Bài giảng Cơ ứng dụng: Phần 2 - ĐH Phạm Văn Đồng

Chia sẻ: Cuahapbia | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:128

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Cơ ứng dụng: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Cơ sở lý thuyết động lực học chất điểm. Các định lý tổng quát của động lực học. Nguyên lý d'alembert. Nguyên lý di chuyển khả dĩ. Các khái niệm cơ bản. Các trường hợp thanh chịu lực đơn giản thường gặp. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ ứng dụng: Phần 2 - ĐH Phạm Văn Đồng

PHẦN III. ĐỘNG LỰC HỌC Động lực học là phần thứ ba của môn cơ học ứng dụng, nghiên cứu các mối quan hệ có tính chất quy luật giữa giữa hai đại lượng: đại lượng lực và đại lượng chuyển động của chất điểm Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính trong động lực học là: + Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm, hai bài toán cơ bản của động lực học + Hiểu và áp dụng các định luật, định lý dộng lực học vật rắn + Hiểu và áp dụng được nguyên lý D’Alembert + Hiểu và áp dụng được nguyên lý di chuyển khả dĩ Về phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý thuyết để giải quyết các bài toán động lực hoc Về ứng dụng: giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở để học môn học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu. Chương 6 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM A. MỤC TIÊU - Nắm và vận dụng các định luật Newton trong bài toán động lực học - Vận dụng phương trình vi phân chuyển động để giải hai bài toán cơ bản của động lực học. B. NỘI DUNG 6.1. CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 6.1.1. Tiên đề 1 (định luật I NEWTON: định luật quán tính) Định luật: một chất điểm giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều khi không có lực tác dụng lên vật đó.    F = 0 => v = c ons t => w = 0 (6.1) Trạng thái chuyển động thẳng đều hay đứng yên của vật rắn được gọi trạng thái chuyển động theo quán tính. 122
Định luật I Newton chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gồm hệ tọa độ gắn với vật chọn làm mốc và mốc thời gian để xác định thời điểm và định vị chuyển động của vật rắn. Vật rắn thỏa mãn định luật I Newton là vật rắn cân bằng 6.1.2. Tiên đề 2 (định luật II NEWTON: định luật cơ bản) Định luật: Trong hệ quy chiếu quán tính, gia tốc của chất điểm có hướng cùng với hướng của lực tác dụng và tỷ lệ với trị số của lực ấy   mw = F (6.2) Trong đó: + m: khối lượng của chất điểm  + w : gia tốc của chất điểm Biểu thức (8.2) là Phương trình cơ bản của động lực học * Chú ý: + Gia tốc tỷ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm + Chất điểm rơi tự do trong trường trọng lực thì trọng lượng của vật được xác định: P = mg (với g = 9,81 N/m2 là gia tốc trọng trường) + Trong hệ đo lường cơ bản SI, khối lượng m có đơn vị kg, lực có đơn vị là N (Newton) 6.1.3. Tiên đề 3 (định luật III NEWTON: định luật lực tác dụng và phản lực tác dụng) Định luật: Các lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm có cùng đường tác dụng (cùng giá), cùng cường độ và ngược chiều nhau. * Chú ý: + Định luật này là cơ sở để nghiên cứu bài toán cơ hệ + Lực tác dụng và phản lực tác dụng (hai lực tương hỗ) không phải là hai lực cân bằng vì chúng tác dụng lên hai vật khác nhau 6.1.4. Tiên đề 4 (định luật độc lập tác dụng) Định luật: Một chất điểm chịu tác dụng đồng thời của nhiều lực sẽ có gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc do từng lực riêng rẽ sinh ra.     w = ∑w k = w 1 + w 2 + ... + w n (6.3) 123
