Ma trận - Định thức - Hệ phương trình

Chia sẻ: Đinh Hữu Hoàng Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

2.809
lượt xem 788
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột. Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và biến đổi tuyến tính. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số... Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều. Ma trận thông...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ma trận - Định thức - Hệ phương trình

Chu.o.ng I ˆ - . ´. ˆ . . ` MA TRA N - DINH THU C - HE PHU O NG TRI NH . . ˆ §1. MA TRA N . -. ˜ 1.1. Dinh nghı a • Ma trˆ n cˆ p m × n (d ˆi khi con goi la co. m × n) la mˆt bang hı a a . ´ ¯o ` . ` ˜ ` o ’ . `nh chu. nhˆ t gˆm m−hang, n−cˆt va ca c phˆn tu. cua ma trˆ n d u.o.c biˆ u diˆ n ˜ a `. o ` o ` ´ . ` a ’ ’ a ¯ . . e’ ˜ e du.o. da ng sau: ´i .   a11 a12 a13 . . . a1n a   21 a22 a23 . . . a2n     a31 a32 a33 . . . a3n     .. . . . . .  .   . . . ... . am1 am2 am3 ... amn Dˆ d o.n gian ta kı hiˆ u ma trˆ n A cˆ p m × n nhu. sau: A = (aij )m×n , -e ¯ ’ ’ ´ e . a . ´ a trong d´ aij la phˆn tu. o. hang thu. i va cˆt thu. j cua ma trˆ n A. ¯o ` ` a ’ ’ ` ´ ` o . ´ ’ a . • Nˆ u ca c phˆn tu. cua ma trˆ n A d` u nhˆ n gia tri thu.c, co nghı a la ´ e ´ ` a ’ ’ a. ¯ˆe a . ´ . . ´ ˜ ` aij ∈ R, thı ma trˆ n A d u.o.c goi la ma trˆ n thu.c. ` a . ¯ . . ` a. . *. Vı du : ´ . ` a a . ´ A = ( 15 ) la ma trˆ n cˆ p 1 × 1.   1 4   ´ B =  2 7  la ma trˆ n cˆ p 3 × 2. ` a a . 5 −3 cos x ln x sin x A= ` a a . ´ la ma trˆ n cˆ p 2 × 3. sin x + cos x 2 −3 • Ma trˆ n hang: Ma trˆ n co. 1 × n (chı co 1 hang) goi la ma trˆ n hang. a . ` a ˜ . ’ ´ ` . ` a ` . *. Vı du : Ma trˆ n ( 1 2 3 4 ) la ma trˆ n hang (co. 1 × 4). ´ . a . ` a ` . ˜ • Ma trˆ n cˆt: Ma a n co. m × 1 (chı co 1 cˆt) goi la ma trˆ n cˆt. a . o . trˆ  ˜ . ’ ´ o . . ` a o . . 2   *. Vı du : Ma trˆ n  3  la ma trˆ n cˆt (co. 3 × 1). ´ . a . ` a o . . ˜ 4 1
• Ma trˆ n thu.c gˆm tˆ t ca ca c phˆn tu. b˘ ng 0 d u.o.c goi la ma trˆ n a . . ` o ´ a ’ ´ ` a ’ a` ¯ . . ` a . khˆng. o • Ma trˆ n cˆ p n × n d u.o.c goi la ma trˆ n vuˆng cˆ p n. a a . ´ ¯ . . ` a . o ´ a • Ma trˆ n d .n vi: La ma trˆ n vuˆng cˆ p n co ca c phˆn tu. n˘ m trˆn a ¯o . . ` a. o ´ a ´ ´ ` a ’ a ` e d u.o. che o chı b˘ ng 1 va ca c phˆn tu. n˘ m ngoai d u.o. che o chı d` u ¯ `ng ´ ´nh a ` ` ´ ` a ’ a ` ` ¯ `ng ´ ´nh ¯ˆe   1 0 ... 