 18