- 1.1 Đại số von Neumann và vết. - 1.1.1 Đại số Banach. - 1.1.3 Đại số von Neumann. - 1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann. - 2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann. - Khi đó , A được gọi là một đại số phức. - thì A được gọi là một đại số Banach.. - đại số . - đại số Banach. - đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||x. - thì A gọi là đại số Banach liên hợp. - đại số. - đại số thì ||x. - Giả sử H là không gian Hilbert, B(H ) là đại số các toán tử bị chặn. - A ∈ B(H ) là một đại số con.. - Đại số A ∈ B(H ) gọi là đại số von Neumann nếu:. - với mọi x, y ∈ H Như vậy đại số von Neumann là một C. - đại số.. - Giả sử A là đại số von Neumann. - τ (x), ∀x ∈ A + Khi đó τ gọi là vết của đại số A. - Đại số von Neumann gọi là hữu hạn (hay nửa hữu hạn) nếu với mọi x ∈ A, x 6= 0 tồn tại vết chuẩn tắc hữu hạn sao cho τ (x) 6= 0. - đại số topo đầy đủ.. - Giả sử A là đại số Banach . - là một toán tử tuyến tính. - Định lý 1.2.5. - (Về biểu diễn Phổ) Nếu T ∈ B(H ) và T là toán tử chuẩn tắc thì tồn tại đúng một khai triển đơn vị trên các tập con Borel của phổ σ(T ) của toán tử T sao cho. - Nếu T là toán tử unitar T T. - p i H ) Ta có. - Giả sử ε, δ ∈ R. - Giả sử:. - ta có:. - Giả sử a| E = b| E . - Xét trong không gian Hilbert H 2 = H ⊕ H đại số von Neumann A 2. - Giả sử aηA . - (i) Ta có A ⊆ A. - Định lý 1.2.25. - đại số topo.. - ta có. - Giả sử ˜ ε, δ ∈ N 0 . - Giả sử. - Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H là một đại số von Neumann. - Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ. - Định lý 1.3.3. - Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ. - Định lý 1.3.4. - Định lý 1.3.5. - đại số A các toán tử đo được đối với (A, φ) theo nghĩa Segal − Nelson. - Hội tụ hầu đều (hay hội tụ gần đều khắp nơi )cũng có thể được xét đối với dãy trong A ˜ (cụ thể là đối với dãy (x n ) trong L 1 (A, φ)).. - Định lý 1.3.7. - Giả sử A là một đại số von Neumann hoạt động trong không gian Hilbert H . - Định lý 1.3.9. - (Định lý Egoroff không giao hoán) Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ . - Định lý 1.3.11. - Định lý Rademacher-Menchoft. - Giả sử ξ 1 , ξ 2. - Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann. - Kí hiệu A 1 , A 2 là các đại số von Neumann con của A . - Các đại số con A 1 , A 2 được gọi là độc lập ( liên quan đến φ ) nếu φ(xy) =φ(x)φ(y) với mọi x ∈ A 1 , y ∈ A 2. - Theo định lý 1.3.5 thì x n → 0 hầu đều.. - Định lý 2.2.2. - Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ , và (x n ) là dãy bị chặn trong A . - Giả sử ||x n. - Theo định lý 1.3.4 thì x n → 0 hầu đều. - Định lý 2.3.1. - Chứnh minh định lý 2.3.1 Chứng minh. - N ≤ 2 k+1 , ta có:. - Định lý được chứng minh xong.. - Định lý 2.3.3. - Giả sử (x (i) n. - Định lý 2.3.4. - Định lý 2.3.5. - Định lý 2.3.6. - Định lý 2.4.2. - Nhưng theo định lý 2.3.3 với mỗi ε >. - Định lý 2.5.1. - Định lý 2.5.2. - Định lý 2.5.3. - hội tụ hầu đều. - Định lý 2.5.4. - Giả sử {ξ k } là dãy toán tử đo được độc lập liên tiếp từ A. - ξ k ) hội tụ. - Theo định lý 2.5.2 và (ii) chuỗi. - hội tụ hầu đều . - ξ n + η n ) hội tụ hầu đều.. - Định lý 2.6.3. - Giả sử φ n : R. - Định lý 2.6.4. - {ξ n } là dãy toán tử đo được độc lập liên tiếp . - R + và toán tử ξ với. - Định lý 2.6.5. - Định lý 2.6.6. - ξ k − ξ ˜ k = u k |ξ k − ξ ˜ k | ta có:. - Ta có. - Định lý 2.6.9. - Định lý 2.6.10. - 2 , ta có:. - Định lý 2.6.11. - Định lý 2.7.3. - Định lý 2.7.4. - Cho A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ . - Định lý 2.8.3