Luận văn Thạc sĩ Khoa học máy tính: Nhận dạng khuôn mặt trong hỗ trợ công tác quản lý tiếp dân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu một số phương pháp nhận diện khuôn mặt và ứng dụng vào thực tế cho phù hợp với thực tế nước nhà. Hệ thống nhận diện khuôn mặt được triển khai khá rộng rãi ở Mỹ, vốn trước kia chỉ dành cho các cơ quan thực thi pháp luật của nước này. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học máy tính: Nhận dạng khuôn mặt trong hỗ trợ công tác quản lý tiếp dân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ---------------------------------- ĐÀO QUANG TOÀN ĐỀ TÀI NHẬN DẠNG KHUÔN MẶT TRONG HỖ TRỢ CÔNG TÁC QUẢN LÝ TIẾP DÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUYÊN, 2017
1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ---------------------------------- ĐÀO QUANG TOÀN NHẬN DẠNG KHUÔN MẶT TRONG HỖ TRỢ CÔNG TÁC QUẢN LÝ TIẾP DÂN Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60480101 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ DUY LINH THÁI NGUYÊN, 2017
2 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian tìm hiểu dưới sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn TS. Vũ Duy Linh, tôi đã hoàn thành đề tài luận văn “Nhận dạng khuôn mặt trong hỗ trợ công tác quản lý tiếp dân”. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến: Thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Duy Linh đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đã động viên khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này Học viên Đào Quang Toàn
3 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 4 Chương 1: KHÁI QUÁT VỀ QUẢN LÝ TIẾP DÂN VÀ BÀI TOÁN NHẬN DIỆN KHUÔN MẶT .................................................................................................................. 5 1.1. Khái quát về quản lý tiếp dân ............................................................................... 5 1.2. Bài toán nhận diện khuôn mặt .............................................................................. 6 1.3. Thư viện xử lý hình ảnh và thị giác máy tính EmguCV .................................... 10 1.4. Những khó khăn của nhận diện khuôn mặt ........................................................ 12 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NHẬN DIỆN KHUÔN MẶT ......................... 13 2.1 Phương pháp PCA (Principal Component Analysis) ........................................... 13 2.2 Phương pháp EBGM (Elastic Bunch Graph Matching) .................................... 27 2.3 Phương pháp LBP (Local Binary Pattern) ........................................................ 35 2.4 Phương pháp Fisherfaces ................................................................................... 40 Chương 3: CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM ............................................................ 45 3.1 Yêu cầu bài toán. ................................................................................................ 45 3.2 Mô tả thu thập dữ liệu thử nghiệm. .................................................................... 45 3.3 Phân tích thiết kế chương trình thử nghiệm. ...................................................... 46 3.4 Đánh giá độ chính xác ........................................................................................ 49 PHẦN KẾT LUẬN ......................................................................................................... 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 54 PHỤ LỤC ........................................................................................................................ 55
4 LỜI MỞ ĐẦU Nhận dạng khuôn mặt là một khái niệm được phát triển vào những năm 60 của thế kỷ trước. Khi đó, người ta phải dùng tới những phương pháp tính toán thủ công để xác định vị trí, khoảng cách và các bộ phận trên khuôn mặt. Về sau, vào cuối thập niên 80, kỹ thuật nhận diện khuôn mặt dần được cải thiện khi M. Kirby và L. Sirovich phát triển phương pháp tìm mặt riêng (eigenface) sử dụng phương pháp phân tích thành phần chính (PCA), một cột mốc mới trong ngành công nghệ nhận diện khuôn mặt. Ngày nay, có thể dễ dàng nhận ra ứng dụng công nghệ nhận diện khuôn mặt trong việc điều tra tội phạm, kiểm tra hành khách ở sân bay, và xác thực truy cập vào hệ thống. Hệ thống nhận diện khuôn mặt được triển khai khá rộng rãi ở Mỹ, vốn trước kia chỉ dành cho các cơ quan thực thi pháp luật của nước này. Chính phủ Mỹ hiện đang ứng dụng công nghệ này để đảm bảo an ninh quốc gia thông qua việc nhận diện khuôn mặt kẻ tội phạm ngay khi chúng xuống sân bay và loại bỏ những lá phiếu gian lận thông qua việc xác định khuôn mặt người đi bầu cử... Tuy nhiên ở VN chúng ta việc ứng dụng của công nghệ nhận dạng khuôn mặt vào thực tế còn hạn chế. Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu một số phương pháp nhận diện khuôn mặt và ứng dụng vào thực tế cho phù hợp với thực tế nước nhà.
5 Chương 1: KHÁI QUÁT VỀ QUẢN LÝ TIẾP DÂN VÀ BÀI TOÁN NHẬN DIỆN KHUÔN MẶT 1.1. Khái quát về quản lý tiếp dân - Trong các vụ việc tiếp dân (tại các phòng tiếp dân của UBND xã, quận / huyện) chia ra làm 3 loại: + Khiếu nại + Tố cáo + Kiến nghị, phản ánh - Có 3 loại hình thức tiếp dân + Tiếp dân thường xuyên: tiếp dân hàng ngày trong giờ hành chính theo quy định của nhà nước, do cán bộ phòng tiếp dân chịu trách nhiệm ghi chép, báo cáo. + Tiếp dân theo định kỳ: theo định kỳ làm việc lãnh đạo của cơ quan, đơn vị phải tiến hành các cuộc tiếp dân trực tiếp. + Tiếp dân đột xuất: Khi tiến hành giải quyết các vụ việc phát sinh và lãnh đạo cơ quan đơn vị cần gặp công dân phải tiến hành các cuộc tiếp dân đột xuất - Mỗi khi có công dân tới phòng tiếp dân thì cán bộ tiếp dân phải ghi chép vào sổ tiếp dân. Nếu phát sinh vụ việc trong thẩm quyền giải quyết thì phải trình lãnh đạo tiến hành thụ lý vụ việc và giao về bộ phận có trách nhiệm giải quyết. Trong quá trình giải quyết này thông thường sẽ phải tiến hành mời gặp, tiếp công dân nhiều lần để bổ sung thêm thông tin, bằng chứng, thông báo kết quả của quá trình giải quyết. Đồng thời việc tiếp dân này do nhiều cán bộ tiếp dân hoặc lãnh đạo, hoặc cán bộ thuộc sở ban ngành có liên quan tiến hành tiếp dân.
6 - Trong quá trình giải quyết vụ việc thông thường sẽ phải tiến hành mời gặp, tiếp công dân nhiều lần để bổ sung thêm thông tin, bằng chứng, thông báo kết quả của quá trình giải quyết, đồng thời việc tiếp dân này do nhiều cán bộ tiếp dân hoặc lãnh đạo, hoặc cán bộ thuộc sở ban ngành có liên quan tiến hành tiếp dân. Mỗi lần công dân tới phòng tiếp dân phải trình giấy tờ chứng minh thân phận. Phiền toái này có thể khắc phục bằng cách ứng dụng nhận dạng công dân vào quản lý tiếp dân. 1.2. Bài toán nhận diện khuôn mặt Hệ thống nhận dạng mặt người là một hệ thống nhận vào là một ảnh hoặc một đoạn video (một chuỗi các ảnh). Qua xử lý, tính toán hệ thống xác định được vị trí mặt người trong ảnh nếu có và xác định là người nào trong số những người hệ thống đã biết (qua quá trình học) hoặc là người lạ Thuật toán nhận diện khuôn mặt hiện chia làm hai loại là hình học (geometric) và trắc quang (photometric). Hình học nhận diện khuôn mặt dựa trên các đặc trưng trên khuôn mặt như mắt, mũi, miệng, gò má; trong khi trắc quang là phương pháp biến hình ảnh thành các giá trị và so sánh với giá trị mẫu để nhận diện. Các nhà nghiên cứu ngày nay đã phát triển những kỹ thuật nhận diện khuôn mặt riêng, nhưng phổ biến nhất hiện có ba loại chính là phân tích thành phần chính (PCA), phân tích phân lớp tuyến tính (LDA) và phương pháp đồ thị đàn hồi (EBGM). Cách nhận diện khuôn mặt sử dụng phương pháp PCA phụ thuộc rất nhiều vào cơ sở dữ liệu ban đầu chứa các ảnh mẫu và góc quay camera cũng như ánh sáng. Sử dụng các thuật toán đại số để tìm giá trị mặt riêng và vector riêng rồi so sánh với giá trị mẫu, ta thu được khuôn mặt cần nhận diện. Đặc điểm của phương pháp này là giảm thiểu được dữ liệu cần sử dụng làm mẫu. Trong khi đó, phương
