- LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH : TOÁN CÔNG NGHỆ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT CÓ DÒNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC VÀ GIÁN ĐOẠN PHẠM NGỌC BẮC HÀ NỘI 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI. - LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH : TOÁN CÔNG NGHỆ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT CÓ DÒNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC VÀ GIÁN ĐOẠN PHẠM NGỌC BẮC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. - Nguyễn Đình Bình HÀ NỘI 2009 Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ Mục lục Chương I. - 5 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN VI PHÂN CÓ DÒNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC 5 1. - Bài toán đạo hàm riêng. - Lưới sai phân . - Đạo hàm lưới. - Bài toán sai phân. - Phát biểu bài toán sai phân. - Phương pháp giải bài toán sai phân. - Quy bài toán sai phân về dạng hệ phương trình ba đường chéo. - Phương pháp truy đuổi. - Sơ đồ thuật toán giải bài toán (I.28) ÷(I.30. - 28 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN VI PHÂN CÓ DÒNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN. - Bài toán đạo hàm riêng [5,8,9,10. - Lưới sai phân và hàm lưới. - Điều kiện của bài toán tại biên 00Nxξ. - Điều kiện bài toán tại biên 00Nxξ. - Cách giải bài toán sai phân (II.12-II.15. - 39 NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN TỪ ĐÓ SUY RA TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN TỚI NGHIỆM ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN VI PHÂN. - 43 Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ . - Sự ổn định của phương pháp sai phân. - Xét bài toán. - 69 Phụ lục: Tin học hóa bài toán. - 71 Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ Lời nói đầu Ngày nay, trong quá trình phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều vấn đề thông qua khảo sát thực nghiệm, thí nghiệm (như thăm dò nghiên cứu dòng nước chảy, trong luyện kim, khai thác. - Trong lớp các mô hình toán học ta gặp là mô hình bài toán dạng phương trình vật lý toán (dạng đạo hàm riêng). - Một số bài toán đơn giản thì việc tìm nghiệm trong dạng biểu thức giải tích không khó khăn, tuy nhiên nhiều bài toán chỉ có thể nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, không thể tìm được nghiệm trong dạng tường minh, trong khi đó kỹ thuật cần có những con số cụ thể. - Trong luận văn tôi đã sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tìm nghiệm gần đúng của bài toán biên với phương trình parabolic có dòng đối lưu trong hai trường hợp hệ số liên tục và hệ số gián đoạn, đồng thời chứng minh sự hội tụ của nghiệm gần đúng tới nghiệm đúng của bài toán xuất phát theo chuẩn nào đó trong không gian mà ta sẽ xét, cụ thể luận văn được trình bày theo bố cục sau: Chương I: Xây dựng lược đồ sai phân để giải gần đúng nghiệm của bài toán biên vi phân có dòng đối lưu với hệ số liên tục. - Chương II: Xây dựng lược đồ sai phân để giải gần đúng bài toán biên vi phân có dòng đối lưu với hệ số gián đoạn. - Chương III: Nghiên cứu sự ổn định của lược đồ sai phân từ đó suy ra tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng của bài toán sai phân tới nghiệm đúng của bài toán vi phân. - Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. - Nguyễn Đình Bình và các thầy cô giáo trong khoa Toán Tin ứng dụng đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. - Phạm Ngọc Bắc Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ Chương I XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN VI PHÂN CÓ DÒNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ LIÊN TỤC Trong chương này sẽ trình bày về “bài toán biên loại 3” (bài toán về truyền nhiệt trên một thanh vật chất mỏng, đồng chất có chiều dài 1 đơn vị dài, có các hệ số vật lý là các hàm số liên tục trên miền xét là 1 đơn vị dài và khoảng thời gian là 1 đơn vị thời gian [8, 9, 10]. - Bài toán đạo hàm riêng Tìm hàm số ( ),u xt thỏa mãn các điều kiện. - thay vào (I.33) ta có: 11()j jj j jj jj ji ii ii i iiiv Qv vαβ++Ρ. - (Điều này luôn đúng và ta sẽ chứng minh được trong chương tiếp theo) Ta có: Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ j j jjjji i iiiij jj j jji ii i iivvQβαα+Κ Φ+ Ρ= +−Ρ Φ−Ρ (I.40) Kết hợp (I.39), ta suy ra: 11,j j jjjji i iiiij jj j jji ii i iiQβαβαα++Κ Φ+ Ρ= +−Ρ Φ−Ρ (I.41) Từ công thức (I.38), ta có: 1 01 0,j jj jpαβ. - thay vào biểu thức 1j jj jNN NNvV−=Ρ +Φ Trong công thức (I.38), ta có: 1()j jj j j jN N NN Nv pVβα. - Như vậy sau mỗi lần giải hệ phương trình truy đuổi dạng 3 đường chéo ta tìm được nghiệm số của bài toán sai phân tại một lớp lưới theo biến số t. - Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ jjjjiiiiNP Q K Φ ( )1, 1iN. - Sơ đồ thuật toán giải hệ phương trình 3 đường chéo Bằng phương pháp truy đuổi thuận Hình vẽ I.3 Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ Bằng cách giải M hệ phương trình (I.33) và (I.38) có dùng phương pháp truy đuổi ở trên (vì j = 1,2…M), ta sẽ thu được đầy đủ các nghiệm của bài toán sai phân (II28)÷(I.30). - Sơ đồ thuật toán giải bài toán (I.28) ÷(I.30) Hình vẽ I.4 Chú ý: Sự hội tụ và sai số của phương pháp sẽ được trình bày ở chương III jM≤ Nghiệm jivtại nút lưới (i,j) Tính các hệ số ,,,jjjjiiiiPQKΦ từ các dữ liệu đã cho theo công thức (I.32). - ,TNMA xt B xt D xtv x f xt g t j=1 Bắt đầu Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ Chương II XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN VI PHÂN CÓ DÒNG ĐỐI LƯU VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN 1. - Bài toán đạo hàm riêng Bài toán trình bày ở đây có mục đích và yêu cầu chính là bài toán đã xét ở chương I, phần mở rộng của nó là các hệ số A(x,t), B(x,t), D(x,t) và f(x,t) không còn liên tục trên đoạn [0,1] đối với x nữa mà chúng có điểm gián đoạn loại 1 tại x = ξ, với 0, điều này trái với giả thiết 000jhlvτ. - Khi v đạt cực đại dương trên τhΩ tại nút (N,j) Từ định nghĩa toán tử 1jhNlvτở (I.27) ta có: Luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bắc Toán Công Nghệ jjjjj jj j j jNNN Nh N NNNvvvvhhl v sa d vhτστ. - vậy ta có nguyên lý cực đại 1. - Từ đó ta suy ra tính đơn điệu của sơ đồ sai phân phát biểu ở định lý sau đây: Định lý 1: +1 Nếu ih hh hv Lvlvlvlvτ τ τ ξτ. - thì theo nguyên lý cực đại 1, ta có )0,0(,0 MjNivji≤
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt