Cấu trúc đại số trong các mô hình kinh tế – kinh doanh

- CẤU TRÚC ĐẠI SỐ.
- TÓM TẮT: Các cấu trúc đại số là những cấu trúc toán học khá trừu tượng, tuy nhiên sinh viên đã được làm quen với các cấu trúc này (dưới góc nhìn khác) ở môn toán bậc phổ thông.
- Do vậy, việc hình thành các cấu trúc đại số tổng quát hết sức thuận lợi nhờ sử dụng các mô hình cụ thể.
- Tri thức cấu trúc đại số cung cấp công cụ giải các bài toán kinh tế – kinh doanh và giúp cho sự hình thành tư duy cấu trúc – hệ thống..
- Từ khóa: cấu trúc đại số.
- cấu trúc-hệ thống..
- Việc xem xét giải quyết các tình huống kinh tế – kinh doanh với quan điểm cấu trúc – hệ thống luôn là yếu tố quyết định dẫn tới sự lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết tình huống.
- Sự hình thành tư duy cấu trúc – hệ thống ở sinh viên được.
- “phôi thai” ngay từ khi học phổ thông với các mô hình cấu trúc đại số – hình học, mô hình cấu trúc thứ tự hình thành trên các vật liệu là tập hợp các đối tượng: tập hợp số.
- tập hợp các vectơ… Những tri thức cấu trúc – hệ thống sẽ được vận dụng trong kinh tế – kinh doanh có hiệu quả hơn nếu trong đào tạo đại học chủ động dạy học có định hướng hình thành cho sinh viên tri thức cấu trúc với cấu trúc cơ bản là nửa nhóm, nhóm, vành, trường và các mô hình của chúng thể hiện trong kinh tế – kinh doanh..
- Khái niệm cấu trúc đại số.
- Đại số là một ngành lớn của toán học, có lịch sử lâu đời, nghiên cứu về các cấu trúc tập hợp, quan hệ và số lượng.
- Tên gọi đại số bắt nguồn từ một nhà toán học Tây Á, vùng vịnh Péc-xích có tên là Muhammad ibn Mūsā al- Kwārizmī, trong cuốn sách mang tựa đề “Al- Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala”, nghĩa là “Luận súc tích về tính toán bằng phép hoàn thể và cân bằng”.
- Học sinh được học đại số trong tất cả các bậc học phổ thông và đại học.
- Ở bậc học phổ thông, học sinh thường được học các phép toán cộng, nhân, khái niệm về biến số, giai thừa, đa thức, khai căn.
- Tuy nhiên, do đại số có xu hướng tổng quát hóa rất cao với nét đặc trưng là ngoài làm việc với các con số, đại số sử dụng rất nhiều các ký hiệu toán học, biến, tập hợp, các phần tử của tập hợp.
- Dựa trên hai phép toán cộng và nhân là hai toán tử cơ bản của đại số, người ta sử dụng hai toán tử này để.
- xây dựng tiếp các khái niệm trừu tượng như nửa nhóm, nhóm, nhóm aben, vành và trường, thường được gọi là các cấu trúc đại số..
- Như vậy, một cấu trúc đại số là một tập hợp các phần tử trên đó xác định một số phép toán thỏa mãn một số các tính chất (các tiên đề).
- Các cấu trúc phức tạp hơn có thể được định nghĩa bằng cách đưa ra phép toán, các tập hợp cơ bản khác nhau hoặc bằng cách thay đổi các tiên đề xác định..
- Ví dụ cấu trúc mô đun và lý thuyết vành..
- Về mặt lịch sử, các cấu trúc đại số thông thường xuất hiện đầu tiên trong các nhánh khác nhau của toán học và được nêu ra như là các tiên đề, sau đó mới được nghiên cứu đúng bản chất của chúng trong đại số trừu tượng.
- Trong khuôn khổ bài viết này, xét các cấu trúc đại số đã xuất hiện ở dạng “ẩn tàng” ở trường phổ thông và những ứng dụng của cấu trúc này trong lĩnh vực kinh tế – kinh doanh..
- Các cấu trúc đại số cơ bản.
- Một số cấu trúc đại số cơ bản mà chúng ta thường gặp trong toán học như sau [1]:.
- Phép toán trong hai ngôi.
- 1) Định nghĩa: Phép toán trong hai ngôi trên tập A (sau đây gọi tắt là phép toán trong) là một quy luật khi tác động lên hai phần tử x và y của A sẽ tạo ra thành một và chỉ một phần tử thuộc A .
- Phép toán trong hai ngôi còn gọi là luật hợp thành trong, và có thể hiểu là một ánh xạ đi từ: A  A tới A.
- Nếu ký hiệu phép toán trong hai ngôi trên tập A là.
- là những phép toán trong hai ngôi.
- là phép toán trong hai ngôi trên.
- không phải là phép toán trong hai ngôi trên.
- 3) Các tính chất của phép toán: Tính giao hoán: Phép toán trong  trên tập A được gọi là giao hoán khi và chỉ khi: x y.
- Tính kết hợp: Phép toán trong  trên tập A được gọi là kết hợp khi và chỉ khi:.
- Luật giản ước: Phép toán trong  trên tập A được gọi là thỏa luật giản ước bên trái khi và chỉ khi: x y.
- được gọi là thỏa luật giản ước bên phải khi và chỉ khi:.
- Tính phân phối: Giả sử  và T là hai phép toán trong trên tập A .
- Phép toán  được gọi là phân phối bên trái phép toán T khi và chỉ khi:.
- Tương tự, phép toán  được gọi là phân phối bên phải phép toán T khi và chỉ khi:.
- Nếu phép toán  thỏa cả luật phân phối bên trái và phân phối bên phải đối với phép toán T , thì  được gọi là có tính phân phối đối với T.
- 4) Các phần tử đặc biệt đối với phép toán:.
- Phần tử đơn vị: Phần tử e của tập A được gọi là phần tử đơn vị trái đối với phép toán.
- Tương tự, e được gọi là phần tử đơn vị phải đối với phép toán  khi và chỉ khi:.
- Phần tử khả nghịch: Giả sử e là phần tử đơn vị của tập A đối với phép toán.
- được gọi là nghịch đảo trái của a.
- Khi đó a được gọi là nghịch đảo phải của a.
- Cấu trúc đại số.
- được gọi là nửa nhóm khi và chỉ khi: A.
- và phép toán trong.
- Nếu một nửa nhóm có phần tử đơn vị thì được gọi là Vị nhóm..
- Một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm Abel (hay nửa nhóm giao hoán) nếu phép toán của nó có tính giao hoán..
- được gọi là nhóm khi và chỉ khi thỏa cả 3 tính chất sau: i) Phép toán trong.
- ii) Tập A có phần tử đơn vị.
- Một nhóm được gọi là nhóm Abel (hay nhóm giao hoán) nếu phép toán của nó có tính giao hoán..
- Cấu trúc đại số  A.
- với hai phép toán trong cộng và nhân, được gọi là một Vành khi và chỉ khi thỏa cả 3 tính chất sau: i.
- Tức là, cấu trúc đại số  K.
- với phần tử đơn vị 1 0.
- Một số mô hình cấu trúc đại số “ẩn tàng” trong giáo trình toán phổ thông.
- Trong chương trình toán ở bậc phổ thông, đã có nhiều cấu trúc đại số xuất hiện ở dạng.
- Tập các số nguyên cùng với các phép toán cộng và nhân các số nguyên thông thường tạo thành các nửa nhóm Abel.
- Ta xét các cấu trúc.
- Trong đó, phép toán cộng là phép cộng các số nguyên, cộng các số hữu tỷ, cộng các số thực và cộng các số phức thông thường..
- Trong đó, phép toán nhân là phép nhân các số hữu tỷ, phép nhân các số thực và phép nhân các số phức thông thường.
- Những cấu trúc này tạo thành các nhóm giao hoán..
- 3) Cấu trúc Vành - Vành giao hoán.
- Các cấu trúc.
- Các cấu trúc này là những vành giao hoán..
- 4) Cấu trúc Trường.
- Xét các cấu trúc.
- đó, phép cộng và phép nhân là những phép toán cộng và nhân thông thường của hai số thực và hai số phức.
- Các cấu trúc này là các trường, chúng thường được gọi là: Trường số thực và trường số phức..
- Trong hình học cũng có ẩn chứa cấu trúc đại số trong đó.
- Trên đó, ta trang bị phép toán cộng là phép cộng 2 vectơ đã được định.
- Khi đó tập A cùng với phép toán cộng trên tạo thành nửa nhóm..
- Một số cấu trúc đại số “ẩn chứa” trong các nội dung toán học ở bậc đại học của các ngành kinh tế – kinh doanh.
- Ở bậc đại học, trong các học phần toán, ngoài những cấu trúc đại số “dễ thấy” đã được nêu trong mục 2.3, chúng ta cũng sẽ bắt gặp những cấu trúc đại số khác.
- Tuy nhiên, những cấu trúc đại số này thường.
- Sau đây, chúng ta sẽ chỉ ra một số cấu trúc đại số “ẩn nấp” như vậy trong các mô hình kinh tế – kinh doanh cũng như trong nội dung toán học của các ngành này ở bậc đại học [3]..
- Như vậy, ở đây ta có cấu trúc đại số.
- n là tập các nghiệm của hệ phương trình (2), trên A ta trang bị phép toán cộng 2 vectơ trong ¡ n , và ta trang bị thêm phép nhân là phép nhân một số thực với vectơ trong ¡ n .
- Khi đó dễ thấy cấu trúc.
- 0) là phần tử đơn vị của A.
- Khi đó, cấu trúc.
- Ở đây, ta có được một cấu trúc đại số “ẩn” trong cách giải hệ này..
- Thật vậy, ta gọi M là tập các ma trận vuông cấp n, và hai phép toán trên M là phép cộng hai ma trận và phép nhân hai ma trận.
- Khi đó cấu trúc  M.
- Và ma trận  I n  A  được gọi là ma trận Leontief..
- Vậy với mô hình này và từ công thức (8), ta có được cấu trúc đại số “ẩn” trong cách giải hệ (8)..
- Tương tự trong mô hình điểm cân bằng thị trường, ta gọi M là tập các ma trận vuông cấp n, và hai phép toán trên M là phép cộng hai ma trận và phép nhân hai ma trận.
- ta bắt gặp một cấu trúc đại số “ẩn” trong đó..
- Thật vậy, ta gọi M là tập các hàm số, và phép toán trên M là phép cộng hai hàm số.
- Như vậy ta có một cấu trúc đại số “ẩn” bên trong vế phải của (9)..
- Thật vậy, ta gọi M là tập các hàm số, và phép toán trên M là phép nhân hai hàm số.
- là nửa nhóm Abel , với phép toán nhân hai phần tử của M là: y x.
- Toán học là khoa học về các cấu trúc tổng quát, các quan hệ được trừu tượng hóa từ các đối tượng của thực tế khách quan.
- Như vậy, nếu thực tiễn có những cấu trúc, quan hệ, mà sau khi “toán học hóa”, ta thu được những cấu trúc, quan hệ trừu tượng trong Toán học, có thể áp dụng những hiểu biết về cấu trúc và quan hệ trong Toán học vào thế giới khách quan.
- Do vậy, dạy học toán trong nhà trường tất yếu phải coi trọng dạy tư duy cấu trúc – hệ thống cho học sinh thông qua các vật liệu cụ thể của các bộ môn toán, trong đó tri thức cấu trúc – hệ thống về “cấu trúc đại số” là hình mẫu đầu tiên có thể hình thành cho sinh viên hết sức thuận lợi do sinh viên đã tiếp cận cụ thể ở trường phổ thông.
- Dạy học cấu trúc đại số cho sinh viên không những cung cấp cho sinh viên “phương tiện” xem xét bài toán kinh tế – kinh doanh bằng tri thức cấu trúc đại số mà còn giúp cho sự hình thành tư duy cấu trúc – hệ thống..
- [1] Hoàng Xuân Sính (2013), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Việt Nam..
- [2] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên, 2014), Toán cao cấp – tập 1, Đại số và hình học giải tích, Nxb Giáo dục Việt Nam.

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt