- ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết. - CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL. - Kí hiệu Christoffel. - Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ. - Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ tổng quát. - Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ trụ. - Các tính chất của kí hiệu Christoffel. - Liên hệ giữa kí hiệu Christoffel loại 1 và kí hiệu Christoffel loại 2. - Kí hiệu Christoffel ij k đối xứng với các chỉ số i, j. - Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel ij k trong hệ tọa độ tổng. - Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel. - ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÍ. - của nó trong vật lý, tôi chọn đề tài “ Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý”. - Tìm hiểu kí hiệu Christoffel.. - Tìm hiểu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý.. - Kí hiệu Christoffel và ứng dụng trong vật lý.. - Nghiên cứu kí hiệu Christoffel.. - Nghiên cứu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý.. - Chương 1: Kí hiệu Christoffel 1.1. - Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ 1.3. - Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel 1.5. - Chương 2: Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý 2.1. - CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 1.1. - Hệ thống kí hiệu. - Trong tọa độ Đề Các, các véctơ cơ sở e i là hằng số và do đó đạo hàm tương ứng của nó trong hệ tọa độ này triệt tiêu. - Trong hệ tọa độ tổng quát, các véctơ cơ sở e i và e i lại là hàm của các tọa độ trong hệ cơ sở này. - Việc tính đạo hàm của các tenxơ trong hệ tọa độ tổng quát có thể thực hiện bằng cách khảo sát đạo hàm của các véctơ cơ sở.. - Trước tiên ta khảo sát đạo hàm của véctơ cơ sở e i của hệ tọa độ Đề Các trong hệ tọa độ tổng quát có các véctơ cơ sở u i. - theo véctơ cơ sở của hệ tọa độ tổng quát:. - Rõ ràng từ (1.2) thấy trong hệ tọa độ Đề Các kí hiệu Christoffel 𝑖𝑗 𝑘 = 0 với mọi giá trị của các chỉ số i, j và k.. - Kết hợp với 𝑔 𝑚𝑘 ta được tính chất của kí hiệu Christoffel trong số hạng của ten xo metric và đạo hàm:. - Hệ tọa độ trụ là hệ tọa độ quen thuộc khi nghiên cứu các hệ vật lý trong không gian cong tổng quát. - Tính cong của không gian thể hiện ở các thành phần của kí hiệu Christoffel. - Sau đây, chúng ta sẽ tìm các thành phần của kí hiệu Christoffel trong tọa độ trụ. - Ta sử dụng (1.1) hoặc (1.7) tính 𝑖𝑗 𝑚 trong hệ tọa độ trụ Trong tọa độ trụ (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3. - Ta thấy rẳng đạo hàm của véctơ đối với tọa độ tương ứng là ≠ 0. - Lúc này kí hiệu Christoffel được viết như sau. - Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu.. - Các tính chất của kí hiệu Christoffel.. - Kí hiệu Christoffel loại 1:. - 2 (𝑔 𝑖𝑘,𝑗 + 𝑔 𝑖𝑗,𝑘 − 𝑔 𝑗𝑘,𝑖 ) Ở đây, kí hiệu dấu phẩy cho phép tính đạo hàm thông thường. - Kí hiệu Christoffel loại 2:. - Kí hiệu Christoffel 𝒊𝒋 𝒌 đối xứng với các chỉ số i, j. - Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel 𝒊𝒋 𝒌 trong hệ tọa độ tổng quát.. - Trong một hệ tọa độ mới:. - Trong hệ tọa độ cũ (không có dấu phẩy) và hệ tọa độ mới (có dấu phẩy) các véctơ hiệp biến và phản biến liên hệ với nhau bằng các hệ thức sau:. - Do đó trong hệ tọa độ mới, đại lượng 𝑖𝑗 ′𝑘 biến đổi theo qui luật sau:. - 𝜕𝑢 ′𝑗 𝑙𝑚 𝑛 (1.8) Đây chính là phép biến đổi của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ tổng quát.. - Trong hệ tọa độ tổng quát, về nguyên tắc chúng ta có thể tính toán nhanh bằng cách sử dụng (1.2) hơn là sử dụng biểu thức khác. - Với kí hiệu Christoffel trong số hạng của tenxo metric 𝑔 𝑖𝑗 và đạo hàm của nó với các tọa độ tương ứng.. - Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel.. - Tuy nhiên để đơn giản ta thấy rằng trong tọa độ Đề Các đạo hàm của các thành phần trong 1 Tenxơ chung khác với vô hướng trong tọa độ không gian so với các thành phần Tenxơ khác.. - Thấy rằng trong tọa độ tổng quát, đại lượng 𝜕𝑣. - Tuy nhiên ta có thể sử dụng kí hiệu Christoffel ở phần trước để xác định đạo hàm hiệp biến mới của thành phần véctơ mà không làm thay đổi thành phần của Tenxơ khác.. - Trước tiên ta xét đạo hàm của véctơ đối với các tọa độ:. - Kí hiệu: 𝑣 𝑖𝑗 𝑖 = 𝜕𝑣 𝑖. - Tương tự, kí hiệu này cũng được sử dụng vào đạo hàm riêng còn dấu phẩy. - 𝜕𝑢 𝑗 được kí hiệu 𝑣 ,𝑗 𝑖. - Trong tọa độ Đề Các các 𝑘𝑗 𝑖 = 0 và đạo hàm hiệp biến không thể phân tích thành từng phần của đạo hàm 𝜕𝑣. - Nếu như ta coi 𝑣 ;𝑗 𝑖 như một thành phần hỗn hợp của tenxơ bậc hai thì được gọi là đạo hàm hiệp biến của 𝑣 và kí hiệu: D μ 𝑣.. - Trong tọa độ Đềcác thành phần của tenxo là: 𝜕𝑣. - Ví dụ: Tính 𝑣 ;𝑗 𝑖 trong tọa độ trụ.. - Sử dụng (1.1) ta có thể viết đạo hàm của véctơ cơ sở trong kí hiệu Christoffel:. - Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc 𝑂𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 với hệ véctơ cơ sở (𝑒⃗ 1 , 𝑒⃗ 2 , 𝑒⃗ 3 ) Ta có:. - Ta đi xác định các thành phần của kí hiệu Christoffel thông qua Tenxơ metric và véctơ cơ sở.. - Trong hệ tọa độ Đề Các vuông góc các véctơ cơ sở 𝑒⃗ 𝑖 không đổi, 𝑦 𝑖 ≡ 𝑥 𝑖 Suy ra:. - (∀𝑖, 𝑗, 𝑠) (1.32) Trong hệ tọa độ cong trực giao, với 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 thì 𝑔⃗ 𝑖 ⊥ 𝑔⃗ 𝑗 ⊥ 𝑔⃗ 𝑠. - Trong thực tế, nếu các hệ số trong hệ tọa độ là: ℎ 𝑖 có i= 1,2,3 và 𝑣 𝑖 = 𝑣̂ 𝑖. - Đới với hệ tọa độ trực giao với ℎ 𝑖 ta có:. - Thay các đạo hàm riêng trong tọa độ ĐêCác bằng các đạo hàm hiệp biến, thì Div của 1 véctơ trong hệ tọa độ chung được xác định bởi:. - Từ biểu thức (1.7), kí hiệu Christoffel trong số hạng của Tenxơ Metric ta có:. - Ta có thể đơn giản hóa biểu thức (1.36) bằng cách sử dụng kết quả có liên quan đến đạo hàm của 1 ma trận mà các phần tử là hàm của tọa độ.. - Bây giờ, nếu 𝑎 𝑖𝑗 phụ thuộc vào hệ tọa độ và xác định a bằng chuỗi qui tắc thì ta có:. - 𝜕𝑢 𝑘 (1.40) Thay (1.40) vào (1.36) ta thấy rằng biểu thức của kí hiệu Christoffel có thể đơn giản hóa:. - Cuối cùng ta được biểu thức Div của trường véctơ trong hệ tọa độ chung.. - 𝑔 𝑗𝑘 𝜕𝛷 𝜕𝑢 𝑘 ) (1.42) Sử dụng (1.42) để diễn tả ∇ 2 φ trong hệ tọa độ trực giao với ℎ 𝑖 . - Ở đây kí hiệu Christoffel đã bị biến mất bởi tính chất đối xứng. - 𝜕𝑢 𝑗 Nó tương tự như biểu thức trong tọa độ Đề Các.. - Trong phần trước ta đã giới thiệu cách lấy vi phân Tenxơ chung với các hệ tọa độ và giới thiệu đạo hàm hiệp biến.. - Bài 1: Kí hiệu Christoffel viết ở dạng thứ nhất г 𝑖𝑗𝑘 = 𝑔 𝑖𝑙 г 𝑖𝑘 𝑙. - Chỉ ra mối liên hệ của các thành phần của kí hiệu Christoffel dạng thứ nhất với tensor metric phải có dạng sau:. - Tức là đạo hàm hiệp biến của tensor metric luôn bằng không trong mọi hệ tọa độ.. - 𝜕𝑢 𝑗 + 𝜕𝑔 𝜕𝑢 𝑘𝑚 𝑘 − 𝜕𝑔 𝜕𝑢 𝑗𝑘 𝑚 ) Chuyển sang kí hiệu Christoffel viết ở dạng thứ nhất, ta có:. - 𝜕𝑢 𝑘 − Г 𝑖𝑗𝑘 − Г 𝑗𝑖𝑘 ) 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 ≡ 0 Đạo hàm hiệp biến của tensor metric luôn bằng không trong mọi hệ tọa độ.. - Hãy tính các đại lượng sau trong hệ tọa độ cầu.. - Các thành phần của ký hiệu Christoffel. - Trong hệ tọa độ cầu, các vector cơ sở được kí hiệu 𝑢 𝑖 = (𝑟, 𝜃, 𝜑. - Để tính các thành phần của ký hiệu Christoffel một cách đơn giản, chúng ta làm việc thông qua hệ tọa độ Đề các.. - Trong hệ tọa độ Đề các, bán kính vector để xác định vị trí của vật chuyển động là:. - Lấy đạo hàm theo các thành phần trong hệ tọa độ cầu ta có:. - Trong hệ tọa độ cầu, ta có: g r 4 sin 2. - Chứng minh rằng trong các hệ tọa độ tổng quát, các thành phần này được viết là:. - Trong hệ tọa độ Đề các chỉ ra rằng tất cả các thành phần của tensor Riemann bằng không, và kết quả này đúng cho mọi không gian Euclide ba chiều.. - Trong hệ tọa độ đề các, tensor metric 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1,1,1), do đó các thành phần của kí hiệu Christoffel đều bằng không nên tất cả các thành phần của tensor Riemann đều bằng không. - Chúng ta giới thiệu hệ tọa độ tùy ý 𝑢 𝑖 với vecto cơ sở 𝑒 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3 có thể viết 𝑡 = 𝑡 𝑖 𝑒 𝑖 và từ (2.1) có:. - 𝑑𝑠 = 0 (2.2) Ví dụ: Tìm phương trình trắc địa trong tọa độ trụ. - Nếu 𝑥 𝑖 là tọa độ của điểm P thì 𝑥 𝑖 sẽ là hàm của s. - Với đề tài: “Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý” em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau:. - Tìm hiểu sơ lược lí thuyết về kí hiệu Christoffel.. - Vận dụng kí hiệu Christoffel để nghiên cứu và giải các bài tập Vật lý.
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt