Tài Liệu Ôn Thi Máy Tính Cầm Tay

Chuyên đề 1.
XỬ LÝ SỐ TRÀN MÀN HÌNH

I. Các bài toán điển hình
Bài 1. 1. Tính chính xác giá trị sau: A  3333344444  55555
Định hƣớng: Nếu nhập trực tiếp trên máy
Ta đƣợc kếtquả tràn màn hình. Kết quả này gần đúng , chƣa chính xác. Do đó ta
phải tính kết hợp trên MTĐT và giấy( sử dụng tính chất phân phối của phép nhân
với phép cộng)
Giải
Cách 1.
Ta có : A  3333344444  55555   33333.105  44444 .55555
 33333.55555.105  44444.55555
Ta tính B  33333.55555.105  1851814815.105  185181481500000 ,
C  44444.55555  2469086420
B 1 8 5 1 8 1 4 8 1 5 0 0 0 0 0
C 2 4 6 9 0 8 6 4 2 0
A 1 8 5 1 8 3 9 5 0 5 8 6 4 2 0
Vậy A  185183950586420
Cách 2. Tính trực tiếp: 3333344444.55555  1.851839506.1014
Để tìm các số ẩn phía sau ta bấm Mp1,85183950. 1014 đƣợc 586420
Thử lại 44444.55555 , để tìm ba chữ số cuối
Bài 1. 2. Tính chính xác B  1234567892
Giải
Ta có B  1234567892  12345.104  6789 
2
 123452.108  2.12345.6789.10 4  6789 2

Tính kết hợp trên giấy ta đƣợc: B  15241578750190521
Bài1. 3. Tính kết quả đúng của tích sau: M = 2222255555 .22222666666
Giải
Đặt: A = 22222, B = 55555, C = 66666
Ta có: M   A.105  B  A.105  C   A2 .1010  AC.105  AB.105  BC
Tính trên máy:
A2  493817284; AC  1481451852; AB  1234543210; BC  3703629630
Tính trên giấy:
A2.1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB.105 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0
5
AC.10 1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0
TÀI LIỆU ÔN THI MÁY TÍNH CẦM TAY
BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0
M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0
Kết quả: M = 493844444320829630
Bài1. 4. Tính E  820
Hƣớng dẫn
Ta có E  8  8  8  1073741824.1073741824
20 10 10
Tính kết hợp trên giấy : E  1152921504606846976

9,87 2.6,543 : 3, 214
Bài 1. 5. Tính chính xác giá trị biểu thức sau : P  7
1  3 5   7 9  
5 6
       
11  13 17   19 23  
Giải
Tính: 9,87 .6,54 : 3,21 Qj(STO) A
2 3 4
7
1  3 5   7 9  
5 6
Tính:          B
11  13 17   19 23  
A
Tính , đƣợc kết quả gần đúng : 1,771903528.1013
B
Xử lý tràn ta đƣợc P  17719035279466
2
 1012  2 
Bài 1. 6. Tính chính xác : A   
 3 
Giải
Dùng MTĐT, tính một số kết quả
2 2
102  2  102  2  103  2  103  2 
 34     1156 ,  334     111556
3  3  3  3 
2
104  2  104  2 
 3334     1115556
3  3 
Nhận xét :
10k  2
là số nguyên có  k  1 chữ số 3 và tận cùng bằng 4
3
2
 10k  2 
  là số nguyên gồm k chữ số 1,  k  1 chữ số 5 và tận cùng bằng 6
 3 
Vậy : A  111111111111555555555556
Bài 1. 7. Tính chính xác giá trị sau: Q  10234563
Hƣớng dẫn
-2-
Ta có : Q  10234563  1023.103  456 
3
 10233.109  3.10232.106.456  3.1023.10 3.456 2  456 3

Tính kết hợp trên giấy Q  1072031456922402816
II. Bài tập thực hành theo chủ đề
1.10. Tính kết quả đúng A  2.2.2.2......2 ( có 60 chữ số 2)
1.11.Tính B  9999999993
1.12.Tính chính xác giá trị sau:

P  13032006.13032007; Q  3333355555.3333377777
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử cấp khu vực : 2007-2008)
1.13. Tính tổng sau: S  1.1! 2.2! 3.3! ...  15.15! 16.16!
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử huyện Phú Tân – AG,2011-2012)
1.14. Tính tổng các chữ số của số sau: 9999999982
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử tỉnh Cà Mau,2008-2009)
1.15. Tính tổng các chữ số của số sau: 437
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử TP HCM ,2010-2011)
1.16. Tính tích các số sau:
B  26031931.26032010; C  2632655555. 2632699999
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử cấp khu vực : 2009-2010)
1.17. Tính E  20013  20023  20043  20053  20063  20073  20083  20093
23!
1.18. Tính N 
12!.17!
1.19. Tính chính xác tích sau: F  12345673
Chuyên đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
I. Cơ sở lý thuyết
Yêu cầu nắm vững :
- Biết sử dụng chức năng:
- Cách nhập biểu thức vào màn hình

- Chức năng CALC, tính giá trị biểu thức
- Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình
-3-
- Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số
Ví dụ: Biểu diễn các số sau sang phân số
a) 0, 123
b) 3,15  321
Giải
a) Đặt a  0, 123 . Ta có 1000a  123, 123  123  0, 123  123  a
123 41
Suy ra 999a  123  a  
999 333
b) Đặt a  3.15 321 . Ta có 100000a  315321,  321 (1)
100a  315,  321 (2)
315006 52501
Lấy (1) trừ (2) ta có 999000a  315006  a  
999000 16650
II. Các dạng toán điển hình
Dạng 1. Tính gía trị biểu thức theo điều kiện của biến
Bài 2.1. Tính giá trị biểu thức( làm tròn kết quả 5 chữ số thập phân)
1 1 y3  x  2014x  215y  2016

A   biết 
y 1  x x2 1  y x 1  2011x  2016y  2008

Hƣớng dẫn
- Dùng máy tính giải hệ phƣơng trình:
 2014x  215y  2016
  x  33,63457  X
 
 2011x  2016y  2008
  y  34,54718  Y
1 1 Y3  X
- Ghi biểu thức vào màn hình:  
Y 1  X X2  1  Y X 1
- Ấn r = ta đƣợc kết quả: A  97,....
Bài 2. 2. Tính giá trị biểu thức B  x  2y  3x  4y  5x  6y  7x

 x  2016y  2031
biết 
 y  205x  1023
Hƣớng dẫn
- Tính tƣơng tự bài 1
- Kết quả: B  2,73843
Bài 2. 3. Tính giá trị gần đúng của biểu thức (lấy kết quả hiển thị trên màn hình)
x 4  x 8  x12  x16  x 20  x 24  x 28  1
C 3 tại x  2015
x  x 7  x11  x15  x19  x 23  x 27  x 31
Hƣớng dẫn
-4-
Ta có:
x 4  x 8  x12  x16  x 20  x 24  x 28  1 x 4  x 8  x12  x16  x 20  x 24  x 28  1

x 3  x 7  x11  x15  x19  x 23  x 27  x 31 x 3  x 4  x 8  x12  x16  x 20  x 24  x 28  1
1

x3
Ấn r, nhập 2015 =, ta đƣợc kết quả C  1,22229166.1010
a10  b 20  c30
Bài 2. 4. Tính giá trị biểu thức D  , khi a  190; b  205; c  2160
abc
Hƣớng dẫn
A10  B20  C30
- Ghi biểu thức vào màn hình:
ABC
- Ấn r nhập 190 = 205= 2610 = =, ta đƣợc kết quả cần tìm : D 
 x   1 2 x 
Bài 2.5. Tính giá trị biểu thức P  1  :   với
 x  1   x 1 x x  x  x 1 
x  143,08
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử toàn quốc : 2007-2008)
Hƣớng dẫn
- Cách 1. Tính trực tiếp
+ Gán 143,08  X
 X   1 2 X 
+ Ghi biểu thức : 1  :   ấn =, ta đƣợc kết
 X  1   X 1 X X  X  X 1 
quả P  14,23528779
- Cách 2. Rút gọn sau đó thay x  143,08 rồi thực hiện phép tính
 3x  2y x  16y  x 4  16y 4 
Bài 2. 6. Tính giá trị biểu thức B   3  2  
 x  4y 2
9x  6xy  4y 2  x 2  4y 2 
khi x  1,234; y  3,456
( Đề thi MTCT tỉnh Thừa Thiên- Huế 2006)
Hƣớng dẫn
Kết quả : B  33,03283776
Bài 2. 7. Tính giá trị các biểu thức sau:
x( x 2  5 y 2  7)  z 4  8 9 7
a) A  2 khi x  , y   ,z  3 .
x (3 y  5 z  4)  2 x( y 3 z 2  4)  2 y 2  z  6 4 2
 27 y 3  36 xy 2 24 xy 2x   9 y 2  12 xy 
b) B      
4 x 2  4 xy  9 y 2 2 x  3 y   2 x  3 y 
2 x
 8 x  27 y
3 3
Khi x  12,13; y  13,12 .

Hƣớng dẫn
-5-
a) A 
b) B 
x98  x97  x96  ...  x  1
Bài 2.8. : Tính giá trị của biểu thức A  khi x  2
x32  x31  x30  ...  x  1
Hƣớng dẫn
Ta có:
x98  x97  x96  ...  x  1  x  1  x  x  x  ...  x  1 x99  1  x  1 x  x  1
98 97 96 33 66 33
  
x32  x31  x30  ...  x  1  x  1  x32  x31  x30  ...  x  1 x33  1 x33  1
 x 66  x33  1
Thay x  2 , ta đƣợc A  266  233  1
Tính kết hợp trên giấy ta đƣợc kết quả: A  73786976303428141057

a a  b
Bài 2. 9. Cho biểu thức Q   1  : với a > b > 0.
a b 
2 2
a  b  a  a 2  b2
2 2
1 1
Tính giá trị của biểu thức Q khi a  , b .
7 5 7 5
Hƣớng dẫn
Bài 2.10. Tính giá trị biểu thức :
1 1 1 1
Q    ...  khi
x  x 1 x 1  x  2 x2  x3 x  2010  x  2011
x  2012 2013
Hƣớng dẫn
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức hữu tỉ, số thực

Bài 2.11. Tính giá trị mỗi biểu thức sau
a) B  2  3 3 4  5 5 6  7 7 8  9 9 10  1111 12
1 1 1 1
b) C     .... 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2011.2012.2013.2014
Hƣớng dẫn
a)
10+11O11q^12=
8+9O9q^M=
6+7O7q^M=
4+5O5q^M=
2+3O3q^M=
sM=
Vậy B  3,002658374
-6-
1 1 1 1
b) Ta có C     .... 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2011.2012.2013.2014
1 1 1 1 1 1 1 1 1 
        ...  
2 1.4 2.3 2.5 3.4 3.6 4.5 2011.2014 2012.2013 
1  1 1 1 1 1   1 1 1 
      ...       ...  
2  1.4 2.5 3.6 4.7 2011.2014   2.3 3.4 2012.2013  
1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 
         ....          ...   
2 3 1 4 2 5 3 6 2011 2014   2 3 3 4 2012 2013  
1 1 1 1 1 1 1  11 1 
          
6  1 2 3 2012 2013 2014  2  2 2013 
Tính trên máy: C  0,055555555
Cách 2. Tính trực tiếp:
ia1RQ)(Q)+1)(Q)+2)(Q)+3)$$1E2011=
Bài 2.12. Tính giá trị mỗi biểu thức sau
a) A  52  102  152  ...  20152
b) B  12  22  32  42  ...  20152  20162
c) C  20152  20172  20192  20212  ...  40292
Hƣớng dẫn
a) Ta có A  52  102  152  ...  20152  52 12  22  32  ...  4032 
403
  5X   547455350
2
Tính trên máy :
x 1
b) B  12  22  32  42  ...  20152  20162

 12  32  52  ...  20152    22  42  ...  2016 2 
1008 1008
   2x  1     2x    2033136
2 2
x 1
  x 1
 
c) C  20152  20172  20192  20212  ...  40292
   2x  1   9546941040
2014

2
x 1007
Bài 2.13. Tính giá trị các biểu thức sau:

1 1 1
a) B    ... 
1003  1001 1005  1003 2015  2013
1 1 1 1
b) S     .... 
2 1 1 2 3 2  2 3 4 3  3 4 10000 9999  9999 10000
Hƣớng dẫn
-7-
1 n 1  n
a) Áp dụng công thức:   n 1  n
n  n 1  n  n 1  n 1  n 
1 1 1
Ta có : B    ... 
1003  1001 1005  1003 2015  2013
 1003  1001  1005  1003  1007  1005  ...  2015  2013
 2015  1001  13,25017
b) Ta có
1

 n  1 n  n n  1
 n  1 n  n n  1  n  1 n  n 2  n  1
2

 n  1 n  n n 1

1

1
n  n  1 n n 1
1 99
Khai triển theo công thức ta tính đƣợc S  1  
100 100
Bài 2.14. Tính giá trị biểu thức sau:
1 1 1 1 1 1
A  1 2
 2  1  2  2  ...  1  
1 2 2 3 2009 20102
2
Hƣớng dẫn
1 1 1 1 1 1
Ta có  2   
b a  b a b ab
2 2
a
1 1 1 1 1 1 1
Áp dụng A  1    1    ....  1    2010   2009,9995
1 2 2 3 2009 2010 2010
Bài 2.15. Gọi  x  là phần nguyên của số thực x. Tính giá trị biểu thức
A   1   2    3    4   ....   2015 
Hƣớng dẫn
Tính trên máy: sau đó ấn dấu =, ta đƣợc kết quả

A  59334
Bài 2.16. Tính giá trị các biểu thức sau
 1  1  1  1   1 
a) P    1  1  1  1 ....  1
 21  22  23  24   2016 
1 1 1 1 1
b) Q      ... 
1 2 2  3 3  4 4  5 2015  2016
1 1 1 1
c) M     ... 
1 2 2 3 3 4 2015  2016
1 1 1 1
d) N     .... 
1 3 3 5 5 7 2009  2011
-8-
Giải
a) Dùng phím tích
b) Dùng phím tổng xích ma: ấn phím = ta đƣợc Q  2031120
c) Dùng phím tổng ấn = ta đƣợc kết quả : M  43,89989
d) Dùng phím tổng ấn phím = ta đƣợc kết quả N  21,92209
Bài 2.17. Tính giá trị biểu thức sau

2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013
a) S      ....   
5 10 30 60 46560 47510 48510
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử huyện Mỹ Xuyên – ST,2015-2016)
b) G  321930  291945  2171954  3041975
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử huyện Thạnh Trị – ST,2015-2016)
Hƣớng dẫn
2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013
a) S      ....   
5 10 30 60 46560 47510 48510
2013  1 1 1 1 1 1 
 1     ...    
5  2 6 12 9312 9502 9702 
2013
Tính trên máy [ = 801,1333
5
b) Ghi vào máy :
s321930+s291945+s2171954+s3041975= kết quả 567,87
4   2  7
0,8 :  1, 25  1,08   :
Bài 2.18. Tính giá trị biểu thức A  5   25  4
 1, 2  0,5  :
4
0,64 
1  5 1 2 5
 6 3 2
25  9 4  17
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử Vĩnh Long ,2013-2014)
Hƣớng dẫn
4   2  7
0,8 :  1, 25  1,08   :
Tính : 5   X,  25  4
Y
0,64 
1  5 1 2
6 3 2
25  9 4  17
4
 A  X  Y  1, 2  0,5  :  2,164965986395
5
-9-
Bài 2.19. Tính giá trị biểu thức
4   2  4
0,8 :  .1, 25   1,08   :
5  75 2  75 2
 
25  7
3 3
a) A 
0,64 
1 3
20  14 2  20  14 2  6 5  3 1  .2 2
3
 
25  9 4  17
26 17 26 17
5 5  5 5  5 5  5 5 
b) P         
 2   2   2   2 
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử Sóc Trăng ,2012-2013)
Hƣớng dẫn
13
a) A 
12
5 5 5 5
b) Gán  X, Y
2 2
26 26
5 5  5 5 
Ta có A     
 2   2 
A  X26  Y26   X13  Y13   2X13Y3  182031252  2.513  331351318359375
2
17 17
5 5  5 5 
Ta có B       3119140625
 2   2 
P  A  B  331348199218750
1 1 1 1
Bài 2.20. Tính tổng S     ... 
1 2 2 3 3 4 99  100
Hƣớng dẫn
Tính trực tiếp , ấn =, ta đƣợc kết quả S  1331,925894
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức lƣợng giác

- Chuyển đơn vị sang độ, phút , giây : qw3
- Biết sử dụng các chức năng : j,k,l để tính giá trị biểu thức lƣợng giác
- Và chức năng qj, qk, ql để tìm số đo của một góc
sin x
- Một số công thức biến đổi : sin 2 x  cos2 x  1 , tan x.cot x  1 , tan x  ,
cos x
cos x 1
cot x  , cot x 
sin x tan x
- Chú ý : sin 22 15'33'' ghi vào máy nhƣ sau
2 0
Bài 2.21. Tính giá trị các biểu thức

- 10 -
sin 33 12' sin 560 48'.sin 33012' sin 2 56048'
2 0
a) A 
2sin 2 33012' sin 2 560 48' 1
1  sin 17 34' 1  tan 25 30' 1  cos 50013' 
3 0 2 2 0 3 2 3
b) B
1  cos 35 25' 1  cot 25 30' 1  sin 50013' 
3 0 2 2 0 3 2 3
Hƣớng dẫn
a) Chuyển màn hình sang chế độ độ qw3
Thực hiện quy trình bấm phím
a(j33x12x))d+j56x48x)Oj33x12x)p(j56x48x))dR2(j33x12x))d
+(j56x48x))d+1
=, ta đƣợc kết quả

b) Tính 1  sin 3 17034' 1  tan 2 25030' 1  cos2 50013'  X
2 3 3
Tính 1  cos3 350 25' 1  cot 2 25030' 1  sin 2 50013'  Y

2 3 3
X
Vậy B 
Y
3sin15025' 4cos12012'.sin 42020' cos36015'
a) P 
2cos15025' 3cos65013'.sin15012' cos31033'.sin180 20'
3
235, 68.cot 5 23035'.cos 690 43'
b) B 
62, 063.tan 7 69055'.sin 3 77 0 27 '
Hƣớng dẫn
a) Tính trực tiếp trên máy
a3j15x25x)+4k12x12x)j42x20x)+k36x15x)R2k15x25x)+3k65x13
x)Oj15x12x)+k31x33x)Oj18x20x)=
kết quả P  1,677440333
b) Tính trực tiếp B  2, 201732859.108  0,0000000201732859
3
1  5sin 2 x  4 : 5 2,34.cos3 x  tan 3x
a) A  , biết sin x  0,71246

3 : 1  cot 3 x  4 1, 75.sin 2 2x 
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử Đăk Nông ,2007-2008)
x 2  1  y 2  1  xy
. Tính P với x   sin 27011' 
1 1
b) Cho biểu thức P  
x 2  1  y 2  1  xy 2 sin 27 11' 
0
và y   cos 20014' 
1 1

2 cos 20 14' 
0
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử Đà Nẵng ,2014-2015)
- 11 -
Hƣớng dẫn
a) Tính trên máy qj0.71246=qJ)
Ghi vào màn hình tính đƣợc: A  23,93505357
b) Tính trực tiếp: P  0,92005
Bài 2.24. Tính giá trị biểu thức Tính giá trị biểu thức
5sin3   9cos3   15sin 2  cos   10cos 
A  2009 , biết tan   20,102008
20cos3   11cos2  sin   22sin3   12sin 
Hƣớng dẫn
- Tìm α: , sau đó gán vào X qJ)
- Ghi vào màn hình

a5jQ))qdp9kQ))qd+15jQ))dkQ))p10kQ))R20kQ))qd+11kQ))
djQ))p22jQ))qd+12jQ)) $+2009=
- Kết quả :
Dạng 4. Bài toán có sử dụng quy trình bấm phím

Bài 2.25 Tính giá trị các biểu thức sau
a) A  10 123  10 123123  10 123123123  ...  10 123123...123123 (số hạng cuối gồm 10
nhóm số 123)
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử Sóc Trăng ,2014-2015)
b) P 
2013 2012
2012 20112011 2010....1992 19911991 1990
c) Q  2013 2012  2012 2011  2011 2010  ...  1992 1991  1991 1990
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử BGD,2013-2014)
Hƣớng dẫn
a) Gán 1  A ; 123  B ; 10 123  C
A  A  1: B  1000B  123: C  C  10 B , khi A  30 thì C  1625909624
b) Quy trình tính trên máy
1989qJz
0qJx
QzQrQz+1QyQxQrq^Qz+1$Qz+Qxr==…., đến A  1  2012
 P  1,003786277
c) Tƣơng tự câu b
Bài 2.26 Tính giá trị biểu thức
 1  1 1  1 1 1   1 1 1 1
1  1   1     ... 1     ...  
 2  2 3  2 3 4   2 3 4 10 
Hƣớng dẫn
- 12 -
Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1:
A = 1  X : B = B + A : C = C . B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến
khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của
S là: 1871,4353
Bài 2.27. Tính giá trị biểu thức P  7  77  777  ...  77....777
   293972367
2
17 so 7
Hƣớng dẫn
Lập quy trình ấn phím nhƣ sau :
Gán 1 cho A ấn 1 SHIFT STO A
Gán 7 cho B ấn 7 SHIFT STO B
Gán 7 cho C ấn 7 SHIFT STO C
Ghi vào màn hình: A = A +1: B = 10B + 7: C = C + B
Ấn = cho đến khi màn hình hiện A = 17 và ấn = hai lần
C = 8,641975309 10
16
Ấn tiếp ALPHA C - 293972367 2 = Kết quả: 526837050

P = 526800000 ,ta tìm thêm 5 số cuối và nghi ngờ rằng số 8 có thể đã đƣợc
làm tròn .( Lƣu ý thí sinh nên cẩn thận : vì máy fx -570MS có tính toán bên trong
đến 12 chữ số với số có mũ 2, mũ 3, còn mũ lớn hơn 3 hoặc số nguyên thì tính
toán bên trong là 10 chữ số ,để chắc chắn các bạn nên tính thêm trên máy ES có
tính toán bên trong cao hơn ).
Tính tiếp tục: Vì cần tìm 5 số cuối của tổng P nên ta chỉ lấy tổng đến 5 chữ số 7
trong các số từ 77777 đến 77

......
 77

17sô'7
Vậy ta có: C  7  77  777  7777  7777713 .Kết quả: 1019739

Và tính 72367 2 = 5236982689 (sáu số cuối của số 293972367 2 )
Năm số cuối của P là:
P = 1019739 - 82689 = 37050
Ta thấy kết quả P = 526837050 (chắc chắn số 8 đã không bị làm tròn vì sau số 8 là
số 3 nên số 8
a) M  635  6355  63555  ...  63555...555 ( số hạng cuối có 12 chữ số 5)
b) N  31  331  3331  ...  333....33331 ( số hạng cuối có 12 chữ số 3)
- 13 -
Hƣớng dẫn
III. Bài tập tự luyện
2.29. Tính giá trị biểu thức sau
12 22 32 20142 20152
a) A     ...  
2.3 3.4 4.5 2015.2016 2016.2017
b) B  2016 2015 2014 2013..... 1975

3 5 7 41
c) D     ... 
1.2   2.3  3.4   20.21
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
d) C      ...  
1 5 2 6 5 9 6  10 2009  2013 2010  2014
2014
e) S 
1 1 1 1 1 1
1 2
 2
 1 2
 2
 ....  1  
2004 2005 2005 2006 2014 20152
2
2.30. Tính giá trị các biểu thức sau

9 x5  8 x 4  7 x3  6 5 y 4  4 y 3  3 y 2  2 y 9 z 5  8 z 4  7 z 3  6
a) M    xyz , khi
5 x 4  4 x3  3x 2  2 x 9 x5  8 y 4  7 y 3  6 5 z 4  4 z 3  3z 2  2 z
x  5; y  9; z  2014
x 32  x 31  x 30  ....  x  1
b) B  10 , khi x  2
x  x 9  x 8  ...  x  1
2 tan x  3cot x 3
c) Tính T   6sin 2 x  7cos3 x , biết cos x 
4 tan x  5cot x 4
d) Tính tổng P khi x  2007
1 1 1 1 1
P 2  2  2  ...  2  2
x  3x  2 x  5x  6 x  7x  12 x  197x  9702 x  199x  9900
2.31. Tính giá trị các biểu thức
(1986 2  1992)  (1986 2  3972  3)  1987
G=
a) 1983  1985  1988  1989
4   2  7
0,8 :   1,25  1,08   :
b) A  5   25  4
 1,2.0,5  :
4
0,64 
1  5 1 2 5
 6  3  .2
25  9 4  17
- 14 -
1 1 1 1 1 1 1
c) M      ....   
1 2 3 4 48 49 50
3 : 0,4  0,09 : (0,15 : 2,5) (2,1  1,965) : (1,2  0,045)
d) C = 
0,32  6  0,03  (5,3  3,88)  0,67 0,00325 : 0,013
 1 1 1 2 2 2 
 1   2    91919191
e) M = 182   3 9 27 : 3 9 27 
4 
4 4

4 1
1 
1

1  80808080
 
 7 49 343 7 49 343 
 5 5 5 10 10 10 
 5   10     434343
187
f) N =   17 89 113 : 23 243 611 
129  11  
11 11

11
3
3

3

3  515151
 
 17 89 113 23 243 611 
 3 : (0,2  0,1) (34,06  33,81)  4  2 4
C = 26:     3 : 21
g)  2,5  ( 0,8  1, 2) 6 ,84 : ( 28,57  25,15 
Bài 2.32.
 7 5 2  7 17  2
 85 30  83 18  : 2 3  8 55  6 110  : 2 3
a) Tính 2,5% của   ;Tính 7,5% của  
0, 04 2 3  7
 5  20  : 1 8
 
2  1
3 :  0,09 :  0,15 : 2 
5  2
3 b a
b) 6 a  biết: 0,32.6  0,03   5,3  3,88   0,67
4 3
b
 2,1  1,965 : 1,2.0,045   1: 0,25
0,00325 : 0,013 1,6.0,625
1 1
c) Cho sinx  ,sin y  . Tính A  3x  1,237y
5 10
2
 x1000  y1000  6,912  x 3000  y3000 
d) Cho  2000 . Tính A     8,643
y  33,76244  x 2000  2011 
1012 1012 1012

e) M   
0,  2011 0,0  2011 0,00  2011
- 15 -
Chuyên đề 3. PHƢƠNG TRÌNH. HỆ PHƢƠNG TRÌNH. PHƢƠNG TRÌNH

NGHIỆM NGUYÊN
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. Phƣơng trình bậc hai, phƣơng trình trùng phƣơng
a) Phƣơng trình bậc hai có dạng ax 2  bx  c  0 . Để giải phƣơng trình trên
MTĐT ta làm nhƣ sau
- Ấn w53
Màn hình xuất hiện:
- Nhập các hệ số a = b = c =. Ấn tiếp phím = ta đƣợc các nghiệm

b) Phƣơng trình trùng phƣơng có dạng ax 4  bx 2  c  0 . Đặt t  x 2 . Quy về giải
phƣơng trình bậc hai theo t
II. Phƣơng trình bậc ba: là phƣơng trình có dạng ax3  bx 2  cx  d  0
Vào chƣơng giải phƣơng trình bậc ba: w54
Màn hình xuất hiện
Nhập các hệ số số a = b = c = d=, Ấn tiếp phím = ta đƣợc các nghiệm

III. Phƣơng trình bậc bốn ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0
Để giải phƣơng trình bậc bốn trên MTĐT ta phân tích
ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0  a1x 2  b1x  c1 a 2x 2  b 2x  c2   0
Kỹ thuật phân tích phƣơng trình bậc bốn thành hai tam thức bậc hai sẽ giới thiệu
trong phần thực hành các ví dụ
IV. Phƣơng trình chứa căn thức. Phƣơng trình chứa dấu GTTĐ
 B0
 
 B0
 A B  ; A  B  


A  B

2

A  B

 B0


  AB
 A B  A  B ; A  B  

   A  B
  A  B


V. Hệ phƣơng trình
- 16 -
 a1x  b1y  c1

 Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn: là hệ có dạng 
 ,

a 2 x  b 2 y  c2

trong đó a1,b1,c1,a 2 ,b2 ,c2  
Giải hệ trên MTĐT ta tiến hành nhƣ sau:
- Bƣớc 1: vào chƣơng trình w51
Màn hình hiển thị:
- Bƣớc 2: nhập các hệ số a1 = b1 = c1 = a 2 = b 2 = c 2 =

Ấn = ta đƣợc nghiệm x, ấn = ta đƣợc nghiệm y

 a1x  b1y  c1z  d1


 Hệ phƣơng trình bậc nhất ba ẩn: là hệ có dạng a 2 x  b 2 y  c2 z  d 2


 a 3 x  b 3 y  c3 z  d 3


trong đó a1,b1,c1,d1, a 2 ,b2 ,c2 ,d 2 ,a 3 ,b3 ,c3 ,d3  
B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
Dạng 1. Phƣơng trình bậc nhất, tìm x
Bài 3.1. Tìm nghiệm của các phƣơng trình sau:
3  1 1 1 
a) 12 10,34  x 11     ...  .280
13  21.22 22.23 29.30 
2 1  3  32 5 5 2 3
b)  x    x
3  5 2  5  1 14  2 3 7 1
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử Tx Ngã Năm,2015-2016)
Hƣớng dẫn (Đáp số)

a) Tính trực tiếp trên MTĐT, ghi vào màn hình nhƣ sau:
- Tính vế phải gán vào A: qia1RQ)O(Q)+1)R21E29$O280=qJz
- Ghi vào màn hình và tìm x: 12p10.34Oa3R13$O(Q)p11)Qr4qr0=
- Kết quả :
- 17 -
52 3 2 1 3
 .
b) Biến đổi ta đƣợc: x  7 1 3  5 2 5 1
2 1 32 5

3  5 2 14  2 3
- Tính tử thức gán vào A:
as5$+2s3Rs7$p1$+as2$p1Rs3$p5s2$$Oas3Rs5$+1qJz
- Tính mẫu thức gán vào B:
as2$p1Rs3$p5s2$$pas3$p2s5R14+2s3=qJx
Tính trên máy ta đƣợc kết quả :
Bài 3.2. Tìm giá trị của x trong các phƣơng trình sau:
 13 2 
   5 : 2 1 .1 1
15,2.0,25  48,51:14,7  44 11 66 2  5
a) 
x  1 
3,2  0,8.5  3,25
 2 
 3 4  4 2
 0,5  1 5 . 5  x  1, 25.1,8 :  5  2 3 
 3
b)     
 5, 4 :  2,5  
3  1 3   4
12,5.3,15  :  3 .2  1,5.0,8 
4  3 4 
a) Nhập phƣơng trình vào máy tính, sử dụng phím SOLVE để tìm nghiệm, ta
đƣợc: x  25
b) x  541,8924243
Bài 3.3. Tìm x trong các phƣơng trình sau
  1   
  x  4  : 0,003 0,3  3 .1 1 
  2   20  2  1
a)    : 62  17,81: 0,0137  1301
  1  1  
1,88  2 3 . 1  20
 3  2,65.4 :
  20  5  25  8 
 3 4  4 1
0,5 1   x 1,25 1,8 :   3 
 7 5    7 2   3
b)   5,2 : 2,5  
3  1 3   4
15,2.3,15  : 2 .3  1,5.0,8
4  2 4 
- 18 -
a) x  6
b) x 903,4765135
Bài 3.4 Tìm x từ các phƣơng trình sau

4  6  2,3  5 : 6,25.7  1
a) 5 : x :1,3  8,4. . 6   1
7 

 7  8.0,125  6,9  
  14
 9   1 33   2 1  5 2010
b) 0,5.0,2.  : 3 :    .1  : 
 x   3 25   5 3 3 2011
  2  3 
  x  3,26 : 0,001    0,3  1,15.
  1000  2  : 1441  224,1: 0,1245  1801
c)  
  3 1  5 
 4.0,325   : 3  0,6875. 1  20
  40  5  16  8 
9  2 3 x   6  14 
d)
3 6 2 2
 
2  3  2  3 x 

 
2 3  28 
2  3  6  8  16
2 3 4
Bài 3.5 Tìm x thỏa phƣơng trình:

1 1 1 1 1 1 1 1 20112 1
a) 1  2  2  1  2  2  1  2  2  ...  1  2  
x 1
2
1 2 2 3 3 4 x 2011
1 1 1 1
b)    ...   11
x 1  x  2 x  2  x 3 x 3  x  4 x  2008  x  2009
1 1 1
c)   ...   3 x 1
x 1  x  2 x  2  x 3 x  2011  x  2012
1 1 1 1 1 1 1
d) 2  2  2  2  2  2 
x  x x  3x  2 x  5x  6 x  7x 12 x  9x  20 x 11x  30 2009
Dạng 2. Phƣơng trình chứa căn thức và phƣơng trình bậc cao,
phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 3.6. Giải các phƣơng trình
a) 3x3  4x 2  5x  6  0
x 2  4x 1 x  3
b)  1
x2 x2
Hƣớng dẫn
a) Vào chƣơng trình w54
Nhập các hệ số: 3=4=5=z6=
- 19 -
= đƣợc nghiệm thứ nhất
= đƣợc nghiệm thứ hai
= đƣợc nghiệm thứ ba
2
Nghiệm của phƣơng trình: x 
3
b) Điều kiện x  2
Quy đồng khử mẫu ta đƣợc: x3  4x 2 12x  4  0
Giải nhƣ câu a ta đƣợc x  0,3008859
Bài 3.7. Tìm nghiệm gần đúng của các phƣơng trình
a) 2007  2008 x 2  x  0,1  20  2008  2007 x 2  x  0,1
b) 5x3  33x 2  21x 11  2x  3
Hƣớng dẫn
a) Đặt t  x 2  x  0,1 t  0 . Phƣơng trình trở thành
2007  2008t  20  2008  2007t
2008
Điều kiện 0  t  . Phƣơng trình đƣợc biến đổ thành
2007
2007  2008t  400  40 2008  2007t  2008  2007t
 4015t  401  40 2008  2007t

 401

 t  0,0999
 4015


16120225t  8830t  3051999  0 (1)
2

Giải phƣơng trình (1) trên máý tính ta đƣợc t  0,4353915593 . Thay
t  0,4353915593 vào phƣơng trình t  x 2  x  0,1 , ta đƣợc
x 2  x  0,1 0,43539155932  0 . Giải phƣơng trình trên máy ta đƣợc:
x1  0,08272275561; x 2 1,082722756
Bài 3.8. Cho các phƣơng trình sau, tính x theo a, b a,b  0
a) a b x  2 a b x
b) a  b 1 x  1  a  b 1 x
Áp dụng khi a  2015; b  20,16 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5)
Hƣớng dẫn
a) Đặt y  b x a  y, x  0
Phƣơng trình đã cho trở thành: a  y  2  a  y  a  y  a  y  2
- 20 -
 
2
 a  y  a  y  4  a  y  a  y  2 a 2  b2  4
2a  4
 2a  2 a 2  b2  4  a 2  y 2 
2
 2a  4 
2
 a  y  
2 2

  a 2  y 2  a 2  4a  4
 2 
4a  4
 
2
 y2  4a  4  b x  4a  4  x 
b2
Áp dụng khi a  2015; b  20,16 tính trên ta đƣợc:
4a 1
b) Đặt y  b 1 x a  y; x  0 .Tƣơng tự câu a , ta có x  1 
4b 2
Áp dụng a  2015; b  2016 , ta đƣợc x  0,99950
Bài 3.9. Cho phƣơng trình x4  4x3 19x2  106 x 120  0 , gọi x1; x2 ; x3 ; x4 là các
nghiệm của phƣơng trình.
a) Tìm tất cả các nghiệm của phƣơng trình trên
b) Tính : S  x110  x10
2  x3  x4
10 10
Hƣớng dẫn
a) Ghi vào màn hình  X  4 X  19 X 2  106 X  120  =
4 3
Dùng lệnh qr (SOLVE)0=  x1  2 , lƣu nghiệm x1  2 qJ (STO)z(A)

Đƣa con trỏ về màn hình ban đầu dùng nghiệm x1  2 dò tìm, ta đƣợc x2  3
Tiếp tục nhƣ trên dùng nghiệm x1  2 , x2  3 dò tìm, ta đƣợc x3  4
Tiếp tục dùng nghiệm x1  2 , x2  3 , x3  4 dò tìm , ta đƣợc x4  5
2  x3  x4  2  3  4   5   10874274
b) Suy ra : S  x110  x10 10 10 10 10 10 10
Dạng 3. Phƣơng trình nghiệm nguyên

Bài 3.10. Tìm cặp số tự nhiên  x, y với x nhỏ nhất có ba chữ số và thỏa mãn
phƣơng trình x 3  y2  xy
Hƣớng dẫn
 x   x     x 
2 2 2 2
x
Ta có x  y  xy  y  xy     x      y    x   
3 2 2 3 3
 2   2   2  2 
x x
2 2
x x
y   x 3     y  x 3    
2  2   2  2
Tính trên máy
- 21 -
Gán 100  X
X
2
X
Ghi vào màn hình: X  X  1: Y  X     , bấm r và ấn phím = cho
3
 2  2
đến x 1  110 ta đƣợc Y  1100
Bài 3.11. Tìm các nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình: x  y  1375
Hƣớng dẫn
Điều kiện: x, y  
   5 
2 2
Ta có x  y  1375  x  1375  y 55  y
Do x   nên y là bội của 55 . Đặt y  a 55

Tính trên máy casio: Gán 1  A
 
2
Ghi vào màn hình: A  A  1: Y  A2  55 : X  1375  Y ấn r=, ta đƣợc
các kết quả: :  1375;0 , 0;1375 ,880;55 ,  55;880 ,  495;220, 220;495
Bài 3.12. Tìm hai số nguyên dƣơng x, y biết x  y và x 5  y5  920887275
Hƣớng dẫn
Biểu diễn y  5 920887275  x5 và thử với các giá trị nguyên dƣơng của x
Quy trình:
Gán 0  X
Ghi vào mà hình: X  X 1: Y  5 920887275  X5 r=, tới X 1  46 ta đƣợc
Y  59
Bài 3.13. Tìm tất cả các giá trị x, y, z sao cho:
1
2014 x  2015 y  z  2016 z  x   y 12180677 (với y  z  x  0 )
2
Hƣớng dẫn
1
2014 x  2015 y  z  2016 z  x   y 12180677
2
 2.2014 x  2.2015 y  z  2.2016 z  x  x  y  z  z  x 12180677
     
2 2 2
 x  2014  y  x  2015  z  x  2016  0

 x  2014



  y  z  2015



 z  x  2016


Giải hệ ta đƣợc: x  4056196; y  12180677; z  8120452
- 22 -
Bài 3.14. Tìm cặp số tự nhiên  x; y với x là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn
phƣơng trình: 3 156x 2  807  12x   20y 2  52x  59
2
Hƣớng dẫn
156x 2  807  12x   52x  59
3 2
Biến đổi ta đƣợc y 

20
Quy trình tính trên máy:
Gán 0  X
156X 2  807  12X  52X  59
3 2
Ghi vào màn hình: X  X  1: Y  r=

20
ấn = liên tiếp đến X  X 1  11 Ta đƣợc Y  29
Bài 3.15. Giải phƣơng trình nghiệm nguyên: 5x  3y  2xy 11
Hƣớng dẫn
Ta có: 5x  3y  2xy 11  5  2y2x  3 7
 5  2y, 2x  3 là các ƣớc của – 7 , tính trên MTCT ta đƣợc các nghiệm :
x  2; y  3,x 1; y  6,x 5; y  2, x 2; y 1
Bài 3.16. Giải phƣơng trình nghiệm nguyên: 5x 2  4xy  y2  169
Đáp số
x 5; y  2; x 12; y 29
Dạng 4. Hệ phƣơng trình
Bài 3.17. Giải các hệ phƣơng trình sau:

3x  12  7y

 3x  4y  12 
3x  6y 15  0 
a) 
 b) 
 c) 
 x y

5x  6y  13
 

 9x  2y 
 

 4 9
Hƣớng dẫn
 10 99 
a) Tính trực tiếp trên máy ta đƣợc :  x  ; y  
 19 38 
3x  6y 15  0 
 3x  6y  15  5 45 
b) Ta có: 
   . Tính trên máy:  x, y   ; 
 9x  2y   8 16 

  9x  2y  0

3x  12  7y

 3x  7y  12
  16 36 
c) Ta có : 
 x y   .Suy ra:  x; y   ;  
   9x  4y  0  25 25 

 

 4 9
Bài 3.18. Giải các hệ phƣơng trình
- 23 -
 4x  5y  6z  7
  4x  3y  12  0
 
 4x  2y  z  7

 
 
a)  12x  4y  5z  14 b)  5x  7y  4z c) 
 x y z 1

 
 
  
3x  2y  7z  12

 

 x  y  z  13  0 
 5 4 2
Hƣớng dẫn
 208 967 710 
a) Tính trực tiếp trên máy ta đƣợc:  x, y,z  
 201 201 201
; ;

 4x  3y  12  0 
 4x  3y  0z  12
 
b) Ta có: 
 5x  7y  4z    5x  7y  4z  0

 



 x  y  z  13  0  x  y  z  13


 44 107 
Tính trên máy ta đƣợc:  x, y,z  8; ;
 3 3 



4x  2y  z  7
4x  2y  z  7 
 




4x  2y  z  7
  
c) Ta có : 
x y
 x y z 1      4x  5y  0

   
 5 4 


 5 4 2 
  2x  5z  5


 x z  1
 


 5 2
 20 16 21
Tính trên máy:  x, y,z   ; ; 
 13 13 13 
Bài 3.19 Giải các hệ phƣơng trình:


 9 16 
 3x  2 y  2

   12 
  7

 x 1 y 2  y  7 
 x y 1
a)  b) 

 5 7 
 4x  7 3y  6
  2    12

 x 1 y  y  7
 

 x y 1
Hƣớng dẫn
 1
 u


 x  1  x 1
a) Điều kiện:  2 . Đặt 

y  y  7  0
  1
 2 v
 y  y  7

9u  16v  12  84 60 
Hệ đã cho trở thành: 
 . Giải hệ ta đƣợc: u, v  
 17 17 
;


 5u  7v  0
- 24 -

 84  1 84 
 17 
 101
 u   
    x  1   x 

 17  x 1 17 
 84 
 84
Với    

 60 
 1 60 
 17 
 437
    y 2
 y  7   y2  y   0 *

 17
 
 y  y  7 17 

2

 60 

 60
Giải phƣơng trình (*)w53
Nhập các hệ số: 1=1=z437a60=
Ấn = ta đƣợc kết quả:
Ấn tiếp = ta đƣợc kết quả:
Kết luận nghiệm của hệ phƣơng trình


 3x  2 y  2 
 2 3 
 2 3

   7 
 3   1   7 
  4
 x y  1  x y  1  x y  1
b) Ta có      

 4x  7 3y  6  7 3  7 3
   12  4   3  12    7


 x y  1 

 x y  1 

 x y  1
 1
 x  u x  0
Đặt  (*). Điều kiện 
 1  y  1
  v
 y 1

 2u  3v  4  11 14 
Hệ đã cho trở thành:   . Giải hệ ta đƣợc: u, v  
 5 5 
;


 7u  3v  7
 5 19 
Thay vào (*) ta đƣợc:  x, y   ; 
 11 14 

 x

  0,3681
Bài 3.20. Tìm x, y dƣơng thỏa hệ phƣơng trình  y


x  y  19,32

2 2


 13x 3  26102x 2  2009x  4030056  0

Bài 3.21 Giải hệ phƣơng trình: 





 
x  x 2  4017 y  y 2  1  4017 3 
C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Dạng tìm x
- 25 -
Bài 1.
2. Dạng phƣơng trình bậc cao
3. Dạng phƣơng trình nghiệm nguyên
4. Dạng hệ phƣơng trình
Chuyên đề 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ

I. Các dạng toán điển hình
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức liên phân số
Bài 4.1. Tính giá trị của biều thức và viết dƣới dạng phân số hoặc hỗn số
1 11
a) A  1  b) B  2000 
1 2
11  3
1 4
9 5
1 8
7 7
5 9
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử tỉnh ST,2007-2008)
Hƣớng dẫn
a) Tính trên máy :
5u+7=u+9=u+11=u+1=
Kết quả:
b) Tính trên máy :

7+8a9=uO4+5=uO2+3=uO11+2000=. Kết quả:
Bài 4.2. Tính giá trị các biểu thức sau :
- 26 -
31 2003 10
P  
1 2 1
2 3 7
1 4 1
3 5 6
1 8 1
4 7 5
5 9 4
Hƣớng dẫn
ĐS: P  610,3919209
2010
Bài 4.3. Tính giá trị liên phân số B 
1
27 
1
37 
1
23 
1
33 
29
13 
7
Hƣớng dẫn
13+29a7=u+33=u+23=u+37=u+27=uO2010=
Kết quả:
Bài 4.4. Tính giá trị biểu thức:

3 1 1
D  17   
12 5 2
1 23  2
1 1 3
1 3 2
12 1 4
17  7 2
2015 2016 2017
Hƣớng dẫn
17+12a2015=u+1=uO12+1=uO3+17=qJz
7+1a2016=u+3=uO5+23=u=qJx
2+4a2017=uO3+2=uO2+2=u=qJc
KQ:
Dạng 2. Tìm các thành phần trong liên phân số
- 27 -
14044 1
Bài 4.5. Tìm x, y biết: 1
12343 1
7
1
3
1
1
1
9
1
x
y
Hƣớng dẫn
Cách 1. Thực hiện phép chia liên tục
Cách 2. Quy trình tính liên tục trên MTĐT
Vào: qw2
14044P12343=p1=u=p7=u=p3=u=p1=u=p9=u=p7=u=
Kết quả: x  7; y  6
Bài 4.6. Tìm a, b, c, d, e biết:

5584 1 2007 1
a) a b) 5
1051 1 364 1
b a
1 1
c b
1 1
d c
e 1
d
1
e
3
20032004 1
c) a
243 1
b
1
c
1
d
e
a) a  5; b  3; c  5; d  7; e  9
b) a  1;b  1; c  17; d  1; e  2
c) a  82436; b  4; c  2; d  1;e  18
Bài 4.7. Tìm x, y biết:
- 28 -
329 1 14071 1
a)  b) 
1051 3  1 44950 3  1
1 1
5 5
1 1
x 7
y 1
11 
y
Hƣớng dẫn
a) 329P1051=u=p3=u=p5=u=p7=u= KQ: x  7; y  9
b) 14071P44950=u=p3=u=p5=u=p7=u=p11=u=. KQ: y  35
Dạng 3. Phƣơng trình liên phân số

Bài 4.8. Tìm x biết:
3 381978

3 382007
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
1
8
1 x
Hƣớng dẫn
Quy trình tính trên máy:
381978P382007=
uO3p8=========Mup1=
Kết quả:
Bài 4.9. Tìm x biết :

- 29 -
x 4

2011 6
1993  63 
2010 3
1994  11
2009 2011
1995 
2008
1996 
2007
1997 
2006
1998 
2005
1999 
2004
2000 
2003
2001
2002
Hƣớng dẫn
Ta có:
4 2011
x 1993 
6 2010
63  1994 
3 2009
11 1995 
2011 2008
1996 
2007
1997 
2006
1998 
2005
1999 
2004
2000 
2003
2001
2002
Đặt:
2011
A  1993 
2010
1994 
2009
1995 
2008
1996 
2007
1997 
2006
1998 
2005
1999 
2004
2000 
2003
2001
2002
4 4
Suy ra: x  A  1991,9911984  125,3899074
6 6
63  63 
3 3
11 11
2011 2011
Bài 4.10. Tìm x biết :
- 30 -
2003 12
2004   22
2004 2013
2005 
2005
2006 
2006
2007 
2007
2008 
2008
2009 
2009
2010 
2010
2011 
2011
2012 
2012
2013 
x
( Đề thi HSG giải toán trên máy tính điện tử tỉnh ST,2013-2014)
Hƣớng dẫn
Tính trực tiếp trên máy nhƣ sau:
qa22$12R2013$p2004=
2003PM=p2005=
2004PM=p2006=
2005PM=p2007=
2006PM=p2008=
2007PM=p2009=
2008PM=p2010=
2009PM=p2011=
2010PM=p2012=
2011PM=p2013=
2012 PM=. Kết quả: x  0,999007443
a
8
6 9
4 7
2 5
3 2014
Bài 4.11. Tìm a biế: 1  
3 2015
2
5
4
7
6
9
8
10
Hƣớng dẫn
- 31 -
a a
8 8
6 9 6 9
4 7 4 7
2 5 2 5
3 2014 3 2014
1  , Suy ra:  1
3 2015 3 2015
2 2
5 5
4 4
7 7
6 6
9 9
8 8
10 10
3
Đặt: A  2  . Tính trên máy: A  2,633344984
5
4
7
6
9
8
10
a
8
6 9
4 7
 2014   2014 
Ta có: 2  5  A. 1 .Tính A. 1 qJz
3  2015   2015 
Quy trình bấm phím: Mp2= Mp8=
M[3=
Mp4= M[9=
M[5= Mp6=
M[7=
KQ: a  3601,23499307
Bài 4.12. Tìm x, y, z, t   biết: 401xyzt  xy  xt 1  1281 yzt  y 1
1 1687
Bài 4.13. Cho u n  2  . Tìm x biết u 20 
1 1696
2  ...
1
2
1 x
Bài 4.14. Tìm các số tự nhiên a, b biết rằng:
2011 1
 và a  b  2016
2015 1  2
6
1001 
a
1
b
Bài 4.15. Tìm x biết:
- 32 -
x 1

2012 2
1992  10 
2011 3
1993  9
2010 4
1994  8
2009 5
1995  7
2008 6
1996 
2007
1997 
2006
1998 
2005
1999 
2004
2000 
2003
2001
2002
Hƣớng dẫn
1
Đặt B 
2
10 
3
9
4
8
5
7
6
1
A
2012
1992 
2011
1993 
2010
1994 
2009
1995 
2008
1996 
2007
1997 
2006
1998 
2005
1999 
2004
2000 
2003
2001 
2002
Tính A và B ( Tính ngƣợc từ dƣới lên).Giải phƣơng trình Ax  B  x  195,1283
x
Bài 4.16. Giải phƣơng trình (có 2008 số 2):  44
x
2
x
2
2  ..................
x
2
1 1 x
Bài 4.17. Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình:
- 33 -
3 1 1
a)   5
  3  2 1
 1
    3 1
   4  2

 1  3x   4  1 
 4 1
 2    5  3
1 
1   
4 5 4
 3  6 
 3  1  7
 2  
1 
5 1 2014
b)  
  1  3 2015

   
 4
   2
    5
     3 
1 
7
 x  5 
1  6

 
 2  6   4
1 
 5   1 
 3    3 
 4  1 
 2 
1
II. Bài tập tự luyện
Chuyên đề 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP CÔNG THỨC HOẶC
PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH
I. KIẾN THỨC CHUNG
1. LÃI ĐƠN: Lãi được tính theo tỉ lệ phần trăm trong một khoảng thời gian cố
định trước.
2. LÃI KÉP: Sau một đơn vị thời gian lãi được gộp vào vốn và được tính lãi.
Loại lãi này được gọi là lãi kép.
Bài toán tổng quát 1::
Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n
tháng. Tính cả vốn lẫn lãi T sau n tháng?
-- Giải --
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
…………………
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vậy: T  a 1  r 
n
(*)
Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn
lẫn lãi sau n tháng.
- 34 -
Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính đƣợc các đại lƣợng khác nhƣ sau:
T
ln
1) n  a ; 2) r  n T  1 ; a  T
ln(1  r) a (1  r )n
Bài toán tổng quát 2
Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng
tháng là m%. Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?
Giải:
Cuối tháng thứ I, ngƣời đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m).
Đầu tháng thứ II, ngƣời đó có số tiền là:
a a
a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = [(1+m)2 -1] = [(1+m)2 -1]
[(1+m)-1] m
Cuối tháng thứ II, ngƣời đó có số tiền là:
a a a
T2= [(1+m)2 -1] + [(1+m)2 -1] .m = [(1+m)2 -1] (1+m)
m m m
a
Cuối tháng thứ n, ngƣời đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn: Tn = [(1+m)n -1] (1+m)
m
T .m
Tn .m Ln( n  1  m)
 a  và  n  a 1
 
(1  m) (1  m)  1
n
Ln (1  m)
II. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

1. Lãi kép đơn thuần
Bài 1. Một ngƣời gửi 10 triệu đồng vào ngân hang với lãi suất 0,6%/
tháng. Tính số tiền ngƣời đó có đƣợc sau 1 năm
Giải:
Kỳ hạn của bài này là 1 tháng. Mà một năm có 12 tháng nên áp dụng công thức, số
tiền ngƣời gửi có đƣợc sau 1 năm là:
T12  10000000 1  0,6%   10744241,68 (đồng)
12
Bài 2. Một ngƣời gửi 100.000.000 đồng vào ngân hang theo lãi suất kỳ
hạn 6 tháng với lãi suất 0,65%/tháng
a) Hỏi sau 10 năm ngƣời đó nhận đƣợc bao nhiêu tiền. Biết rằng
ngƣời đó không rút lãi ở tất cả các kỳ trƣớc đó.
b) Cũng với số tiền trên nếu ngƣời đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ
hạn 3 tháng với lãi suất 0,63%/tháng thì 10 năm ngƣời đó nhận đƣợc
bao nhiêu tiền. Biết rằng ngƣời đó không rút lãi ở tất cả các kỳ trƣớc
đó.
- 35 -
Giải
10.12
a) 10 năm là  20 kỳ hạn
6
Lãi suất theo định kỳ 6 thánh là: 6.0,65%  3,9%
Số tiền cả vốn lẫn lãi ngƣời đó nhận đƣợc: 100000000.1  3,9%   21493688
20
10.12
b) 10 năm là  40 kỳ hạn
3
Lãi suất theo định kỳ 6 thánh là: 3.0,63%  1,89%
Số tiền cả vốn lẫn lãi ngƣời đó nhận đƣợc: 100000000.1,9%   21147668
40
Bài 3. Bà Nga có một số tiền 200 triệu đồng chia ra ở hai ngân hàng X
và Y. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X lãi suất 2%/quý trong 15
tháng. Số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y lãi suất 2,15%/quý trong 12
tháng. Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần và tổng lãi suất đƣợc ở hai
ngân hàng là 18984100 đ. Hãy tính số tiền bà Nga gửi ở mỗi ngân hàng.
Giải: Gọi số tiền bà Nga gửi ngân hàng X là X.
Suy ra số tiền bà Nga gửi ngân hàng Y là Y  200000000  X
Lãi gộp vốn trong ngân hàng X trong 5 quý là: A  X 1  2%  (1)
5
Lãi gộp vốn trong ngân hàng Y trong 4 quý là: B  Y 1  2,15%
4
(2)
Tổng lãi suất đƣợc ở 2 ngân hàng:, A  B  200000000  18984100 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có phƣơng trình:
X 1  2%  (200000000  X)(1  2,15%)4  200000000  18984100
5
Giải ra ta đƣợc X=80 000 000 đồng. Suy ra Y=120000000 đồng.

2. Trả nợ, trả góp
Bài 1: Một ngƣời muốn rằng sau 8 tháng có 50 000$ để xây nhà. Hỏi rằng
ngƣời đó phải gửi ngân hàng mỗi tháng (số tiền nhƣ nhau) là bao nhiêu? Biết lãi
suất mỗi tháng là 0.25%
Giải: Coi rằng ngƣời đó gửi tiền vào thời điểm cuối tháng, áp dụng công thức
M
1  r   1
n
Lãi kép, gửi hang tháng: Tn = 
r
50000.0, 25%
Thế số: T8  50000,r  0,25% , suy ra M 
1  0, 25%  1  0, 25%   1
8
Bài 2: Trả góp

Một xe máy điện giá 10000000 đồng đƣợc bán trả góp 11 lần, mỗi lần trả
góp với số tiền là 1000000 đồng (lần đầu trả sau khi nhận xe đƣợc 1 tháng).Tính
lãi suất tiền hàng tháng.
- 36 -
Giải:
M
1  r   1
n
Áp dụng công thức Lãi kép, gửi hàng tháng: Tn =
r  
Tiền giá xe ban đầu, sau 11 tháng tăng lên thành: T11  10000000 1  r 
11
1  r 11  1
Tƣơng ứng với phƣơng trình sau: 10000000 1  r   10000000  
11
r
Nhập vào máy tính đƣợc
Vậy r  1,62%
3. Lãi suất kỳ hạn 3,6,9… tháng
Bài 1. Một ngƣời gửi tiền vào ngân hàng số tiền gốc ban đầu là 200.000.000 đồng
(hai trăm triệu đồng) theo kì hạn 3 tháng với mức lãi suất là 0,67% một tháng. Hỏi
sau 2 năm gửi tiền thì ngƣời đó có đƣợc số tiền là bao nhiêu bao gồm cả gốc lẫn lãi
(làm tròn đến đơn vị đồng).
Đáp số: 234.515.729 đồng
Bài 2. Một ngƣời gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân
hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng.
a)Hỏi sau 10 năm, ngƣời đó nhận đƣợc bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng.
Biết rằng ngƣời đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trƣớc đó.
b)Nếu với số tiền trên, ngƣời đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận đƣợc bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân
hàng. Biết rằng ngƣời đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trƣớc đó.
(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán)
Giải:
a) Theo kỳ hạn 6 tháng, số tiền nhận đƣợc là :
Ta = 214936885,3 đồng
Theo kỳ hạn 3 tháng, số tiền nhận đƣợc là :
Tb = 211476682,9 đồng
Bài 3. Sau 3 năm, một ngƣời ra ngân hàng nhận lại số tiền cả vốn lẫn lãi là
37337889,31 đồng. Biết rằng ngƣời đó gửi mức kỳ hạn 3 tháng theo lãi kép, với lãi
- 37 -
suất 1,78% một tháng. Hỏi số tiền ngƣời ấy đã gửi vào ngân hàng lúc đầu là bao
nhiêu?
4. Chia tỉ lệ, lập phƣơng trình
Bài 1. Để đắp một con đê , địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm
học sinh , nông dân , công nhân và bộ đội . Thời gian làm việc như sau
(giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một nhóm là như nhau ):
Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân mỗi người làm
việc 4 giờ; Nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ và nhóm học sinh
mỗi em làm việc 0,5 giờ. Địa phương cũng đã chi tiền bồi dưỡng như
nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm bộ đội mỗi người
nhận 50.000 đồng; Nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; Nhóm
nông dân mỗi người nhận 70.000 đồng; Nhóm học sinh mỗi em nhận
2.000 đồng .
Cho biết : Tổng số ngƣời của bốn nhóm là 100 ngƣời .
Tổng thời gian à làm việc của bốn nhóm là 488 giờ
Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng .
Tìm xem số ngƣời trong từng nhóm là bao nhiêu ngƣời .
Giải:
Gọi x, y, z, t lần lƣợt là số ngƣời trong nhóm học sinh , nông dân, công nhân và bộ
đội .
Điều kiện : x; y; z; t  Z  , 0  x; y; z; t  100
Ta có hệ phƣơng trình:
 x  y  z  t  100 11y  7 z  13t  876
  
0,5 x  6 y  4 z  7t  488 17 y  7 z  12t  1290
2 x  70 y  30 z  50t  5360

 t  6 y  414 do 0  t  100  69  y  86
876  11 y  13t
Từ 11y  7 z  13t  876  z
7
Dùng X ; Y trên máy và dùng A thay cho z , B thay cho t trong máy để dò :
Aán 69 SHIFT STO Y
Ghi vào màn hình :
Y = Y + 1 : B = 6Y – 414 : A = ( 876 – 11Y – 13B ) ÷ 7 : X=100 – Y – B – A
Aán = . . . = để thử các giá trị của Y từ 70 đến 85 để kiểm tra các số B , A , X là số
nguyên dƣơng và nhỏ hơn 100 là đáp số .
Ta đƣợc : Y = 70 ; B = 6 ; A = 4 ; X = 6
ĐS : Nhóm học sinh (x) : 20 ngƣời
Nhóm nông dân (y) : 70 ngƣời
Nhóm công nhân (z) : 4 ngƣời
Nhóm bộ đội (t) : 6 ngƣời
Bài 2. Bốn người góp vốn buôn chung . Sau 5 năm, tổng số tiền lãi nhận được là
- 38 -
9902490255 đồng và được chia theo tỉ lệ giữa người thứ nhất và người thứ hai là 2
: 3, tỉ lệ giữa người thứ hai và người thứ ba là 4 : 5, tỉ lệ giữa người thứ ba và
người thứ tư là 6 : 7 .Trình bày cách tính và tính số lãi của mỗi người ?
Bài 3
Theo di chúc, bốn người con được hưởng số tiền là 9902490255 đồng chia theo
tỷ lệ như sau: Người con thứ nhất và người con thứ hai là 2: 3; Người con thứ
hai và người con thứ ba là 4: 5; Người con thứ ba và người con thứ tư là 6: 7.
Hỏi mỗi người con nhận được số tiền là bao nhiêu ?
Bài 4 Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi 2 thùng thứ nhất ; 3
3 4
thùng thứ hai và 4 thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau.
5
Tính số táo lúc đầu của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông :
Thùng thứ nhất là: 60 quả Thùng thứ hai là: 80 quả
Thùng thứ ba là: 100 qủa
III. ĐỀ THI CÁC NĂM
Bài 1. Một anh sinh viên đƣợc gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng là 80000000
đồng với lãi suất 0.9%/tháng.
1) Hỏi sau đúng 5 năm số tiền trong sổ sẽ là bao nhiêu, biết rằng trong suốt thời
gian đó anh sinh viên không rút một đồng nào cả vốn lẫn lãi?
2) Nếu mỗi tháng anh sinh viên đó đều rút ra một số tiền nhƣ nhau vào ngày ngân
hàng trả lãi thì hằng tháng anh ta rút bao nhiêu tiền (làm tròn đến 1000 đồng) để
sau đúng 5 năm sẽ vừa hết số tiền cả vỗn lẫn lãi.
Giải
a) Gọi M là số tiền gốc gửi vào sổ tiết kiệm,r là lãi suất hằng tháng (đơn vị %).
Sau 5 năm (60 tháng) thì số tiền trong sổ là:

60
 0,9 
Áp dụng công thức lãi kép: T  M .1  r   80000000.1    1369349345,6
60
 100 
b) Gọi M là số tiền gốc gửi vào sổ tiết kiệm,
a là số tiền mà hằng tháng anh ta rút ra,r là lãi suất hằng tháng (đơn vị %).
Sau n tháng, số tiền mà anh ta rút ra hàng tháng tổng cộng là:
a
Áp dụng công thức Lãi kép, gửi hàng tháng: Tn  1  r   1
n
r 
Số tiền ban đầu, sau n tháng là: M 1  r 
n
- 39 -
Bài 2. Anh A mua nhà trị giá 300000000 (Ba trăm triệu đồng) theo phƣơng thức
trả góp.
Câu 1: (5 điểm) Nếu cuối mỗi tháng , bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5500000đ
và chịu lãi suất số tiền chƣa trả là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết
số tiền trên.
Câu 2: (5 điểm) Nếu anh A muốn trả hết nợ trong vòng 5 năm và phải trả lãi với
mức 6%/năm thì mỗi tháng anh A phải trả bao nhiêu tiền? (làm tròn đến nghìn
đồng).
Giải
Câu 1:
Gọi số tiền anh A nợ ban đầu là M, lãi suất hàng tháng là r %, số tiền hàng tháng
anh ta phải trả là a.Với đề bài này có thể coi là “ngƣời nợ tiền nợ vào đầu tháng”.
Sau n tháng thì số tiền ngƣời này nợ là: M 1  r 
n
a
Số tiền ngƣời này phải trả sau n tháng : 1  r   1
n
r
a
Ngƣời này trả hết nợ, nghĩa là M 1  r   1  r   1  0
n n
Màn hình hiển thị:
Vậy n  64 tháng
a
Câu 2. Thay vào công thức M 1  r   1  r   1  0
n n
r
Với M  300000000; r  6% / năm ; n  5 . Tìm a( tiền trả hàng năm)
12a 
Vậy tiền trả hàng tháng áp dụng công thức : M 1  r   1  r   1  0
n n
r 
Màn hình hiển thị : Chỉnh sửa lại màn hình ở câu trên
- 40 -
Bài 3. : Trích đề thi giải toán trên MTCT lớp 9 tỉnh Gia Lai năm 2013-2014
Bố bạn An tặng cho bạn ấy một máy tính Laptop trị giá 14.000.000 đồng (mười bốn
triệu đồng) bằng cách cho bạn tiền hàng tháng với phƣơng thức sau: Tháng đầu tiền
bạn An nhận đƣợc 200.000 đồng (hai trăm nghìn đồng), các tháng từ tháng thứ hai
trở đi, mỗi tháng nhận đƣợc số tiền hơn tháng trƣớc 50.000 đồng (năm mươi nghìn
đồng).
1. Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền nhận đƣợc hàng tháng với lãi suất
0,65%/tháng, thì bạn An phải gửi bao nhiêu tháng mới đủ tiền mua máy vi
tính?
2. Nếu bạn An muốn có ngay máy tính bằng cách chọn phƣơng thức mua trả
góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,8%/tháng, thì bạn An phải
trả góp bao nhiêu tháng mới trả hết nợ?
Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS
- 41 -
Bài 2 : Trích đề thi giải toán trên MTCT lớp 9 tỉnh Hậu Giang năm 2011-2012
Một ngƣời đƣợc lĩnh lƣơng khởi điểm là 700.000đ/tháng. Cứ ba năm anh ta lại
đƣợc tăng lƣơng thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta đƣợc lĩnh tất cả bao
nhiêu tiền (Lấy chính xác đến hàng đơn vị).
Giải
Bài 3. Một người đem hai số tiền gửi không kì hạn vào ngân hàng. Số tiền thứ nhất
gửi với lãi suất 4%/năm trong 3 tháng và số tiền thứ 2 gửi với lãi suất 5%/năm
trong 7 tháng thì được hai số tiền lãi bằng nhau. Nếu gửi thêm mỗi bên 15 triệu
- 42 -
38
đồng thì tỉ số tiền gửi hai bên lúc bấy giờ là . Hỏi số tiền gửi mỗi bên lúc đầu là
15
bao nhiêu?
(Đề thi HSG giải toán trên MTCT tỉnh Sóc Trăng – năm học 2013 – 2014)
ĐS: 175 triệu và 60 triệu
Bài 4. Năm ngoái tổng dân số của hai tỉnh X và Y là 3500000 ngƣời. Dân số tỉnh X
năm nay tăng 1,2 %, còn tỉnh Y tăng 1,4 %. Tổng dân số của hai tỉnh năm nay là
3545800 ngƣời. Tính dân số của mỗi tỉnh năm nay.
(Đề thi HSG giải toán trên MTCT tỉnh Sóc Trăng – năm học 2010 – 2011)
Chuyên đề 6. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Dạng 1. Dãy số cho dạng công thức tổng quát
9    
n n
11  9  11
Ví dụ 1. Cho dãy số u n 
2 11
a) Tính năm số hạng đầu của dãy số
- 43 -
b) Tìm công thức tính u n  2 theo u n và u n 1
c) Viết quy trình bấm phím liên tục tính u n  2 theo u n và u n 1 từ đó tính u 5 và u 7
Giải
a) Thay lần lƣợt n  0,1, 2,3, 4 vào công thức ta đƣợc
n 0 1 2 3 4
un 0 -1 -18 -254 -3312
b) Giả sử u n 2  au n 1  bu n  c (*). Thay n  0,1,2 vào công thức, ta có:
 u 2  au1  bu 0  c

 u 3  au 2  bu1  c (1)
u  au  bu  c
 4 3 2
Thay các giá trị u 0 ,..., u 4 vào hệ (1) ta đƣợc:

 a  c  18

 18a  b  c  254
254a  18b  c  3312

Giải hệ phƣơng trình ta đƣợc: a  18; b  70; c  0 . Vậy u n 2  18u n 1  70u n
c) Quy trình bấm phím
Gán u1  1  A : ấn phím z1qJz
Gán u 2  18  B : ấn phím z1qJx
Biến đếm: 2  X bằng cách 2qJ)
Ghi vào màn hình: X  X  1: A  18B  70A : X  X  1: B  18A  70B , ấn r đến khi
X  X  1  5 , ta đƣợc u 5
Ví dụ 2. Cho dãy số với số hạng tổng quát đƣợc cho bởi công thức :
13+ 3  - 13- 3 
n n
U =
n với n = 1, 2, 3, ……, k, …..
2 3
a) Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1
Giải
a)
U1 = 1 U5 = 147884
U2 = 26 U6 = 2360280
U3 = 510 U7 = 36818536
U4 = 8944 U8 = 565475456
b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1
510  a.26  b.1 26a  b  510
Theo kết quả tính đƣợc ở trên, ta có:  
8944  a.510  b.26 510a  b26  8944
- 44 -
Giải hệ phƣơng trình trên ta đƣợc: a = 26,b = -166
Vậy ta có công thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1
c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 500MS:
Ấn phím:
26 Shift STO A x 26 - 166 x 1 Shift STO B
Lặp lại dãy phím
x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A
x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B
Ví dụ 3. Cho dãy số với số hạng tổng quát đƣợc cho bởi công thức :
13+ 3  - 13- 3 
n n
U =
n với n = 1, 2, 3, ……, k, …..
2 3
a) Tính U1, U2,U3,U4( chØ nªu ®¸p sè)
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1. TÝnh U8-U5.
Giải
a) U1 = 1; U2 = 26; U3 = 510; U4 = 8944.
b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1
Theo kết quả tính đƣợc ở trên, ta có:
510  a.26  b.1 26a  b  510
 
8944  a.510  b.26 510a  b26  8944
Giải hệ phƣơng trình trên ta đƣợc: a = 26,b = -166
Vậy ta có công thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1
c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 500MS:
Quy tr×nh bÊm phÝm trªn m¸y 570 MS
1 SHIFT STO A 26 SHIFT STO B 2 SHIFT STO C (biÕn
®Õm) ALPHA C ALPHA = ALPHA C + 1 ALPHA : ALPHA A
ALPHA = 26 ALPHA B - 166 ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA =
ALPHA C + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 26 ALPHA A - 166 ALPHA
B Ên = liªn tiÕp ®Õn khi dßng trªn xuÊt hiªn C=C+1 cho kÕt qu¶ = n+1 th× ta Ên
tiÕp 1 lÇn = sÏ ®-îc un+1
U5 = 147 884; U6 = 2 360 280; U7 = 36 818 536; U8 = 565 475 456
=> U8 – U5 = 565 327 572
Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho dãy số với số hạng tổng quát đƣợc cho bởi công thức :
- 45 -
13+ 3  - 13- 3 
n n
U =
n với n = 1, 2, 3, ……, k, …..
2 3
a) Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1
5  7   5  7 
n n
Bài 2: Cho dãy số U n  với n = 0; 1; 2; 3; ...

2 7
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4
b) Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un .
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un.
10  3   10  3 
n n
Bài 3: Cho un  với n = 1; 2; 3; ...

2 3
a) Tính u0 , u1 , u2 , u3 , u4
b) Lập công thức truy hồi để tính un 2 theo un 1 và un
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính un 2 theo un 1 và un và tính u5 , u6 ,..., u16
Bài 4 Cho un   3  7    3  7  với n = 0; 1; 2; ...
n n
a) Lập công thức truy hồi để tính un 2 theo un 1 và un

b) Lập quy trình ấn phím liên tục tính un ( n = 5; 6; ...)
c) Tính u5 , u6 , u7 , u8 , u9 ?
n n
 3 5   3 5 
Bài 5 Cho un        2 với n = 0; 1; 2; ...
 2   2 
a) Tính u0 , u1 , u2 , u3 , u4
b) Lập công thức truy hồi để tính un 2 theo un 1 và un
c) Tính từ u10 đến u15 ?
Bài 6 Cho dãy số với số hạng tổng quát đựoc cho bởi công thức:
. 15   7  2 15  n +  . 15   7  2 15  n với n=1,2,3,…
 17 13 
U n =  
17 13 
 110 22   110 22 
a) Tính U 1 ;U 2 ;U 3 ;U 4 ;U 5 ;U 6 .
b) Lập công thức truy hồi tính U n  2 Theo U n 1 và U n .
c) Lập quy trình ấn phím liên tục để tính U n  2 Theo U n 1 và U n .
4    
n n
11  4  11
Bài 7 Cho un  với n = 0;1; 2; 3; ...
2 11
a) Tính u0 , u1 , u2 , u3 , u4
b) Viết công thức truy hồi để tính un 2 theo un 1 và un
c) Tính từ u11 đến u13 ?
- 46 -
3  2   3  2 
n n
Bài 8 Cho un  với n = 1; 2; 3; ...

2 2
a) Lập công thức truy hồi để tính un 2 theo un 1 và un

b) Tính tổng 20 số hạng đầu của dãy số
2  3   2  3 
n n
Bài 9 Cho dãy số un 

2 3
a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên.

b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Dạng 2. Dãy số cho biết một số hạng:

1) Ví dụ
4u 2n  5
Ví dụ 1. Cho dãy số xác định bởi u1  0, 25; u n 1  . Tính u 5 ,u10 ,u15 ,u 20
u 2n  1
Giải
Gán 0,25  Ans
4Ans 2  5
Lập trình: ấn = ta đƣợc u 2 , từ đó tìm đƣợc
Ans 2  1
u5  4,0572563;u10  4,057269071;u15  4,057269071;u 20  4, 057269071
 u1  1

Ví dụ 2. Cho dãy số  31 , tính u 21 , u 22 , u 23
u n  2u  2
 n 1
Giải
Gán 1  Ans
31
Lập trình: =......, ta đƣợc
2Ans  2
u 21  4,017083133;u 22  4,035925755;u 23  4,021972456
21
Ví dụ 3. Cho dãy số xác định nhƣ sau: u1  2;u n  . Tính
3u n 1  1
2u 7  5u10
A  u 20
u14  6
Giải
Gán 2  Ans
21
Quy trình: , tính đƣợc u 7 ,u10 ,u14 ,u 20 . Từ đó tính đƣợc
3Ans  1
A  6,841423193
- 47 -
2) Bài tập tự luyện
 u1  1
Bài 1. Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:  un  2
 u   , n N *
un  1
n 1

an3  an
Bài 2: Cho dãy số a1  3 ; an + 1 = .
1  an3
a) Lập quy trình bấm phím tính an + 1
b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10
1 xn3  1
Bài 4: Cho dãy số x1 = ; xn1  .
2 3
a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1
b) Tính x30 ; x31 ; x32
4  xn
Bài 5: Cho dãy số xn1  (n  1)
1  xn
a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.
b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.
4 xn2  5
Bài 6: Cho dãy số xn1  (n  1)
1  xn2
a) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của x n + 1
b) Tính x100
an2  an  1  1
Bài 7. Cho dãy số a0  1, an1  với n = 0,1,2,…
an
1) Lập quy trình bấm phím tính an1 trên máy tính cầm tay
2) Tính a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a10 , a15
Dạng 3. Dãy số cho biết hai số hạng

1) Ví dụ

 u1  1; u 2  1
Ví dụ 1: Cho dãy số nhƣ sau:  . Tính u13 của dãy số

u n  u n1  u n2 (n  3)

Giải
Gán: 2  X (biến đếm)
1 A
1 B
Quy trình: X  X 1: C  B  A : A  B: B  C r==...
Ví dụ 2: Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n  2)
- 48 -
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
b) Áp dụng quy trình trên để tính U13, U17?
Cách làm:
8 →A Gán 8 vào ô nhớ A (U1)
13 → B Gán 13 vào ô nhớ B (U2)
B+A → A Dòng lệnh 1 (U3)
A +B→ B Dòng lệnh 2 (U4)
Đƣa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu  n – 4
 SHIFT   ...
lần và đọc kết quả. (U13 = 2 584; U17 = 17 711)
Ví dụ 3: Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n  2)

b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17?
Cách làm:
1→A Gán 1 vào ô nhớ A (U1)
2→B Gán 2 vào ô nhớ B (U2)
2B - 4A → A Dòng lệnh 1 (U3)
2A - 4B → B Dòng lệnh 2 (U4)
 SHIFT   ... lần và đọc kết quả. (U15 = 0; U16 = -32 768; U17 = -
65 536)
2) Bài tập
Bài 1. Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n  2)

b) Áp dụng quy trình trên để tính U13, U17?
Bài 2. Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n  2)
b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17?
Bài 3:Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1. (n  2)
a) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio
b) Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20
Bài 4:Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1. (n  2)
- 49 -
a) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio
b) Tính các giá trị của Un với n = 12, 48, 49, 50
Bài 5. Cho dãy số U1 = 2, U2 = 20 , Un + 1 = 2Un + Un + 1 (n  2).
a) Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8
b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un
c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25
Bài 6. Cho dãy số ( u n ) đƣợc xác định nhƣ sau:
1 1
u1  1 ; u 2  2 ; u n2  3u n1  2u n với mọi n  N * . Tính u 25 ?
2 3
Bài 7 Cho u1  u2  1, un1  un2  un21
a) Viết quy trình tính un1

b) Tính u6 , u7 , u8 , u9
Bài 8. Cho u1  1; u2  7 và un1  3un2  2un
a) Tính u5 ; u6 ; u7 ?
b) Số 196603 là số hạng thứ mấy ?
Bài 9. Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 ; U2 ; U3 ;. . . ; Un ; Un+1; . . .
biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; U n1  3U n  2U n1 . Tính U1 ; U2 ; U25
Bài 10. Cho U 0  2 ; U1  10 và U n1  10U n  U n1 , n = 0; 1; 2; 3; . . .
1. Lập quy trình tính U n1 .
2. Tìm công thức tổng quát của U n .
3. Tính U 2 ; U 3 ; U 4 ; U 5 ; U 6 .
Dạng 4. Dãy số cho biết ba số hạng
1) Ví dụ
Ví dụ 1: Cho dãy số sắp xếp nhƣ sau: u1 , u2, u3 ,..., un , un1 ,... biết:
u1  1, u 2  2, u3  3; un  un1  2un2  3un3 (n  4)

a)Tính u4 , u5 , u6 , u7 .
b).Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un víi n  4 .
c). Sử dụng qui trình trên, tính gía trị của u20 , u22 , u25 , u28 .
Giải
- 50 -
a) G¸n 1; 2; 3 lÇn l-ît cho A, B, C. BÊm liªn tôc c¸c phÝm: 3, Alpha, A, , 2, Alpha,
B, , Alpha, C, Shift, STO, D, ghi kÕt qu¶ u4.
LÆp l¹i thªm 3 l-ît: 3, Alpha, B, , 2, Alpha, C, , Alpha, D, Shift, STO, A, ....
(theo qui luËt vßng trßn ABCD, BCDA, CDAB,...). BÊm phÝm  trë vÒ l-ît 1, tiÕp
Shift_copy, sau ®ã bÊm phÝm "=" liªn tôc vµ ®Õm chØ sè.
u4  10; u5 =22; u 6 =51; u 7 =125
b) Nªu phÐp lÆp
c) Dïng phÐp lÆp trªn vµ ®Õm sè lÇn ta ®-îc:
u20  9426875;u22  53147701;u 25  711474236; u28  9524317645
Ví dụ 2. Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un (n  2)

b) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68?
c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy (S20)?
Cách làm:Câua+b)
1→A Gán 1 vào ô nhớ A (U1)
2→B Gán 2 vào ô nhớ B (U2)
3→C Gán 3 vào ô nhớ C (U3)
2C – 3B + 2A → A DL1:U4 = 2U3 - 3U2 +2U1
2A – 3C + 2B → B DL2:U5 = 2U4 - 3U3 +2U2
2B – 3A + 2C → C DL3:U6 = 2U5 - 3U4 +2U3

lần và đọc kết quả. (U19 = 315; U20 = -142;
  SHIFT   ...
U66 = 2 777 450 630; U67 = -3 447965 925;
U68 = -9 002 867 128 )
2) Bài tập
Bài 1 Cho dãy (un) định bởi:
1 1 1 1 1 1
u1  ; u2   ; u3   
1.3.5 1.3.5 3.5.7 1.3.5 3.5.7 5.7.9
1 1 1
un    ...  (n  1,2,3..)
1.3.5 3.5.7 (2n  1)(2n  1)(2n  3)
a) Lập quy trình ấn phím để tính số hạng tổng quát un
b) Tính đúng giá trị u50 , u60.
c) Tính đúng u1002
- 51 -
1 1 1
Bài 2. Cho dãy (un) định bởi: U1  1  ; U 2  1  ; U3  1 
2 1 1
1 1
2 1
1
2
a) Tính U10
b) Tính gần đúng S  U1  U2  U3  ....  U20
 u1  1;u 2  2;u 3  2


Bài 3. Cho dãy số (un) định bởi:  1 2

u n  u n2  u n1  u n n  , n  1

 2 3
a) Lập quy trính bấm phím liên tục tính u n , Sn , trong đó u n là số hạng thứ n, Sn
là tổng của n số hạng
b) Tính u 20 ; S25

 u1  u 2  u 3  1
Bài 4. Cho dãy số (un) định bởi: 
u n1  u n  u n1  u n2  n  , n  1


a) Lập quy trính bấm phím liên tục tính u n ,
b) Tính u10 ;u 20 ;u 30 ;u 40

 u1  u 2  1;u 3  2


Bài 5. Cho dãy số (un) định bởi:  2 1

u n3  u n2  u n1  u n n  , n  1

 3 2
a) Lập quy trính bấm phím liên tục tính u n , Sn , trong đó u n là số hạng thứ n, Sn
là tổng của n số hạng
b) Tính u 20 ; S25

 u1  1;u 2  2;u3  3
Bài 6. Cho dãy số (un) định bởi: 
u n1  2u n  3u n1  4u n2  n  , n  3


a) Lập quy trính bấm phím liên tục tính u n ,
b) Tính u15 ;u 20 ;
Dạng 5. Dãy số bậc hai, dãy chẵn lẻ

Bài 26. Cho dãy số U n  xác định bởi công thức:
U n  2  2U n 1  3U n  1 ( với n lẻ)
U  3U  2U  1 ( với n chẵn) và U  1,U  2 , n là số tự
 n2 n 1 n 1 2
nhiên khác 0
a) Tìm U5 ,U10 ,U15
b) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy số đó
Hƣớng dẫn
a) U5  63,U10  9088,U15  1788206
- 52 -
1 X,2 Y
b) Qui trình: 1  A, 2  B,3  D
X  X  2 : A  2 B  3 A  1: Y  Y  2 : B  3 A  2 B  1: D  D  A  B
S= 419745702
Bài 27. Cho dãy số U n đƣợc xác định nhƣ sau:
U1  1
U2  2

 .U 2n  2010 nÕu n lÎ
 3 U
U n2  
n 1


 3 U 2 .U  2011 nÕu n ch½n

 n1 n
a) Tính U10 ;U15 ;U 21 ;U 27 (kết quả làm tròn đến 6 chữ chữ số thập phân )
b) Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số U n . Tính S10 ;S15 ;S 21 ;S 27
(kết quả làm tròn đến 6 chữ số thập phân).
1 2 3 n 1
Bài 28. Cho un  1  2
 2  2  ...  i. 2 ( i  1 nếu n lẻ, i  1 nếu n chẵn, n là số
2 3 4 n
nguyên n  1).
a) Tính chính xác dƣới dạng phân số các giá trị: u4 , u5 , u6 .
b) Tính giá trị gần đúng các giá trị: u20 , u25 , u30 .
c) Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị của un
2un 1  3un , nếu n lẻ
Bài 29. Cho dãy số un xác định bởi: u1  1; u2  2; un 2  
3un1  2un , nếu n chẵn
a) Qui trình bấm phím để tính un và Sn:
b) Tính giá trị của u10 , u15 , u21
c) Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số  un  . Tính S10 , S15 , S20 .
Dạng 6. Dãy số cấp 2
Ví dụ 1. Cho hai dãy số với các số hạng tổng quát đƣợc cho bởi công thức :
 u1  1; v1  2

un 1  22vn  15un với n = 1, 2, 3, ……, k, …..
 v  17v  12u
 n 1 n n
a) Tính u5 , u10 , u15 , u18 , u19 ; v5 , v10 , v15 , v18 , v19

b) Viết quy trình ấn phím liên tục tính un 1 và vn 1 theo un và vn .
Ví dụ 2. Cho dãy hai số un và vn có số hạng tổng quát là:
- 53 -
5  2 3   5  2 3  7  2 5   7  2 5 
n n n n
un  và vn  ( n  và n  1)
4 3 4 5
Xét dãy số zn  2un  3vn ( n  và n  1).
a) Tính các giá trị chính xác của u1 , u2 , u3 , u4 ; v1 , v2 , v3 , v4 .
b) Lập các công thức truy hồi tính un 2 theo un 1 và un ; tính vn 2 theo vn 1 và vn .
c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính
un 2 , vn 2 và zn  2 theo un1 , un , vn1 , vn ( n  1, 2, 3, ... ). Ghi lại giá trị chính xác
của: z3 , z5 , z8 , z9 , z10
 x  3x n 1  4y n 1 x  3
Ví dụ 3. Cho dãy số xác định bởi:  n , biết  0
 y n  2x n 1  3y n 1  y0  2
a) Viết quy trình tính  x n ; yn 
b) Tính  x 5 ; y5  và  x10 ; y10 
Dạng 7. Một số dạng khác
Bài 33. Cho dãy số U n  đƣợc tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của
hai số trƣớc cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1.
a) Lập một quy trình tính un.
b) Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9
80 120
Bài 34: Cho dãy số có: U1 = 60; U2 = 40; U3 = ; U4 = ; … không thoả mãn:
3 7
từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó
với một số không đổi.
1) Tìm các số hạng U5; U7; U10. Tính tổng S10 của 10 số hạng đầu tiên của
dãy số và tích P6 của 6 số hạng đầu tiên của dãy số.
2) ViÕt quy tr×nh nhÊn phÝm ®Ó t×m liªn tiÕp theo tr×nh tù: sè h¹ng thø n, tæng
Sn, tÝch Pn cña n sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè.
3k 2  3k  1
Bài 35. Cho các số a1 , a2, a3 ,..., a2011 . Biết ak  với k  1;2;3;....;2011.
( k 2  k )3
Tính S  a1  a2  a3  ....  a2011 . (viết kết quả dƣới dạng phân số tối giản
Ta có : ak =
k 3
+ 3k 2 + 3k + 1 - k 3
=
 k + 1 - k3
3
=
1
-
1
 k + 1  k + 1 .k 3 k  k + 13
3 3 3
.k 3
1 1 1 1 1 1 
Do ñoù: a1 + a2 + a3 + . . . + a2003 =  3 - 3    3 - 3   .......   3
- 3 
1 2   2 3   2011 2012 
1 8144865727
 1 3

2012 8144865728
- 54 -
1 1 1 1
Bài 36. Cho Sn   2  3  ...  n với n*
3 3 3 3
a) Lập quy trình bấm phím để tính Sn
b) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của S15
1 2 3 n
Bài 37. Cho Sn       , n là số tự nhiên.
2  3 3 4 4  5  n  1 n  2 
Tính S10 và cho kết quả chính xác là một phân số hoặc hỗn số.
Bài 38. Cho dãy số : 13; 25; 43; …; 3(n2 + n) + 7
a. Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy. Tính S15; S19; S20
b. Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Sn
Chuyên đề 7. TOÁN THỐNG KÊ

I,Thuật toán:
MOD/3/1,vào SHIFT/SETUP/  /4/1
+SUM(SHIFT/1/4)
.  x 2 : tổng bình phương dử liệu:(shift/1/4/1/=)
.  x : tổng các giá trị:(shift/1/4/2/=)
+ VAR( shift/1/5)
.n: tổng tần số:(shift/1/5/1/=)
. x : số trung bình cộng: (shift/1/5/2/=)
. x n : độ lệch tiêu chuẩn: (shift/1/5/3/=)
. x n1 ; độ lệch tiêu chuẩn mẫu :(shift/1/5/4/=)
+MinxMax: shift/1/6
.Minx: cực tiểu (shift/1/6/1/=)
.Maxx: cực đại (shift/1/6/2/=)
+ Phương sai: Lấy x n bình phương, ta có x n2 là phương sai :(shift/1/5/3/x2/=)
II,Bài toán:
Bài 1. Cho bảng số liệu sau. Hãy tính Tổng số trứng (  x ); số trứng trung bình của
mỗi
con gà ( x ); phƣơng sai ( x 2 ) và độ lệch tiêu chuẩn (  x )?
- 55 -
Số lƣợng 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
trứng
Số gà mẹ 6 10 14 25 28 20 14 12 9 7
Bài 2: Điểm kiểm tra môn toán ở lớp 9A và 9B đƣợc thống kê nhƣ sau (n là điểm
số, trong bảng là số học sinh đạt điểm n):
n 3 4 5 6 7 8 9 10
9A 3 2 7 7 9 5 4 4
9B 1 1 3 15 10 9 1 1
2.1. Tính điểm trung bình của môn học của hai lớp. Tính phýõng sai và ðộ
lệch tiêu chuẩn?
2.2. Gọi 3, 4 là điểm yếu; 5, 6 là điểm trung bình; 7, 8 là điểm khá và 9, 10 là
điểm giỏi. Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt điểm yếu, trung bình, khá, giỏi của
hai lớp. Kết luận?
Bài 3 : Cho số liệu :
Biến lƣợng 135 642 498 576 637

Tần số 7 12 23 14 11
Tính tổng số liệu, số trung bình và phƣơng sai n 2 ( n 2 lấy 4 số lẻ).
Bài 4: Cho số liệu :
Số liệu 173 52 81 37
Tần số 3 7 4 5
Tìm số trung bình X , phƣơng sai 2x (n2 ) ( Kết quả lấy 6 số lẻ)
Bài 5. (4 ®iÓm) Sè ®iÓm mét bµi kiÓm tra m«n “To¸n – Casio” cña häc sinh líp 7A
Tr-êng Hµ huy TËp ®-îc thèng kª nh- sau:
9 5 3 7 7 8 9 10 9 4
10 6 3 6 4 9 8 10 6 7
3 4 5 3 8 8 9 5 8 9
7 7 5 6 7 8 5 7 8 8
TÝnh sè häc sinh n cña líp 7A, gi¸ trÞ trung b×nh X vµ ph-¬ng sai  n2 ?
Bài 6: Trong đợt khảo sát chất lƣợng đầu năm, điểm của hai lớp 9A, 9B đƣợc cho
trong bảng sau:
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3
9A 16 14 11 5 4 11 12 4
9B 12 14 16 7 1 12 8 1
- 56 -
6.1 Tính điểm trung bình của mỗi lớp. Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ
hai.
6.2 Tính độ lệch chuẩn và phƣơng sai của dấu hiệu điểm của mỗi lớp 9A, 9B. Kết
quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
Bài 7: (3 điểm) Trong đợt khảo sát chất lƣợng đầu năm, điểm của ba lớp 9A, 9B,
9C đƣợc cho trong bảng sau:
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3
9A 16 14 11 5 4 11 12 4
9B 12 14 16 7 1 12 8 1
9C 14 15 10 5 6 13 5 2
a) Tính điểm trung bình của mỗi lớp. Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai.
b) Nếu gọi X số trung bình cộng của một dấu hiệu X gồm các giá trị
x1 , x2, x3 ,..., xk có các tần số tƣơng ứng là n1 , n2 , n3 ,..., nk , thì số trung bình của
các bình phƣơng các độ lệch của mỗi giá trị của dấu hiệu so với X :
       
2 2 2 2
n1 x1  X  n2 x2  X  n3 x3  X  nk xk  X
sx2 
n1  n2  n3   nk
gọi là phƣơng sai của dấu hiệu X và sx  sx2 gọi là độ lệch chuẩn của dấu
hiệu X.
Áp dụng: Tính phƣơng sai và độ lệch chuẩn của dấu hiệu điểm của mỗi lớp
9A, 9B, 9C. Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai.
Bài 8: Trong ñôït khaûo saùt chaát löôïng ñaàu naêm cuûa 3 lôùp 7A, 7B, 7C ñöôïc cho
trong baûng sau:
Ñieåm 10 9 8 7 6 5 4 3
7A 16 14 11 5 4 1 0 4
7B 12 14 16 7 1 1 4 0
7C 14 15 10 5 6 4 1 0
a. Tính điểm trung bình của mỗi lớp

b. Tính ñoä leäch tieâu chuaån, phöông sai cuûa moãi lôùp
c. Xeáp haïng chaát löôïng theo ñieåm cuûa moãi lôùp
Bµi 9: Bµi kiÓm tra m«n Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio cña 22 em häc sinh víi
thang ®iÓm lµ 90 cã kÕt qu¶ ®-îc thèng kª nh- sau.
- 57 -
30 40 30 45 50 60 45 25 30 60 55
50 45 55 60 30 25 45 60 55 35 50
1. L©p b¶ng tÇn sè. 2. TÝnh gi¸ trÞ trung b×nh: X . 3. TÝnh tæng gi¸
trÞ:x
4.TÝnh: x2 . 5. TÝnh n. 6. TÝnh (n-1) 7. TÝnh 2n.
Baøi 10: Trong ñôït khaûo saùt chaát löôïng ñaàu naêm, ñieåm cuûa ba lôùp 9A , 9B , 9C
ñöôïc cho trong baûng sau :
Ñieåm 10 9 8 7 6 5 4 3
9A 16 14 11 5 4 1 0 4
9B 12 14 16 7 1 1 4 0
9C 14 15 10 5 6 4 1 0
a) Tính ñieåm trung bình cuûa moãi lôùp?
b) Tính ñoä leäch tieâu chuaån, phöông sai cuûa moãi lôùp?
Chuyên đề 8. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
1. Tính giá trị đa thức
3x5  2x 4  3x2  x
Ví dụ : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A  khi x = 1,8165
4x3  x2  3x  5
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans

Aán phím: 1 . 8165 
( 3 Ans ^ 5  2 Ans ^ 4  3 Ans x 2  Ans  1 )
 ( 4 Ans ^ 3  Ans x 2  3 Ans  5 ) 
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X
Ấn phím: 1 . 8165 SHIFT STO X
( 3 ALPHA X ^ 5  2 ALPHA X ^ 4  3 ALPHA X x 2  ALPHA X  1 )
 ( 4 ALPHA X ^ 3  ALPHA X x 2  3 ALPHA X  5 ) 
Dạng 2: Tìm dƣ trong phép chia đa thức P(x)
cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn đƣợc P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong
b b
đó r là một số (không chứa biến x). Thế x   ta đƣợc P(  ) = r.
a a
b
Nhƣ vậy để tìm số dƣ khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(  ),
a
lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
- 58 -
x14  x9  x5  x 4  x2  x  723
Ví dụ Tìm số dƣ trong phép chia:P=
x  1,624
Số dƣ r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1. 624 SHIFT STO X
ALPHA X ^ 14  ALPHA X ^ 9  ALPHA X ^ 5
 ALPHA X ^ 4  ALPHA X ^ 2  ALPHA X  723 
Kết quả: r = 85,92136979
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn đƣợc

P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0
b
hay m = -r = - P(  ). Nhƣ vậy bài toán trở về dạng toán 1.
a
Ví dụ 3.1: Xác định tham số
(Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000).
Tìm a để x4  7x3  2x2  13x  a chia hết cho x+6.-
- Giải -
Số dƣ a   (6)4  7(6)3  2  6   13  6 
2

Ấn các phím: () 6 SHIFT STO X
() ( ALPHA X ^ 4  7 ALPHA X x3  2 ALPHA X x2  13 ALPHA X )

Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
Số dƣ a2 = - 3  3  17  3  625 => a =   3  3  17  3  625
3 3

() ( 3 ( () 3 ) x3  17 ( () 3 )  625 ) 
Kết quả: a =  27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757.
Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = -
27,51363298
Vi du3.3
- 59 -
Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x)
= 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có: P1     m  0  m   P1   
2 2
 3  3
2
Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại x   ta đƣợc m =
3
Vi du3.4:
Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n
1
Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung x0 
2
H.Dẫn:
là nghiệm của P(x) thì m =  P1   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5

1 1
x0 
2 2
là nghiệm của Q(x) thì n= Q1   với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.

1 1
x0 
2 2
Tính trên máy ta đƣợc: m =  P1   = ;n = Q1   =

1 1
2 2
Vi du3.5:
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m;Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức
R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
a) Giải tƣơng tự VD 3.4, ta có: m = ;n =
b) P(x)  (x - 2) và Q(x)  (x - 2)  R(x)  (x - 2)
- 60 -
Ta lại có: R(x) = x - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên
3
R(x) chỉ có một nghiệm x = 2.
Ví dụ 3.6
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x .
1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm đƣợc ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:
3 3
1 1
x= 2 + 2
3 3
1 1 1 1
2 2
Giải:
1. f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết đƣợc dƣới d ạng
f(x) + m = Q(x)(x+6)
do đ ó f(-6) + m = 0  m = - f(-6)
HS lập quy trình tính đ úng k ết quả
 m = - f(-6) = - (- 642)= 642
2. Với m = 642
ta đƣợc đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642
Học sinh tính đƣợc x = 1.
Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665
- 61 -
CHƢƠNG 2. SỐ HỌC
BÀI 1. TÌM THƢƠNG VÀ DƢ CỦA PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN
Phương pháp:
1) Định lí: Với hai số tự nhiên bất kì a  b; b  0 luôn tồn tại duy
nhất một cặp số tự nhiên q và r sao cho a  b.q  r ,suy ra r  a  b.q
2) Cách tìm dư trên máy tính cầm tay
a) Số bị chia không quá lớn
Bước 1: Thực hiện phép chia a cho b, được kết quả là c, ghi nhớ phần
nguyên cùa c đặt q   c 
Bước 2. Thực hiện a  b.q  r
b) Số bị chia quá lớn
- Tách a thành nhiều nhóm ( không quá 10 số), tìm dư phần đầu khi chia
cho b
- Viết phần còn lại vào sau số dư vừa tìm , rồi thực hiện phép chia tiếp
tục cho đến hết
Bài 5.1.Tìm thƣơng và dƣ của phép chia 987654321 cho 12345
Hƣớng dẫn
Cách 1.
Bấm phím: 987654321P12345=
Kết quả:
Bấm $ đƣa con trỏ lên màn hình sửa dấu P thành dấu p và nhập tiếp O80004 nhƣ
sau 987654321p12345O80004
- 62 -
Bấm phím =. Kết quả:
Vậy thƣơng cần tìm là 80004 và dƣ là 4941

Cách 2. Tính trên máy 570 VN Plus
987654321Qa12345=
Kết quả:
Bài 5.2. Tìm số dƣ của phép chia 135792468013579 cho24680.
Hƣớng dẫn
Bƣớc 1: Ta tìm số dƣ của phép chia 1357924680 cho 24680. Kết quả là 6400.
Bƣớc 2: Tiếp tục tìm số dƣ của phép chia 640013579 cho 24680. Kết quả là 11819.
Kết luận: Vậy số dƣ của phép chia 135792468013579 cho 24680 là11819.
Bài 5.3. Tìm dƣ của phép chia: 126 cho 19
Hƣớng dẫn
Ta có:
122  144  11(mod19)
126  122   113  1 (mod19)
3
Vậy dƣ của phép chia 126 cho 19 là r  1

Bài 5.4. Tìm dƣ của phép chia 2004376 cho 1975
Hƣớng dẫn
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
20042  841(mod1975)
20044  8412  231(mod1975)
200412  2313  416(mod1975)
200448  4164  536(mod1975)
Vậy
- 63 -
2004  416.536  1776(mod1975)
60
200462  1776.841  516(mod1975)

200462.3  5133  1171(mod1975)
200462.6  11712  591(mod1975)
200462.6 4  591.231  246(mod1975)
Kết quả: Số dƣ của phép chia 2004376 cho 1975 là 246
Bài 5.5. Tìm dƣ trong phép chia 20032005 cho 2007
Hƣớng dẫn
Ta có: 2003  16mod 2007
 20032   200310  165  922mod 2007
5
 200320  9222  1123mod 2007

 200340  11232  733mod 2007
 200320.200340  200360  1123.733  289mod 2007
Tƣơng tự 2003100  200340.200360  733.289  1102mod 2007
 2003200  11022  169mod 2007  2003800  1694  1627 mod 2007
 20031000  2003200.2003800  169.1627  4mod 2007
 20032000  42  16mod 2007
Mặt khác 20035  983mod 2007
Do đó: 20032005  16.983  15728  1679mod 2007
Vậy số dƣ cần tìm: 1679
*Kiến thức bổ trợ về đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dƣ ta
nói a đồng dƣ với b theo modun c ký hiệu a  b(mod c)
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c ,m,n thuộc Z+
a  a(mod m)
a  b(mod m)  b  a(mod m)
a  b(mod m); b  c(mod m)  a  c(mod m)
a  b(mod m); c  d (mod m)  a  c  b  d (mod m)
a  b(mod m); c  d (mod m)  ac  bd (mod m)
a  b(mod p)  k.a  k.b(mod p)
Phƣơng pháp
a) Thủ công : Dùng tính chất đồng dƣ số học , nâng lũy thừa 2 vế lớn dần
b) Dùng định lí Ơle, và Fecma
* Ơle:
Nếu (a,m)=1 thì a (m)  1(mod m) , trong đó
- 64 -
1 1 1
(m)  m(1  )(1  ).....(1  )
p1 p2 pk
* Fecma: p là số nguyên tố , a là số nguyên tùy ý ta có :
a p  a(mod p) , đặt biệt :  a,p   1 thì: a p1  1(mod p)

.Nếu  a,m   r  1 , ta không thể áp dụng định lí Ơle một cách trực tiếp. Ta làm
nhƣ sau:
G/s : a=r.q, m=r.t ,ta biến đổi nhƣ sau:
 (m)
a  ?(mod m) :  a   r  .q  ?(mod r.t)  r.r 1.q  ?(mod r.t)
 q   x1 (mod t)
Tìm dƣ x1 , x 2 trong đồng dƣ thức:  1 ( Ơle)
 r  x 2 (mod t)
1  1 
 r .q  x1.x 2 (mod t)  r.r .q  r.x1.x 2 (mod r.t)
Vậy : a   r.x1.x 2 (mod m)
c) Dùng dấu hiệu tuần hoàn của số dƣ của lũy thừa
Bài 5.6. Tìm số dƣ khi chia:
a) 20082009 cho 11 ( ĐS: dƣ là 2)
15
b) 7 cho 2001 (ĐS: dƣ là 1486)
2009
c) 2010 cho 2009 ( ĐS dƣ là: 512)
Bài 5.7. Tìm số dƣ trong phép chia 19733463 cho 793 và số dƣ trong phép chia
1973342008 cho 793 (ĐS: số dƣ là 304 và 672)
Bài 5.8. Tìm số dƣ khi chia số:
a) A  2100  2101  ...  22007 cho 2007
b) B  192008  72008 cho 27
c) C  23  34  45  ...  1011 cho 17
d) D  23  24  25  ....  2100 cho 2012
e) E  2011109  201267  6739543 cho 57
f) F  7  72  73  ...  72012 cho 23
Bài 5.9. Cho đa thức P  x   1  x  x 2  x 3  ...  x100 . Tìm số dƣ khi chia P  x 
cho 51
Bài 5.10. Tìm số dƣ của phép chia:
a) M  2x 3x 5  125423 cho 17 khi x  5
2
x100  1
b) N  cho 72 khi x  4
x 1
Bài 5.11.
a) Tìm số dƣ trong phép chia 9876543210123456789 cho 987654
b) Tìm số dƣ trong phép chia 2345678901234 cho 4567
c) Tìm số dƣ trong phép chia 98765432112345 cho 2010
- 65 -
Chuyên đề 2. ƢỚC VÀ BỘI. TÌM ƢCLN VÀ BCNN CỦA CÁC SỐ TỰ

NHIÊN
I. Tìm ƣcln và bcnn của các số tự nhiên
Phƣơng pháp
Cách 1.
Dùng phép chi trên máy tính rồi đƣa về phân số tối giản:
A a
- Rút gọn  . Khi đó:
B b
- ƢCLN (A, B) = A : a  B: b
AB
- BCNN  A,B  B.a  A.b 
UCLN(A,B)
Cách 2(máy casio 570vn plus, vinacal plus, hoặc vinacal plus 2)
 Tìm ƢCLN của hai số A và B ta bấm: GCD  A,B sau đó bấm =
Lƣu ý GCD  A,B,C   GCD  GCD  A,B ,C 
 Tìm BCNN của hai số A và B ta ghi vào màn hình nhƣ sau: LCM  A,B ,
sau đó bấm =
Lƣu ý LCM  A,B,C   LCM  LCM  A,B ,C 
Bài 5.12
Tìm ƣớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của A  2419580247 và
B  3802197531
Hƣớng dẫn:
Cách 1.
2419580247 7
Thực hiện phép chia: 
3802197531 11
ƢCLN  2419580247, 3802197531  2419580247 : 7  345654321
- 66 -
BCNN  2419580247, 3802197531  2419580247 . 11  2.661538272.1010
(tràn màn hình)
Xử lý tràn: Đƣa con trỏ lên dòng biểu thức xóa số 2 để chỉ còn 419580247.11
KQ:  2419580247,3802197531  4615382717  2.109.11  26615382717
Cách 2. Tính trên Casio 570VN PLUS
 Tìm ƢCLN
Ghi vào màn hình: QO2419580247q)3802197531)=
Kết quả
 Tìm BCNN
Ghi vào mà hình QP2419580247q)3802197531)=
Kết quả: (máy tính báo lỗi trong quá trình tính: do kết quả hiển thị vƣợt quá giới
hạn cho phép của phép toán)
Nhƣ vậy ta phải cách khác nhƣ sau:

a2419580247O3802197531RQO2419580247q)3802197531)=
Kết quả:
Xử lý tràn màn hình: p2O10^10=. Kết quả các chữ số cuối là
Bài 5.13. Tìm ƢCLN của 40096920; 9474372 và 51135438
Hƣớng dẫn
Tính trên máy Casio 570 VN PLUS:
QOQO40096920q)9474372)q)51135438)=
Kết quả:
- 67 -
Bài 5.14. Tìm ƣớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của ba số:
a  11994; b  153923; c  129935
Hƣớng dẫn
Tính trên máy Casio 570 VN PLUS
 Tìm ƢCLN QOQO11994q)153923)q)129935)=
Kết quả:
 Tìm BCNN
QPQP11994q)153923)q)129935)=
Kết quả:
Bài 5.4. Cho hai số A  246074058582 và B  23874071826 . Tìm ƢCLN( A,B )

Giải
Gán: 246074058582  A
23874071826  B
Ghi vào máy tính : A  A  B : B  B  A , bấm CALC , bấm = liên tục khi thấy
A  A  B  66; B  B  A  66 và B  B  A  0 , vậy ƢCLN = 66
II. Ƣớc và bội của số tự nhiên
1) Thuật toán
Cho số tự nhiên n>, phân tích thành thừa số nguyên tố nhƣ sau:
n= p1 . p2 ..... pi ;( i  N  ; pi , là các số nguyên tố) khi đó :
1 2 i
+ Số ƣớc dƣơng của n đƣợc tính theo công thức :

  n  1  1 .  2  1 ..... i  1
+ Tổng các ƣớc dƣơng của n tính theo công thức:
 p11 1  1   p22 1  1   pii 1  1 
 (n)    .  .....  
 p1  1   p2  1   pi  1 
2) Ví dụ
Bài 1.
a) Tìm tổng các ƣớc số lẻ của: 7677583
Giải : Ƣ(7677583)= 83;92501 => Tổng các ƣớc lẻ là: 83+92501=92584
b) Tìm số ƣớc dƣơng của :A=6227020800
Giải: Ta có : A=210.35.52.7.11.13 =>Số ƣớc là
 (n)  (10+1).(5+1).(2+1).(1+1).(1+1).(1+1)=1584
- 68 -
Bài 2. Tính tổng các ƣớc, tổng các ƣớc chẵn, tổng các ƣớc lẻ của số 122500000
Giải
Bài tập tự luyện
Bài 5.15. Tìm ƢCLN và BCNN của các số: 222222; 506506; 714714; 999999
Bài 5.16. Tìm ƢCLN và BCNN của hai số:
a) 4111102107; 59382585999 b) 2419580247; 3802197531
c) 4020112008; 20112008 d) 75125232; 175429800
Bài 5.17. Tìm ƢCLN, BCNN của các số sau:
a) 9200191; 2729727; 13244321 b) 5423360; 1788672; 9653888
c) 20048460; 9474372; 106022112 d) 40096920; 9474372; 51135438
Bài 5.18. Tìm ƢCLN của hai số
a) X  171011 và Y  201011 b) A  23! và B  722!
c) M  812 và N  214 d) A  984521; B  654!;C  3424
Chuyên đề 3. Tìm chữ số thập phân thứ k

1) Thuật toán:
Cách 1: Lấy A : B để tìm chu kì ( phần nguyên trƣớc dấu phẩy)
Lấy A trừ cho phần nguyên trong phép chia trên nhân B, lấy kết quả đó chia
tiếp cho B,... làm tiếp tục nhƣ trên sẽ tìm đƣợc chu kì
Cách 2: Dùng MOD 4 ( BASE-N)
Gán a → A, nhập A.107 chia b = ( các số trong chu kì)
Bấm A.107 –b.Ans /shift/sto/A
∆/ shift/copy/=( chu kì) , làm tiếp tục đến khi chu kì lặp lại thì dừng
2) Ví dụ
Bài 3.1 Tìm chữ số thập phân thứ 105 của phép chia 17cho 13
- 69 -
Hƣớng dẫn
Ta có: 17:13=1,(307692), 105  3( mod 6) => số 7
Ví dụ 2:Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000
cho 19
Giải: Giải
250000
250000  13157  17
TaTa
cócó:  13157 19 .. Vậy
17
Vậychỉ
chỉcần
cầntìm
tìmchữ
chữsốsố
thập phân
thập 132007
thứthứ
phân sau sau
132007 dấu dấu
phẩy
19
19 19
phẩytrong phépphép
trong chia chia
17 : 19
17 : 19
Bƣớc 1:
Bƣớc 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421.
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421.
Ta đƣợc 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
Ta đƣợc 9 chữ số đầu tiên sau dấu9phẩy là 894736842
Lấy+ Lấy – 0, 894736842 * 19
17 –170,894736842*19 2 .=102 . 10-9
BƣớcBƣớc2 2: :
Lấy Lấy2 2: 19
: 19==0,1052631579.
0,1052631579.
ChínChínsốsốở ởhàng hàngthập
thậpphân
phân tiếp theo
theo là:là:105263157
105263157
-8-8 -9
+ Lấy2 2– –0,105263157
+ Lấy 0,105263157 ** 19 = 1,71,7 .. 10
10 ==17 . 10-9
17. 10
BƣớcBƣớc3:3:
Lấy Lấy1717: 19 : 19==0,8947368421.
0,8947368421.
ChínChínsốsốở ởhàng hàngthập
thậpphân
phân tiếp
tiếp theo
theo làlà -9
+ Lấy1717– –0,0894736842
+ Lấy 0,0894736842 ** 19 19 == 22 .. 10
10-9
Bƣớc 4:
Bƣớc 4:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
Chín... số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
... Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ...
Vậy 17 : 19 ==0,0,(894736842105263157)
894736842105263157894736842105263157
. Chu kỳ gồm 18 chữ số....
= 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có 133  1(mod18)  132007  133669  1669 (mod18)
669
TaKết 13  1(mod18)  132007  133   1669 (mod18)

có quả 3
số dƣ là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18
Kết chữquả
số số thậpdƣphân.
là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm
18Kết chữquảsố :thập
số 8 phân.
Kết quả : số 8
c) thứ 2013 sau dấu phẩy của phép chia 1 cho 49

Bài 2. Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy của phép chia:
a) 1 cho 37 b) 1 cho 41 c)10 cho 51
d) 1 cho 49 e) 2 cho 29 f) 3 cho 53
Bài 3. . Tìm chữ số thập phân thứ 2011 sau dấu phẩy của phép chia:
a) 5 cho 61 b) 10 cho 23 c) 1 cho 17
d) 28 cho 37 e) 2009 cho 17 f) 707 cho 3330
g) 479 cho 16665 h) 16 cho 49 i) 3 j) 3 37
- 70 -
Bài 4. Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên

Bài 5. Số nguyên tố
Bài 6. Tìm các số và chữ số tự nhiện thỏa điều kiện cho trƣớc
- 71 -

Tài Liệu Ôn Thi Máy Tính Cầm Tay

Uploaded by

Document Information

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

Tài Liệu Ôn Thi Máy Tính Cầm Tay

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

Chuyên đề 1.

XỬ LÝ SỐ TRÀN MÀN HÌNH

 123452.108  2.12345.6789.10 4  6789 2

Tính kết hợp trên giấy : E  1152921504606846976

 10233.109  3.10232.106.456  3.1023.10 3.456 2  456 3

1.12.Tính chính xác giá trị sau:

- Cách nhập biểu thức vào màn hình

Bài 2. 2. Tính giá trị biểu thức B  x  2y  3x  4y  5x  6y  7x

Khi x  12,13; y  13,12 .

Dạng 2. Tính giá trị biểu thức hữu tỉ, số thực

b) B  12  22  32  42  ...  20152  20162

Bài 2.13. Tính giá trị các biểu thức sau:

Tính trên máy: sau đó ấn dấu =, ta đƣợc kết quả

a) Dùng phím tích

b) Dùng phím tổng xích ma: ấn phím = ta đƣợc Q  2031120

c) Dùng phím tổng ấn = ta đƣợc kết quả : M  43,89989

d) Dùng phím tổng ấn phím = ta đƣợc kết quả N  21,92209

Bài 2.17. Tính giá trị biểu thức sau

Tính trực tiếp , ấn =, ta đƣợc kết quả S  1331,925894

Dạng 3. Tính giá trị biểu thức lƣợng giác

Bài 2.21. Tính giá trị các biểu thức

=, ta đƣợc kết quả

Tính 1  cos3 350 25' 1  cot 2 25030' 1  sin 2 50013'  Y

- Ghi vào màn hình

Dạng 4. Bài toán có sử dụng quy trình bấm phím

Ấn tiếp ALPHA C - 293972367 2 = Kết quả: 526837050

trong các số từ 77777 đến 77

Vậy ta có: C  7  77  777  7777  7777713 .Kết quả: 1019739

b) B  2016 2015 2014 2013..... 1975

2.30. Tính giá trị các biểu thức sau

1012 1012 1012

Chuyên đề 3. PHƢƠNG TRÌNH. HỆ PHƢƠNG TRÌNH. PHƢƠNG TRÌNH

- Nhập các hệ số a = b = c =. Ấn tiếp phím = ta đƣợc các nghiệm

Nhập các hệ số số a = b = c = d=, Ấn tiếp phím = ta đƣợc các nghiệm

- Bƣớc 2: nhập các hệ số a1 = b1 = c1 = a 2 = b 2 = c 2 =

Hƣớng dẫn (Đáp số)

Bài 3.5 Tìm x thỏa phƣơng trình:

Dùng lệnh qr (SOLVE)0=  x1  2 , lƣu nghiệm x1  2 qJ (STO)z(A)

Dạng 3. Phƣơng trình nghiệm nguyên

Do x   nên y là bội của 55 . Đặt y  a 55

Biến đổi ta đƣợc y 

Ghi vào màn hình: X  X  1: Y  r=

Bài 3.19 Giải các hệ phƣơng trình:

Ấn tiếp = ta đƣợc kết quả:

Kết luận nghiệm của hệ phƣơng trình

Chuyên đề 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ

b) Tính trên máy :

Bài 4.2. Tính giá trị các biểu thức sau :

Bài 4.4. Tính giá trị biểu thức:

Dạng 2. Tìm các thành phần trong liên phân số

Bài 4.6. Tìm a, b, c, d, e biết:

Hƣớng dẫn (Đáp số)

Bài 4.7. Tìm x, y biết:

Dạng 3. Phƣơng trình liên phân số

Bài 4.9. Tìm x biết :

II. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

Giải ra ta đƣợc X=80 000 000 đồng. Suy ra Y=120000000 đồng.

Bài 2: Trả góp

Sau 5 năm (60 tháng) thì số tiền trong sổ là:

Màn hình hiển thị:

Chuyên đề 6. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Thay các giá trị u 0 ,..., u 4 vào hệ (1) ta đƣợc:

x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B

Bài tập tự luyện