7 pháp LDA lại phân loại các lớp chưa biết thành các lớp đã biết, mà ở đó các khuôn mặt tạo thành một lớp và sự khác biệt giữa các khuôn mặt trong một lớp là rất nhỏ. Cả PCA và LDA đều chọn cách thống kê lấy mẫu, chọn lọc để nhận diện khuôn mặt. Phương pháp còn lại EBGM chia mặt thành mạng lưới gồm các nút với mỗi khuôn mặt có khoảng 80 điểm nút. Vị trí của các nút giúp xác định khoảng cách giữa hai mắt, độ dài của sống mũi, độ sâu của hốc mắt, hình dạng của gò má… Điểm khó của phương pháp này là cần tính toán chính xác khoảng cách giữa các điểm nút, và do đó đôi khi nó phải dùng kết hợp với các phương pháp như PCA hay LDA. Với những hạn chế khi sử dụng công nghệ nhận diện khuôn mặt truyền thống, phương pháp nhận diện 3D đã trở thành hướng đi mới trong việc ứng dụng công nghệ nhận diện khuôn mặt. Phương pháp này lưu lại hình ảnh 3D của khuôn mặt với các điểm đặc trưng như độ cong của cằm, mũi, hốc mắt… Ưu điểm của nó là có thể nhận diện khuôn mặt ở nhiều góc độ khác nhau, không bị ảnh hưởng bởi ánh sáng. Cũng như những phương pháp truyền thống, phương pháp nhận diện khuôn mặt 3D cũng dựa trên các thuật toán. Nó tính toán các đường cong, những điểm đặc trưng trên khuôn mặt để tạo thành những dòng lệnh duy nhất và so sánh với cơ sở dữ liệu. Chúng ta có thể dễ dàng bắt gặp quá trình so sánh này trong các bộ phim hành động của Mỹ, khi hình ảnh của một người được camera ghi lại và ngay lập tức nó được so sánh liên tục với hàng triệu khuôn mặt trong cơ sở dữ liệu của cảnh sát. Ngày nay, các công ty của Mỹ đã cải tiến phương pháp nhận diện 3D bằng việc bổ sung thêm nhận diện mẫu da, được gọi là phương pháp phân tích vân bề mặt. Phương pháp này cũng sử dụng các thuật toán chia nhỏ vùng da thành các
8 không gian có thể đo đếm được, giúp xác định danh tính của cả những cặp sinh đôi. Nhận diện khuôn mặt 3D vẫn chưa hoàn hảo, nó vẫn bị hạn chế đáng kể bởi các yếu tố bên ngoài như khuôn mặt bị tóc che phủ, đeo kính, hình ảnh quá mờ. Các công ty của Mỹ hiện vẫn đang liên tục tìm cách cải tiến để tăng độ chính xác cho công nghệ nhận diện khuôn mặt mà không gây khó chịu cho người bị nhận diện. Tại Trung Quốc, đất nước này sử dụng công nghệ nhận diện khuôn mặt thay vé tham quan. Du khách tới thị trấn Wuzhen, Trung Quốc sẽ không phải mua vé nhờ hệ thống kiểm soát bằng công nghệ nhận diện khuôn mặt tại cổng. Khi du khách đến thị trấn, ảnh chân dung của họ được chụp lại và tải lên cơ sở dữ liệu. Máy tính bảng gắn trên cổng ra vào của mỗi khu vực nhất định sẽ quay hình người vào cổng, rồi gửi hình ảnh đến kho dữ liệu. Tại đây, trí thông minh nhân tạo sẽ nhận diện du khách và quyết định người đó có được phép vào cửa hay không. Toàn bộ quá trình diễn ra trong 0,6 giây với tỷ lệ chính xác là 99,77%. Nó giúp rút ngắn thời gian chờ và