Bài giảng Xác suất & Thống kê Nguyễn Đức Phương Họ và tên: Mssv: TP. HCM, Ngày 22 tháng 1 năm 2015 Mục lục Mục lục i 1 Biến cố, xác suất của biến cố 1 1.1 Phép thử, biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.2 Sự độc lập của hai biến cố . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Các công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1 Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.2 Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.3 Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.4 Công thức xác suất Bayes . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Biến ngẫu nhiên 26 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 27 2.2.1 X là biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 X là biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Kỳ vọng - EX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Trang ii 2.3.2 Phương sai - VarX Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3 ModX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Một số phân phối xác suất thông dụng 49 3.1 Phân phối Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Lý thuyết mẫu 69 4.1 Tổng thể, mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Mô tả dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.1 Phân loại mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.2 Sắp xếp số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Các đặc trưng của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.1 Trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.2 Phương sai mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.3 Phương sai mẫu có hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . 73 5 Ước lượng tham số 78 5.1 Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Khoảng tin cậy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3.1 Mô tả phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3.2 Khoảng tin cậy cho trung bình . . . . . . . . . . . 80 5.3.3 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6 Kiểm định giả thiết 88 Mục lục Trang iii 6.1 Bài toán kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.1.1 Giả thiết không, đối thiết . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.1.2 Miền tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.1.3 Hai loại sai lầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.1.4 Phương pháp chọn miền tới hạn . . . . . . . . . . . 90 6.2 Kiểm định giả thiết về trung bình . . . . . . . . . . . . . . 90 6.3 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.4 So sánh hai giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.5 So sánh hai tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.6 Bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A Các bảng giá trị xác suất 112 A.1 Bảng giá trị f .z/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.2 Bảng giá trị '.x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.3 Bảng giá trị t˛n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Tài liệu tham khảo 119 Chương 1 Biến cố, xác suất của biến cố Mục lục chương 1 1.1 1.1 Phép thử, biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Các công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Phép thử, biến cố - Phép thử là việc thực hiện một thí nghiệm hoặc quan sát một hiện tượng nào đó. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước chính xác kết quả nào sẽ xảy ra. - Mỗi kết quả của phép thử, ! được gọi là một biến cố sơ cấp. Ví dụ 1.1. Thực hiện phép thử tung một đồng xu. Có hai kết quả có thể xảy ra khi tung đồng xu là xuất hiện mặt sấp-S hoặc mặt ngửa-N:  Kết quả ! D S là một biến cố sơ cấp.  Kết quả ! D N là một biến cố sơ cấp. - Tập hợp tất cả các kết quả, ! có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian các biến cố sơ cấp, ký hiệu là . Ví dụ 1.2. Tung ngẫu nhiên một con xúc sắc. Quan sát số chấm trên mặt xuất hiện của xúc sắc, ta có 6 kết quả có thể xảy ra đó là:1, 2, 3, 4, Trang 2 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố 5, 6. Không gian các biến cố sơ cấp,  D f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Số phần tử của , jj D 6: - Mỗi tập con của không gian các biến cố sơ cấp gọi là biến cố. Ví dụ 1.3. Thực hiện phép thử tung một xúc sắc. Ta đã biết  D f1; 2; 3; 4; 5; 6g  Đặt A D f2; 4; 6g  , A gọi là biến cố “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn”. Thay vì liệt kê các phần tử của A, ta đặt tên cho A A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn”  Ngược lại, nếu ta gọi biến cố: B: “Số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 4” thì khi đó B D f5; 6g - Xét biến cố A, khi thực hiện phép thử ta được kết quả !.  Nếu trong lần thử này kết quả ! 2 A ta nói biến cố A xảy ra.  Ngược lại nếu trong lần thử này kết quả ! … A ta nói biến cố A không xảy ra. Ví dụ 1.4. Một sinh viên thi kết thúc môn xác suất thống kê. A : “Sinh viên này thi đạt” A D f4I : : : I 10g  Giả sử sinh viên này đi thi được kết quả ! D 6 2 A lúc này ta nói biến cố A xảy ra (Sinh viên này thi đạt).  Ngược lại nếu sinh viên này thi được kết quả ! D 2 … A thì ta nói biến cố A không xảy ra (Sinh viên này thi không đạt). 1.2 Quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo .A  B/ W Nếu biến cố A xảy ra thì kéo theo biến cố B xảy ra. 1.2 Quan hệ giữa các biến cố Trang 3 Ví dụ 1.5. Theo dõi 3 bệnh nhân phỏng đang được điều trị. Gọi các biến cố: Ai : “Có i bệnh nhân tử vong”, i D 0; 1; 2; 3 B : “Có nhiều hơn một bệnh nhân tử vong” Ta có A2  B, A3  B, A1 6 B b) Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu A  B và B  A, ký hiệu A D B. c) Biến cố tổng A C B .A [ B/ xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra trong một phép thử. (Ít nhất một trong hai biến cố xảy ra) Ví dụ 1.6. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một phát. Gọi các biến cố: A : “Người thứ nhất bắn trung mục tiêu” B : “Người thứ hai bắn trúng mục tiêu” Biến cố A C B: “Có it nhất một người bắn trúng mục tiêu” d) Biến cố tích AB .A \ B/ xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra trong một phép thử. Ví dụ 1.7. Một sinh viên thi kết thúc 2 môn hoc. Gọi các biến cố: A : “Sinh viên thi đạt môn thứ nhất” B : “Sinh viên thi đạt môn thứ hai” Biến cố AB: “Sinh viên thi đạt cả hai môn” e) Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không cùng xảy ra trong một phép thử .AB D ;/. f) Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu ;. g) Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu . h) Biến cố AN được gọi là biến cố bù của biến cố A hay ngược lại khi và chỉ khi ( A \ AN D ; A [ AN D  Trang 4 1.3 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố Định nghĩa xác suất Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa cổ điền). Xét một phép thử đồng khả năng, có không gian các biến cố sơ cấp  D f!1 ; !2 ; : : : ; !n g ; jj D n < 1 A   là một biến cố. Xác suất xảy ra biến cố A, ký hiệu P .A/ P .A/ D số trường hợp thuận lợi đối với A jAj D jj số trường hợp có thể Ví dụ 1.8. Gieo một con xúc sắc cân đối. Tính xác suất số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 4. Giải. Ví dụ 1.9. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên vào một ghế dài có 5 chỗ ngồi. Tính xác suất hai người định trước ngồi cạnh nhau. Giải. Tính chất 1.2 (Tính chất của xác suất). Xác suất có các tính chất: i. ii. iii. iv. 0  P .A/  1 với mọi biến cố A. P .;/ D 0, P ./ D 1. Nếu A  B thì P .A/  P .B/.
P .A/ D 1 P AN : Ví dụ 1.10. Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen. Từ lọ lấy ra ngẫu nhiên 3 bi, tính xác suất lấy được: 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập Trang 5 a) Hai bi trắng. b) Ít nhất một bi trắng. Giải. Chú ý: Trong câu b), chúng ta tính xác suất của biến cố bù sẽ đơn giản hơn. Ta có BN W “Lấy được không bi trắng” P .B/ D 1 1.4 C40 C63 3 C10
P BN D 1 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 1.4.1 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.3 (Xác suất có điều kiện). P .AjB/ là xác suất xảy ra biến cố A biết rằng biến cố B đã xảy ra (P .B/ > 0). Ví dụ 1.11. Một lọ có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Từ lọ này lấy lần lượt ra 2 viên bi, mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lấy được viên bi trắng. Giải.  4 bi trắng 6 bi đen B xảy ra ! đã lấy 1 bi trắng  3 bi trắng 6 bi đen Trang 6 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố Ví dụ 1.12. Từ một bộ bài tây (4 chất, 52 lá), rút ngẫu nhiên ra 2 lá. Tính xác suất: a) Rút được hai lá bài cơ. b) Rút được 2 lá bài cơ biết rằng 2 lá bài này màu đỏ. Giải. Ví dụ 1.13. Một nhóm 100 người có: + 20 người hút thuốc. + 30 nữ, trong đó có 5 người hút thuốc. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập Trang 7 Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 100 người này. Tính xác suất: a. Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ. b. Người này là nữ biết rằng người này hút thuốc. 20 người hút thuốc 30 nữ 5 nữ hút thuốc Giải. Công thức xác suất điều kiện P .AjB/ D P .AB/ ; P .B/ P .B/ > 0 Tính chất 1.4. Xác suất có điều kiện có các tính chất: i. 0  P .AjB/  1 với mọi biến cố A. ii. Nếu A  A0 thì P .AjB/  P .A0 jB/.
N iii. P .AjB/ D 1 P AjB : Ví dụ 1.14. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 10 người nộp đơn dự tuyển, trong đó có 4 nữ (khả năng trúng tuyển của các ứng cử viên là như nhau). Tính xác suất: Trang 8 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố a) Cả 4 nữ trúng tuyển. b) Có ít nhất một nữ trúng tuyển. c) Cả 4 nữ trúng tuyển, biết rằng có ít nhất một nữ đã trúng tuyển. Giải. 1.4.2 Sự độc lập của hai biến cố Định nghĩa 1.5 (Sự độc lập). A và B là hai biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược lại, nghĩa là:
P .AjB/ D P AjBN Tính chất 1.6. Nếu A và B độc lập thì i. P .AjB/ D P .A/ và P .BjA/ D P .B/ N AN và B; AN và BN độc lập. ii. A và B; Ví dụ 1.15. Tung một xúc sắc 2 lần. Gọi các biến cố: A : “Lần 1 xuất hiện mặt 6 chấm” B : “Lần 2 xuất hiện mặt 6 chấm” Hai biến cố A và B có độc lập? 1.5 Các công thức tính xác suất Trang 9 Giải. Ví dụ 1.16. Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen, thực hiện hai lần lấy bi. Mỗi lần lấy 1 bi (lấy không hoàn lại). Đặt các biến cố: A : “Lần 1 lấy được bi đen” B : “Lần 2 lấy được bi trắng” Hai biến cố A và B có độc lập? Giải. 1.5 Các công thức tính xác suất 1.5.1 Công thức cộng P .A C B/ D P .A/ C P .B/ P .AB/ Chú ý: Nếu A và B xung khắc .AB D ;/ thì P .A C B/ D P .A/ C P .B/ Trang 10 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố Ví dụ 1.17. Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 10 học sinh giỏi toán, 8 học sinh giỏi văn và 6 học sinh giỏi cả toán và văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất học sinh này giỏi ít nhất một môn. Giải. Công thức cộng 3 biến cố: P .A C B C C / DP .A/ C P .B/ C P .C / P .AB/ P .AC / P .BC / C P .ABC / Chú ý: Nếu A; B; C xung khắc từng đôi một thì P .A C B C C / D P .A/ C P .B/ C P .C / 1.5.2 Công thức nhân P .AB/ D P .A/ P .BjA/ D P .B/ P .AjB/ Chú ý: Nếu A và B độc lập thì P .AB/ D P .A/ P .B/ Mở rộng công thức nhân: Cho n biến cố A1 ; A2 ; : : : ; An P .A1 A2 : : : An / D P .A1 / P .A2 jA1 / : : : P .An jA1 A2 : : : An 1 / Chú ý: Nếu Ai ; i D 1; : : : ; n độc lập toàn bộ thì P .A1 : : : An / D P .A1 / : : : P .An / Ví dụ 1.18. Một người có 4 con gà mái, 6 con gà trống nhốt trong một lồng. Hai người đến mua (người thứ nhất mua xong rồi đến lượt người 1.5 Các công thức tính xác suất Trang 11 thứ hai mua, mỗi người mua 2 con) và người bán bắt ngẫu nhiên từ lồng. Tính xác suất người thứ nhất mua được một gà trống và người thứ hai mua hai gà trống. Giải. Ví dụ 1.19. Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn. Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8. Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3. Tính xác suất sinh viên A: a. Đạt môn thứ hai. b. Đạt i môn, i D 0; 1; 2: c. Đạt ít nhất một môn. d. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt một môn. e. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt ít nhất một môn. Giải. Trang 12 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố Ví dụ 1.20. Một người có 3 con gà mái, xác suất đẻ trứng trong ngày của con gà I, II, III lần lượt là 0,4; 0,7; 0,8. Tính xác suất: a) Có i con gà đẻ trứng trong ngày, i D 0; 1; 2; 3: b) Có ít nhất 1 con gà đẻ trứng trong ngày. c) Có nhiếu nhất 2 con gà đẻ trứng trong ngày. 1.5 Các công thức tính xác suất Trang 13 d) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có 1 con đẻ trứng. e) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có ít nhất 1 con đẻ trứng. f) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có nhiều nhất 2 con đẻ trứng. Giải. Trang 14 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố 1.5.3 Công thức xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.7 (Hệ đầy đủ). n biến cố A1 ; A2 ; : : : ; An được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi một và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra trong một phép thử. Nghĩa là ( Ai \ Aj D ;; 8i ¤ j A1 C A2 C


C An D  Ví dụ 1.21. Từ một lọ có 4 bi trắng và 6 bi đen lấy ra 2 bi. A0 : “Lấy được 0 bi đen” A1 : “Lấy được 1 bi đen” A2 : “Lấy được 2 bi đen” Khi đó A0 I A1 I A2 là hệ đầy đủ. Công thức xác suất đầy đủ: Cho A1 I A2 I : : : I An (P .Ai / > 0 ) là hệ đầy đủ các biến cố và B là một biến cố bất kỳ. Xác suất xảy ra biến cố B P .B/ D P .A1 / P .BjA1 / C P .A2 / P .BjA2 / C


C P .An / P .BjAn / Ví dụ 1.22. Một đám đông có số đàn ông bằng nửa số đàn bà. Xác suất để đàn ông bị bệnh tim là 0,06 và đàn bà là 0,036. Chọn ngẫu nhiên 1 người từ đám đông, tính xác suất để người này bị bệnh tim. Giải. 1.5 Các công thức tính xác suất Trang 15 1.5.4 Công thức xác suất Bayes Gải thiết giống công thức xác suất đầy đủ. Xác suất: P .Ai jB/ D P .Ai B/ P .Ai / P .BjAi / D ; P .B/ P .B/ i D 1; 2; : : : ; n Ví dụ 1.23. Một lớp có số học sinh nam bằng 3 lần số học sinh nữ. Tỷ lệ học sinh nữ giỏi toán là 30% và tỷ lệ học sinh nam giỏi toán là 40%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp này. Tính xác suất: a. Học sinh này giỏi toán. b. Học sinh này là nam biết rằng học sinh này giỏi toán. Giải. Trang 16 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố Ví dụ 1.24. Có hai chuồng gà: Chuồng I có 10 gà trống và 8 gà mái; Chuồng II có 12 trống và 10 mái. Có hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II. Sau đó có hai con gà chạy ra từ chuồng II. Tính xác suất: a. Hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con trống và hai con gà chạy ra từ chuồng II cũng là hai con trống. b. Hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống. c. Biết rằng hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống, tính xác suất hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà trống. Giải. 1.6 Bài tập chương 1 1.6 Trang 17 Bài tập chương 1 Bài tập 1.1. Một nhóm khảo sát sở thích tiết lộ thông tin là trong năm qua:  45% người xem Tivi thích xem phim tình cảm Hàn quốc.  25% người xem Tivi thích xem phim hành động Mỹ.  10% thích xem cả hai thể loại trên. Tính tỷ lệ nhóm người thích xem ít nhất một trong hai thể loại trên. (60%) Giải. Bài tập 1.2. Có ba lô hàng mỗi lô có 20 sản phẩm, số sản phẩm loại A có trong lô I, II, III lần lượt là: 12; 14; 16. Bên mua chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng 3 sản phẩm, nếu lô nào cả 3 sản phẩm đều loại A thì bên mua nhận mua lô hàng đó. Tính xác suất: Lô thứ i được mua, i D 1; 2; 3: (0,193; 0,3193; 0,4912) Có i lô được mua, i D 0; 1; 2; 3: (0,2795; 0,4678; 0,2225; 0,0303) Có nhiều nhất hai lô được mua. (0,9697) Có ít nhất một lô được mua.(0,7205) Giả sử có ít nhất một lô được mua. Tính xác suất trong đó lô II được mua. (0,4432) f. Giả sử có ít nhất một lô được mua. Tính xác suất trong đó lô I và II được mua.(0,0855) a. b. c. d. e. Trang 18 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố g. Giả sử có một lô được mua. Tính xác suất lô II được mua. (0,2803) Giải. Bài tập 1.3. Một hộp bóng bàn có 15 bóng mới và 8 bóng cũ. Lần thứ I 1.6 Bài tập chương 1 Trang 19 lấy ra 2 bóng để sử dụng sau đó cho vào lại hộp; lần thứ II lấy ra 3 bóng. Tính xác suất a. Lần thứ I lấy được i bóng cũ, i D 0; 1; 2. (0,4150; 0,4743; 0,1107) b. Lần I lấy 1 bóng cũ và lần II là 3 bóng mới. (0,0975) c. Lần thứ II lấy được 3 bóng mới. (0,1929) d. Biết lần thứ II lấy được 3 bóng mới, tính xác suất lần thứ I lấy được 1 bóng cũ. (0,5054) Giải. Trang 20 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố Bài tập 1.4. Có 3 bình đựng bi: bình I có 4 bi trắng và 6 bi đen; bình II có 7 bi trắng và 3 bi đen; bình III có 6 bi trắng và 8 bi đen. Từ bình I và bình II, mỗi bình lấy 1 bi và bỏ sang bình III. Tiếp theo, từ bình III lấy ra tiếp 3 bi. Tính xác suất: a. Hai bi lấy ra từ bình I và II có i bi trắng, i D 0; 1; 2: (0,18; 0,54; 0,28) b. Ba bi lấy ra từ bình III có hai bi trắng. (0,3424) c. Giả sử ba bi lấy từ bình III có hai bi trắng, tính xác suất hai bi lấy từ bình I và II là hai bi đen. (0,1408) Giải. 1.6 Bài tập chương 1 Trang 21 Bài tập 1.5. Một thùng kín đựng 2 loại thuốc: Số lượng lọ thuốc loại A bằng 2/3 thuốc số lượng lọ thuốc loại B. Tỉ lệ lọ thuốc A, B đã hết hạn sử dụng lần lượt là 10% và 8%. Từ thùng lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc. a. Tính xác suất lấy được lọ thuốc A hết hạn sử dụng. (0,04) b. Tính xác suất lọ thuốc lấy ra từ thùng đã hết hạn sử dụng. (0,088) c. Giả sử lấy được lọ thuốc còn hạn sữ dụng, tính xác suất lọ này là lọ thuốc B. (0,6053) Giải. Bài tập 1.6. 1 Một người bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi phát lần lượt là 0,55; 0,6; 0,7. Xác suất mục tiêu bị hạ khi bi trúng 1, 2, 3 phát đạn lần lượt là 0,2; 0,4; 0,8. Tính xác suất: 1 Sinh viên hệ cao đẳng không phải làm các câu c, e, f. Trang 22 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố a. Có i phát trúng mục tiêu, i D 0; 1; 2; 3: (0,054; 0,273; 0,442; 0,231) b. Có nhiều nhất 2 phát trúng mục tiêu. (0,769) c. Tính xác suất mục tiêu bị hạ. (0,4162) d. Giả sử có 2 phát trúng mục tiêu, tính xác suất phát thứ I trúng mục tiêu. (0,5724) e. Giả sử mục tiêu bị hạ. Tính xác suất phat thứ nhất trúng mục tiêu. (0,7189) f. Biết rằng có nhiều nhất 2 phát trúng mục tiêu, tính xác suất mục tiêu bị hạ. (0,3009) Giải. 1.6 Bài tập chương 1 Trang 23 Bài tập 1.7. Nhà máy có hai phân xưởng, sản lượng của phân xưởng I gấp 3 lần sản lượng của phân xưởng II. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng I, II lần lượt là 7% và 12%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy, tính: a. Xác suất chọn được sản phẩm tốt do phân xưởng I sản xuất. (0,6975) b. Xác suất chọn được phế phẩm. (0,0825) c. Giả sử chọn được sản phẩm tốt, tính xác suất sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất. (0,7602) Giải. Trang 24 Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố Bài tập 1.8. Một người buôn bán bất động sản đang cố gắng bán một mảnh đất lớn. Ông ta tin rằng nếu nền kinh tế tiếp tục phát triển, khả năng mảnh đất được mua là 80%; ngược lại nếu nền kinh tế ngừng phát triển, ông ta chỉ có thể bán được mảnh đất đó với xác suất 40%. Theo dự báo của một chuyên gia kinh tế, xác suất nền kinh tế tiếp tục tăng trưởng là 65%. Tính xác suất để bán được mảnh đất. (0,66) Giải. Bài tập 1.9. 2 Có hai hộp đựng bi: hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đen; hộp II có 6 bi trắng và 4 bi đen. Lấy 1 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ra 1 bi. Tính xác suất a. Bi lấy từ hộp II là bi trắng. (7/12) b. Giả sử bi lấy từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi lấy từ hộp I là bi trắng. (5/11) c. Giả sử bi lấy
ra từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi này của hộp 7 5 1 I. 12 11 = 12 d. Giả sử bi
lấy ra từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi này của hộp 6 7 II. 11 = 12 Giải. 2 Sinh viên hệ cao đẳng không phải làm các câu c, d. 1.6 Bài tập chương 1 Trang 25 Chương 2 Biến ngẫu nhiên Mục lục chương 2 2.1 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Khái niệm biến ngẫu nhiên - Xét một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp . Đặt X W  ! R ! 7 ! X.!/ D x X được gọi là biến ngẫu nhiên, x gọi là giá trị của biến ngẫu nhiên X. X  fX 2 I g  I R fX 2 I g D f! W X.!/ 2 I g D A   Hình 2.1: Biến ngẫu nhiên X Ví dụ 2.1. Thực hiện phép thử gieo đồng thời 2 đồng xu cân đối, chúng ta có không gian các biến cố sơ cấp  D fN1 N2 I N1 S2 I S1 N2 I S1 S2 g 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Trang 27 Đặt X.!/ là số đồng xu sấp khi kết quả phép thử là !. Ta có: X.N1 N2 / D 0I X.N1 S2 / D 1I X.S1 N2 / D 1I X.S1 S2 / D 2 Khi đó ta gọi X là biến ngẫu nhiên số đồng xu sấp khi tung 2 đồng xu. - Có hai loại biến ngẫu nhiên:  Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.  Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. Ví dụ 2.2.  Số chấm trên mặt xuất hiện khi tung một xúc sắc là biến ngẫu nhiên rời rạc (giá trị của X là tập hữu hạn).  Số cuộc gọi đến tổng đài điện thoại trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên rời rạc (giá trị của X là tập vô hạn đếm được).  Thời gian hoàn thành 1 sản phẩn của một công nhân là biến ngẫu nhiên liên tục. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2.2.1 X là biến ngẫu nhiên rời rạc Để mô tả phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc người ta sử dụng bảng phân phối xác suất: X P x1 x2 f .x1 / f .x2 /





xn f .xn /





Trong đó:  Dòng 1 liệt kê giá trị có thể của X.  f .xi / D P .X D xi / ; i D 1; 2; : : : gọi là xác suất X nhận giá trị xi :  Nếu x0 … fx1 ; : : : ; xn ; : : :g thì f .x0 / D 0: Trang 28 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.3. Thực hiện phép thử tung một xúc sắc. Gọi X là số chấm trên mặt xuất hiện của xúc sắc. X có bảng phân phối như sau: X P 1 1=6 2 1=6 3 1=6 4 1=6 5 1=6 6 1=6 Nhận xét:  f .x1 / C f .x2 / C


C f .xn / C


D 1: P  P .a < X < b/ D f .xi /: a<xi <b Ví dụ 2.4. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho như sau: X P 1 a 1 2a 3 3a 5 4a a. Xác định a. b. Xác định P .X D 2/ : c. Xác định P . 1 < X < 4/ : Giải. Ví dụ 2.5. Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu có một viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn, lập bảng phân phối xác suất của X: Giải. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Trang 29 Ví dụ 2.6. Một xạ thủ có 6 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu có 3 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn, lập bảng phân phối xác suất của X: Giải. Ví dụ 2.7. Một lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen. Từ lọ này lấy ra ngẫu nhiên 4 bi. Gọi X là số bi đen lẫn trong 4 bi lấy ra, lập bảng phân phối xác Trang 30 Chương 2. Biến ngẫu nhiên suất của X: Giải. 2.2.2 X là biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 2.1 (Hàm mật độ). Hàm số f .x/  0; 8x 2 R được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu Z P .X 2 A/ D f .x/dx; 8A  R A Nhận xét. Với định nghĩa hàm mật độ ta có i. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì xác suất X thuộc một tập A  R được tính bằng tích phân của hàm mật độ f .x/ trên tập A: C1 R ii. Mọi hàm mật độ phải thỏa hai điều kiện f .x/  0 và f .x/dx D 1 1 Ví dụ 2.8. Cho hàm số 8 < 3 2 x f .x/ D 8 :0 khi 0  x  2 nơi khác a. Chứng tỏ f .x/ là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X: b. Tính xác suất P .1  X  3=2/ : c. Tính xác suất P .1  X  3/ : 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Trang 31 Giải. 2 1 0 -2 -1 0 1 2 x 2.2.3 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 2.2 (Hàm phân phối xác suất). Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F .x/ F .x/ D P .X < x/ Nhận xét: Trang 32 Chương 2. Biến ngẫu nhiên  Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì F .x/ D P .X < x/ D X f .xi / xi <x  Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f .x/ thì F .x/ D P .X < x/ D Zx f .t /dt 1 Ví dụ 2.9. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối như sau: X P 1 0; 2 2 0; 5 3 0; 3 a. Tìm hàm phân phối F .x/ của X: b. Vẽ đồ thị của F .x/: Giải. 1,0 0,8 0,6 F .x/ 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 x 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Trang 33 Ví dụ 2.10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ  kx 3 khi 0  x  1 f .x/ D 0 nơi khác a. Xác định k: b. Tìm hàm phân phối xác suất F .x/: c. Vẽ đồ thị hàm phân phối F .x/: Giải. 1,0 F .x/ 0,5 0,0 -2 -1 0 1 2 3 x Trang 34 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Tính chất 2.3. Hàm phân phối xác suất F .x/ có các tính chất: i. ii. iii. iv. 0  F .x/  1; 8x 2 RI F . 1/ D 0I F .C1/ D 1 F .x/ là hàm không giảm (nếu x1 < x2 thì F .x1 /  F .x2/). P .a  X < b/ D F .b/ F .a/: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f .x/ thì:  F 0 .x/ D f .x/  P .X D x/ D 0; 8x 2 R và P .b  X < a/ D P .a < X < b/ D P .a < X  b/ D P .a  X  b/ D F .b/ F .a/ Ví dụ 2.11. Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy đó hỏng tương ứng là 0,3 và 0,4. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làm việc. a. Lập bảng phân phối xác suất của X: b. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Giải. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 2.3 Trang 35 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 2.3.1 Kỳ vọng - EX Định nghĩa 2.4 (Kỳ vọng). Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu EX W  X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất X P x1 x2 f .x1 / f .x2 /





xn f .xn /





Kỳ vọng EX D x1 f .x1 / C


C xn f .xn / C


 X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f .x/ C1 R Kỳ vọng EX D xf .x/dx 1 Ví dụ 2.12. Anh A nuôi 5 con lợn có cân nặng (kg) 55, 55, 60, 70, 70. Chọn ngẫu nhiên một con và mang cân, gọi X là cân nặng. a. Lập bảng phân phối xác suất của X: b. Tính kỳ vọng của X: c. Lập bảng phân phối xác suất của X 2 : d. Tính kỳ vọng của X 2: Trang 36 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Giải. Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng của X là trung bình các giá trị của X theo xác suất. Tính chất 2.5. Kỳ vọng có các tính chất: i. ii. iii. iv. v. Ec D c; c là hằng số. E.cX/ D cEX: E.X C Y / D EX C EY: E.XY / D EX
EY khi X và Y độc lập. Cho Y D h.X/ là hàm của biến ngẫu nhiên X:  Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc EY D Eh.X/ D h.x1 /f .x1/ C


C h.xn /f .xn / C


 Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f .x/ thì ZC1 h.x/f .x/dx EY D Eh.X/ D 1 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên Trang 37 Ví dụ 2.13. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ. 8 < 9 x 2 C 1 khi x 2 .0I 2/ f .x/ D 40 5 :0 khi x … .0I 2/ a. Tính thời gian trung bình một người học rành nghề sửa tivi. b. Tính E.2X C 3/: c. Tính E.X 2/: Giải. 2.3.2 Phương sai - VarX Định nghĩa 2.6 (Phương sai). Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu VarX VarX D E .EX X/2 D EX 2 .EX/2 Ví dụ 2.14. Anh A nuôi 5 con lợn có cân nặng (kg) 55, 55, 60, 70, 70. Chọn ngẫu nhiên một con và mang cân, gọi X là cân nặng. Tính phương sai của X. Giải. Trang 38 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Ý nghĩa phương sai: Phương sai là trung bình của bình phương sai khác giữa các giá trị của X so với trung bình của nó. Do đó phương sai dùng để đo độ phân tán các giá trị của X so với trung bình của nó. Nghĩa là phương sai lớn thì độ phân tán lớn và ngược lại. Do đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của X. Để có cùng đơn vị, ta định nghĩa độ lệch chuẩn p  D VarX Ví dụ 2.15. Giả thiết giống ví dụ 2.13. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ. 8 < 9 x 2 C 1 khi x 2 .0I 2/ f .x/ D 40 5 :0 khi x … .0I 2/ Tính phương sai của X: Giải. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên Trang 39  D 1=2  D1  D2 3 2 1 0 1 2 3 4 x Tính chất 2.7. Phương sai có các tính chất: i. Var.c/ D 0; c là hằng số. ii. Var.cX/ D c 2 VarX: iii. Var.X C Y / D VarX C VarY; nếu X và Y độc lập. 2.3.3 ModX Định nghĩa 2.8. Mod của biến ngẫu nhiên S, ký hiệu ModX  X là biến ngẫu nhiên rời rạc ModX D fxi jP .X D xi / maxg  X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f .x/ ModX D fx0 jf .x0 / maxg Ví dụ 2.16. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất cho như sau: X P ModX D 3 vì P .X D 3/ max 1 0; 1 2 0; 3 3 0; 4 4 0; 2 Ví dụ 2.17. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 8 x3 < x khi x 2 Œ0I 2 f .x/ D 4 : 0 khi x … Œ0I 2 Xác định ModX: Trang 40 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Giải. 2.4 Bài tập chương 2 Bài tập 2.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P a 0; 3 0; 1 0; 2 0; 3 0; 2 0; 4 0; 2 a. Giá trị của tham số a để EX D 0; 3: (-0,2) b. Tìm hàm phân phối xác suất của X: Giải. 2 0; 1 2.4 Bài tập chương 2 Trang 41 Bài tập 2.2. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một công ty bảo hiểm A đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100 USD. Hỏi trung bình công ty A lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho người đó? (20USD) Giải. Bài tập 2.3. Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là 0,03 và 0,05. Biết rằng nếu thành Trang 42 Chương 2. Biến ngẫu nhiên công thì người thợ sẽ kiếm lời từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu đồng và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người thợ kiếm được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần? (2,062) Giải. Bài tập 2.4. Nhu cầu hằng ngày của 1 khu phố về 1 loại thực phẩm tươi sống có bảng phân phối xác suất Nhu cầu (kg) 31 32 33 34 P 0; 15 0; 25 0; 45 0; 15 Một cửa hàng trong khu phố nhập về mỗi ngày 34 kg loại thực phẩm này với giá 25.000 đồng/kg và bán ra với giá 40.000 đồng/kg. Nếu bị ế, cuối ngày cửa hàng phải bán hạ giá còn 15.000 đồng/kg mới bán hết hàng. Tính tiền lời trung bình của cửa hàng này về loại thực phẩm trên trong 1 ngày. (475 ngàn đồng) Giải. 2.4 Bài tập chương 2 Trang 43 Bài tập 2.5. Tuổi thọ (X-tuổi) của người dân ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối cho như sau ( 0 khi x  0 F .x/ D với  D 0; 013 1 e x khi 0 < x Tính: a. Tỷ lệ người dân thọ từ 60 đến 70 tuổi. (0,0559) b. Xác định hàm mật độ của X:
c. Tính tuổi thọ trung bình và VarX: 1=I 1=2 Giải. Trang 44 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Bài tập 2.6. Tuổi thọ (X-tháng) của một bộ phận của một dây chuyền sản xuất là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ: 8 < 25 .10 C x/ 2 khi x 2 .0I 40/ f .x/ D 2 :0 khi x … .0I 40/ a. Xác suất tuổi thọ của bộ phận này nhỏ hơn 6 tháng. (0,4688) b. Tuổi thọ trung bình của dây chuyền này. (10,118 tháng) c. Tìm hàm phân phối xác suất của X: Giải. 2.4 Bài tập chương 2 Trang 45 Bài tập 2.7. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ  kx 2 .4 x/ khi 0  x  4 f .x/ D 0 nơi khác a. Tìm hằng số k. (3/64) b. Tìm F .x/. c. Tìm E .X/, Var .X/ và Mod.X/. (12/5; 16/25; 8/3) d. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi. (13/256) Giải. Trang 46 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Bài tập 2.8. X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ  kx 2 0 < x < 1 f .x/ D 0 nơi khác a. Tìm k để hàm f .x/ là hàm mật độ khi đó tìm kỳ vọng và phương sai của X: (3; 3/4; 3/80) b. Tính P .1=2 < X < 3=2/ ; P .X  1=2/ : (7/8) c. Biết Y D X 3 ; tìm P .1=64 < Y < 1=8/ : (7/64) Giải. 2.4 Bài tập chương 2 Trang 47 Bài tập 2.9. Cho hàm số f .x/ D  kx.2 0 x/ khi 1 < x < 2 nơi khác a. Xác định giá trị của k để f .x/ là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Với k vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X. (3/2; 11/8; 19/320) b. Tìm hàm phân phối F .x/ của biến ngẫu nhiên X. p c. Tính xác suất P .Y > 2X/ với Y D X 3 : .2 2/ Giải. Trang 48 Chương 2. Biến ngẫu nhiên Chương 3 Một số phân phối xác suất thông dụng Mục lục chương 3 3.1 3.1 Phân phối Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Phân phối Bernoulli Xét một phép thử, trong phép thử này ta chỉ qua tâm đến 2 biến cố A và N với P .A/ D p: Phép thử như thế này còn gọi là phép thử Bernoulli. A; Đặt biến ngẫu nhiên  1 Nếu A xảy raI P .X D 1/ D p XD 0 Nếu A không xảy raI P .X D 0/ D 1 p D q Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối nhị thức tham số p, ký hiệu X  B.p/: Ta có bảng phân phối xác suất của X  B.p/ X P 0 q 1 p Tính chất 3.1. Các đặc trưng của X  B.p/ i. EX D p: Trang 50 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng ii. VarX D pq: Ví dụ 3.1. Trả lời ngẫu nhiên một câu hỏi trắc nghiệm có 4 đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Gọi biến ngẫu nhiên:  1 Nếu trả lời đúngI P .X D 1/ D 1=4 XD 0 Nếu trả lời saiI P .X D 0/ D 3=4 X  B.p/I EX D 1=4I VarX D 3=16: 3.2 Phân phối nhị thức Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập và cùng phân phối,  1 Lần i A xảy raI P .Xi D 1/ D p Xi D ; i D 1; n 0 Lần i A không xảy raI P .Xi D 0/ D 1 p D q Đặt X D X1 C


C Xn W gọi là số lần A xảy ra trong n lần thực hiện phép thử. X được gọi là có phân phối Bernoulli tham số n; pI ký hiệu X  B.nI p/: Ví dụ 3.2. Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập, xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Gọi các biến ngẫu nhiên:  1 Lần i bắn trúng MTI P .Xi D 1/ D 0; 7 ; i D 1; 2; 3 Xi D 0 Lần i bắn không trúng MTI X D X1 C X2 C X3; X  B.3I 0; 7/: X là số phát trúng mục tiêu trong 3 phát, giá trị có thế của X là 0; 1; 2: Xác suất có 2 phát trúng mục tiêu: P .X D 2/ D C 0; 7:0; 7:0; 3 D .0; 7/2:0; 3 Phát 1,2 trúng MT 0; 7:0; 3:0; 7 D .0; 7/2:0; 3 Phát 1,3 trúng MT 0; 3:0; 7:0; 7 D .0; 7/2:0; 3 Phát 2,3 trúng MT D 3:.0; 7/2:0; 3 D C32.0; 7/20; 3 Công thức tính xác suất của X  B.nI p/ Xác suất trong n lầ thực hiện phép thử Bernoulli có k lần A xảy ra P .X D k/ D Cnk p k q n k ; k D 0; 1; : : : ; n 3.2 Phân phối nhị thức Trang 51 Tính chất 3.2. Các đặc trưng của X  B.nI p/ i. EX D np: ii. VarX D npq: iii. np q  ModX  np q C 1: Ví dụ 3.3. Một đề thi có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có một đáp án đúng. Sinh viên A trả lời một cách ngẫu nhiên tất cả các câu. Gọi X là số câu trả lời đúng trong 10 câu: a. Xác định phân phối xác suất của X: b. Tính xác suất sinh viên A trả lời đúng từ 2 đến 3 câu. c. Tính xác suất sinh viên A trả lời đúng ít nhất một câu. d. Số câu trung bình sinh viên A trả lời đúng và VarX: e. Số câu sinh viên A có khả năng trả lời đúng lớn nhất. f. Đề thi cần có ít nhất bao nhiêu câu để xác suất sinh viên A trả lời đúng ít nhất một câu  0; 99: Giải. Trang 52 3.3 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Phân phối siêu bội Ví dụ 3.4. Từ một lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen lấy ra 4 bi. Gọi X là số bi đen lẫn trong 4 bi lấy ra, lập bảng phân phối xác suất của X:   3 bi trắng Lấy ra 4 bi 4 k bi trắng 10 bi ! 7 bi đen k bi đen có k bi đen Mô hình siêu bội: Từ một tập có N phần tử gồm:  NA phần tử A:  N NA phần tử khác phần tử A: Từ tập N lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử A lẫn trong n phần tử lấy ra, X gọi là có phân phối siêu bội tham số N; NA ; n, ký hiệu X  H.N; NA ; n/   k Phần tử A NA Phần tử A Lấy ra n PT ! N N n k Phần tử AN N NA Phần tử A được kP T A 3.3 Phân phối siêu bội Trang 53 Công thức tính xác suất cho X  H.N; NA ; n/ Xác suất trong n phần tử lấy ra từ tập N có k phần tử A W  CNkA CNn kNA 0kn P .X D k/ D ; trong đó n n .N NA /  k  NA CN Tính chất 3.3. Các đặc trưng của X  H.N; NA ; n/   NA : i. EX D npI p D N N n : ii. VarX D npq N 1 Ví dụ 3.5. Có 20 chi tiết máy, trong đó có 15 chi tiết máy tốt. Từ 20 chi tiết này lấy ra ngẫu nhiên 4 chi tiết máy (lấy một lần), gọi X là số chi tiết tốt lẫn trong 4 chi tiết lấy ra. a. Xác định phân phối xác suất của X: b. Tính xác suất lấy được 3 chi tiết tốt. c. Tính trung bình số chi tiết tốt lấy được và VarX: Giải. Trang 54 3.4 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poisson Trước hết ta xét mô hình số cuộc gọi đến tổng đài điện thoại. Các cuộc gọi đến tại các thời điểm ngẫu nhiên T1 ; T2 ; : : : trong khoảng thời gian Œ0I t : Có hai giả định về các cuộc gọi đến: Tính đồng nhất. Gọi  là số cuộc gọi trung bình đến tổng đài trong khoảng thời gian t: Trung bình số cuộc gọi đến tổng đài trong khoảng thời gian bất kỳ tỷ lệ với độ đài khoảng đó. Tính độc lập. Số cuộc gọi đến trong các khoảng thời gian phân biệt là các biến ngẫu nhiên độc lập nhau. Ta chia khoảng thời gian Œ0I t  thành n khoảng nhỏ có độ dài t =n: Với n đủ lớn .n > / mỗi khoảng chia thời gian đủ nhỏ ..i 1/t =nI i t =n sao cho chỉ có 0 hoặc 1 cuộc gọi đến. Gọi biến ngẫu nhiên: ( 1 Có cuộc gọi đến trong khoảng ..i 1/t =nI i t =n Xi D 0 Không có cuộc gọi đến trong khoảng ..i 1/t =nI i t =n Khi đó Xi  B.p/; từ giả định tính đồng nhất ở trên p D 
độ dài khoảng chia D 
1 n Theo giả định tính độc lập, số cuộc gọi đến trong khoảng thời gian t    X D X1 C X2 C


C Xn  B nI n Do đó ta có   k   n k  1 ; k D 0; : : : ; n P .X D k/ D n n      n k n.n 1/


.n k 1/  k 1 D kŠ n n         k 1 2 k 1 D 1 1 1


1 1 kŠ n n n Cnk  n n k 3.4 Phân phối Poisson Trang 55 Chuyển qua giới hạn khi n ! C1 ta được  k lim 1 lim P .X D k/ D n!C1 kŠ n!C1  n n k e  D kŠ Định nghĩa 3.4 (Phân phối Poisson). Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson tham số  (ký hiệu X  P ./ nếu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị k D 0; 1; : : : với k e P .X D k/ D kŠ  Tính chất 3.5. Các đặc trưng của X  P ./ i. EX D : ii. VarX D : iii.  1  ModX  : Ví dụ 3.6. Tại một siêu thi, trung bình cứ 5 phút có 10 khách đến quầy tính tiền. a. Tính xác suất để trong 1 phút có 3 khách đến quầy tính tiền. b. Tính xác suất để trong 1 phút có từ 1 đến 3 khách đến quầy tính tiền. c. Số khách có khả năng đến quầy tính tiền lớn nhất trong 1 giờ. Giải. Trang 56 3.5 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Định nghĩa 3.6 (Phân phối chuẩn). Biến ngẫu nhiên X
được gọi là có 2 2 phân phối chuẩn tham số  và  , ký hiệu X  N I  , nếu X có hàm mật độ: .x /2 1 2 2 ; x 2 R f .x/ D p e  2 Đồ thị hàm mật độ của X  N.I  2 /  x Nhận xét: Đồ thị hàm mật độ chuẩn có dạng hình “chuông” đối xứng qua x D 
Tính chất 3.7. Các đặc trưng của X  N I  2 i. EX D : ii. VarX D  2: iii. ModX D : Các đồ thị hàm mật độ biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình là  và  D 2;  D 1;  D 1=2:  D 1=2  D1  D2 x Định nghĩa 3.8 (Phân phối chuẩn:  D 0I  2 D 1). Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z  N .0I 1/ có dạng 1 f .z/ D p e 2 z2 2 ; z2R 3.5 Phân phối chuẩn Trang 57 Hình sau là đồ thị hàm mật độ của z  N .0I 1/ 3 2 1 0 1 2 3 x Định nghĩa 3.9 (Hàm Laplace). Cho biến ngẫu nhiên Z  N .0I 1/ : Đặt hàm Zx 1 z2 p e 2 dz; x 2 R '.x/ D 2 0 gọi là hàm Laplace. (Giá trị của '.x/; x  0 được cho trong bảng A.2) '.x/ O x Tính chất 3.10. Hàm Laplace '.x/ có các tính chất: i. '. x/ D '.x/: ii. '.C1/ D 0; 5I '. 1/ D 0; 5: iii. Nếu Z  N.0I 1/ thì P .a < Z < b/ D '.b/ '.a/:
X  iv. Nếu X  N I  2 thì biến ngẫu nhiên Z D  N .0I 1/ : và    a  b  P .a < X < b/ D ' '   Ví dụ 3.7. Cho biến ngẫu nhiên X  N .0I 1/ ; tính các xác suất. a. P . 1 < X < 2/ : b. P .1; 5 < X/ : c. P .X < 1/ : Trang 58 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng
Ví dụ 3.8. Cho biến ngẫu nhiên X  N 3I 22 : Tính các xác suất: a. P .1 < X/ : b. P .jX 1j < 2/ : c. P .jX 1j > 1/ : Ví dụ 3.9. Điểm Toeic của sinh viên sắp tốt nghiệp ở trường đại học có phân phối chuẩn với giá trị trung bình 560 và độ lệch chuẩn 78. Tính: a. Tỷ lệ sinh viên có điểm nằm giữa 600 và 700. b. Tỷ lệ sinh viên có điểm Toeic trên 500. c. Giả sử nhà trường muốn xác định điểm Toeic tối thiểu để sinh viên có thể ra trường với tỉ lệ 80%. Tính điểm Toeic tối thiểu (lấy phần nguyên). Giải. 3.5 Phân phối chuẩn Trang 59 Ví dụ 3.10. Tuổi thọ của máy cắt cỏ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 82 tháng. Nhà sản xuất bảo hành sản phẩm khi bán ra là 33 tháng. Giả sử 2,5% sản phẩm bị trả lại (hỏng) trong thời gian bảo hành. Tính: a. Độ lệch chuẩn của tuổi thọ sản phẩm này. b. Xác suất một máy loại này có tuổi thọ trên 50 tháng. c. Một cửa hàng bán 10 máy cắt cỏ loại này. Tính: i) Xác suất có 2 máy hỏng trong thời gian bảo hành. ii) Số máy trung bình hỏng trong thời gian bảo hành. Trang 60 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Giải. 3.6 Bài tập chương 3 Bài tập 3.1. Một nhà vườn trồng 121 cây mai với xác suất nở hoa của mỗi cây trong dịp tết năm nay là 0,75. Giá bán 1 cây mai nở hoa là 0,5 triệu đồng. 3.6 Bài tập chương 3 Trang 61 a. Tính số cây trung bình nở hoa trong dịp tết. (90,75 cây) b. Giả sử nhà vườn bán hết những cây mai nở hoa, tính số tiến trong dịp tết năm nay nhà vườn thu được chắc chắn nhất. (45,5 triệu đồng) Giải. Bài tập 3.2. Chủ vườn lan đã để nhầm 20 chậu lan có hoa màu đỏ với 100 chậu lan có hoa màu tím (lan chưa nở hoa). Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 15 chậu từ 120 chậu lan đó (chọn 1 lần). a. Tính xác suất có từ 5 đến 6 chậu lan có hoa màu đỏ. (0,0723) b. Gọi X là số chậu lan có hoa màu đỏ khách chọn được. Tính giá trị của EX và VarX. (5/2; 125/68) Giải. Trang 62 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Bài tập 3.3. Tại bệnh viện A trung bình 3 giờ có 8 ca mổ. Tính a. Số ca mổ chắc chắn nhất sẽ xảy ra tại bệnh viện A trong 25 giờ. (66 ca) b. Tính xác suất trong 5 giờ có từ 10 đến 12 ca mổ. (0,2821) Giải. Bài tập 3.4. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 lần chọn có: a. Đúng 1 lần chọn được không quá 1 phế phẩm. (0,066) b. Trung bình số lần chọn được không quá 1 phế phẩm. (2,514) Giải. 3.6 Bài tập chương 3 Trang 63 Bài tập 3.5. Giá cà phê trên thị trường là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 26000 đồng/kg và độ lệch chuẩn 2000 đồng. k là giá trị tại đó cà phê có giá lớn hơn k với xác suất 90%. Tính giá trị k: (23420 đồng) Giải. Bài tập 3.6. Thời gian mang thai của sản phụ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 280 ngày. Cho biết tỷ lệ một sản phụ mang thai trên 290 ngày là 25,14%, tính độ lệch chuẩn của thời gian mang thai. (15 ngày) Giải. Trang 64 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Bài tập 3.7. Chiều dài của loại linh kiện điện tử A tại cửa hàng B là biến ngẫu nhiên X (mm) có phân phối chuẩn N.12I 2; 5/. Một công ty cần mua loại linh kiện này với chiều dài từ 11,98mm đến 13mm và họ chọn lần lượt 7 chiếc từ cửa hàng B. Tính xác suất để trong 7 chiếc được chọn có: a. Từ 5 đến 6 chiếc sử dụng được. (1,06%) b. Ít nhất một chiếc sử dụng được. (0,8531) Giải. Bài tập 3.8. Thời gian chơi thể thao trong một ngày của một thanh niên 3.6 Bài tập chương 3 là biến ngẫu nhiên X (giờ/ngày) có hàm mật độ 8   <A sin  x khi 0 < x < 1 3 f .x/ D :0 nơi khác Trang 65 a. Tính hằng số A. .2=3/ b. Tính thời gian chơi thể thao trung bình. (0,6530 giờ/ngày) c. Tính xác suất một thanh niên có thời gian chơi thể thao chưa tới 30 phút/ngày. (0,2679) d. Trung bình có bao nhiêu thanh niên chơi thể thao hơn 30 phút/ngày trong 100 thanh niên. 73,21 thanh niên e. Ta phải chọn ít nhất bao nhiêu thanh niên để gặp được ít nhất 1 người có thời gian chơi thể thao chưa tới 30 phút/ngày xảy ra với xác suất hơn 95%. (10 thanh niên) Giải. Trang 66 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Bài tập 3.9. Tuổi thọ của người dân ở một địa phương là một biến ngẫu nhiên - X (tuổi) có hàm mật độ ( e x khi x > 0 f .x/ D ;  D 0; 013 0 nơi khác a. Tính tuổi thọ trung bình của người dân ở địa phương. (76,9231 tuổi) b. Tính tỉ lệ người dân thọ trên 60 tuổi. (0,4584) c. Trung bình có bao nhiêu người thọ trên 60 tuổi tuổi trong 1000 dân. (458,4) Giải. 3.6 Bài tập chương 3 Trang 67 Bài tập 3.10. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ. 8 <Ax 2 C 1 khi 0 < x < 2 f .x/ D 5 :0 nơi khác a. b. c. d. Xác định hằng số A: (9/40) Thời gian học rành nghề trung bình của một người. (1,3 năm) Tính xác suất một người học rành nghề dưới 6 tháng. (0,1094) Chọn ngẫu nhiên 5 học viên, tính xác suất có 2 người học rành nghề dưới 6 tháng. (0,0845) Giải. Trang 68 Chương 3. Một số phân phối xác suất thông dụng Chương 4 Lý thuyết mẫu Mục lục chương 4 4.1 4.1 Tổng thể, mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Mô tả dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Các đặc trưng của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tổng thể, mẫu Ta cần nghiên cứu đặc tính X (cân nặng, chiều cao . . . ) của tập lớn gồm N phần tử (N phần tử này được gọi là tổng thể). Thông thường ta không quan sát hết tất cả các phần tử của tập hợp này bởi vì các lý do:  Làm hư hại tất cả các phần tử (kiểm tra đồ hộp, bắn thử đạn)  Thời gian và kinh phí không cho phép – Số phần tử quá lớn (Nghiên cứu một đặc điểm nào của trẻ ta không thể đợi nghiên cứu toàn bộ trẻ em trên thế giới rồi mới đưa ra kết luận). Do đó người ta lấy từ tổng thể này ra n phần tử (n phần tử này được gọi là mẫu) và quan sát đặc tính X để tính các đặc trưng trên mẫu sau đó sử dụng công cụ toán học để đưa ra kết luận cho tổng thể mà ta không có điều kiện khảo sát tất cả các phần tử. Muốn mẫu lấy ra đại diện tốt cho tổng thể thì mẫu phải thỏa mãn hai điều kiện chính:  Mẫu phải chọn ngẫu nhiên từ tổng thể.  Các phân phối của mẫu phải được chọn độc lập nhau. Trang 70 Chương 4. Lý thuyết mẫu Khi quan sát phần tử thứ i; ta gọi Xi là biến ngẫu nhiên giá trị quan sát đặc tính X trên phần tử thứ i: Trong trường hợp cụ thể, giả sử Xi có giá trị xn thì bộ n giá trị cụ thể .x1 ; : : : ; xn / được gọi là mẫu cụ thể, cỡ mẫu cụ thể là n. Bộ n biến ngẫu nhiên độc lập .X1 ; : : : ; Xn / gọi là mẫu ngẫu nhiên. Ví dụ 4.1. Khảo sát điểm môn xác suất thống kê của sinh viên lớp A có 100 sinh viên, tiến hành lấy mẫu có cỡ mẫu là 5. Gọi Xi ; i D 1; : : : ; 5 là điểm của sinh viên thứ i trong 5 sinh viên được khảo sát. Nếu X1 D 3; X2 D 7; X3 D 8; X4 D 5; X5 D 7 thì ta có mẫu cụ thể .3; 7; 8; 5; 7/ : Tính chất 4.1 (Mẫu ngẫu nhiên). Cho ngẫu nhiên .X1 ; : : : ; Xn / ; trong đó Xi giá trị quan sát đặc tính X trên phần tử thứ i: Khi đó: i. Các Xi có cùng phân phối như X: ii. Các Xi độc lập nhau. 4.2 Mô tả dữ liệu 4.2.1 Phân loại mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên còn được phân làm 2 loại:  Mẫu chỉ quan tâm các phần tử của nó có tính chất A hay không gọi là mẫu định tính. Giả sử tỷ lệ phần tử A trên tổng thể là p, ta đặt  1 Nếu phần tử thứ i loại A ; i D 1; : : : ; n Xi D 0 Nếu phần tử thứ i khác loại A Khi đó các Xi độc lập và cùng phân phối xác suất với X; Xi  B.p/:  Mẫu mà ta quan tâm đến các yếu tố về lượng như là chiều cao, cân nặng, mức hao phí nhiên liệu của một loại động cơ,. . . gọi là mẫu định lượng. 4.2.2 Sắp xếp số liệu Giả sử mẫu cụ thể .x1 ; : : : ; xn / có k giá trị khác nhau x1 ; : : : ; xk ; .k  n/ và xi có tần số ni (với n1 C


C nk D n). khi đó, số liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của xi như sau: 4.2 Mô tả dữ liệu Trang 71 X ni x1 n1





x2 n2 xk nk Bảng này gọi là bảng tần số dạng điểm. Ví dụ 4.2. Khảo sát tuổi (X) trẻ bắt đầu đến trường ở một địa phương, lấy mẫu cỡ 10 ta có mẫu cụ thể như sau: 4, 5, 6, 7, 6, 6, 5, 5, 6, 6 Có bảng tần số dạng điểm: X ni 4 1 5 3 6 5 7 1 Giả sử mẫu cụ thể .x1 ; : : : ; xn / có nhiều giá trị khác nhau (quan sát từ biến ngẫu nhiên liên tục) thường người ta phân dữ liệu theo khoảng: a0 X ni a1 a1 n1


ak 1 ak


nk a2 n2 Bảng này gọi là bảng tần số dạng khoảng. Trong đó nk là số quan sát có giá trị thuộc khoảng .ak 1 I ak : Khi tính toán ta đưa về bảng tần số dạng xk 1 C xk điểm bằng cách lấy giá trị chính giữa của mỗi khoảng xk D : 2 Ví dụ 4.3. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 Bảng tần số dạng điểm có dạng: Thời gian Số thai phụ 35 7 37 10 39 59 41 41 43 4 44 Trang 72 4.3 Chương 4. Lý thuyết mẫu Các đặc trưng của mẫu Giả sử ta cần nghiên cứu đặc tính X: Ký hiệu các tham số  D EX và  2 D VarX: Trong thống kê các tham số này là các tham số lý thuyết. Định nghĩa 4.2 (Thống kê). Hàm số  .X1 ; : : : ; Xn / phụ thuộc vào mẫu được gọi là đại lượng thống kê. (Người ta còn gọi ngắn gọn là thống kê). Ví dụ 4.4. Trung bình mẫu, phương sai mẫu, tỷ lệ mẫu là các thống kê. 4.3.1 Trung bình mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên .X1 ; : : : ; Xn / lấy từ X: Định nghĩa 4.3 (Trung bình mẫu). Biến ngẫu nhiên 1 XN D .X1 C


C Xn / n được gọi là trung bình mẫu. Từ các tính chất của mẫu ngẫu nhiên, ta có: Tính chất 4.4. Trung bình mẫu có tính chất: 1 n i. EXN D .EX1 C


C EXn/ D D : n n 1 n 2 2 N ii. Var X D 2 .VarX1 C


C VarXn / D 2 D n n n 1 Cho mẫu cụ thể .x1 ; : : : ; xn /, trung bình mẫu xN D .x1 C


C xn / và n 1 trung bình của bình phương x 2 D .x12 C


C xn2 / n 1 Chú ý. Khi số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì xN D .x1n1 C


xk nk / n 1 và trung bình của bình phương là x 2 D .x12n1 C


xk2 nk / n 4.3 Các đặc trưng của mẫu Trang 73 4.3.2 Phương sai mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên .X1 ; : : : ; Xn / lấy từ X: Định nghĩa 4.5 (Phương sai mẫu). Biến ngẫu nhiên 1 SO 2 D .X1 n N 2 C


C .Xn X/ được gọi là phương sai mẫu. N 2 X/
Tính chất 4.6. Phương sai mẫu có các tính chất i. SO 2 D EX 2 .EX/2 n 1 2 ii. ESO 2 D  : n Cho mẫu cụ thể .x1 ; : : : ; xn /, phương sai mẫu sO 2 D x 2 xN 2 : 4.3.3 Phương sai mẫu có hiệu chỉnh Xét mẫu ngẫu nhiên .X1 ; : : : ; Xn / lấy từ X: Định nghĩa 4.7 (Phương sai mẫu có hiệu chỉnh). Biến ngẫu nhiên S2 D 1 n 1 .X1 N 2 C


C .Xn X/ được gọi là phương sai mẫu có hiệu chỉnh. N 2 X/
Tính chất 4.8. Phương sai mẫu có các tính chất i. S 2 D n n 1 ii. ES D  2 : SO 2 2 Cho mẫu cụ thể .x1 ; : : : ; xn /; phương sai mẫu có hiệu chỉnh s 2 D n 2 sO : n 1 Ta thấy phương sai mẫu và phương sai mẫu có đơn vị đo bằng bình phương đơn vị đo của đặc tính X: Để chuyển về cùng đơn vị ta có khái niệm: p  Độ lệch chuẩn của mẫu, sO D sO 2 Trang 74 Chương 4. Lý thuyết mẫu  Độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh, s D p s2 Ví dụ 4.5. Khảo sát chiều cao .cm/ của nữ sinh trong một trường đại học ta có số liệu như sau 153; 160; 145; 162; 165; 158 Tính x; N sO 2 ; s 2; sO ; s: Giải. Trung bình mẫu 1 xN D .153 C 160 C 145 C 162 C 165 C 158/ D 157; 1666 6 Trung bình của bình phương 1 x 2 D .1532 C 1602 C 1452 C 1622 C 1652 C 1582/ D 24744; 5 6 Phương sai mẫu sO 2 D x 2 xN 2 D 24744; 5 157; 16662 D 43; 1598 6 n 2 sO D 43; 1598 D 51; 7907 Phương sai mẫu có hiệu chỉnh s 2 D n 1 5 p p Độ lệch chuẩn của mẫu sO D sO 2 D 43; 1598 p p Độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh s D s 2 D 51; 7907 Chú ý. Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay tính các đặc trưng mẫu a. Máy FX500MS (tương tự cho máy FX570MS)1 – Bước 1: Ấn phím Mod đến khi màn hình xuất hiện chữ SD và chọn số tương ứng với mục SD – Bước 2: Nhập số liệu 153; M+; 160; M+; 145; M+; 162; M+; 165; M+; 158; M+ – Bước 3: Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Bước 4: Xuất kết quả nhấn Shift ; 2 1  Tính x. N x/ N W 1; = Dấu “;” trong hướng dẫn là thể hiện cách bước giữa hai lần nhấn 4.3 Các đặc trưng của mẫu Trang 75  Tính sO .x n/ W 2; =  Tính s.x n 1/ W 3; = b. Máy FX500ES (tương tự cho FX570ES ) – Bước 1: Shift; Mode; #; chọn (Stat); chọn (Off) (Số liệu nhập vào không có tần số) – Bước 2: Mod; chọn (Stat); chọn (1-Var) – Bước 3: Nhập số liệu 153; =; 160; =; 145; =; 162; =; 165; =; 158; = – Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Xuất kết quả Shift; 1; chọn (Var)     Tính n.n/ W 1; = Tính x. N x/ N W 2; = Tính sO .x n/ W 3; = Tính s.x n 1/ W 4; = Ví dụ 4.6. Điểm môn xác suất thống kê của một số sinh viên khoa A cho như sau Điểm Số SV a. Tính x. N xN D 5 2 6 4 7 12 8 15 9 6 10 2 1 .5
2 C 6
4 C 7
12 C 8
15 C 9
6 C 10
2/ D 7; 6097 41 b. Tính sO 2 . x2 D 1 2 .5
2 C 62
4 C 72
12 C 82
15 C 92
6 C 102
2/ D 59; 2195 41 suy ra sO 2 D x 2 xN 2 D 59; 2195 -7; 60972 D 1; 3119. Chú ý. Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm ta tính các đặc trưng mẫu (mẫu có tần số) a. Máy FX500MS (tương tự cho máy FX570MS) Trang 76 Chương 4. Lý thuyết mẫu – Bước 1: Ấn phím Mod đến khi màn hình xuất hiện chữ SD và chọn số tương ứng với mục SD – Bước 2: Nhập số liệu 5; Shift;, ; 2; M+; 6; Shift;, ; 4; M+; 7; Shift;, ; 12; M+; 8; Shift;, ; 15; M+; 9; Shift;, ; 6; M+; 10; Shift;, ; 2; M+ – Bước 4: Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Bước 3: Xuất kết quả nhấn Shift; 2  Tính x. N x/ N W 1; =  Tính sO .x n/ W 2; =  Tính s.x n 1/ W 3; = b. Máy FX500ES (tương tự cho FX570ES) – Bước 1: Shift; Mode; #; chọn (Stat); chọn (On) (Số liệu nhập vào có tần số) – Bước 2: Mod; chọn (Stat); chọn (1-Var) – Bước 3: Nhập số liệu Cột x: 5 ; =; 6; =; 7; =; 8; =; 9; =; 10; = Cột Freq: 2; =; 4; =; 12; =; 15; =; 6; =; 2; = – Sau khi đã nhập hết các số liệu tiếp theo bạn nhấn phím on – Xuất kết quả Shift; 1; chọn (Var)     Tính n.n/ W 1; = Tính x. N x/ N W 2; = Tính sO .x n/ W 3; = Tính s.x n 1/ W 4; = Ví dụ 4.7. Năng suất lúa trong 1 vùng là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Gặt ngẫu nhiên 115 ha của vùng này, người ta thu được bảng số liệu: Năng suất (tạ / ha) 40-42 42 – 44 44 – 46 46 – 48 48 – 50 50 – 52 Diện tích (ha) 7 13 25 35 30 5 4.3 Các đặc trưng của mẫu Tính nI xI N s. Trang 77 Chương 5 Ước lượng tham số Mục lục chương 5 5.1 5.1 Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Khoảng tin cậy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Khái niệm chung Giả sử biến ngẫu nhiên X có tham số  chưa biết, dựa vào mẫu ngẫu nhiên .X1 ; : : : ; Xn / ta đưa ra thống kê O D .X1; : : : ; Xn / để ước lượng giá trị của . Có hai phương pháp:  Ước lượng điểm: Dùng O để ước lượng cho :  Ước lượng khoảng: Chỉ ra một khoảng .1 I 2 / D .O cho P .1 <  < 2 / D 1 ˛ 5.2 "I O C "/ sao Ước lượng điểm Định nghĩa 5.1 (Ước lượng không chệch). Thống kê O được gọi là ước O D : lượng không chệch cho tham số  nếu E./ Ví dụ 5.1. Giả sử biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình là . Từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên .X1; : : : ; Xn /. Khi đó XN là ước lượng không chệch1 1 Theo tính chất 4.4 5.2 Ước lượng điểm Trang 79 cho  1 Ta nhận thấy thống kê O D .X1 C Xn / cũng là một ước lượng không 2 chệch cho . Vì vậy có thể nói có nhiều ước lượng không chệch cho . Vấn đề cần một tiêu chuẩn để chọn một thống kê O trong lớp các ước lượng không chệch cho . Định nghĩa 5.2 (Ước lượng hiệu quả). Ước lượng không chệch O được gọi là ước lượng có hiệu quả của tham số  nếu Var O nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của : Định lý 5.3 (Bất đẳng thức Crammé-Rao). Giả sử X1; : : : ; Xn là mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể X có hàm mật độ f .xj/; trong đó  là tham số ta quan tâm. Đặt O là ước lượng không chệch cho : Phương sai của O thỏa bất đẳng thức 1   Var O  @ ln f .x;0/ nE @ Bất đẳng thức Crammé-Rao cho ta chặn dưới của Var O : Nó cho thấy về mặt lý thuyết, khi cở mẫu là cố định, không thể có ước lượng với độ chính xác tùy ý, mà bất kỳ ước lượng không chệch nào cũng có sai số trung bình bình phương lớn hơn một hằng số. Nhận xét. Vậy nếu O là ước lượng hiệu quả của  thì phương sai của nó là 1   Var O D @ ln f .x;0/ nE @ Trong đó f .x; / là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên gốc. N S 2 ; F là ước lượng hiệu quả cho tham số ;  2; p: Ta Các thống kê X; có quy tắc thực hành ước lượng điểm như sau: Tham số lý thuyết Đặc trưng mẫu Ước lượng EX D  xN   xN VarX D  2 s2  2  s2 p (tỷ lệ phần tử A ) f =tỷ lệ phần tử A trên mẫu pf Trang 80 5.3 Chương 5. Ước lượng tham số Khoảng tin cậy 5.3.1 Mô tả phương pháp. Theo bất đẳng thức Crammé-Crao, khi ta sử dụng bất kỳ hàm ước lượng O để ước lượng cho tham số  thì luôn tồn tại sai số. Do đó ta phải cho phép nó sai số đến " nào đó và coi rằng giá trị thật nằm trong khoảng  O "I O C " : Khoảng này gọi là khoảng tin cậy, giá trị sai số " gọi là độ chính xác. Ở đây   ta không tuyệt đối tin rằng giá trị thật luôn nằm trong O "I O C " mà ta chỉ tin rằng   O O P  "< < C" D1 ˛ (5.1) Trong đó 1 ˛ gọi là độ tin cậy. Định nghĩa 5.4. Giả sử trong ước lượng cho tham số    P O " <  < O C " D 1 ˛ Với một mẫu thực nghiệm x1 ; : : : ; xn khi đó t "; t C " là giá trị của hai thống kê O "; O C ": Ta nói .t "; t C "/ là khoảng tin cậy của  với độ tin cậy 1 ˛ hay còn gọi là khoảng tin cậy 100.1 ˛/% của : 5.3.2 Khoảng tin cậy cho trung bình Gọi  là trung bình của X chưa biết ta tìm khoảng .1I 2 / chứa  sao cho P .1 <  < 2 / D 1 ˛. Khoảng tin cậy .1I 2 / D .xN "I xN C "/, với " gọi là độ chính xác của ước lượng. Trong đó " tính như sau: ❳❳❳ ❳❳ ❳❳❳ Cỡ mẫu ❳❳❳ ❳❳ VarX ❳ ❳ Biết  2 Không biết  2 n > 30 n  30; X  N.I  2 /  " D p t 1 2˛ n 1 ˛ (t 2 tra bảng A.2)  " D p t 1 2˛ n 1 ˛ (t 2 tra bảng A.2) s " D p t 1 2˛ n (t 1 2˛ tra bảng A.2) s " D p t˛n 1 n n 1 (t˛ tra bảng A.3). 5.3 Khoảng tin cậy Trang 81 Ví dụ 5.2. Khảo sát về thời gian tự học X (giờ/tuần) trong tuần của một số sinh viên hệ chính quy ở trường đại học A trong thời gian gần đây, người ta thu được bảng số liệu X Số SV 5 10 6 35 7 45 8 36 9 10 10 8 Ước lượng thời gian tự học trung bình của một sinh viên với độ tin cậy 95% cho hai trường hợp: a. Biết  D 2 b. Chưa biết  Giải. Từ mẫu ta tính được n D 144I xN D 7; 1736I s D 1; 2366. Gọi  là thời gian tự học trung bình của sinh viên. khoảng tin cậy cho  với độ tin cậy 95% có dạng .1I 2/ D .xN "I xN C "/ Tiếp theo ta tính " cho từng trường hợp: a. Biết  D 2  2 " D p t 1 2˛ D p 1; 96 D 0; 3267 n 144 Vậy khoảng tin cậy .1I 2/ D .7; 1736 0; 3267I 7; 1736 C 0; 3267/ D .6; 8469I 7; 5003/ Chú ý. Cho trước độ tin cậy là 1 Tra bảng A.2 ta có t0;475 D 1; 96. b. Không biết  ˛ D 0; 95 cho nên ta có 1 ˛ 2 D 0; 475. 1; 2366 s 1; 96 D 0; 202 " D p t 1 2˛ D p n 144 Vậy khoảng tin cậy .1I 2/ D .7; 1736 0; 202I 7; 1736 C 0; 202/ D .6; 9716I 7; 3756/ Chú ý. Với t0;475 D 1; 96 được tính như câu a. Ví dụ 5.3. Khảo sát cân nặng (kg) của gà khi xuất chuồng, người ta cân một số con và kết quả cho như sau: Trang 82 Chương 5. Ước lượng tham số 2,1; 1,8; 2,0; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 2,2; 1,8 Giả sử cân nặng của gà là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy 95% ước lượng cân nặng trung bình của gà khi xuất chuồng: a. Biết  D 0; 3. b. Không biết  . Giải. Từ mẫu ta tính được n D 9I xN D 1; 9333I s D 0; 2549. Gọi  là cân nặng trung bình của gà khi xuất chuồng. a. Cho biết  D 0; 3  0; 3 " D p t 1 2 ˛ D p 1; 96 D 0; 196 n 9 Vậy khoảng tin cậy .1I 2/ D .1; 9333 b. Không biết  0; 196I 1; 9333 C 0; 196/ D .1; 7373I 2; 1293/ s " D p t˛n n 1 D 0; 2549 p 2; 306 D 0; 1959 9 Vậy khoảng tin cậy .1I 2 / D .1; 9333 0; 1959I 1; 9333 C 0; 1959/ D .1; 7374I 2; 1292/ Chú ý. Cho trước độ tin cậy là 1 8 bảng A.3 ta có t0;05 D 2; 306. ˛ D 0; 95 cho nên ta có ˛ D 0; 05. Tra Chú ý. Các chỉ tiêu ước lượng trung bình. Ta nhận thấy trong ước lượng trung bình có 3 chỉ tiêu chính "; 1 ˛; n: Nếu biết hai chỉ tiêu thì sẽ xác định được chỉ tiêu thứ 3. a. Xác định cỡ mẫu n nhỏ nhất sao cho độ chính xác không lớn hơn " và độ tin cậy là 1 ˛ (ở đây ta luôn giả sử cỡ mẫu lớn). Ta có  2  s 2  t1 ˛ n hoặc n  t 1 2 ˛ " 2 " n nhỏ nhất thỏa điều kiện trên là ˇ ˇ   2ˇˇ 2 ˇˇ ˇ s ˇ  n D ˇˇ t 1 2 ˛ ˇˇ C 1 hoặc n D ˇˇ t 1 2 ˛ ˇˇ C 1 " " 5.3 Khoảng tin cậy Trang 83 b. Xác định độ tin cậy của ước lượng khi biết p độ chính xác của ước " n . Và từ đây dễ dàng lượng. Trước hết xác định giá trị t 1 2 ˛ D s tính được 1 ˛: Ví dụ 5.4. Cân thử 121 sản phẩm (đơn vị tính bằng kg) ta tính được s 2 D 5; 76. a. Xác định độ chính xác nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95%. b. Xác định cỡ mẫu nhỏ nhất để lượng trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn 0,4. c. Xác định độ tin cậy nếu muốn ước lượng trung bình với độ chính xác là " D 0; 5. Giải. a. Xác định độ chính xác: s 2; 4 " D p t 1 2˛ D p 1; 96 D 0; 4276 n 121 b. Xác định cỡ mẫu n. ˇ ˇ 2ˇˇ ˇ 2; 4 2 ˇˇ ˇ s ˇ ˇ n D ˇˇ t 1 2 ˛ ˇˇ C 1 D ˇ 1; 96 ˇ C 1 D 139 ˇ 0; 4 ˇ " c. Xác định độ tin cậy, trước hết ta tính p p " n 0; 5 121 D D 2; 29 t 1 2˛ D s 2; 4 Tra bảng A.2 ta tính được 1 ˛ 2 D 0; 489. Từ đó suy ra 1 ˛ D 0; 978 5.3.3 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Gọi p là tỷ lệ phần tử A chưa biết ta tìm khoảng .p1I p2/ chứa p sao cho P .p1 < p < p2 / D 1 ˛. Khoảng tin cậy .p1I p2 / D .f trong đó "I f C "/ Trang 84 Chương 5. Ước lượng tham số  f là tỷ lệ phần tử A tính trên mẫu.  " gọi là độ chính xác của ước lượng được tính như sau: r f .1 f / t 1 2˛ "D n Ví dụ 5.5. Khảo sát tỷ lệ phế phẩm do một nhà máy sản xuất ra, người ta quan sát 800 sản phẩm thấy có 8 phế phẩm. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩn của nhà máy. Giải. Gọi   8 f là tỷ lệ phế phẩm trên mẫu. f D D 0; 01 : 800 p là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy. Độ chính xác của ước lượng tỷ lệ r r f .1 f / 0; 01.1 0; 01/ "D t 1 2˛ D 1; 96 D 0; 0069 n 800 Vậy khoảng tin cậy cho p với độ tin cậy 95% là .p1I p2 / D .0; 01 0; 0069I 0; 01 C 0; 0069/ D .0; 0031I 0; 0169/ Chú ý. Xác định các chỉ tiêu ước lượng a Xác định cỡ mẫu n nhỏ nhất sao cho độ chính xác không lớn hơn " f .1 f /  2 t 1 2 ˛ . n nhỏ nhất thỏa và độ tin cậy là 1 ˛ Ta có n  "2 điều kiện trên là ˇ ˇ ˇ f .1 f /  2 ˇ t 1 2 ˛ ˇˇ C 1 n D ˇˇ "2 b Xác định độ tin cậy của ước lượng khi biết độ chính xác của ước lượng. Trước hết xác định giá trị r n : t 1 2˛ D " f .1 f / Và từ đây dễ dàng tính được 1 ˛ bằng bảng A.2. 5.4 Bài tập chương 5 Trang 85 Ví dụ 5.6. Quan sát 800 sản phẩm do một xí nghiệp sản xuất ra thấy có 128 mẫu loại A. a. Xác định độ chính xác nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 95%. b. Xác định cỡ mẫu nhỏ nhất để ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A với độ chính xác nhỏ hơn 0,023 và độ tin cậy 95%. c. Xác định độ tin cậy nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm A với độ chính xác là 0,022. Giải. Gọi:  128 D 0; 16 . f là tỷ lệ sản phẩm loại A tính trên mẫu f D 800  p là tỷ lệ sản phẩm loại A do xí nghiệp sản xuất ra. a. Độ chính xác của ước lượng r r f .1 f / 0; 16.1 0; 16/ "D t 1 2˛ D 1; 96 D 0; 0254 n 800 b. Xác định n ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0; 16.1 0; 16/ ˇ ˇ f .1 f /  2 ˇ 2ˇ ˇC1Dˇ 1 ˛ t 1; 96 n D ˇˇ ˇ ˇ C 1 D 977 ˇ 2 "2 0; 0232 c. Xác định độ tin cậy 1 t 1 2˛ r D" n f .1 Tra bảng A.2 ta tính được 5.4 ˛ f/ D 0; 022 1 ˛ 2 s 800 D 1; 69 0; 16.1 0; 16/ D 0; 4545. Từ đó suy ra 1 ˛ D 0; 909 Bài tập chương 5 Bài tập 5.1. Kiểm tra ngẫu nhiên 25 bóng đèn của một hãng điện tử, thấy tuổi thọ trung bình là 5000 giờ, độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 200 giờ. Giả sử tuổi thọ của bóng đèn có phân phối chuẩn. Tính khoảng tin cậy tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên với độ tin cậy 95%. Đáp số: (4917,44 giờ; 5082,56 giờ) Trang 86 Chương 5. Ước lượng tham số Bài tập 5.2. Kiểm tra ngẫu nhiên 25 bóng đèn của một hãng điện tử, thấy độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 200 giờ. Giả sử tuổi thọ của bóng đèn có phân phối chuẩn. Sử dụng mẫu trên để ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên với độ chính xác là 73,12 giờ thì đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? Đáp số: 92% Bài tập 5.3. Thăm dò 25 người đang sử dụng điện thoại di động về số tiền phải trả trong 1 tháng, thấy số tiền trung bình một người phải trả là 200 ngàn đồng, độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 50 ngàn đồng. Giả sử số tiền phải trả trong một tháng có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy là 95% tính khoảng tin cậy số tiền trung bình một người sử dụng điện thoại di động phải trả. Đáp số: (179,36 ngàn đồng; 220,64 ngàn đồng) 5.4 Bài tập chương 5 Trang 87 Bài tập 5.4. Thăm dò 25 người đang sử dụng điện thoại di động về số tiền phải trả trong 1 tháng, thấy độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 50 ngàn đồng. Giả sử số tiền phải trả trong một tháng có phân phối chuẩn. Với độ chính xác là 19,74 ngàn đồng thì độ tin cậy bao nhiêu? Đáp số: 94% Bài tập 5.5. Biết chiều dài của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 sản phẩm loại này thì được chiều dài trung bình là 10,02m và độ lệch chuẩn của mẫu chưa hiệu chỉnh là 0,04m. Tính khoảng tin cậy chiều dài trung bình của loại sản phẩm này với độ tin cậy 95%. Đáp số: (9,9898m; 10,0502m) Chương 6 Kiểm định giả thiết Mục lục chương 6 6.1 6.1 Bài toán kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2 Kiểm định giả thiết về trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.3 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.4 So sánh hai giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.5 So sánh hai tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.6 Bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Bài toán kiểm định giả thiết 6.1.1 Giả thiết không, đối thiết Trong chương này chúng ta sẽ đề cặp đến bài toán thống kê liên quan đến tham số , với giá trị của nó không biết thuộc không gian tham ‚: Tuy nhiên chúng ta sẽ giả sử ‚ có thể được phân chia thành hai tập tách biệt ‚0 và ‚1 và nhiệm vụ của người làm thống kê phải quyết định xem  thuộc ‚0 hay ‚1: Chúng ta đặt H0 để ký hiệu giả thiết  2 ‚0 ; và H1 ký hiệu giả thiết  2 ‚1: Bởi vì ‚0 và ‚1 tách biệt và ‚0 \ ‚1 D ‚; chính xác chỉ có giả thiết H0 hoặc H1 là đúng. Chúng ta phải quyết định chấp nhận H0 để bác bỏ H1 hoặc ngược lại. Bài toán thuộc dạng này được gọi là kiểm định giả thiết. Đến đây, chúng ta thấy vai trò của giả thiết H0 và H1 cơ bản giống nhau. Trong hầu hết các bài toán kiểm định, hai giả thiết này hơi khác. Để phân biệt giữa hai giả thiết này ta gọi H0 gọi là giả thiết không và 6.1 Bài toán kiểm định giả thiết Trang 89 H1 gọi là đối thiết. Chúng ta sẽ dùng các thuật ngữ này trong phần còn lại của chương. 6.1.2 Miền tới hạn Ta xét bài toán với giả thiết có dạng như sau:  Giả thiết không H0 W  2 ‚0 Đối thiết H1 W  2 ‚1 Giả sử trước khi chúng ta quyết định giả thiết nào sẽ được chấp nhận, chúng ta có mẫu ngẫu nhiên X1 ; : : : ; Xn được trích từ phân phối của đặc tính X với tham số  chưa biết. Chúng ta ký hiệu  là không gian mẫu,  chứa tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy mẫu ngẫu nhiên. Trong quá trình kiểm định, chúng ta sẽ chia  thành hai tập con. Một tập chứa tất cả các giá trị của X sao cho ta chấp nhận H0 ; và tập còn lại chứa tất cả các giá trị của X sao cho ta bác bỏ H0 và chấp nhận H1 : Tập các giá trị của X để H0 bị bác bỏ gọi là miền tới hạn, ký hiệu C: Với mỗi giá trị  2 ‚ ta đặt hàm lực lượng ./ là xác suất dẫn đến bác bỏ H0 ; ngược lại 1 ./ là xác suất dẫn đến chấp nhận H0 : Nếu ký hiệu C là miền tới hạn của kiểm định, hàm ./ được xác định bởi quan hệ ./ D P .X 2 C j/ ; 8 2 ‚ Bởi vì ./ là xác suất ứng với mỗi  thì H0 bị bác bỏ, trong trường hợp lý tưởng hàm ./ D 0 với mọi  2 ‚0 và ./ D 1 với mọi  2 ‚1 : Nếu hàm ./ có các giá trị này thì bất chấp giá trị thực tế  nào ta luôn có kết luận đúng với xác suất 1. 6.1.3 Hai loại sai lầm Khi chọn một trong hai quyết định trên sẽ nẩy sinh ra hai sai lầm:  Sai lầm loại I: Bác bỏ H0 khi H0 đúng, xác suất sai lầm loại I là P .C jH0 / D P ..X1; : : : ; Xn / 2 C jH0 /  Sai lầm loại II: Chấp nhận H0 khi H0 sai, xác suất sai lầm loại II là
P CN jH1 D P ..X1 ; : : : ; Xn / … C jH1 / Trang 90 Chương 6. Kiểm định giả thiết Ví dụ 6.1. Cần nghiên cứu tác dụng phụ của một loại thuốc mới vừa được nghiên cứu ta đặt giả thiết và đối thiết như sau  Giả thiết H0 W Thuốc có tác dụng phụ Đối thiết H1 W Thuốc không có tác dụng phụ ❳❳ ❳❳❳ ❳❳❳ Thực tế ❳❳ ❳❳❳ Kết luận ❳❳ Chấp nhận H0 Bác bỏ H0 Thuốc có tác dụng phụ Thuốc không có tác dụng phụ Kêt luận đúng Sai lầm loại I Sai lầm loại II Kết luận đúng Việc đặt giả thiết như trên khi sai lầm loại I xảy ra là tai hại hơn sai lầm loại II (thuốc có tác dụng phụ mà kết luận thuốc không có tác dụng phụ). Lẽ tự nhiên là ta chọn miền C sao cho cực tiểu cả hai xác suất phạm sai lầm. Song không thể cực tiểu đồng thời cả hai sai lầm khi cỡ mẫu cố định, bởi vì hai xác suất trên hiên hệ nhau bởi:

P .C jH0 / C P CN jH0 D 1I P .C jH1 / C P CN jH1 D 1:
Do đó C cực tiểu P .C jH0 / chưa chắc đã cực tiểu P CN jH1 6.1.4 Phương pháp chọn miền tới hạn Ta cố định một loại xác suất sai lầm và tìm miền C sao cho xác suất phạm sai lầm kia đạt giá trị nhỏ nhất. Thông thường ta cố định xác
suất sai lầm loại I: P .C jH0 /  ˛, ta sẽ chọn miền C sao cho P CN jH1 đạt cực tiểu hay P .C jH1 / cực đại, nghĩa là tim C sao cho:   P .C jH0 /  ˛ ./  ˛ với  2 ‚0 (6.1) hay ./ đạt cực đại với  2 ‚1 P .C jH1 / đạt cực đại Ta gọi ˛ là mức ý nghĩa của kiểm định, khi cố định ˛ và có hàm lực lượng ./; 8 2 ‚1 lớn nhất thì qui tắc này gọi là qui tắc mạnh nhất. 6.2 Kiểm định giả thiết về trung bình Giả sử  (chưa biết) là trung bình của biến ngẫu nhiên X, cần kiểm định  Giả thiết H0 W  D 0 Đối thiết H1 W  ¤ 0 6.2 Kiểm định giả thiết về trung bình ❳❳ ❳❳❳ ❳❳❳ Cỡ mẫu ❳❳ ❳❳❳ VarX ❳ ❳ Biết  2 n  30; X  N.I  2/ n > 30 tD t 1 2˛ Không biết  2 Trang 91 tD (t 1 2 ˛ jxN 0 j p n  (Bảng A.2) jxN 0 j p n s (Bảng A.2) tD t 1 2˛ tD t˛n 1 jxN 0 j p jxN 0 j p n  (Bảng A.2) n s (Bảng A.3) Kết luận  Chấp nhận giả thiết H0 khi t  t 1 2˛ hoặc t  t˛n  Bác bỏ giả thiết H0 khi t > t 1 2˛ hoặc t > t˛n 1
1
Ví dụ 6.2. Cân thử 15 con gà tây ở 1 trại chăn nuôi khi xuất chuồng ta tính được xN D 3; 62kg. Cho biết  2 D 0; 01. a. Giám đốc trại tuyên bố trọng lương trung bình của gà tây là 3; 5kg thì có tin được không với mức ý nghĩa ˛ D1%. b. Giả sử người ta dùng thức ăn mới và khi xuất chuồng trọng lượng trung bình của gà tây là 3,9 kg. Cho kết luận về loại thức ăn này với mức ý nghĩa ˛ D 1%: Giải. a. Gọi  cân nặng trung bình của gà khi xuất chuồng. Cần kiểm định:  Giả thiết H0 W  D 3; 5kg Đối thiết H1 W  ¤ 3; 5kg tD jxN 0 j p nD j3; 62 3; 5j p 15 D 4; 6 và t 1 2˛ D 2; 58 0; 1    t > t 1 2˛ nên bác bỏ giả thiết. Vậy giám đốc báo cáo sai. Trang 92 Chương 6. Kiểm định giả thiết b. Gọi  cân nặng trung bình của gà tây khi xuất chuồng (trước khi sử dụng thức ăn mới)  Giả thiết H0 W  D 3; 9kg Đối thiết H1 W  ¤ 3; 9kg tD jx n 0 j p nD j3; 62 3; 9j p 15 D 10; 84 0; 1    t > t 1 2 ˛ nên bác bỏ giả thiết. Vậy thức ăn mới có tác dụng tốt. 6.3 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ Giả sử p(chưa biết) là tỷ lệ phần tử loại A, cần kiểm định  Giả thiết H0 W p D p0 Đối thiết H1 W p ¤ p0 Qui tắc thực hành như sau: Tính giá trị jf p0 j p tDp n và t 1 2 ˛ (Bảng A.2) p0.1 p0 / Trong đó f là tỷ lệ phần tử A trên mẫu Kết luận:  Chấp nhận giả thiết H0 khi t  t 1 2 ˛ :  Bác bỏ giả thiết H0 khi t > t 1 2 ˛ : Ví dụ 6.3. Để kiểm tra một loại súng thể thao, người ta cho bắn 1000 viên đạn vào bia thấy có 540 viên trúng mục tiêu. Sau đó, bằng cải tiến kỹ thuật người ta tính được tỷ lệ trúng mục tiêu là 70%. Hãy cho kết luận về cải tiến với mức ý nghĩa 1%. Giải. Gọi  p là tỷ lệ bắn trúng trước cải tiến.  f là tỷ lệ bắn trúng trên mẫu (trước cải tiến). 6.4 So sánh hai giá trị trung bình Cần kiểm định giả thiết  Trang 93 Giả thiết H0 W p D 0; 7 Đối thiết H1 W p ¤ 0; 7 Tiến hành kiểm tra giả thiết j0; 54 0; 7j p jf p0j p nD p 1000 D 11; 04 tDp 0; 7:0; 3 p0.1 p0/ 1 ˛ D 0; 99 tra bảng A.2 ta được t 1 2˛ D 2; 58. Kết luận cải tiến có tác dụng tốt. Ví dụ 6.4. Kiểm tra 800 sinh viên thấy có 128 sinh viên giỏi. Trường báo cáo tổng kết là có 40% sinh viên giỏi thì có thể chấp nhận được không với mức ý nghĩa 5%. Giải. Gọi  p tỷ lệ sinh viên giỏi thực tế (chưa biết)  f tỷ lệ sinh viên giỏi tính trên mẫu f D  128 D 0; 16 800 Giả thiết H0 W p D 40% Đối thiết H1 W p ¤ 40% Tiến hành kiểm tra giả thiết j0; 16 0; 4j p jf p0j p nD p 800 D 13; 871 tDp 0; 4:0; 6 p0.1 p0/ 1 ˛ D 0; 95 tra bảng A.2 ta được t 1 2 ˛ D 1; 96. Kết luận báo cáo là sai sự thật, tỷ lệ sinh viên giỏi trong thực tế thấp hơn nhiều. 6.4 So sánh hai giá trị trung bình Giả sử X1 và X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trung bình là 1 và 2 . Cần kiểm định  Giả thiết H0 W 1 D 2 Đối thiết H1 W 1 ¤ 2 Ký hiệu các đặc trưng của mẫu 1, 2 lấy từ tổng thể 1, tổng thể 2. Trang 94 Chương 6. Kiểm định giả thiết Mẫu Cỡ mẫu Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn có hiệu chỉnh I n1 xN 1 s1 II n2 xN 2 s2 ❵❵❵ ❵❵❵ Cỡ mẫu ❵❵❵ ❵❵❵ ❵ ❵❵❵ VarX1 I VarX2 ❵❵ n1 I n2 > 30 n1  30I X1  N.1 I 12 / n2  30I X2  N.2 I 22 / Biết 12I 22 jxN 1 xN 2 j tDs 12 22 C n1 n2 t 1 2 ˛ (Bảng A.2) jxN 1 xN 2 j tDs 12 22 C n1 n2 t 1 2˛ (Bảng A.2) Không biết 12I 22 jxN 1 xN 2 j tDs s22 s12 C n1 n2 t 1 2 ˛ (Bảng A.2) jxN 1 xN 2 j tDs s2 s2 C n1 n2 t˛n1 Cn2 2 (Bảng A.3) Trong đó s D 2 .n1 Kết luận: 1/s12 C .n2 1/s22 gọi là phương sai gộp. n1 C n2 2  Chấp nhận giả thiết H0 khi t  t 1 2 ˛ hoặc t  t˛n1 Cn2
 Bác bỏ giả thiết H0 khi t > t 1 2 ˛ hoặc t > t˛n1 Cn2 2 2
Ví dụ 6.5. Cân thử 100 trái cây ở nông trường I ta tính được xN 1 D 101; 2I s12 D 571; 7 và 361 trái cây ở nông trường II tính được xN 2 D 66; 39I s22 D 29; 72. So sánh trọng lượng trung bình của trái cây ở hai nông trường với mức ý nghĩa 1%. Giải. Gọi 1; 2 cân nặng trung bình của trái cây ở nông trường I và II. Cần kiểm định  Giả thiết H0 W 1 D 2 Đối thiết H1 W 1 ¤ 2 Mẫu Cỡ mẫu Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn có hiệu chỉnh I n1 D 100 xN 1 D 101; 2 s12 D 571; 7 II n2 D 361 xN 2 D 66; 39 s22 D 29; 72 6.5 So sánh hai tỷ lệ Trang 95 Tính giá trị j101; 2 66; 39j jxN 1 xN 2 j Dr D 14; 4549 tDs 2 2 29; 72 571; 7 s1 s C C 2 100 361 n1 n2 Tra bảng A.2 ta được t 1 2 ˛ D t0; 495 D 2; 58: Vậy t > t 1 2˛ cho nên bác bỏ giả thiết H0 hay cân nặng trung bình của trái cây ở hai địa phương không bằng nhau. Ví dụ 6.6. Đo đường kính 20 trục máy do máy I sản xuất và 22 trục máy do máy II sản xuất ta tính được xN 1 D 251; 7I s12 D 52; 853 và xN 2 D 249; 8I s22 D 56; 2. Có thể xem đường kính trung bình của các trục máy ở 2 máy như nhau với mức ý nghĩa 1% không? Giải. 6.5 So sánh hai tỷ lệ Gọi p1 I p2 tỷ lệ phần tử A trên tổng thể 1 và 2 chưa biết. Ta cần kiểm định  Giả thiết H0 W p1 D p2 Đối thiết H1 W p1 ¤ p2 Trang 96 Chương 6. Kiểm định giả thiết n1 f1 C n2 f2 (Tỷ lệ phần tử A chung của 2 mẫu), trong đó n1 C n2 f1 I f2 tỷ lệ phần tử A trên mẫu 1, 2. Tính: f D tDs jf1 f .1 f2 j   1 1 C f/ n1 n2 Kết luận:  Chấp nhận giả thiết H0 khi t  t 1 2 ˛ :  Bác bỏ giả thiết H0 khi t > t 1 2 ˛ : Ví dụ 6.7. Từ hai đám đông tiến hành 2 mẫu với n1 D 100; n2 D 120 tính được tỷ lệ phần tử loại A trên mẫu 1, 2 lần lượt f1 D 0; 2 và f2 D 0; 3. Với mức ý nghĩa ˛ D 1% cho kết luận tỷ lệ phần tử A của 2 đám đông có như nhau không. 20 C 36 D 0; 255. 100 C 120 Gọi p1 ; p2 (chưa biết) tỷ lệ phần tử A trên tổng thể 1, 2. Cần kiểm định giả thiết  Giả thiết H0 W p1 D p2 Đối thiết H1 W p1 ¤ p2 Giải. Tính f D tDs j0; 2 0; 3j   D 1; 695 1 1 0; 255:0; 745 C 100 120 Với ˛ D 1% tra bảng A.2 tính được t 1 2˛ D 2; 58. Kết luận chấp nhận giả thiết H0 hay tỷ lệ phần tử A trên 2 mẫu như nhau. Ví dụ 6.8. Kiểm tra 120 sinh viên trường A thấy có 80 sinh viên giỏi, 150 sinh viên trường B có 90 sinh viên giỏi. Hỏi tỷ lệ sinh viên giỏi của 2 trường như nhau không? Biết mức ý nghĩa là 5%. Giải. 6.6 Bài tập chương 6 Trang 97 Ví dụ 6.9. Kiểm tra 230 sản phẩm của ca ngày thấy có 4 sản phẩm hỏng. Còn kiểm tra 160 sản phẩm của ca đêm thấy có 3 sản phẩm hỏng. Kết luận tỷ lệ sản phẩm hỏng phụ thuộc vào ca có đúng không với mức ý nghĩa 1%. Giải. 6.6 Bài tập chương 6 Bài tập 6.1. Biết chiều dài của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 sản phẩm loại này thì được chiều dài trung bình là 10,02m và độ lệch chuẩn của mẫu chưa hiệu chỉnh là 0,04m. Kiểm định giả thuyết H: “chiều dài trung bình của loại sản phẩm này là 10,0543m” có giá trị kiểm định t là bao nhiêu và cho kết Trang 98 Chương 6. Kiểm định giả thiết luận với mức ý nghĩa 3%. Đáp số: t = 2,5703; chiều dài trung bình của loại sản phẩm này là 10,0543m với mức ý nghĩa 3% Bài tập 6.2. Khảo sát về thời gian tự học (giờ/tuần) của sinh viên hệ chính quy ở trường đại học A trong học kỳ này. Tiến hành lấy mẫu, người ta thu được bảng số liệu: Thời gian Số sinh viên 3 5 5 5 14 7 7 16 9 9 8 11 11 6 13 a. Tìm khoảng ước lượng thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên trường A với độ tin cậy 95%. Đáp số: (7,1817giờ/tuần; 8,4917giờ/tuần) b. Để ước lượng thời gian tự học trung bình trong tuần với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn " D 0; 6(giờ/tuần) thì cỡ mẫu nhỏ nhất là bao nhiêu? Đáp số: 59 6.6 Bài tập chương 6 Trang 99 c. Sử dụng mẫu ban đầu để ước lượng thời gian tự học trung bình trong tuần với độ chính xác " D 0; 6(giờ/tuần) thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu? Đáp số: 92,82% d. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Với độ tin cậy 95% khoảng ước lượng tỷ lệ sinh viên chăm học là bao nhiêu? Đáp số: (15,92%; 41,22%) e. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Để ước lượng tỷ lệ sinh viên “chăm học” với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn " D 0; 12 thì cỡ mẫu nhỏ nhất là bao nhiêu? Đáp số: 55 Trang 100 Chương 6. Kiểm định giả thiết f. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Sử dụng mẫu trên để ước lượng tỷ lệ sinh viên “chăm học” với độ chính xác " D 0; 12 thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu? Đáp số: 93,71% g. Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình của sinh viên trường A là 8,4(giờ/tuần)” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. Đáp số: t = 1,6855; thời gian tự học trung bình của sinh viên trường A là 8,4(giờ/tuần) với mức ý nghĩa 5% h. Trong kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình của sinh viên trường A là 8,4(giờ/tuần)”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? Đáp số: 9,1% i. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: 6.6 Bài tập chương 6 Trang 101 “tỷ lệ sinh viên chăm học ở trường A là 18%” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. Đáp số: t = 1,9261; tỷ lệ sinh viên chăm học ở trường A là 18% với mức ý nghĩa 5% j. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh viên chăm học ở trường A là 18%”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? Đáp số: 5,36% k. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học. Người ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 2(giờ/tuần) và trung bình mẫu là 8,5(giờ/tuần). Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên hai trường là như nhau” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. Đáp số: t = 1,5893; thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên hai trường là như nhau mức ý nghĩa 5% Trang 102 Chương 6. Kiểm định giả thiết l. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học. Người ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh là 2(giờ/tuần) và trung bình mẫu là 8,5(giờ/tuần). Trong kiểm định giả thuyết H: “thời gian tự học trung bình trong tuần của sinh viên hai trường là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? Đáp số: 11,18% m. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học thấy có 28 sinh viên “chăm học”. Tính giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh viên “chăm học” của hai trường là như nhau” và cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. Đáp số: t = 1,6546; tỷ lệ sinh viên chăm học của hai trường là như nhau với mức ý nghĩa 5% n. Những sinh viên có thời gian tự học từ 9(giờ/tuần) trở lên gọi là sinh viên “chăm học”. Trường B khảo sát 64 sinh viên về thời gian tự học thấy có 28 sinh viên “chăm học”. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh viên “chăm học” của hai trường là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là bao nhiêu? Đáp số: 9,7% 6.6 Bài tập chương 6 Trang 103 Bài tập 6.3. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Khoảng ước lượng thời gian mang thai trung bình của thai phụ với độ tin cậy 95% là: A. (39,1049 tuần; 39,7215 tuần) C. (37,1049 tuần; 37,7215 tuần) B. (38,1049 tuần; 38,7215 tuần) D. (40,1049 tuần; 40,7215 tuần) Bài tập 6.4. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Để ước lượng thời gian mang thai trung bình của thai phụ với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn " D 0; 25(tuần) thì cỡ mẫu nhỏ nhất là: A. 175 B. 185 C. 195 D. 165 Trang 104 Chương 6. Kiểm định giả thiết Bài tập 6.5. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Sử dụng mẫu trên để ước lượng thời gian mang thai trung bình của thai phụ với độ chính xác " D 0; 25(tuần) thì đảm bảo độ tin cậy: A. 86,82% B. 87,82% C. 88,82% D. 89,82% Bài tập 6.6. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Với độ tin cậy 95% khoảng ước lượng tỷ lệ thai phụ sinh non: A. (2,63%; 10,95%) C. (4,63%; 12,95%) B. (3,63%; 11,95%) D. (1,63%; 9,95%) 6.6 Bài tập chương 6 Trang 105 Bài tập 6.7. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Để ước lượng tỷ lệ thai phụ sinh non với độ tin cậy 95% và độ chính xác nhỏ hơn " D 0; 04 thì cỡ mẫu nhỏ nhất là: A. 121 B. 141 C. 151 D. 131 Bài tập 6.8. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Sử dụng mẫu trên để ước lượng tỷ lệ thai phụ sinh non với độ chính xác " D 0; 04 thì đảm bảo độ tin cậy: A. 91,99% B. 95,99% C. 93,99% D. 97,99% Trang 106 Chương 6. Kiểm định giả thiết Bài tập 6.9. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần” là: A. t = 1,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần với mức ý nghĩa 7% B. t = 1,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần với mức ý nghĩa 5% C. t = 2,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ lớn hơn 39,7 tuần với mức ý nghĩa 5% D. t = 2,8231; thời gian mang thai trung bình của thai phụ nhỏ hơn 39,7 tuần với mức ý nghĩa 3% Bài tập 6.10. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: 6.6 Bài tập chương 6 Thời gian Số thai phụ 34 7 Trang 107 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Trong kiểm định giả thuyết H: “thời gian mang thai trung bình của thai phụ là 39,7 tuần”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là: A. 6,72% B. 7,72% C. 8,72% D. 9,72% Bài tập 6.11. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ thai phụ sinh non là 12%” là: A. t = 2,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non thấp hơn 12% với mức ý nghĩa 5% B. t = 2,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non lớn hơn 12% với mức ý nghĩa 5% C. t = 1,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non cao hơn 12% với mức ý nghĩa 5% D. t = 1,1037; tỷ lệ thai phụ sinh non là 12% với mức ý nghĩa 5% Trang 108 Chương 6. Kiểm định giả thiết Bài tập 6.12. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ thai phụ sinh non là 12%”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là: A. 3,48% B. 4,48% C. 5,48% D. 6,48% Bài tập 6.13. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời gian mang thai trung bình là 38,5 tuần và độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh 3,5 tuần. Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc và không hút thuốc là như nhau” là: 6.6 Bài tập chương 6 Trang 109 A. t = 1,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc và không hút thuốc là như nhau với mức ý nghĩa 5% B. t = 1,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc nhỏ hơn với mức ý nghĩa 5% C. t = 2,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5% D. t = 2,3798; Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc nhỏ hơn với mức ý nghĩa 5% Bài tập 6.14. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời gian mang thai trung bình là 38,5 tuần và độ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh 3,5 tuần. Trong kiểm định giả thuyết H: “Thời gian mang thai của thai phụ hút thuốc và không hút thuốc là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là A. 2,74% B. 3,74% C. 1,74% D. 4,74% Trang 110 Chương 6. Kiểm định giả thiết Bài tập 6.15. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời gian mang thai thấy có 16 thai phụ sinh non. Giá trị thống kê t để kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc và không hút thuốc là như nhau” là: A. t = 2,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ không hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5% B. t = 2,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5% C. t = 1,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ không hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5% D. t = 1,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc lớn hơn với mức ý nghĩa 5% Bài tập 6.16. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau: Thời gian Số thai phụ 34 7 36 36 10 38 38 59 40 40 41 42 42 4 44 Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non. Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính 6.6 Bài tập chương 6 Trang 111 được thời gian mang thai thấy có 16 thai phụ sinh non. Trong kiểm định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc và không hút thuốc là như nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là: A. 1,32% B. 2,32% C. 3,32% D. 4,32% Đáp án câu hỏi trắc nghiệm 6.3 A 6.5 C 6.7 D 6.9 B 6.11 A 6.13 D 6.15 B 6.4 B 6.6 D 6.8 C 6.10 A 6.12 A 6.14 C 6.16 A Phụ lục A Các bảng giá trị xác suất A.1 Bảng giá trị f .z/ A.1 Trang 113 Bảng giá trị f .z/ f .z/ z O z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683 0,3521 0,3989 0,3965 0,3902 0,3802 0,3668 0,3503 0,3989 0,3961 0,3894 0,3790 0,3653 0,3485 0,3988 0,3956 0,3885 0,3778 0,3637 0,3467 0,3986 0,3951 0,3876 0,3765 0,3621 0,3448 0,3984 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605 0,3429 0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589 0,3410 0,3980 0,3932 0,3847 0,3725 0,3572 0,3391 0,3977 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555 0,3372 0,3970 0,3911 0,3815 0,3684 0,3522 0,3334 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,2420 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637 0,2396 0,3292 0,3079 0,2850 0,2613 0,2371 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589 0,2347 0,3251 0,3034 0,2803 0,2565 0,2323 0,3230 0,3011 0,2780 0,2541 0,2299 0,3209 0,2989 0,2756 0,2516 0,2275 0,3187 0,2966 0,2732 0,2492 0,2251 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468 0,2227 0,3125 0,2899 0,2663 0,2422 0,2181 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,1295 0,2155 0,1919 0,1691 0,1476 0,1276 0,2131 0,1895 0,1669 0,1456 0,1257 0,2107 0,1872 0,1647 0,1435 0,1238 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415 0,1219 0,2059 0,1826 0,1604 0,1394 0,1200 0,2036 0,1804 0,1582 0,1374 0,1182 0,2012 0,1781 0,1561 0,1354 0,1163 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334 0,1145 0,1944 0,1716 0,1499 0,1297 0,1111 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,0540 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644 0,0529 0,1074 0,0909 0,0761 0,0632 0,0519 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620 0,0508 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608 0,0498 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596 0,0488 0,1006 0,0848 0,0707 0,0584 0,0478 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573 0,0468 0,0973 0,0818 0,0681 0,0562 0,0459 0,0942 0,0791 0,0657 0,0541 0,0441 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0175 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219 0,0171 0,0422 0,0339 0,0270 0,0213 0,0167 0,0413 0,0332 0,0264 0,0208 0,0163 0,0404 0,0325 0,0258 0,0203 0,0158 0,0396 0,0317 0,0252 0,0198 0,0154 0,0387 0,0310 0,0246 0,0194 0,0151 0,0379 0,0303 0,0241 0,0189 0,0147 0,0371 0,0297 0,0235 0,0184 0,0143 0,0356 0,0284 0,0224 0,0176 0,0136 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044 0,0132 0,0101 0,0077 0,0058 0,0043 0,0129 0,0099 0,0075 0,0056 0,0042 0,0126 0,0096 0,0073 0,0055 0,0040 0,0122 0,0093 0,0071 0,0053 0,0039 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051 0,0038 0,0116 0,0088 0,0067 0,0050 0,0037 0,0113 0,0086 0,0065 0,0048 0,0036 0,0110 0,0084 0,0063 0,0047 0,0035 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044 0,0033 Trang 114 Phụ lục A. Các bảng giá trị xác suất z 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 0,00 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,01 0,0032 0,0023 0,0017 0,0012 0,0008 0,02 0,0031 0,0022 0,0016 0,0012 0,0008 0,03 0,0030 0,0022 0,0016 0,0011 0,0008 0,04 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011 0,0008 0,05 0,0028 0,0020 0,0015 0,0010 0,0007 0,06 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,07 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0007 0,08 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0007 0,09 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 3,6 3,7 3,8 3,9 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 Bảng A.1: Giá trị f .z/ 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 A.2 Bảng giá trị '.x/ A.2 Trang 115 Bảng giá trị '.x/ '.x/ O x x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,00 0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,01 0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,02 0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985 0,03 0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2019 0,04 0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700 0,2054 0,05 0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088 0,06 0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2123 0,07 0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,2157 0,08 0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190 0,09 0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4778 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 0,4515 0,4608 0,4686 0,475 0,4803 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,4940 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4987 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 Trang 116 Phụ lục A. Các bảng giá trị xác suất x 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 0,00 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,01 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,02 0,4991 0,4994 0,4995 0,4997 0,4998 0,03 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,04 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,05 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,06 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,07 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,08 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,09 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 3,6 3,7 3,8 3,9 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000 0,5000 Bảng A.2: Giá trị '.x/ 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 Bảng giá trị t˛n A.3 Bảng giá trị t˛n A.3
P jT j > t˛n D ˛ ˛=2 ❍❍ ˛ ❍❍ n ❍ ❍ ˛=2 -t˛n O t˛n 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 1 2 3 4 5 4,474 2,383 1,995 1,838 1,753 4,829 2,495 2,072 1,902 1,810 5,242 2,620 2,156 1,971 1,873 5,730 2,760 2,249 2,048 1,941 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 7,026 3,104 2,471 2,226 2,098 7,916 3,320 2,605 2,333 2,191 9,058 3,578 2,763 2,456 2,297 10,579 3,896 2,951 2,601 2,422 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 15,895 4,849 3,482 2,999 2,757 21,205 5,643 3,896 3,298 3,003 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 6 7 8 9 10 1,700 1,664 1,638 1,619 1,603 1,754 1,715 1,687 1,666 1,650 1,812 1,770 1,740 1,718 1,700 1,874 1,830 1,797 1,773 1,754 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 2,019 1,966 1,928 1,899 1,877 2,104 2,046 2,004 1,973 1,948 2,201 2,136 2,090 2,055 2,028 2,313 2,241 2,189 2,150 2,120 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,612 2,517 2,449 2,398 2,359 2,829 2,715 2,634 2,574 2,527 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 11 12 13 14 15 1,591 1,580 1,572 1,565 1,558 1,636 1,626 1,616 1,609 1,602 1,686 1,674 1,664 1,656 1,649 1,738 1,726 1,715 1,706 1,699 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,859 1,844 1,832 1,821 1,812 1,928 1,912 1,899 1,887 1,878 2,007 1,989 1,974 1,962 1,951 2,096 2,076 2,060 2,046 2,034 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,328 2,303 2,282 2,264 2,249 2,491 2,461 2,436 2,415 2,397 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 Trang 117 0,14 ❍❍ ˛ ❍❍ n ❍ ❍ 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 16 17 18 19 20 1,553 1,548 1,544 1,540 1,537 1,596 1,591 1,587 1,583 1,579 1,642 1,637 1,632 1,628 1,624 1,692 1,686 1,681 1,677 1,672 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,805 1,798 1,792 1,786 1,782 1,869 1,862 1,855 1,850 1,844 1,942 1,934 1,926 1,920 1,914 2,024 2,015 2,007 2,000 1,994 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,235 2,224 2,214 2,205 2,197 2,382 2,368 2,356 2,346 2,336 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 21 22 23 24 25 1,534 1,531 1,529 1,526 1,524 1,576 1,573 1,570 1,568 1,566 1,621 1,618 1,615 1,612 1,610 1,669 1,665 1,662 1,660 1,657 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,777 1,773 1,770 1,767 1,764 1,840 1,835 1,832 1,828 1,825 1,909 1,905 1,900 1,896 1,893 1,988 1,983 1,978 1,974 1,970 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,189 2,183 2,177 2,172 2,167 2,328 2,320 2,313 2,307 2,301 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 26 27 28 29 30 1,522 1,521 1,519 1,517 1,516 1,564 1,562 1,560 1,558 1,557 1,608 1,606 1,604 1,602 1,600 1,655 1,653 1,651 1,649 1,647 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,761 1,758 1,756 1,754 1,752 1,822 1,819 1,817 1,814 1,812 1,890 1,887 1,884 1,881 1,879 1,967 1,963 1,960 1,957 1,955 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,162 2,158 2,154 2,150 2,147 2,296 2,291 2,286 2,282 2,278 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 40 60 80 100 1000 1,506 1,496 1,491 1,488 1,477 1,546 1,535 1,530 1,527 1,515 1,589 1,577 1,572 1,568 1,556 1,635 1,622 1,616 1,613 1,600 1,684 1,671 1,664 1,660 1,646 1,737 1,796 1,862 1,723 1,781 1,845 1,716 1,773 1,836 1,712 1,769 1,832 1,697 1,752 1,814 Bảng A.3: Giá trị t˛n 1,936 1,917 1,908 1,902 1,883 2,021 2,000 1,990 1,984 1,962 2,123 2,099 2,088 2,081 2,056 2,250 2,223 2,209 2,201 2,173 2,423 2,390 2,374 2,364 2,330 2,704 2,660 2,639 2,626 2,581 Phụ lục A. Các bảng giá trị xác suất 0,14 Trang 118 Bảng A.3: Bảng giá trị t˛n (tiếp theo) Tài liệu tham khảo [1] Đinh Văn Gắng. (1999). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. NXB Giáo dục. [2] Tô Anh Dũng. (2007). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. NXB ĐHQG TP.HCM. [3] Nguyễn Bác Văn. (1999). Xác suất và xử lý số liệu thống kê. NXB Giáo dục. [4] Đặng Hấn. (1986). Xác suất thống kê. NXB Thống kê. [5] Sheldon M. Ross. (1987). Introduction to probability and statistics for engineers and scientists. A John Wiley & Sons Publication. [6] F.M. Dekking. (2005). A modern introduction to Probability and Statistics. Springer Publication. [7] T.T. Song. (2004). Fundamentals of probability and statistics for engineers. A John Wiley & Sons Publication. [8] Ronald N. Forthofer. (2007). Biostatistics: Aguide to design, analysis, and discovery. Academic Press. [9] Y. Suhov. (2005). Volume I: Basic probability and statistics. Cambridge University Press. [10] Michaelr. Chernick. (2003). Introductory biostatistics for the health sciences. A John Wiley & Sons Publication. [11] E.L. Lehmann. (2005). Testing statistical hypotheses: Third Edition. Springer Publication.