1/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Trường THCS Trưng Vương Năm học: 2017-2018 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 7 A. LÝ THUYẾT: 1. Đại số: Trả lời các câu hỏi 1,2 SGK trang 22. Câu 1,2,3,4 SGK trang 49. 2. Hình học: - Nêu định nghĩa, tính chất, các cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân? - Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, trường hợp bằng nhau đặc biệt của 2 tam giác vuông. - Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của các định lí. + Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác. + Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. + Quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác. + Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng. + Tính chất đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác. B. BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1. Thu gọn các đơn thức sau rồi chỉ ra bậc của đơn thức: a) 5 x(−2 xy 2 ).3xyz 3 b) (−2 x 2 yz 3 )2 .(3x3 y 2 z )3 3  c) (4 xy x) .  x 2 yz  4  2 3 2 1 1  d) − x  x 2 y  25  3  2 5  . y 2  2  2 2  1  1  5  e)  − x3 y  .1 x3 y 3 .  − xy 3   2  5  3  2 2 2  1  f) 4abx  − xy 2  . ( −ay ) (a, b là hằng số).  2  3 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 2/ 26 Nhóm Toán THCS Bài 2. Cho các đa thức: A = − x 2 y 2 + 7 x − 3x 2 y + 4 xy + 2 yx 2 − 5x − 4 Toán học là đam mê B = 2 xy + 3 − 6 x 2 y − 3xy + 2 x + 1 − ( xy) 2 C = 4( x − 1) + 2 x( xy 2 − y) + y( x 2 − x) − x( xy + 3) a) Thu gọn và tìm bậc của A, B, C . b) Tính A + B + C; A + B − C;2 A − B + C. c) Tính giá trị biểu thức C với x = 2, y = −2 . Bài 3. Tìm đa thức A biết: a) A + (2 xy 2 − 3x 2 y + y 3 ) = 5 x 2 y 2 + 4 x 2 y + 4 y 3 . b) A − (4 xy − 3 y 2 ) = x 2 − 7 xy + 8 y 2 . c) (25 x 2 y − 13xy 2 + x3 ) − A = 11x 2 y − 2 x3 . d) (3x 2 y 2 − xy 2 + 2 x3 y 3 ) − A . Bài 4. Cho 2 đa thức: P ( x ) = −5 x5 − 6 x 2 + 5 x5 − 5 x − 2 + 4 x 2 và Q ( x ) = −2 x 4 − 5 x3 + 10 x − 17 x 2 + 4 x3 − 5 + x3 a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính P ( x ) + Q ( x ) ; P ( x ) − Q ( x ) . c) Chứng tỏ x = −2 là nghiệm của P ( x ) nhưng không phải là nghiệm của Q ( x ) . Bài 5. Cho 2 đa thức: A ( x ) = x3 ( x + 2 ) − 5 x + 9 + 2 x3 ( x − 1) và B ( x ) = 2 ( x 2 − 3x + 1) − ( 3x 4 + 2 x3 − 3x + 4 ) a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến. b) Tính A ( x ) + B ( x ) ; A ( x ) − B ( x ) . c) Tìm nghiệm của C ( x ) = A ( x ) + B ( x ) . d) Chứng tỏ đa thức H ( x ) = A ( x ) + 5 x vô nghiệm. Bài 6. Cho hai đa thức: A ( x ) = 3 ( x 2 + 2 − 4 x ) − 2 x ( x − 2 ) + 17 và B ( x ) = 3x 2 − 7 x + 3 − 3 ( x 2 − 2 x + 4 ) . Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 3/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS a) Thu gọn A ( x ) , B ( x ) . Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm của biến. Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do của 2 đa thức đó. b) Tìm N ( x ) sao cho N ( x ) − B ( x ) = A ( x ) . và M ( x ) sao cho A ( x ) − M ( x ) = B ( x ) . c) Chứng minh: x = 2 là một nghiệm của N ( x ) . Tìm một nghiệm nữa của N ( x ) . 2 d) Tính nghiệm của A ( x ) tại x = . 3 Bài 7. Tìm nghiệm của các đã thức 1 1 x −3 − 2 2 a) A ( x ) = −4 x − 5 g) H ( x ) = b) B ( x ) = 3 ( 2 x − 1) − 2 ( x + 1) h) K ( x ) = 3x − 2 + 4 − 6 x c) C ( x ) = ( 2 x 2 − 8 )( − x 2 + 1) i) M ( x ) = x − 1 + ( x 2 − 1) d) D ( x ) = 3x − x3 j) N ( x ) = 4 x 2 − 3x + 7 e) E ( x ) = 2 x3 + 4 x k) P ( x ) = 7 x 2 − 2 x − 9 f) G ( x ) = x3 − x 2 + x − 1 l) Q ( x ) = 5 x 2 − 11x + 6 2 Bài 8*. (Dành cho HS giỏi) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: A = ( x + 2) B = ( x − 1) + ( y + 5 ) + 1 2 2 C = x − 2014 + x − 2015 2 D = ( x2 − 9) + y − 2 −1 4 b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: B = 5 − ( x + 1) 2 D= C = 9 − x2 − 5 1 x +2 2 c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 1) A = 2 có giá trị lớn nhất. 6− x 2) B = 8− x có giá trị nhỏ nhất. x−3 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 4/ 26 Nhóm Toán THCS Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = Toán học là đam mê 2a − 5b 4a + b a 3 − biết = a − 3b 8a − 2b b 4 b) B = ( x + y )( y + z )( x + z ) biết xyz = 2 và x + y + z = 0 c) f ( x ) = x17 − 2015 x16 + 2015 x15 − 2015 x14 + .... + 2015 x − 1 . Tính f ( 2014 ) Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? b) Kẻ AH vuông góc với BC ( H  BC ). Gọi AD là phân giác BAH ( D  BC ). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, trên đó lấy E sao cho AE = BD (E và C cùng phía đối với AB). CMR: AB = DE. c) CMR: ADC cân. d) Gọi M là trung điểm AD, I là giao điểm của AH và DE. CMR: C, I, M thẳng hàng. Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E. Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE. CMR: a) ABD = EBD b) BD là đường trung trực của AE. c) AD < DC. d) E, D, F thẳng hàng và BD ⊥ CF . e) 2(AD + AF) > CF. Bài 12. Cho ABC có A = 900 và AC  AB . Kẻ AH ⊥ BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HB . Kẻ CE ⊥ AD kéo dài ( E thuộc tia AD ). Chứng minh: a) ABD cân. b) DAH = ACB c) CB là tia phân giác của ACE d) Kẻ DI ⊥ AC ( I  AC ) , chứng minh 3 đường thẳng AH , ID, CE đồng quy. e) So sánh AC và CD . f) Tìm điều kiện của ABC để I là trung điểm AC . Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 5/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài 13. Cho ABC cân tại A ( A  90 ). Trên cạnh BC lấy 2 điểm D , E sao cho BD = DE = EC . Kẻ BH ⊥ AD, CK ⊥ AE ( H  AD, K  AE ) , BH cắt CK tại G . Chứng minh rằng: a) ADE cân. b) BH = CK . c) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh A, M , G thẳng hàng. d) AC  AD . e) DAE  DAB . Bài 14. Cho ABC đều. Tia phân giác góc B cắt AC tại M . Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM , BC tại N , E. Chứng minh: a) ANC cân. b) NC ⊥ BC. c) Xác định dạng của tam giác BNE. d) NC là trung trực của BE. e) Cho AB = 10cm. Tính diện tích BNE và chu vi ABE. Bài 15. Cho ABC có A = 900 ( AB  AC ), đường cao AH , AD là phân giác của AHC . Kẻ DE ⊥ AC . a) Chứng minh: DH = DE. b) Gọi K là giao điểm của DE và AH . Chứng minh AKC cân. c) Chứng minh KHE = CEH . d) Cho BH = 8cm, CH = 32cm. Tính AC. e) Giả sử ABC có C = 300 , AD cắt CK tại P . Chứng minh HEP đều. Bài 16. Cho ABC có A = 60o . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I , cắt cạnh AC , AB ở D và E. Tia phân giác góc BIC cắt BC ở F. a) Tính góc BIC b) Chứng minh: ID = IE = IF . c) Chứng minh: DEF đều. d) Chứng minh: I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 6/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Hướng dẫn giải: Bài 1. a) 5 x(−2 xy 2 ).3xyz 3 = −30 x3 y 3 z 3 ; Bậc 9 b) (−2 x 2 yz 3 )2 .(3x3 y 2 z )3 = 12 x13 y8 z 9 ; Bậc 30 3 3  27 10 7 3 c) (4 xy 2 x)2 .  x 2 yz  = x y z ; 4 4  1 1  d) − x  x 2 y  25  3  2 Bậc 20  5  −1 5 6 . y 2  = x .y ;  2  36 2 2 Bậc 11 2  1  1  5  5 e)  − x3 y  .1 x3 y 3 .  − xy 3  = x11 y11 ;  2  5  3  6 Bậc 11 2 2  1  f) 4abx  − xy 2  . ( −ay ) = a3b.x5 . y 6 ;  2  Bậc 11 3 Bài 2. a) Thu gọn và tìm bậc: A = − x 2 y 2 − x 2 y + 4 xy + 2 x − 4 ; Bậc 4 B = − x 2 y 2 − 6 x 2 y − xy + 2 x + 4 ; Bậc 4 C = 2 x 2 y 2 − 3xy + x − 4 ; Bậc 4 b) Tính: A + B + C = −7 x 2 y + 5x − 4 A + B − C = −4 x 2 y 2 − 7 x 2 y + 6 xy + 3x + 4 2 A − B + C = x 2 y 2 + 4 x 2 y + 6 xy + 3x − 16 c) Tính giá trị biểu thức C với x = 2, y = −2 C = 2.22.(−2)2 − 3.2.(−2) + 2 − 4 = 42 Bài 3. Tìm A a) A + (2 xy 2 − 3x 2 y + y 3 ) = 5 x 2 y 2 + 4 x 2 y + 4 y 3  A = 5 x 2 y 2 + 4 x 2 y + 4 y 3 − (2 xy 2 − 3x 2 y + y 3 )  A = 5 x 2 y 2 + 4 x 2 y + 4 y 3 − 2 xy 2 + 3x 2 y − y 3  A = 5 x 2 y 2 + 7 x 2 y + 3 y 3 − 2 xy 2 b) A − (4 xy − 3 y 2 ) = x 2 − 7 xy + 8 y 2 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 7/ 26 Nhóm Toán THCS  A = x 2 − 7 xy + 8 y 2 + 4 xy − 3 y 2 Toán học là đam mê  A = x 2 − 3xy + 5 y 2 (25 x 2 y − 13xy 2 + x3 ) − A = 11x 2 y − 2 x3 c) A = (25 x 2 y − 13xy 2 + x3 ) − (11x 2 y − 2 x3 )  A = 25 x 2 y − 13xy 2 + x3 − 11x 2 y + 2 x3  A = 14 x 2 y − 13xy 2 + 3x3 d) (3x 2 y 2 − xy 2 + 2 x3 y 3 ) − A = 0  A = 3x 2 y 2 − xy 2 + 2 x3 y 3 Bài 4. a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: P ( x ) = −5 x5 − 6 x 2 + 5 x5 − 5 x − 2 + 4 x 2 = ( −5 x5 + 5 x5 ) + ( −6 x 2 + 4 x 2 ) − 5 x − 2 = −2 x 2 − 5 x − 2 Q ( x ) = −2 x 4 − 5 x3 + 10 x − 17 x 2 + 4 x3 − 5 + x3 = −2 x 4 + (−5 x3 + 4 x3 + x3 ) − 17 x 2 + 10 x − 5 = −2 x 4 − 17 x 2 + 10 x − 5 b) Tính P ( x ) + Q ( x ) ; P ( x ) − Q ( x ) +) P ( x ) + Q ( x ) = −2 x 2 − 5 x − 2 − 2 x 4 − 17 x 2 + 10 x − 5 P ( x ) + Q ( x ) = −2 x 4 + ( −2 x 2 − 17 x 2 ) + ( −5 x + 10 x ) + ( −2 − 5 ) P ( x ) + Q ( x ) = −2 x 4 − 19 x 2 + 5 x − 7 +) P ( x ) − Q ( x ) = −2 x 2 − 5 x − 2 − ( −2 x 4 − 17 x 2 + 10 x − 5 ) P ( x ) − Q ( x ) = −2 x 2 − 5 x − 2 + 2 x 4 + 17 x 2 − 10 x + 5 P ( x ) − Q ( x ) = 2 x 4 + ( −2 x 2 + 17 x 2 ) + ( −5 x − 10 x ) + ( −2 + 5 ) P ( x ) − Q ( x ) = 2 x 4 + +15 x 2 − 15 x + 3 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 8/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS c) Chứng tỏ x = −2 là nghiệm của P ( x ) nhưng không phải là nghiệm của Q ( x ) +) Thay x = −2 vào P ( x ) , ta có: P ( x ) = −2 x 2 − 5 x − 2 Suy ra P ( −2 ) = −2 ( −2 ) − 5 ( −2 ) − 2  P ( −2 ) = −8 + 10 − 2  P ( −2 ) = 0 2 Hay x = −2 là nghiệm của P ( x ) . +) Thay x = −2 vào Q ( x ) , ta có: Q( x) = −2 x 4 − 17 x 2 + 10 x − 5 Suy ra Q ( −2 ) = −2. ( −2 ) − 17. ( −2 ) + 10. ( −2 ) − 5  Q ( −2 ) = −32 + 68 − 20 − 5 4 2  Q ( −2 ) = −11  0 Hay x = −2 không phải là nghiệm của Q ( x ) . Vậy x = −2 là nghiệm của P ( x ) nhưng không phải là nghiệm của Q ( x ) . Bài 5. a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm A(x)= 𝑥 3 (𝑥 + 2) − 5𝑥 + 9 + 2𝑥 3 (𝑥 − 1) = 𝑥 4 +2𝑥 3 − 5𝑥 + 9 + 2𝑥 4 − 2𝑥 3 =3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 B(x)= 2(𝑥 2 − 3𝑥 + 1) − (3𝑥 4 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 4) =2𝑥 2 − 6𝑥 + 2 − 3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 =−3𝑥 4 − 3𝑥 − 2 b) Tính A(x)+B(x); A(x)-B(x) + A(x)= 3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 B(x)= −3𝑥 4 − 3𝑥 − 2 A(x)+B(x)= −8𝑥 + 7 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 9/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS − A(x)= 3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 B(x)= −3𝑥 4 − 3𝑥 − 2 A(x)−B(x)= 6𝑥 4 − 2𝑥 + 11 c) Tìm nghiệm của C(x)=A(x) +B(x) C(x)=−8𝑥 + 7=0 −8𝑥 = −7  x= 7 8 Vậy nghiệm của C(x)= −8𝑥 + 7 là x= 7 8 d) Chứng tỏ rằng H(x)=A(x)+5x vô nghiệm H(x)= 3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 + 5𝑥 = 3𝑥 4 + 9 H(x)=0  3𝑥 4 + 9 = 0 3𝑥 4 = −9  𝑥 4 = −3 (vô lí) Nên không có giá trị nào của x để H(x)=0 Vậy H(x) vô nghiệm. Bài 6. a) Thu gọn và sắp xếp A(x)=3(𝑥 2 + 2 − 4𝑥) − 2x(x − 2) + 17 =3𝑥 2 + 6 − 12𝑥 − 2𝑥 2 + 4x + 17 =𝑥 2 − 8𝑥 + 23 Hệ số cao nhất: 1, hệ số tự do 23 B(x) = 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3 − 3(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) = 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 − 12 = −𝑥 − 9 Hệ số cao nhất: -1, hệ số tự do -9 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 10/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS b) N(x)-B(x)=A(x)  N(x)=B(x)+A(x) + A(x)= 𝑥 2 − 8𝑥 + 23 − 𝑥 −9 B(x) = N(x) = 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 A(x)-M(x)=B(x)  M(x)=A(x)-B(x) − A(x)= 𝑥 2 − 8𝑥 + 23 −𝑥 − 9 B(x) = M(x) = 𝑥 2 − 7𝑥 + 32 c) Chứng minh 2 là nghiệm của N(x).Tìm một nghiệm nữa của N(x) N(2)= 22−9.2 + 14 = 4 − 18 + 14 = 0 Vậy 2 là nghiệm của N(x) N(x)= 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 𝑎) 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 = 𝑥 2 + (𝑎 − 2)𝑥 − 2𝑎 { 𝑎 = −7 −9 = 𝑎 − 2 (thỏa mãn) { 𝑎 = −7 14 = −2𝑎 Vậy a=−7 là một nghiệm nữa của N(x) d) Tính giá trị của A(x) tại x= 2 2 3 Thay x = vào biểu thức A(x)= 𝑥 2 − 8𝑥 + 23 3 2 2 2 4 Ta được A ( )= (3)2 − 8. 3 + 23=9 − 3 2 16 3 + 23 = 163 9 Vậy tại x = 3 thì giá trị của biểu thức A(x) bằng 163 9 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 11/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Bài 7. a) Ta có −4 x − 5 = 0  x = −5 . 4 5 Vậy nghiệm của đa thức là x = − . 4 b) Ta có 3 ( 2 x − 1) − 2 ( x + 1) = 0  4 x − 5 = 0  x = Vậy nghiệm của đa thức là x = 5 . 4 5 . 4 2 x2 − 8 = 0  x2 = 4  x = 2  2  c) Ta có ( 2 x 2 − 8 )( − x 2 + 1) = 0   2 .  x = 1 − x + 1 = 0 x = 1 Vậy tập nghiệm của đa thức là S = −2; −1;1; 2 . x = 0 x = 0  . d) Ta có 3 x − x3 = 0  x ( 3 − x 2 ) = 0   2 x = 3 x =  3   Vậy tập nghiệm của đa thức là S = − 3;0; 3 . x = 0 e) Ta có 2 x3 + 4 x = 0  2 x ( x 2 + 2 ) = 0   2 .  x = −2 Vì x2  0 với mọi x nên x2 = −2 vô nghiệm. Vậy nghiệm của đa thức là x = 0 . f) Ta có x3 − x 2 + x − 1 = 0  x 2 ( x − 1) + ( x − 1) = 0  ( x − 1) ( x 2 + 1) = 0 .  x −1 = 0 x = 1  2  2 . x +1 = 0  x = −1 Vì x2  0 với mọi x nên x 2 = −1 vô nghiệm. Vậy nghiệm của đa thức là x = 1 . 1 7 1 1 − = = x x 3 2 1 1 1 1 2  2 2  x = 7 g) Ta có: x − 3 − = 0  x − 3 =    x = 5 . 2 2 2 2  1 x − 3 = − 1 1 x = 5  2  2 2 2 Vậy tập nghiệm của đa thức là S = 5;7 . h) Ta có 3x − 2 + 4 − 6 x = 0 . Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 12/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS  3x − 2  0 Vì  nên 3x − 2 + 4 − 6 x  0 .  4 − 6 x  0 3 x − 2 = 0 2  3 x − 2 = 0  x= . Dấu “=” xảy ra khi  3 4 − 6 x = 0  4 − 6 x = 0 Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 2 . 3 i) Ta có x − 1 + ( x 2 − 1) = 0 . 2  x − 1  0 2 nên x − 1 + ( x 2 − 1)  0 . Vì  2 2 ( x − 1)  0 x = 1  x − 1 = 0 x −1 = 0   2   x = 1  x = 1 . Dấu “=” xảy ra khi  2 2 1 0 x − = 1 0 x − =  ( )    x = −1  Vậy nghiệm của đa thức là x = 1 . j) Ta có: 4 x 2 − 3x + 7 = 0 3 3 9 103  4x2 − x − x + + =0 2 2 16 16 3 3 3  103   2x  2x −  −  2x −  + =0 4 4 4  16  3  3  103    2 x −  2 x −  + =0 4  4  16  3  −103  .   2x −  = 4 16  2 2 3  Vì  2 x −   0 với mọi x nên suy ra 4  2 3 103  vô nghiệm.  2x −  = − 4 16  k) Ta có 7 x 2 − 2 x − 9 = 0  7 x 2 + 7 x − 9 x − 9 = 0  7 x ( x + 1) − 9 ( x + 1) = 0  x = −1 x +1 = 0 .  ( x + 1)( 7 x − 9 ) = 0    x = 9 7 x 9 0 − =  7   9 Vậy tập nghiệm của đa thức là S = −1;   7 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 13/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS l) Ta có 5 x 2 − 11x + 6 = 0  5 x 2 − 5 x − 6 x + 6 = 0  5 x ( x − 1) − 6 ( x − 1) = 0  x −1 = 0 x = 1  ( x − 1)( x − 6 ) = 0    . x − 6 = 0 x = 6 Vậy tập nghiệm của đa thức là S = 1;6 . Bài 8. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: +) A = ( x + 2 ) 2 Vì ( x + 2 )  0, x ; dấu “=” xảy ra khi ( x + 2 ) = 0  x + 2 = 0  x = −2 2 2 Vậy GTNN của A là 0 khi x = −2 +) B = ( x − 1) + ( y + 5 ) + 1 2 2 Ta có: ( x − 1)  0 với mọi x, ( y + 5 )  0 với mọi y 2 2 Suy ra: ( x − 1) + ( y + 5 ) + 1  0 + 0 + 1 = 1 2 2 2  x = 1 ( x − 1) = 0 Dấu “=” xảy ra khi    2  y = −5  ( y + 5) = 0 Vậy GTNN của B là 1 khi x = 1; y = −5 +) C = x − 2014 + x − 2015 Ta có: C = x − 2014 + x − 2015 = x − 2014 + 2015 − x Mà: x − 2014 + 2015 − x  x − 2014 + 2015 − x = 1 = 1 Dấu “=” xảy ra khi ( x − 2014 )( 2015 − x )  0  2014  x  2015 Vậy GTNN của C là 1 khi 2014  x  2015 +) E = ( x 2 − 9 ) + y − 2 − 1 4 Vì: ( x 2 − 9 )  0 ; y − 2  0 với mọi x,y 4 Suy ra: D = ( x 2 − 9 ) + y − 2 − 1  0 + 0 − 1 = −1 4 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 14/ 26 Nhóm Toán THCS 4 2  ( x − 9 ) = 0  x = 3 Dấu “=” xảy ra khi:   y = 2 y 2 0 − =   Toán học là đam mê Vậy GTNN của D là −1 khi ( x; y ) = ( 3; 2 ) hoặc ( x; y ) = ( −3; 2 ) b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: +) B = 5 − ( x + 1) 2 Vì: ( x + 1)  0  B = 5 − ( x + 1)  5 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi: 2 ( x + 1) 2 2 = 0  x = −1 Vậy GTLN của B là 5 khi x = −1 +) C = 9 − x 2 − 5 Vì: x 2 − 5  0 x  C = 9 − x 2 − 5  9 − 0 = 9 với mọi x Dấu “=” xảy ra khi: x 2 − 5 = 0  x 2 − 5 = 0  x 2 = 5  x =  5 Vậy GTLN của C là 9 khi x =  5 +) D = 1 x +2 2 Vì x 2 + 2  2  D = 1 1  với mọi x x +2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi: x 2 = 0  x = 0 Vậy GTLN của D là 1 khi x = 0 2 c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 1) A = 2 có giá trị lớn nhất 6− x ĐK để A có nghĩa là x  6 Với x  6  6 − x  0  A = 2 0 6− x Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 15/ 26 Nhóm Toán THCS Với x  6  6 − x  0  A = 2 0 6− x Toán học là đam mê Do đó đề A lớn nhất thì A  0 trong trường hợp x  6 Mặt khác tử số của A không đổi nên A lớn nhất khi mẫu 6 − x bé nhất Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x  6 nên x = 5 2 2 = =2 6− x 6−5 Khi đó A = Vậy khi x = 5 thì A đạt GTLN là 2 2) B = 8− x có giá trị nhỏ nhất x−3 ĐK để B có nghĩa là x  3 Ta có: B = 8 − x 5 − ( x − 3) 5 = = −1 ; x −3 x −3 x −3 Suy ra B nhỏ nhất khi 5 nhỏ nhất x−3 Với x  3  x − 3  0  5 0 x −3 Với x  3  x − 3  0  5 0 x −3 Do đó đề 5 5  0 trong trường hợp x  3 nhỏ nhất thì x −3 x−3 Mặt khác tử số của 5 5 không đổi nên nhỏ nhất khi mẫu x − 3 lớn nhất x−3 x−3 Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x  3 nên x = 2 Khi đó B = 5 5 −1 = − 1 = −6 x −3 2−3 Vậy khi x = 2 thì B đạt GTNN là −6 . Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) a) Ta có a 3 a b a b =  = . Đặt = = k . Suy ra a = 3k ; b = 4k b 4 3 4 3 4 Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 16/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Khi đó biểu thức A trở thành: A= 2.3k − 5.4k 4.3k + 4k 6k − 20k 12k + 4k −14k 16k 14 5 5 − = − = − = −1 = 1 −1 = 3k − 3.4k 8.3k − 2.4k 3k − 12k 24k − 8k −9k 16k 9 9 9 Vậy A = 5 . 9 b) Ta có x + y + z = 0 , suy ra x + y = − z; y + z = − x và x + z = − y Thay vào biểu thức B, ta được: B = ( − z )( − x )( − y ) = − xyz , mà xyz = 2 nên B = −2 Vậy B = −2 . c) Xét với x = 2014  x + 1 = 2015 . Khi đó ta được f ( 2014 ) = x17 − ( x + 1) x16 + ( x + 1) x15 − ( x + 1) x14 + .... + ( x + 1) x − 1 = x17 − ( x17 + x16 ) + ( x16 + x15 ) − ( x15 + x14 ) + ... + ( x 2 + x ) − 1 = x17 − x17 − x16 + x16 + x15 − x15 − x14 + ... + x2 + x − 1 = x − 1 = 2014 − 1 = 2013 Vậy f ( 2014 ) = 2013 Bài 10. a) Do AB2 + AC 2 = BC 2 nên ABC vuông tại A. C b) Do EAD = BDA(cgc) nên ED = AB . c) AHD : ADH = 180o − ( HAD + AHD) = 90o − HAD CAD = 90o − DAB Mà AD là phân giác BAH Nên HAD = DAB → CAD = ADH Vậy ADC cân tại C. d) ADC cân tại C, M là trung điểm AD nên CM ⊥ AD . Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ E A H I D M B 17/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Do EAD = BDA(cgc) (c/m ở b) nên EDA = DAB → ED / / AB Mà AB ⊥ AC → DE ⊥ CA → I = AH  DE Do đó I là trực tâm ADC → I  CM Vậy C, I, M thẳng hàng. Bài 11. a) Vì BD là phân giác ABC F Suy ra ABD = DBE Do đó ABD = EBD (góc nhọn – cạnh huyền). A b) Ta có: ABKI = EBK (c-g-c) H D K nên BD ⊥ AE = K và K là trung điểm AE. Vậy BD là đường trung trực của AE. B C E c) Ta có: ABD = EBD nên AD = DE mà EDC vuông tại E nên DE  DC → AD  DC . d) Ta có: FAD = CED(c − g − c) Suy ra: FAD = CDE do đó FAD + ADE = ADE + EDC Mà A, D, C thẳng hàng nên E, D, F thẳng hàng. Trong BEC : CA ⊥ BE, FE ⊥ BC, CA  FE = D nên D là trực tâm BEC → BD ⊥ CF . e) Ta có: FAD : AF + AD  FD và ECD : DE + EC  DC Mà AF = CE, AD = DE Suy ra ( AF + AD) + ( DE + EC )  FD + DC Hay 2( AD + AF )  FD + DC Xét DEFC : DF + DC  FC Do đó 2( AD + AF )  FC. Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 18/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Bài 12. a) Ta có: + AH ⊥ BC  AH là đường cao của ABD + HD = HB  AH là trung tuyến của ABD  ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABD cân tại A . b) + ABD cân tại A nên: ADH = ABH (1) + ADH vuông tại H nên: DAH + ADH = 900 (2) + ABC vuông tại A nên: ACB + ABH = 900 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: DAH = ACB (đpcm). c) Ta có: + DCE vuông tại E nên: DCE + CDE = 900 (4) + Mà: CDE = ADH (đối đỉnh) (5) Từ (2), (4), (5) suy ra: DCE = ACB  CB là tia phân giác của ACE d) Ta có: + AH ⊥ BC  AH ⊥ DC + ID ⊥ AC + CE ⊥ AD  AH , ID, CE là 3 đường cao của BCD nên đồng quy tại một điểm. e) Vì AH ⊥ BC nên HB, HC lần lượt là hình chiếu của AB, AC trên BC Mà: AC  AB (gt)  HC  HB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) Mà: HD = HB (điểm D tia HC ) Nên: điểm D thuộc đoạn thẳng HC Do đó: CD  CH Lại có: CH  AC (quan hệ giữa đường xien và đường vuông góc) Vâỵ: CD  AC . f) Nếu I là trung điểm của AC thì: DI là đường trung tuyến của ADC Mà: DI ⊥ AC Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 19/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS  ADC có DI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ADC cân tại D  DAC = DCA Lại có: ADB = 2 DCA ( tính chất góc ngoài của tam giác) Mà: ADB = ABC (vì ABD cân tại A ) Do đó: ABC = 2 DCA Mà: ABC + DCA = 900 Suy ra: ABC = 600 ; DCA = 300 Vậy ABC có thêm điều kiện ABC = 600 (hoặc ACB = 300 ) thì I là trung điểm AC . Bài 13. a) Xét ABD và ACE có: A + AB = AC ( ABC cân) + ABC = ACE ( ABC cân) D B E C M + BD = CE (Giả thiết)  ABD H K G ACE ( c.g.c ) F  AD = AE (2 cạnh tương ứng)  ADE cân (đpcm). b) Vì ABD ACE ( cmt )  BAH = CAK (2 góc tương ứng) Xét ABH và ACK có:    ABH ACK ( ch − gn ) + AB = AC ( ABC can )    BH = CK ( 2 canh tuong ung ) + BAH = CAK ( cmt )  + AHB = AKC ( = 90 ) c) Xét DBH và ECK có: + DHB = EKC ( = 90 )    DBH ECK ( ch − cgv ) + BD = CE ( gt )    DBH = ECK ( 2 goc tuong ung ) + BH = CK ( cmt )   GBC cân tại G , lại có GM là trung tuyến  GM là đường trung trực  G  đường trung trực của BC Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ (1) 20/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Vì ABC cân tại A (gt)  A  đường trung trực của BC ( 2) Do M là trung điểm của BC (gt)  M  đường trung trực của BC ( 3) Từ (1) , ( 2 ) và ( 3)  A, M , G thẳng hàng. d) Xét AME có: AEC = AME + MAE = 90 + MAE  90  AEC là góc tù. Xét ACE có: AC đối diện góc tù AEC  AC  AE (quan hệ góc và cạnh đối diện) Mà AD = AE (cmt)  AC  AD (đpcm) e) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho DF = DA . Xét ADE và FDB có: + DE = DB ( gt )   ADE FDB ( c.g.c )  + ADE = FDB ( 2 goc doi dinh )  + AE = BF ( 2 canh tuong ung )    + DA = DF ( cach ve ) + DAE = DFB ( 2 goc tuong ung )  Xét ABD có: ADB  ACE = ABD (t/c góc ngoài tam giác)  AB  AD (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác) Mà AD = BF ( = AE ) nên  AB  BF . Xét ABF có: AB  BF ( cmt )  AFB  DAB (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác) Lại có AFB = DAE ( cmt )  DAE  DAB (đpcm). Bài 14. a) ABC đều (giả thiết) Mà BM là phân giác của ABC (giả thiết)  BM là đường trung trực của ABC  CM = MA; BM ⊥ AC (tính chất đường trung trực) CM = MA Trong CNA có:   NM ⊥ AC ( BM ⊥ AC ) Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 21/ 26 Nhóm Toán THCS Suy ra CNA cân tại N (đpcm)  ACN = NAC (tính chất tam giác cân)   BCA = BAC ( gt ) b) Ta có:    ACN = NAC ( cmt )  BCA + ACN = BAC + NAC  BCN = BAN Do BAN = 900 ( gt )  BCN = 900  NC ⊥ BC. c) Xét BCN và BAN có: BCN = BAN = 900 BN chung BC = BA( gt )  BCN = BAN (Cạnh huyền – Cạnh góc vuông)  BNC = BNA (Góc tương ứng bằng nhau) Trong BCN có: BCN = 900 (cmt )  BNC + CBN = 900 1 1 Mà: CBN = NBA = CBA = .600 = 300 (gt) 2 2  CNB = 900 − CBN = 900 − 300 = 600  CNB = BNA = 600 Ta có: CNB + BNA + CNE = 1800  CNE = 1800 − CNB − BNA = 1800 − 600 − 600 = 600  CNE = CNB = 600.  NC là tia phân giác của BNE Mà NC ⊥ BC  BNE cân tại N . d) Ta có: BNE cân tại N mà NC ⊥ BC hay NC là đường cao của BNE  NC là đường trung trực của BNE (t/c tam giác cân)  NC là đường trung trực của BE Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Toán học là đam mê 22/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS e) Ta có : BAE = 900 AE 2 = BE 2 + AB 2  AE = BE 2 + AB 2 = 202 + 102 = 10 5 Ta lại có : BC = CE = 10cm  BE = 20cm Chu vi tam giác ABE là : AB + BE + EA = 10 + 20 + 10 5 = 30 + 10 5 Đặt NA = x; NE = y  NB = y Ta có : NA + NE = AE  x + y = 10 5 Mà : BN 2 = NA2 + AB 2  y 2 = x 2 + 10  y = 6 5  NE = 6 5 .  Suy ra   x = 2 5  NA = 2 5 1 Ta có: S BNE = .NC.BE.10 = 20 5(cm 2 ) . 2 = 1 NA.2.BC = NA.BC = 2 5 2 Bài 15. a) Chứng minh: DH = DE. K Cách 1: Xét AHD và AED , có: AHD = AED = 900 B P H AD là cạnh huyền chung D HAD = EAD ( AD là phân giác HAC ) Do đó AHD =AED (Cạnh huyền – góc nhọn)A  DH = DE (2 cạnh tương ứng). Cách 2:  DH ⊥ AH Ta có:   DE ⊥ AE Mà D thuộc đường phân giác HAE  DH = DE (Tính chất của điểm thuộc tia phân giác). Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ E C 23/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS b) Chứng minh AKC cân. Do D là giao điểm của hai đường cao KE và CH nên D là trực tâm của AKC  AD ⊥ CK Xét AKC có AD là đường cao đồng thời là đường phân giác Do đó: AKC cân tại A. c) Chứng minh KHE = CEH . Xét AEK và AHC có: AK = AC (Do AKC cân) A chung Do đó: AEK = AHC (Cạnh huyền – góc nhọn)  HKE = ECH (2 góc tương ứng) và KE = HC (2 cạnh tương ứng). Lại có: +) AH = AE (Do AHD = AED ) +) AK = AC (Do AKC cân) +) AC = AE + EC +) K = AH + HK Suy ra HK = EC Xét KHE và ΔCEH có: HK = EC (Chứng minh trên) HKE = ECH (Chứng minh trên) KE = HC (Chứng minh trên) Do đó: KHE = CEH ( c - g - c ) d) Tính AC . Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABC vuông tại A có: AB 2 + AC 2 = BC 2 (1) Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHB vuông tại H có: AB 2 = AH 2 + BH 2 (2) Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHC vuông tại H có: AC 2 = AH 2 + CH 2 (3) Từ (1), (2), (3) Suy ra: BC 2 = 2 AH 2 + BH 2 + CH 2  AH 2 = BC 2 − BH 2 − CH 2 502 − 182 − 322 = = 576  AH = 24 2 2 Thay vào (3), ta tính được AC = 30cm. e) Chứng minh HEP đều Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 24/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS Khi BCA = 300  KAC = 600 Xét AKC cân tại A, có KAC = 600  AKC đều Do đó AK = AC = KC (4) Lại có: AD, KE , AP là các đường cao đồng thời là trung tuyến  E, H , P lần lượt là trung điểm của AC , AK , CK . Xét AHC vuông tại H , trung tuyến HE ứng với cạnh huyền AC . Suy ra HE = 1 AC (5) (Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) 2 Tương tự ta có: HP = 1 1 AK (6) và EP = CK (7) 2 2 Từ (4), (5), (6), (7) suy ra: HE = HP = EP Vậy HEP đều (Điểu phải chứng minh). Bài 16. a) Xét  ABC có: B ABC + ACB + BAC = 180 o F E o ABC + ACB + 60 = 180 o  ABC + ACB = 120o I 60° A Ta có: CI là tia phân giác của góc ACB 1  BCI = ACI = ACB 2 BI là tia phân giác của góc ABC 1  CBI = ABI = ABC 2 1 1 1 1  BCI + CBI= ACB+ ABC= (ACB + ABC)= .120o =60o 2 2 2 2 Xét  BIC có: Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ D C 25/ 26 Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS BIC + CBI + BIC = 180o 60o + BIC = 180o  BIC = 120o b) Ta có: EIB + BIC = 180o  EIB + 120o = 180o  EIB = 60o . Ta có: DIC + BIC = 180o  DIC + 120o = 180o  DIC = 60o . Ta có: IF là tia phân giác của BIC  BIF = FIC = 60 . O Xét IFC và IDC có: ICF = ICD (vì CI là phân giác của BCA ). Cạnh CI chung CIF = CID ( = 60O )  ΔIFC = ΔIDC (g-c-g)  IF = ID (1) Xét IFB và IEB có: IBF = IBE (vì BI là phân giác của CBA ) Cạnh IB chung BIF = BIE ( = 60O )  IFB = IEB ( g − c − g )  IF = IE (2) Từ (1) và (2)  IF = IE = ID . Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 26/ 26 Nhóm Toán THCS c) Ta có: EIF = EIB + FIB = 60o + 60o = 120o Toán học là đam mê DIF = DIC + FIC = 60o + 60o = 120o Xét EIF và DIF có IF là cạnh chung EIF = DIF ( = 120o ) IE = ID (cmt)  EIF = DIF (c-g-c)  EF = DF (3) Chứng minh tương tự: EIF = EID  EF = ED (4) TỪ (3) VÀ (4) ta có: EF = DE = DF .  DEF là tam giác đều d) EIF = DIF  IFE = IFD  FI là phân giác của EFD EIF = EID  IEF = IED  EI là phân giác của FED  I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác DEF . Tam giác ABC có: CI là phân giác của ACB BI là phân giác của ABC  I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC Vậy I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và tam giác DEF. Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/