Trường hợp vật chịu tác dụng của nhiều lực, ta có biểu thức:      m w = ∑ m w k = w 1 + w 2 + ... + w n (6.4)    Hay m w = ∑ Fk = R (6.5) 6.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 6.2.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm Biểu thức (6.5) ở trên là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm chịu tác dụng của hệ lực. Ta thường chiếu biểu thức (6.5) lên các trục tọa độ để tiến hành tính toán. Có 3 dạng tọa độ thường khảo sát, như sau: a. Dạng Véctơ    Xét chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của hệ lực (F1 , F2 , ..., Fn ) .  Gọi r là véctơ định vị của chất điểm.   Từ biểu thức (6.5) ta có: m w = ∑Fk   d 2 r  Mà w = 2 = r dt   nên ta được: m r = ∑F k (6.6) Biểu thức (6.6) là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véctơ b. Dạng tọa độ Descartes Giả sử chất điểm chuyển động trong hệ tọa độ Descartes Oxyz gắn liền với hệ    quy chiếu quán tính và chịu tác dụng của hệ lực (F1 , F2 , ..., Fn ) có phương trình chuyển động phụ thuộc vào thời gian:  x = x (t )   y = y (t ) (6.7)  z = z (t )  Chiếu biểu thức (8.6) lên ba trục của hệ tọa độ ta được:  m x = ∑ Xk  y = ∑ Yk  m  (6.8)  z = ∑ Zk  m    Với r = ( x, y, z ) và F = (X k , Yk , Z k ) 124
Hệ phương trình (6.8) là các phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ Descartes c. Dạng tọa độ tự nhiên Đối với các chất điểm đã biết trước quỹ đạo chuyển động (như đường tròn, elip, đường cong Hyprebol, Parabol…) thì ta thưởng dùng hệ tọa độ tự nhiên để khảo sát phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Hệ tọa độ tự nhiên M  nb gồm 3 trục (như hình 6.1): + M  là trục tiếp tuyến với quỹ đạo + Mn là trục pháp tuyến chính của quỹ đạo + Mb là trục trùng pháp tuyến của quỹ đạo n M b Hình 6.1 Ta có hệ phương trình vi phân chuyển động: mw =  ∑ F k mw n = ∑F nk (6.9)   m w b = ∑F bk v2 s 2 Theo phần động học ta có: w  = v =  s; w n = = ;wb = 0   Do đó ta có: s = ∑ F k  m    s 2  m = ∑ Fnk (6.10)   0 = ∑ F  bk  Với: F = (F k , Fnk , Fbk = 0) và  là bán kính cong của quỹ đạo 125
6.2.2. Hai bài toán cơ bản của động lực học Dựa vào định luật II Newton về mối quan hệ giữa lực tác dụng và chuyển động của chất điểm, có thể phân ra hai dạng bài toán cơ bản của động lực học chất điểm: bài toán thuận và bài toán ngược. a. Bài toán thuận Cho biết các đặc trưng chuyển động (phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động), tìm lực tác dụng lên chất điểm. a1. Các bước tính bài toán thuận: Bước 1: Khảo sát vật rắn chuyển động dưới dạng một chất điểm Bước 2: Đặt các lực lên chất điểm: lực hoạt động và các phàn lực liên kết Bước 3:Lựa chọn hệ tọa độ hợp lý: Hệ tọa độ Descartes hoặc hệ tọa độ tự nhiên và viết các phương trình vi phân chuyển động ứng với mỗi hệ trục tọa độ đã chọn Bước 4: Xác định gia tốc chiếu lên mỗi trục của từng hệ trục tọa độ Bước 5: Tìm lực tác dụng lên chất điểm dựa vào các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. a2. Các ví dụ: Ví dụ 6.1 (bài toán thuận): Thang máy đang chuyển động đi xuống với gia tốc w. Xác định sức căng T của sợi dây cáp. Giải: T w P Hình 6.2 Thang máy chuyển động tịnh tiến nên được xem như một chất điểm chuyển động   thẳng đứng dưới tác dụng của trọng lực P và sức căng dây T Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm theo trục z: - m.w= -P+T 126
P w => T= -m.w+P = − .w+P=P.(1- ) g g w Vậy T = P.(1- )P g - Khi thang rơi tự do (tức là w =g) thì T=0 Ví dụ 6.2 (bài toán thuận): Một vật nặng có trọng lượng P treo vào đầu sợi dây L và buộc vào điểm O. Vật nặng quay quanh trục thẳng đứng và vạch nên 1 vòng tròn trong mặt phẳng nằm ngang, dây treo tạo với đường thẳng đứng một góc  . Xác định vận tốc của vật nặng và sức căng của dây Giải: T n v n b M P Hình 6.3 Vật khảo sát: vật nặng coi như chất điểm.   Hệ lực tác dụng: P và sức căng dây T Chọn hệ trục toạ độ tự nhiên M  nb như hình P    Ta có phương trình: w =P+T g Chiếu phương trình trên lên hệ trục toạ độ tự nhiên, ta được: 127
P P g w  = 0  g v = 0   P  P v2  w n = T .sin  ⇔  = T .sin  (Với R=L.sinα) g g R  0 = T .c os  − P  0 = T .c os  − P     P L.g Vậy T = ; v = sin  = c ons t c os  c os  b. Bài toán ngược Cho biết lực tác dụng lên các chất điểm và các điều kiện ban đầu của chuyển động. Yêu cầu xác định: Chuyển động của chất điểm (phương trình chuyển động, hoặc vận tốc, hoặc gia tốc, hoặc thời gian chuyển động). b1. Các bước tính bài toán ngược: Bước 1: Khảo sát vật rắn chuyển động dưới dạng một chất điểm Bước 2: Đặt các lực lên chất điểm: lực hoạt động và các phàn lực liên kết Bước 3:Lựa chọn hệ tọa độ hợp lý và viết phương trình vi phân chuyển động và các điều kiện đầu có dạng:  x = ∑ X k ( t , x , x )  m        r = m . ∑ y = ∑ Yk ( t , y , y ) Fk ( t , r , v ) ⇔  m    z = ∑ Z k ( t , z , z )  m   Giải hệ phương trình vi phân để tìm nghiệm tổng quát có dạng     r = ∑ r ( t , C1 , C 2 )   (Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán để tìm các hằng số tích phân C 1 , C 2 b2. Các ví dụ: Ví dụ 6.3 (bài toán ngược): Vật có trọng lượng P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực thay đổi theo thời gian F=at (a là hằng số). Tìm quy luật chuyển động của vật Giải: 128
N F x P Hình 6.4 Vật khảo sát: vật nặng coi như chất điểm.    Hệ lực tác dụng ( N , P , F ) Chọn trục x cùng chiều với chuyển động Khi t=0 => x(0)=0 và v 0 = x (0) = 0 Phương trình vi phân chuyển động theo trục x là a x = F ⇔ m  m  x = at ⇔  x= t (*) m Tích phân lần 1 theo t của phương trình (*) ta được: 1 a 2 x = t + C1 (* *) 2 m Tích phân lần 2 theo t của phương trình (**) ta được: 1 a 3 x= t + C1 t + C 2 (* * *) 6 m Kết hợp với điều kiện ban đầu (Khi t=0 => x(0)=0 và v 0 = x (0) = 0 ) ta được C 1 = 0; C 2 = 0 Vậy quy luật chuyển động của vật nặng là a 3 x= t 6m C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Phát biểu các định luật cơ bản của động lực học ? 2. Viết phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dưới dạng toạ độ Descartes, dạng toạ độ tự nhiên. 3. Cách giải hai bài toán cơ bản cuả động lực học chất điểm. D . BÀI TẬP BỔ TRỢ 129
Bài tập 6.1. Một Một vật có khối lượng m =20kg được ném thẳng đứng lên cao. Ban đầu vật đứng yên. Lực cản của không khí FC=k.m (với k=0,15). Hãy tìm quy luật chuyển động của vật và tính gia tốc của vật lúc t= 2s. Biết gia tốc trọng trường g=9,81 m/s2. Bài tập 6.2. Cho thang máy có khối lượng m=800 kg đang hoạt động và được treo bằng một sợi cáp. Tính lực căng của sợi cáp khi thang máy đi lên với gia tốc w = 4 m/s2. Biết lực cản của không khí là FC=k.m ( với k=0,1), gia tốc trọng trường g=9,81 m/s2 130
Chương 7 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC A. MỤC TIÊU - Nắm và vận dụng định lý biến thiên động lượng, định lý chuyển động khối tâm, định lý biến thiên mô men động lượng, định lý biến thiên động năng để giải các bài toán động lực học chất điểm và của cơ hệ B. NỘI DUNG Phương pháp tìm quy luật chuyển động của chất điểm (hoặc cơ hệ) bằng cách lập phương trình vi phân chuyển động rồi tích phân các phương trình vi phân đó có nhiều nhược điểm như: Không phải mọi phương trình vi phân đều tích phân được, hơn nữa với cơ hệ có nhiều chất điểm thì khối lượng tính toán khá lớn. Do vậy, để có thể lập phương trình chuyển động mà không nhất thiết phải biết chuyển động của từng chất điểm cụ thể ta dùng các định lý tổng quát của ĐLH. Các định lý tổng quát của ĐLH là hệ quả của phương trình cơ bản ĐLH, cho biết mối quan hệ giữa các đặc trưng động lực cơ bản (động lượng, momen động lượng, động năng) và các đại lượng cơ bản do tác dụng của lực (xung lượng của lực, momen của lực và công của lực). 7.1. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG 7.1.1. Động lượng 7.1.1.1. Động lượng của chất điểm  Động lượng chất điểm q là 1 đại lượng véctơ và bằng tích số giữa khối lượng chất điểm và vận tốc của nó.   q = mv (7.1) Trong đó: m: khối lượng của chất điểm  v vận tốc chuyển động của chất điểm 7.1.1.2. Động lượng của cơ hê a. Khối tâm của hệ Xét cơ hệ gồm n chất điểm chất điểm thứ k (với k = 1, 2,…, n) có khối lượng  m k và vị trí của mỗi chất điểm k được xác định bởi véctơ định vị rk như hình (7.1) 131
Điểm hình học C được gọi là khối tâm của cơ hệ nếu vị trí của nó được xác định bởi công thức:    ∑m r k k ∑m r k k rc = = (7.2) ∑ M mk   ⇔ M rc = ∑m r k k (7.3)  (với rc là véctơ định vị của khối tâm C của cơ hệ đang khảo sát) * Chú ý: Việc xác định vị trí của khối tâm C, ta thường chiếu (7.2) lên các trục tọa độ trong hệ tọa độ Descartes, như sau:   ∑m k xk  xc =  M    ∑m k yk  yc = (7.4)  M   ∑m k zk  zc =  M  Hình 7.1 b. Động lượng của hệ Động lượng của cơ hệ bằng tổng động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ 132
   Q= ∑q k = ∑m k vk (7.5) (Đơn vị tính động lượng là kg.m/s = N.s) * Chú ý: - Ta có thể tính động lượng của hệ dựa vào vận tốc của khối tâm của cơ hệ theo    công thức: Q = ∑m k .v c = M .v c - Nếu hệ chuyển động, nhưng khối tâm vẫn đứng yên thì tổng động lượng của hệ   bằng không ( v c = 0 ⇒ Q = 0 )  - Xác định động lượng Q bằng cách chiếu lên các trục tọa độ:   Q X = M . x c = ∑ m k . x k    QY = M . y c = ∑ m k . y k (7.6)    Q Z = M . z c = ∑ m k . z k   - Nếu cơ hệ chuyển động phức hợ thì động lượng Q chỉ đặc trưng cho chuyển động tịnh tiến của cơ hệ mà không đặc trưng cho chuyển động quay. 7.1.2. Định lý biến thiên động lượng 7.1.2.1. Xung lượng của lực Xung lượng của lực là đại lượng dùng để đánh giá tác dụng của lực theo thời  gian. Giả sử cơ hệ chịu tác dụng của lực F trong khoảng thời gian từ t 0 → t1 thì chịu một xung lực hữu hạn được xác định như sau:  t1  t1  S = ∫ dS = ∫ Fdt t0 t0 (7.7)   (với dS là xung lượng nguyên tố của lực F ) Đơn vị tính của xung lượng trong hệ SI là (Newton.giây =N.s) 7.1.2.2. Định lý biến thiên động lượng Giả sử cơ hệ có n chất điểm, xét chất điểm thứ k (k=1 -> n) chịu tác dụng của   nội lực Fki và ngoại lực Fke . Ta có: 133
i e   dv k  i  e mk w k = Fk + Fk ⇔ mk = Fk + Fk (7.8) dt    dv k Đối với toàn cơ hệ: ∑ mk = ∑ Fki + ∑ Fke (7.9) dt   dv k d  dQ i Với ∑ mk = ∑ mk v k = và ∑F k =0 dt dt dt  dQ  Suy ra = ∑ Fke (7.10) dt a. Định lý 1: Dựa vào biểu thức (7.10), ta có phát biểu định lý 1: Đạo hàm bậc nhất của động lượng của cơ hệ theo thời gian bằng tổng hình học các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. b. Định lý 2: Biến thiên động lượng của cơ hệ trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lượng của tất cả ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó.    Q1 − Q0 = ∑ S ke (7.11) Chứng minh:  e Q1  t1  e  Từ biểu thức (7.10) ta có dQ = ∑ Fk .dt ⇒ ∫ dQ = ∫ Fk dt = ∑ S ke Q0 t0 * Chú ý: - Nội lực không ảnh hưởng đến sự biến đổi động lượng của cơ hệ - Biểu thức (7.10); (7.11) có thể được tính toán bằng cách chiếu lên các trục tọa độ vuông góc với nhau trong hệ trục tọa độ được chọn 7.1.3. Định luật bảo toàn động lượng Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì động lượng của cơ hệ được bảo toàn e ∑F k = 0 ⇒ Q = const Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ theo một trục (hay một phương) nào đó bằng không thì động lượng của cơ hệ được bảo toàn theo trục đó. Xét trục x: ∑X e k = 0 ⇒ QX = const 7.1.4. Bài tập áp dụng * Phạm vi áp dụng: 134
Trong công thức của các định lý biến thiên động lượng có 3 đại lượng: v, w và t, do dó nó thường được áp dụng trong các bài toán va chạm và chuyển động của chất lỏng. * Trình tự giải: - Xác định cơ hệ khảo sát. - Đặt các ngoại lực tác dụng lên hệ: gồm lực hoạt động và phản lực lên kết. - Chọn hệ trục toạ độ và áp dụng định lý để viết phương trình. - Giải phương trình, dựa vào các biểu thức định nghĩa động lượng và xung lượng để tìm các đại lượng yêu cầu Ví dụ 7.1: Nòng súng đại bác đặt nằm ngang có trọng lượng Q = 115 kN. Viên đạn có trọng lượng P = 550 N. Khi bắn viên đạn ra khỏi nòng súng với vận tốc v0 = 900 m/s. Xác định vận tốc giật lùi của nòng súng ở thời điểm viên đạn bay ra. Giải: Xét cơ hệ gồm: súng và viên đạn.   Hệ ngoại lực tác dụng lên hệ: trọng lượng P, Q và phản lực liên kết của bệ lên  nòng súng N đều có phương thẳng đứng Hình 7.2 Chọn trục x như hình vẽ. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương x, ta có: e ∑F xk = 0 ⇒ Q0 X = Q1 X Trong đó: Q1X là động lượng của hệ theo phương x ở thời điểm viên đạn bay ra. Q0 X : động lượng của hệ theo phương x trước khi bắn. Ban đầu cơ hệ đứng yên nên Q0 X = 0 Gọi v là vận tốc giật lùi của viên đạn, ta có: 135
Q P P 500 Q1 X = v + v0 = 0 ⇔ v = − v0 = − .900 = −4,3(m / s ) < 0 g g Q 115000 (giá trị âm vì nòng súng chuyển động giật lùi) 7.2. ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM 7.2.1. Định lý chuyển động khối tâm 7.2.1.1. Nội dung định lý Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn cơ hệ khi chịu tác dụng của hệ ngoại lực   Mw c = ∑ Fke (7.12) Trong đó: - M là là khối lượng của cơ hệ.  - w c là gia tốc của khối tâm.  - ∑ Fke là tổng ngoại lực tác dụng. 7.2.1.1. Chứng minh định lý  dQ  Từ định lý biến thiên động lượng: = ∑ Fke dt     d  dvc Với Q = M .vc , ta có: ( M .vc ) = M = ∑ Fke dt dt   ⇔ M .w c = ∑ Fke * Nhận xét: - Định lý chuyển động khối tâm là 1 dạng khác của định lý biến thiên động lượng dùng để giải các bài toán hệ vật rắn. - Nội lực không ảnh hưởng đến chuyển động của khối tâm, mà chỉ làm thay đổi từng bộ phận thuộc hê. - Chiếu biểu thức (7.12) lên hệ trục toạ độ vuông góc, ta có:  x c = ∑ X ke  M .    y c = ∑ Yke  M .  (7.13)   z c = ∑ Z ke  M .  136
7.2.2. Định luật bảo toàn chuyển động khối tâm 7.2.2.1. Nội dung định luật Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì khối tâm của cơ hệ chuyển động theo quán tính e   ∑F k = 0 ⇒ vc = 0 (hoặc vc = const ) (7.14) Nếu tổng hình chiếu các ngoại lực trên một trục bằng không, thì hình chiếu khối tâm cơ hệ trên trục đó chuyển động theo quán tính. 7.2.2.2. Chứng minh định luật bảo toàn khối tâm e   Theo biểu thức (7.14) ta có ∑F k = 0 ⇒ vc = 0 (hoặc vc = const ) Nghĩa là khối tâm của cơ hệ sẽ chuyển động theo quán tính. Trường hợp đối với trục x ta có: ∑X e k = 0 ⇒  xc = 0 ⇒ xc = 0 hoặc xc = const * Chú ý: Nếu ban đầu khối tâm đứng yên ( xc = 0) ⇒ xc = const có nghĩa là x0c = x1c ∑m x k k Mà xc = M nên: ∑m x = ∑ m1k x1k 0k 0k (7.15) Trong đó: x0 c ; x1c lần lượt là vị trí của khối tâm lúc ban đầu và lúc đang khảo sát Quy ước: trạng thái “0” là trạng thái ban đầu; trạng thái “1” là trạng thái đang khảo sát của cơ hệ. 7.2.3. Bài toán áp dụng 7.2.3.1. Phạm vi áp dụng Định lý được áp dụng trong các bài toán sau: - Bài toán thuận: Biết chuyển động của các bộ phận cơ hệ , tìm Lực tác dụng lên cơ hệ (thường là phản lực liên kết) - Bài toán ngược: Biết ∑X e k = 0 , tìm khối lượng dịch chuyển hoặc vận tốc khối tâm của 1 bộ phận. 7.2.3.2. Trình tự giải 137
- Phân tích chuyển động của cơ hệ: Phân tích các đặc điểm chuyển động của các bộ phận cơ hệ. - Phân tích các ngoại lực tác dụng lên hệ (gồm lực hoạt động và phản lực liên kết). - Chọn hệ trục toạ độ và áp dụng định lý: dựa vào đặc điểm đã cho để viết phương trình. - Giải phương trình: để tìm các đại lượng yêu cầu. 7.2.3.3. Các ví dụ tính toán Ví dụ 7.2: Một động cơ điện được giữ cố định lên sàn bằng bu lông. Phần cố định của động cơ có trọng lượng Q, phần quay (rôto) có trọng lượng P, đặt cách trục quay 1 đoạn là e. a. Tìm giá trị cực đại của lực cắt ngang bu lông nếu động cơ quay đều với vận tốc  b. Nếu động cơ điện chỉ đặt trên nền ngang nhẵn, thì độ dịch chuyển ngang lớn nhất của nó là bao nhiêu ? Giải: a) Tìm giá trị cực đại của lực cắt ngang Hình 7.3 Khảo sát cơ hệ gồm toàn bộ động cơ: phần cố định và phần quay. Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ: + Trọng lượng phần cố định Q 138
+ Trọng lượng rôto P + Phản lực của nền tác dụng lên động cơ N + Tổng các lực cắt ngang bu lông R . Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Áp dụng định lý chuyển động khối tâm:       M .w c = ∑ Fke = Q + P + N + R (a) Chiếu (a) lên trục x ta được: M .xc = R (b) Muốn tìm R cần xác định x c . Theo công thức tính khối tâm ta có: Q.xo + PxM xc = (c) Q+P Vì xo = 0, xM = e cos  = e cos t ⇒ xM = −e sin  xM = −e 2 cos t ⇒  PxM P ⇒ xc = = e cos t (d) Q+P Q+P P ⇒ xc = − e sin t Q+P P ⇒  xc = e 2 cos t Q+P P Thay xc = − e 2 cos t vào (b) ta được: Q+P P 2 R=− e cos t g P 2 R đạt cực trị khi cos t = ±1 ⇒ Rmax = e g P 2 Vậy Rmax = e g b. Độ dịch chuyển ngang lớn nhất P Theo (d), dịch chuyển ngang là xc = e cos t Q+P Pe xc đạt cực trị khi cos t = ±1 ⇒ xcmax = Q+P Pe Vậy xcmax = Q+P 139
* Nhận xét: Khi  lớn thì Rmax lớn. Tuy nhiên nếu độ lệch e bé thì dù  lớn thì Rmax cũng sẽ rất bé. Do đó trong kỹ thuật cần cân bằng rôto để e=0 7.3. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 7.3.1. Mômen quán tính 7.3.1.1. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z ( J z ) Cho vật rắn chuyển động quay quanh trục z, trong đó chất điểm thứ k có khối lượng mk cách trục quay một đoạn rk Định nghĩa: Mômen quán tính của vật rắn đối với trục z là tổng các tích của khối lượng của mỗi chất điểm với bình phương khoảng cách từ chất điểm ấy đến trục quay J Z = ∑ mk rk2 (7.16) Hình 7.4 Trong hệ SI, mômen quán tính có đơn vị kg.m2 . * Chú ý: - Mô men quán tính luôn luôn dương J Z > 0 -Trong kỹ thuật, đối với vật rắn ta thường dùng công thức: JZ = ∑ M  2 (7.17) Trong đó: + M là khối lượng vật. 140
+  là bán kính quán tính của vật đối với trục. - Khi xét chuyển động trong mặt phẳng, trục z sẽ suy biến thành điểm O (H. 7.3b), nên biểu thức mômen quán tính thường được xác định dối với một điểm suy biến O như sau: J0 = ∑ M  2 (7.18) J 0 = ∑ mk rk2 (7.19) Trong đó J 0 là momen quán tính của vật rắn đối với tâm O. - Mômen quán tính của cơ hệ biểu thị độ đo quán tính của nó trong chuyển động quay quanh trục hoặc tâm. Có thể nói momen quán tính J z đặc trưng cho “tính ì” của cơ hệ trong chuyển động quay giống như khối lượng m trong chuyển động tịnh tiến. 7.3.1.2. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z ( J z ) Mômen quán tính của 1 số vật rắn đồng chất thông dụng được cho trong Bảng: Bảng 2.1. Mô men quán tính của một số vật rắn đồng chất Vật rắn Hình vẽ Momen quán tính ML2 Thanh đồng chất J zc = 12 Vành tròn đồng chất (ống tròn) J zc = MR 2 Tấm tròn đồng chất MR 2 J zc = (trụ tròn) 2 141