tăng sự thuận tiện cho du khách. Theo Baidu và công ty du lịch Wuzhen, công nghệ này đang nhận được nhiều phản hồi tích cực. Ngoài ra, Baidu cũng cho phép các đối tác của họ sử dụng công nghệ nhận diện khuôn mặt. Một đối tác đã áp dụng nó để thay thế chìa khóa và mật mã trên cửa nhà. Cánh cửa tự động mở ra khi một người được phép vào nhà tới gần. Các nhà vệ sinh công cộng ở thủ đô Bắc Kinh - Trung Quốc bắt đầu sử dụng công nghệ nhận diện khuôn mặt nhằm ngăn nạn trộm giấy vệ sinh đang diễn ra tràn lan. Tại Thiên Đàn, một trong những địa điểm du lịch thu hút nhiều du khách ở thủ đô Bắc Kinh và từng là điểm nóng của nạn trộm giấy vệ sinh, người dùng nhà vệ sinh cần khăn giấy phải đứng trước một chiếc máy gắn trên tường có camera độ phân giải cao để được phát giấy vệ sinh. Một người chỉ được lấy từ 60-70cm giấy
9 vệ sinh trong mỗi 9 phút. Thiết bị có thể ghi nhớ nhiều khuôn mặt trong thời gian gần và nếu một người nào đó quay lại nhà vệ sinh trong một khoảng thời gian nhất định, nó sẽ từ chối cung cấp giấy vệ sinh. Camera nhận diện khuôn mặt yêu cầu người dùng giấy vệ sinh phải tháo mũ và kính mát. Facebook có công nghệ nhận diện khuôn mặt như mắt người. Facebook ra tuyên bố cho biết đã phát triển công nghệ để máy tính có thể xác nhận liệu 2 khuôn mặt trong 2 bức ảnh có phải là cùng một người hay không. Hiện tại, dự án này (có tên gọi DeepFace) của Facebook đã đạt tới mức độ chính xác 97,25%, tức tương đương với mức 97,5% của mắt người trong các thử nghiệm chuẩn. Hình 1.1 Nhận dạng khuôn mặt của Facebook Để thực hiện thành công kì tích này, DeepFace sẽ tạo ra các sơ đồ 3D cho chi tiết khuôn mặt, sau đó chuyển mô hình này thành định dạng phẳng với các bộ lọc màu để nhận diện các chi tiết trên mặt. Hiện tại, Facebook đang sử dụng dữ liệu khuôn mặt của 4,4 triệu người trên mạng xã hội của mình nhằm cải tiến cho DeepFace.
10 1.3. Thư viện xử lý hình ảnh và thị giác máy tính EmguCV Chương trình sử dụng thư viện thư viện xử lý hình ảnh và thị giác máy tính EmguCV. EmguCV là một cross flatform .NET, một thư viện xử lý hình ảnh mạnh dành riêng cho ngôn ngữ C#. Cho phép gọi được chức năng của OpenCV là từ .NET OpenCV (Open Computer Vision) là một thư viện mã nguồn mở chuyên dùng để xử lý các vấn đề liên quan đến thị giác máy tính. Nhờ một hệ thống các giải thuật chuyên biệt, tối ưu cho việc xử lý thị giác máy tính, vì vậy tính ứng dụng của OpenCV là rất lớn. Lợi thế của EmguCV  EmguCV được viết hoàn toàn bằng C#. Có thể chạy trên bất kỳ nền tảng hỗ trợ bao gồm iOS, Android, Windows Phone, Hệ điều hành Mac OS X và Linux.  EmguCV có thể được sử dụng từ nhiều ngôn ngữ khác nhau, bao gồm C#, VB.NET, C ++ và Iron Python.  Nhận dạng ảnh: nhận dạng khuôn mặt, các vật thể …  Xử lý ảnh: khử nhiễu, điều chỉnh độ sáng …  Nhận dạng cử chỉ.  Hỗ trợ tài liệu XML và intellisense.  Sự lựa chọn để sử dụng hình ảnh lớp hoặc trực tiếp gọi chức năng từ OpenCV.
11 Hình 1.2 Tổng quan về kiến trúc EmguCV Emgu CV có hai lớp :  Lớp cơ bản (layer 1) có chứa function, structure và ánh xạ bản đồ trực tiếp gọi chức năng từ OpenCV.  Lớp thứ hai (layer 2) có chứa các lớp trộn từ .NET.
12 1.4. Những khó khăn của nhận diện khuôn mặt Bài toán nhận diện khuôn mặt là một bài toán khó, các phương pháp nhận diện hiện nay vẫn tồn tại những nhược điểm, độ tin cậy vẫn chưa được như mong muốn, nên vấn đề này vẫn được nhiều nhóm quan tâm nghiên cứu. Khó khăn của bài toán có thể kể ra: - Góc chụp ảnh - Mặt bị che khuất một phần - Biểu cảm của khuôn mặt - Điều kiện ánh sáng
13 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NHẬN DIỆN KHUÔN MẶT 2.1 Phương pháp PCA (Principal Component Analysis – Phân tích thành phần chính) Ý tưởng chính Mục tiêu của phương pháp PCA là giảm số chiều của 1 tập vector sao cho vẫn đảm bảo được tối đa thông tin quan trọng nhất . Tức Feature extraction (giữ k thuộc tính mới) chứ không phải Feature selection (giữ lại k thuộc tính nguyên gốc ban đầu). T Không gian K chiều Không gian N (K
14 Cách để tìm được T: Gọi M là vector trung bình của tất cả các vector x trong tập mẫu. Gọi ma trận hiệp phương sai của các phần tử x trong tập mẫu là C. C được tính theo công thức sau: Người ta chứng minh được rằng: “Nếu T là ma trận m hàng, mỗi hàng là 1 vector riêng của C, đồng thời m vector riêng này phải ứng với m trị riêng lớn nhất. Khi đó T chính là phép biến đổi thỏa MSE nhỏ nhất”.  Tóm lại, phương pháp PCA quy về việc đi tìm trị riêng (eigenvalues) và vector riêng (eigenvectors) của ma trận hiệp phương sai C của tập mẫu X. Sau đó, ta chỉ giữ lại K vector riêng ứng với K trị riêng lớn nhất để làm cơ sở cho không gian mới này [1]. Tính toán các Eigenfaces Kohonen đã đưa ra phương pháp dùng vector riêng để nhận dạng khuôn mặt, ông dùng một mạng neural đơn giản để chứng tỏ khả năng của phương pháp này trên các ảnh đã được chuẩn hóa. Mạng neural tính một mô tả của khuôn mặt bằng cách xấp xỉ các vector riêng của ma trận tương quan của ảnh. Các vector riêng sau này được biết đến với cái tên Eigenface. Kirby và Sirovich chứng tỏ các ảnh có các khuôn mặt có thể được mã hóa tuyến tính bằng một số lượng vừa phải các ảnh cơ sở. Tính chất này dựa trên biến đổi Karhunen- Lòeve, mà còn được gọi dưới một cái tên khác là PCA và biến đổi Hotelling. Ý tưởng này được xem là của Pearson trình bày đầu tiên vào năm 1901 và sau đó là Hotelling vào năm 1933. Cho một tập các ảnh huấn luyện có kích thước n x m được mô tả bởi các vector có kích thước m x m, các vector cở sở cho một không gian con tối ưu được xác định thông qua lỗi bình phương trung bình khi chiếu các ảnh huấn luyện vào không gian con này. Các tác giả gọi tập các vector cơ sở tối ưu này là ảnh riêng sau đó gọi cho đơn giản là
15 vector riêng của ma trận hiệp phương sai được tính từ các ảnh khuôn mặt đã vector hóa trong tập huấn luyện. Nếu cho 100 ảnh, mà mỗi khuôn mặt có kích thước 91x50 thì có thể chỉ dùng 50 ảnh riêng, trong khi vẫn duy trì được một khả năng giống nhau hợp lý (giữ được 95% tính chất). Turk và Pentland áp dụng PCA để xác định và nhận dạng khuôn mặt. Tương tự, dùng PCA trên tập huấn luyện ảnh các khuôn mặt để sinh các ảnh riêng (còn gọi là eigenface) để tìm một không gian con (không gian khuôn mặt) trong không gian ảnh. Các ảnh khuôn mặt được chiếu vào không gian con này và được gom nhóm lại. Tương tự các ảnh không có khuôn mặt dùng để huấn luyện cũng được chiếu vào cùng không gian con và gom nhóm lại. Các ảnh khi chiếu vào không gian khuôn mặt thì không bị thay đổi tính chất cơ bản, trong khi chiếu các ảnh không có khuôn mặt thì xuất hiện sự khác nhau cũng không ít. Xác định sự có mặt của một khuôn mặt trong ảnh thông qua tất cả khoảng cách giữa các vị trí trong ảnh và không gian ảnh. Khoảng cách này dùng để xem xét có hay không có khuôn mặt người, kết quả khi tính toán các khoảng cách sẽ cho ta một bản đồ về khuôn mặt. Có thể xác định được từ cực tiểu địa phương của bản đồ này. Có nhiều nghiên cứu về xác định khuôn mặt, nhận dạng, và trích đặc trưng từ ý tưởng vector riêng, phân rã, và gom nhóm. Sau đó Kim phát triển cho ảnh màu, bằng cách phân đoạn ảnh để tìm ứng để không gian tìm kiếm bớt đi [2]. Bước 1: Sử dụng các ảnh khuôn mặt I1, I2, … In (tập các khuôn mặt huấn luyện) với khuôn mặt phải chính diện và tất cả ảnh phải cùng kích thước.
16 Hình 2.2 Các khuôn mặt mẫu Bước 2: Biểu diễn mọi ảnh Ii thành vector i Ví dụ: Để đơn giản ta giả sử chỉ có 4 ảnh trong tập huấn luyện (kích thước 3x3). Ta tính toán được: 1 2 3 4 Bước 3:
17 Tính vector khuôn mặt trung bình  theo công thức: Cụ thể ta có: = Bước 4: Trừ vector khuôn mặt trung bình: Cụ thể ta có: Bước 5: 1/M Tính ma trận hiệp phương sai (covariance) C: C sẽ có kích thước N2xN2
18 Trong đó: A sẽ có kích thước là N2xM Cụ thể ta có: A= Ma trận A kích thước N2xM (9x4) tạo bởi ghép các  i làm các cột Từ đó ta dễ dàng tính được ma trận hiệp phương sai C, kết quả như sau: C= Ma trận C kích thước N2x N2 (9x9).
19 Bước 6: Tính các Eigenvector ui (“vector riêng”) của ma trận vuông A.AT (C có kích thước N2xN2). Ma trận này có kích thước quá lớn  không khả thi  phải khôn khéo đi đường vòng.  Bước 6.1: Xét ma trận AT.A (chú ý ma trận này chỉ có kích thước là MxM) Cụ thể ta có: AT.A = Kích thước MxM (4x4).  Bước 6.2: Tính các vector riêng vi (eigenvectors) của ma trận vuông AT.A này. Tips: Về cách tìm trị riêng (eigenvalues) và vector riêng (eigenvectors) có thể xem lại “Toán cao cấp – Tập 1 – Đại số và Hình học Giải tích”. Tuy nhiên, cách này không khả thi khi lập trình. Phải dùng “Phương pháp lặp” (thuật toán QR) để tìm. Ở đây ta sẽ tìm được 4 trị riêng của ma trận AT.A, tuy nhiên ta sẽ sắp xếp lại theo thứ tự giảm dần, và chỉ lấy các trị riêng “non-zero”. Kết quả ta được 3 trị riêng (từ đó tính ra 3 vector riêng tương ứng): v1 v2 v3 Các eigenvector của AT.A tương ứng với các eigenvalues. Kích thước Mx1 và các eigenvalues của AT.A.