0   ` . la co da ng: I =  0 1 . . . 0 . Ky hiˆ u la: I (d ˆi khi ta b˘ ng 0, tu ` ´ . a ´c . . . ´ e ` n ¯o  . . ... .  . . . . 0 0 ... 1 con ky hiˆ u: I). ` ´ e . a . ` a a . ´ • Ma trˆ n con: Cho A la ma trˆ n cˆ p m × n, ta goi Mij la ma trˆ n . ` a . .o.c tu. ma trˆ n A b˘ ng ca ch bo d i hang i va cˆt j, khi d´ M goi la lˆ p d u . ` a ¯ a a` ´ ’ ¯ ` ` o ¯o ij . ` . . . ma trˆ n con cua ma trˆ n A u. vo. phˆn tu. aij . a . ’ a . ´ng  ´i ` a ’  1 2 3   *. Vı du : Cho ma trˆ n A =  0 −1 4  ´ . a . 3−2 8 −1 4 0 4 0 −1 Ta co : M11 = ´ ; M12 = ; M13 = −2 8 3 8 3 −2 2 3 1 3 1 2 M21 = ; M22 = ; M23 = −2 8 3 8 3 −2 2 3 1 3 1 2 M31 = ; M32 = ; M33 = −1 4 0 4 0 −1 1.2. Ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p trˆn hang ´ ´ ´ e ¯ˆ ’ ´ a e ` ’ (cˆt) cua ma trˆ n o . a . • Ca c phe p biˆ n d ˆ i sau d ˆy d ˆ i vo. hang (cˆt) cua ma trˆ n d u.o.c goi ´ ´ ´ e ¯o ’ ´ ¯a ¯o ´i ` o. ’ a ¯ . . . ` ´ ´ ´ e ¯ˆ ’ . cˆ p theo hang (cˆt) cua ma trˆ n: la ca c phe p biˆ n d o i so a ´ ` o ’ a . . -o’ o’ ` o . ’ (1). Dˆ i chˆ hai hang (cˆt) cua ma trˆ n cho nhau. a . ´ ` (2). Nhˆn tˆ t ca ca c phˆn tu ’ a a ’ ´ a ’ . cua mˆt hang (cˆt) cua ma trˆ n vo. mˆt o ` o ’ a ´i o . . . . ´ sˆ λ = 0. o o. ` o ` . o . ` ¯o ’ (3). Cˆng vao mˆt hang (cˆt) nao d´ cua ma trˆ n mˆt hang (cˆt) kha c a . o ` . o . ´ sau khi d˜ nhˆn vo. mˆt sˆ λ = 0. ¯a a ´i o o . ´ 2
  1 3 4 −2   *. Vı du : Cho ma trˆ n A =  −1 2 0 1  ´ . a. 2 −2 0 6 Khi d´ : ¯o (1) Dˆ i chˆ hang 1 cho hang 2 (cˆt 1 cho cˆt 2)ta d u.o.c: -o’ ˜ o ` ` o . o . ¯     −1 2 0 1 3 1 4 2     B= 1 3 4 −2  ; B =  2 −1 0 1  2 −2 0 6 −2 2 0 6 (2) Nhˆn tˆ t ca ca c phˆn tu. cua hang 2 cua A cho λ = 2 ta d u.o.c: ´ a a ’ ´ ` a ’ ’ ` ’ ¯ .     1 3 4 −2 1 3 4 −2     C = 2.  −1 2 0 1  =  −2 4 0 2  2 −2 0 6 −2 0 6 2 (3) Cˆng hang 1 vao hang 2 sau khi d˜ nhˆn vo. λ = 2 cua A ta d u.o.c: o . ` ` ` ¯a a ´i ’ ¯ .   1 3 4 −2   D =  −1 7 4 0  2 −2 0 6 • Dinh nghı a: Phˆn tu. kha c 0 d` u tiˆn cua mˆt hang cua ma trˆ n -. ˜ ` a ’ ´ ¯ˆ a e ’ o ` . ’ a . .o.c tı . tra i sang phai) d u.o.c goi la phˆn tu. co. so. cua hang d´ . (d u . ´nh tu ´ ¯ ` ’ ¯ . . ` ` a ’ ’ ’ ` ¯o • Dinh nghı a: Mˆt ma trˆ n d u.o.c goi la ma trˆ n bˆ c thang trˆn -. ˜ o. a ¯ . . . ` a. a . e ´ e ´ ’ ˜ ´ ¯` nˆ u no thoa ma n ca c d iˆu kiˆ n sau: e e. (1). Ca c hang b˘ ng khˆng o. du.o. ca c hang kha c khˆng. ´ ` ` a o ’ ´i ´ ` ´ o (2). Phˆn tu. co. so. cua hang phı du.o. n˘ m bˆn phai so vo. phˆn tu. `a ’ ’ ’ ` ´a ´i a ` e ’ ´i ` a ’ co. so. cua hang phı trˆn. ’ ’ ` ´a e *. Vı du : ´ .     1 4 8 1 1 4 0 1 5 0 2 7 −3  0 2 0 −3 3      A=  ; B=  0 0 4 5  0 0 4 5 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 • Dinh ly : Moi ma trˆ n d` u co thˆ d u.a vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang -. ´ . a ¯ˆ ´ e ¯ . e ’ ` . e a . a . trˆn nho. ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p theo hang cua ma trˆ n. e ` ´ ´ ´ e ¯o ’ a´ ` ’ a . 3
  1 2 1 7 ’   *. Vı du 1: Tı ma trˆ n bˆ c thang cua ma trˆ n A =  1 ´ . `m a a . . a . 5 1 10  2 9 3 17 ´ ´ ´n d ˆ i so. cˆ p ta co Dung ca c phe p biˆ ¯o ` e ’ a´ ´     1 2 1 7 1 2 1 7     A −→  0 3 0 3  −→  0 3 0 3  0 5 1 3 0 0 1 −2 *. Vı du 2: Du.a ma trˆ n sau vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang ´ . - a . ` . e a a . .   2 1 2 4 4 3 −1 0    A=  4 1 2 1 6 −2 0 2     2 1 2 4 2 1 2 4  0 1 −5 8  0 1 −5 8      A −→   −→    0 −1 −2 −3  0 0 −7 5  0 −5 −6 −10 0 −5 −6 −10     2 1 2 4 2 1 2 4  0 1 −5 8  0 1 −5 8      −→   −→    0 0 −7 5  0 0 −7 5  55 0 0 −31 30 0 0 0 7 1.3. Ca c phe p toa n ma trˆ n ´ ´ ´ a . a . ` • Hai ma trˆ n b˘ ng nhau: a a. ´ Cho hai ma trˆ n A = (aij )m×n , B = (bij )p×q . Khi ˆ y: a  ´  m = p (sˆ hang) o `   A = B ⇐⇒ n = q (sˆ cˆt) ´ . o o    aij = bij (Tu. la no cung cˆ p va tu. phˆn tu. tu.o.ng u. b˘ ng nhau.) ´c ` ´ ` ´ a ` `ng ` a ’ ` ´ng a *. Vı du : ´ . 4
    1 4 0 1 1 4 0 1     A = 0 2 7 −5  ; B = 0 2 7 −5  0 1 4 5 0 1 4 5 • Phe p cˆng ma trˆ n: ´ o . a . o’ ’ a ` . ´ a ˜ Tˆ ng cua hai ma trˆ n cung cˆ p A = (aij )m×n , B = (bij )m×n cu ng la ` ma trˆ n cˆ p m × n, ky hiˆ u la: A + B, d u.o.c xa c d inh bo.i: a a . ´ ´ e ` . ¯ . ´ ¯. ’ A + B = (aij + bij )m×n *. Vı du : ´ .     1 4 0 1 3 7 6 9     A = 0 2 7 −5  ; B = 0 8 7 2 0 1 4 5 1 0 2 4 ´ Khi ˆ y a     1+3 4+7 0+6 1+9 4 11 6 10     A + B = 0 +0 2+8 7+7 −5 + 2  =  0 10 14 −3  0+1 1+0 4+2 5+4 1 1 6 9 • Phe p nhˆn mˆt sˆ vo.i mˆt ma trˆ n: ´ a o o ´ . ´ o . a . Cho ma trˆ n A = (aij )m×n va sˆ λ = 0. Khi ˆ y tı cua sˆ λ vo. ma a . ` o ´ ´ a ´ch ’ o ´ ´i a ˜ ` a a ´ ´ e ` ¯ .o.c xa c d inh bo.i: trˆ n A cu ng la ma trˆ n cˆ p m × n, ky hiˆ u la: λ.A, d u . ´ ¯. ’ . . . λ.A = (λ.aij )m×n *. Vı du : ´ . 1 4 0 1 ´ Cho sˆ λ = 5 va ma trˆ n A = o ` a . ´ . Khi ˆ y ta co : a ´ 0 2 7 −5 5.1 5.4 5.0 5.1 5 20 0 5 λ.A = = 5.0 5.2 5.7 5.(−5) 0 10 35 −25 • Phe p nhˆn ma trˆ n: ´ a a . Tı cua ma trˆ n A = (aij )m×n vo. ma trˆ n B = (bij )n×p la mˆt ma ´ch ’ a . ´i a . ` o. 5
trˆ n cˆ p m × p, ky hiˆ u la: A.B, d u.o.c xa c d inh bo.i: a a . ´ ´ e ` . ¯ . ´ ¯. ’ n A.B = cij = aik .bkj m×p k=1 *. Vı du : ´ .   9 13 1 2 3 4  10 14    ´ Cho hai ma trˆ n A = a . va B =  ` . Khi ˆ y ta co : a ´ 5 6 7 8  11 15  12 16 1.9 + 2.10 + 3.11 + 4.12 1.13 + 2.14 + 3.15 + 4.16 110 136 A.B = = 5.9 + 6.10 + 7.11 + 8.12 5.13 + 6.14 + 7.15 + 8.16 278 339 *.Chu ´ : Dˆ hai ma trˆ n nhˆn d u.o.c vo. nhau thı sˆ cˆt cua ma trˆ n ´ y -e ’ a. a ¯ . ´i ´ . ` o o ’ a. .o. phai b˘ ng sˆ hang cua ma trˆ n sau. tru ´c ’ a ` ´ o ` ’ a. e’ • Phe p chuyˆ n vi ma trˆ n: ´ . a. . ´ a. ’ e . ’ Cho ma trˆ n A = (aij )m×n . Khi ˆ y ma trˆ n chuyˆ n vi cua ma trˆ n A la a a a . ` mˆt ma trˆ n co d u.o.c tu. A b˘ ng ca ch chuyˆ n hang thanh cˆt, chuyˆ n cˆt o . a ´ ¯ . ` . ` a ´ e’ ` ` o. ’ . e o thanh hang theo d´ ng thu. tu.. ` ` ¯u ´ . Ky hiˆ u la: AT . Nhu. vˆ y ta co : ´ e `. a. ´     a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . am1      a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2  A= .  . . . .  .  ; A = . T  . . . .  .   . . ... .   . . ... .  am1 am2 . . . amn m×n a1n a2n . . . amn n×m *. Vı du : ´ .     1 5 9 1 2 3 4 2    6 10   Cho ma trˆ n A =  5 a . 8 . Khi ˆ y ta co : AT =  6 7 a´ ´  3 7 11  9 10 11 12 4 8 12 . ´ tı ´t cua phe p toa n ma trˆ n 1.4. Mˆt sˆ ´nh chˆ o o a ’ ´ ´ a. -. a . ` ´ o´ • Dinh ly 1: Cho ca c ma trˆ n A, B, C va ca c sˆ α, β sao cho ca c phe p ´ ´ ´ ´ toa n sau d ˆy d u.o.c ta o thanh. Khi ˆ y ta se co : ´ ¯a ¯ . . ` ´ a ˜ ´ 6
1. A + B = B + A 6. (α.β).A = α.(β.A) 2. (A + B) + C = A + (B + C) 7. α.(A.B) = (α.A).B = A.(α.B) 3. A.(B.C) = (A.B).C 8. α.(A + B) = α.A + α.B 4. (A + B).C = A.C + B.C 9. (α + β).A = α.A + β.A 5. A.(B + C) = A.B + A.C 10. No i chung, A.B = B.A ´ -. ´ a . ´ • Dinh ly 2: Cho ca c ma trˆ n A, B. Khi ˆ y ta co : ´ a ´ 1. (AT )T = A 2. (A + B)T = AT + B T 3. (A.B)T = B T .AT 4. (λ.A)T = λ.AT 7
- . ´. §2. DINH THU C   a11 a12 ... a1n    a21 a22 . . . a2n  • Cho ma trˆ n vuˆng cˆ p n co da ng: A =  . a . o ´ a ´ .  . . . .  . Ta .   . . ... .  an1 an2 . . . ann ky hiˆ u Mij la ma trˆ n vuˆng lˆ p tu. ma trˆ n A sau khi d˜ bo d i hang thu. ´ e . ` a . o a ` . a . ¯a ’ ¯ ` ´ i va cˆt thu. j cua ma trˆ n A va Mij d u.o.c goi la ma trˆ n con cua ma trˆ n ` o . ´ ’ a. ` ¯ . . ` a. ’ a . A u. vo. phˆn tu. aij . ´ng ´i ` a ’   1 −2 3   *. Vı du : Cho ma trˆ n A =  −5 2 ´ . a . 7 . Khi d´ ta co : ¯o ´ 2 1 −3 2 7 −2 3 1 3 M11 = , M21 = , M32 = ... 1 −3 1 −3 −5 7 -. ˜ 2.1. Dinh nghı a • Dinh thu. cua ma trˆ n A = (aij )n×n la mˆt sˆ , ky hiˆ u la -. ´c ’ a . . ´ ` o o ´ e ` . a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n det(A) = a31 a32 a33 . . . a3n . . . . . . . . ... . an1 an2 ... ann va d u.o.c xa c d inh nhu. sau: ` ¯ . ´ ¯. ` a a . ´ (1). A la ma trˆ n cˆ p 1(n = 1): A = ( a11 ) thı ` det(A) = a11 ` a a . ´ (2). A la ma trˆ n cˆ p 2 (n = 2): a11 a12 det(A) = = a11 .a22 − a12 .a21 a21 a22 = a11 . det(M11 ) − a21 . det(M21 ) (Chu ´ r˘ ng a11 va a12 la ca c phˆn tu. n˘ m cung o. hang 1 cua ma trˆ n ´ y a` ` ` ´ `a ’ a` ` ’ ` ’ a . ` o ´ . o’ A), vˆn vˆn, va mˆt ca ch tˆ ng qua t, a a ´ a a . ´ (3). A la ma trˆ n cˆ p n (n ≥ 3) thı ` `: 8
det(A) = a11 . det(M11 ) − a21 . det(M21 ) + a31 . det(M31 ) − . . . + + (−1)i+j .aij . det(Mij ) + . . . + (−1)n+1 .an1 . det(Mn1 ) (Ngu.o. ta goi la phe p khai triˆ n theo hang 1). `i . ` ´ e’ ` *. Vı du : ´ . 1 2 3 5 6 2 3 2 3 4 5 6 = 1. − 4. + 7. 8 9 8 9 5 6 7 8 9 = 1.(45 − 48) − 4.(18 − 24) + 7.(12 − 15) = 0. • Tu.o.ng tu. ta co cˆng thu. khai triˆ n cua d inh thu. theo hang k nao . ´ o ´c e’ ’ ¯. ´c ` ` d´ : ¯o det(A) = (−1)k+1 [ak1 det(Mk1 )−ak2 det(Mk2 )+. . .+(−1)n+1 akn det(Mkn )] *. Vı du 1: Tı ´ . ´nh d inh thu. sau b˘ ng ca ch khai triˆ n theo hang 3. ¯. ´c a` ´ e’ ` 1 −2 0 −2 0 1 0 1 −2 2 4 −1 = (−1)3+1 2 −3 + (−5) 4 −1 2 −1 2 4 2 3 −5 = 2.(2 − 0) − 3.(−1 − 0) + 7.(4 − 4) = −1. ´nh d inh thu. sau b˘ ng ca ch khai triˆ n theo hang 4 *. Vı du 2: Tı ´ . ¯. ´c ` a ´ e’ ` 2 1 1 1   1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1   = (−1)4+1 a. 2 1 1 − b. 1 1 1 + c. 1 2 1 − d. 1 2 1  1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 a b c d = −a − b − c + 4d • Chu ´ : Trong tru.o. ho.p n = 3 ta co thˆ dung quy t˘c Sarrus sau ´ y `ng . ´ e `’ ´ a d ˆy: ¯a a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 9
Tu. d´ ta co : ` ¯o ´ a11 a12 a13 = a11 .a22 .a33 + a12 .a23 .a31 + a13 .a21 .a32 a21 a22 a23 − a13 .a22 .a31 − a11 .a23 .a32 − a12 .a21 .a33 a31 a32 a33 o o ´nh chˆ t cua d .nh thu.c ´ 2.2. Mˆt sˆ tı . ´ a ’ ¯i ´ ´nh chˆ t 1: A = AT • Tı ´ a *. Vı du : ´ . 1 2 1 3 = −2 , = −2 3 4 2 4 • Tı ´ a ’ ¯o . ´ ’ ´nh chˆ t 2: Khi d ˆ i vi trı cua hai hang (hai cˆt) cho nhau thı d .nh ` o . ` ¯i thu. d ˆ i dˆ u. ’ ´ ´c ¯o a *. vı du : Ta co : ´ . ´ 1 3 = 1.5 − 2.3 = −1 2 5 Dˆ i chˆ hang 1 cho hang 2 ta cu ng d u.o.c: -o’ ’ o ` ` ˜ ¯ . 2 5 = 2.3 − 1.5 = 1 = −(−1) 1 3 • Tı´nh chˆ t 3: Dinh thu. co mˆt hang (mˆt cˆt) nao d´ gˆm toan sˆ ´ a -. ´c ´ o ` . o o . . ` ¯o ` o ` o ´ ` 0 thı b˘ ng 0. ` a *. Vı du : ´ . 1 2 3 6 9 0 0 0 0 =0 hay 1 0 0 =0 2 7 9 2 3 0 ´nh chˆ t 4: Dinh thu. co hai hang (hai cˆt) ty lˆ nhau thı b˘ ng 0. • Tı ´ a -. ´c ´ ` o . ’ e. ` a` 10
*. Vı du 1: ´ . m.a m.b m.c n.a b a x y z =0 hay n.x y x =0 a b c n.t u t *. Vı du 2: ´ . 1 2 1 1 2.1 1 2 4 3 = 2 2.2 3 = 0 3 6 9 3 2.3 9 ´nh chˆ t 5: Nˆ u nhˆn mˆt hang (mˆt cˆt) nao d´ cua d inh thu. • Tı a´ ´ e a o ` . o o . . ` ¯o ’ ¯. ´c vo. mˆt sˆ λ = 0 thı d inh thu. d u.o.c nhˆn lˆn vo. sˆ λ d´ . . ´ ´i o o ` ¯. ´c ¯ . a e ´i o ¯o ´ *. Vı du : ´ . m.a m.b a b n.a t a t = m. hay = n. x y x y n.x m x m *. Vı du : ´ . 2 3 2 3 2 3 = =4 = 4. 4 8 4.1 4.2 1 2 • Tı´nh chˆ t 6: Dinh thu. khˆng thay d ˆ i nˆ u ta cˆng vao mˆt hang ´ a -. ´c o ’ ´ ¯o e o . ` o ` . ’ .p tuyˆ n tı ´ (mˆt cˆt) nao d´ mˆt tˆ ho o o . . ` ¯o o o . . ’ . ´ e ´nh cua mˆt sˆ hang (cˆt) kha c. o o ` o . ´ *. Vı du 1: ´ . a1 a2 a3 (a1 + α.a2 − β.a3 ) a2 a3 b1 b2 b3 = (b1 + α.b2 − β.b3 ) b2 b3 c1 c2 c3 (c1 + α.c2 − β.c3 ) c2 c3 *. Vı du 2: ´ . 2 1 3 2 1 3 4 5 7 = 4 + (−2).2 5 + (−2).1 7 + (−2).3 = −20 6 1 5 6 1 5 *. Vı du 3: ´ . 11
a 1 1 1 a+3 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 a+3 a 1 1 1 a 1 1 = = (a + 3). 1 1 a 1 a+3 1 a 1 1 1 a 1 1 1 1 a a+3 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 1 0 a−1 0 0 = (a + 3). = (a + 3).(a − 1)3 0 0 a−1 0 0 0 0 a−1 • Tı´nh chˆ t 7: Dinh thu. cua ma trˆ n tam gia c co da ng du.o. d ˆy a´ -. ´c ’ a . ´ ´ . ´i ¯a d u.o.c xa c d inh la: ¯ . ´ ¯. ` a11 a12 a13 ... a1n 0 a22 a23 ... a2n 0 0 a33 ... a3n = a11 .a22 .a33 . . . ann . . . . . . . . . . . ... . 0 0 0 ... ann a11 0 0 ... 0 a21 a22 0 ... 0 a31 a32 a33 ... 0 = a11 .a22 .a33 . . . ann . . . . . . . . . . . ... . an1 an2 an3 ... ann *. Vı du 1: ´ . 1 2 3 4 0 5 6 −2 = 1.5.3.(−2) = −30 0 0 3 1 0 0 0 −2 12
*. Vı du 2: ´ . 1 0 0 0 0 4 3 0 0 0 3 2 −2 0 0 = 1.3.(−2).4.5 = −120 1 0 2 4 0 1 2 5 0 5 • Tı´nh chˆ t 8: Khi tˆ t ca ca c phˆn tu. cua mˆt hang (hay mˆt cˆt) co ´ a ´ a ’ ´ ` a ’ ’ o ` . o o ´ . . da ng tˆ ng cua hai sˆ ha ng thı d .nh thu. co thˆ phˆn tı thanh tˆ ng cua . o’ ’ ´ o . ` ¯i ´c ´ e ’ a ´ch ` o’ ’ hai d inh thu. Co nghı a la: ¯. ´c. ´ ˜ ` a1 a2 a3 + a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 + b3 = b1 b2 b3 + b1 b2 b3 c1 c2 c3 + c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 a1 + a1 a2 + a2 a3 + a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = b1 b2 b3 + b1 b2 b3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 *. Vı du : ´ . 2 1 x+y 2 1 x 2 1 y 0 5 x +y = 0 5 x + 0 5 y 3 2 x +y 3 2 x 3 2 y = 15(x + y) + 7(x + y ) + 10(x + y ) ˆ - ’ §3. MA TRA N NGHICH DAO . . -. ˜ 3.1. Dinh nghı a • Cho A la mˆt ma trˆ n vuˆng cˆ p n. Ma trˆ n B d u.o.c goi la ma trˆ n ` o . a. o ´ a a . ¯ . . ` a . −1 ´ ’ ˜ . ¯’ ’ nghich d ao cua ma trˆ n A (ky hiˆ u la: A ) nˆ u thoa ma n: a . ´ e ` . e A.B = In va ` B.A = In 13
*. Vı du : Cho ma trˆ n ´ . a . 2 −1 A= 3 3 3 1 9 9 Xe t mˆt ma trˆ n B = ´ o . a . −3 2 9 9 Ta co : ´ 3 1 2 −1 9 9 1 0 A.B = . −3 2 = = I2 3 3 9 9 0 1 3 1 9 9 2 −1 1 0 B.A = −3 2 . = = I2 9 9 3 3 0 1 Vˆ y B chı a . ` a . . ¯’ ’ ´nh la ma trˆ n nghich d ao cua ma trˆ n A. a . e´ ` . o a . . ¯’ ` ´ ` a . ’ • Nˆ u A tˆn ta i ma trˆ n nghich d ao thı ta no i A la ma trˆ n kha nghich. . -. ´ ¯` e ` . ¯’ • Dinh ly (d iˆu kiˆ n tˆn ta i ma trˆ n nghich d ao) e . o . a . - ` e ` . a ` ¯ ’ ¯e o’ . a . o ´ a ` Diˆu kiˆ n cˆn va d u dˆ mˆt ma trˆ n A vuˆng cˆ p n tˆn ta i ma trˆ n e o . a . . ¯’ ` nghich d ao la: det(A) = 0. 3.2. Ca c phu.o.ng pha p tı ma trˆ n nghich d ’ o ´ ´ `m a . . ¯a   a11 a12 ... a1n    a21 a22 ... a2n  Gia su. ta cˆn tı ma trˆ n nghich d ao cua A =  . ’ ’ ` `m a a . . ¯’ ’  . . . .  .   . . ... .  an1 an2 ... ann • Phu.o.ng pha p 1 ´ Ta ky hiˆ u Cij = (−1)i+j . det(Mij ) va d u.o.c goi la phˆn phu d a i sˆ cua ´ e . ` ¯ . . ` ` a . ¯. o ’ ´ phˆn tu. aij . Khi ˆ y ta co cˆng thu. xa c d .nh ma trˆ n nghich d ao cua ma `a ’ ´ a ´ o ´c ´ ¯i a. . ¯’ ’ trˆ n A nhu. sau: a .  T C11 C12 . . . C1n   1  C21 C22 . . . C2n   . .  −1 A = . det(A)  .  . . . ... .  .  Cn1 Cn2 . . . Cnn 14
  1 2 3   *. Vı du 1: ´ . Gia su. cho ma trˆ n A =  2 5 ’ ’ a . 3 . Ta co : det(A) = ´ 1 0 8 −1 = 0. Ngoai ra ta co : ` ´ C11 = 40 C12 = −13 C13 = −5 C21 = −16 C22 = 5 C23 = 2 C31 = −9 C32 = 3 C33 = 1 ´ a . . ¯’ Do d´ ta co ma trˆ n nghich d ao ¯o cua ma trˆ n A nhu. sau: ’ a .  T   40 −13 −5 40 16 9 −1 1     A =  −16 5 2  =  13 −5 −3  −1 −9 3 1 5 −2 −1   1 −3 4   *. Vı du 2: Gia su. cho ma trˆ n A =  2 ´ . ’ ’ a. 1 1 −1 −2 1 ´ e a . o ´ a . . ¯’ Ta co : det(A) = 0, nˆn ma trˆ n A khˆng co ma trˆ n nghich d ao. • Phu.o.ng pha p 2´ Dˆy la phu.o.ng pha p dung ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p theo hang cua ma -a ` ´ ` ´ ´ ´ e ¯ˆ ’ ´ a ` ’ trˆ n dˆ tı ma trˆ n nghich d ao. Nˆi dung cua phu.o.ng pha p nay la chu ng a ¯e `m . ’ a . . ¯’ o. ’ ´ ` ` ´ ta viˆ t vao bˆn phai cua ma trˆ n A mˆt ma trˆ n d o.n vi cung cˆ p. Dung ´ e ` e ’ ’ a. o . a ¯ . . ` ´ a ` ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p theo hang (chı theo hang) cua ma trˆ n dˆ biˆ n ´ ´ ´ e ¯o ’ ´ a ` ’ ` ’ a ¯e e . ’ ´ ma trˆ n sau khi d˜ ghe p (co cˆ p la: n × 2n) vˆ mˆt ma trˆ n sao cho ma a. ¯a ´ ´ ´ a ` ` o e . a . a ¯ .n vi n˘ m vˆ phı bˆn tra i va khi ˆ y phı bˆn phai cua ma trˆ n nay trˆ n d o . a ` ` ´a e e ´ ` ´ a ´a e ’ ’ a ` . . 15
chı ` a . . ¯’ ` ´nh la ma trˆ n nghich d ao cˆn a `m. Cu thˆ chu ng ta mˆ ta nhu. sau: tı . e ´’ o ’   a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0    a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0  A/I =  .  . . . . . . . . . ... .  .   . . ... . . . . an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1 ´ ’ −→ . . . . . . . . . biˆ n d ˆ i . . . . . . . . . e ¯o ´ ’ −→ . . . . . . . . . biˆ n d ˆ i . . . . . . . . . e ¯o   1 0 . . . 0 x11 x12 . . . x1n    0 1 . . . 0 x21 x22 . . . x2n  −→  . .  . . ... . . . . . . .  .  . . . . . ... .  0 0 . . . 1 xn1 xn2 . . . xnn ´ Khi ˆ y ta co : a ´   x11 x12 ... x1n    x21 x22 ... x2n  −1 A = .  . . . .  .   . . ... .  xn1 xn2 ... xnn `m a . . ¯’ ’ *. Vı du : Tı ma trˆ n nghich d ao cua ma trˆ n sau: ´ . a .   1 1 −3   A =  −1 0 2  −3 5 0 Ta co : ´     1 1 −3 1 0 0 1 1 −3 1 0 0     A/I =  −1 0 2 0 1 0  −→  0 1 −1 1 1 0 −3 5 0 0 0 1 0 8 −9 3 0 1     1 1 −3 1 0 0 1 1 0 16 24 −3     −→  0 1 −1 1 1 0  −→  0 1 0 6 9 −1  0 0 −1 −5 −8 1 0 0 −1 −5 −8 1 16
    1 0 0 10 15 −2 1 0 0 10 15 −2     −→  0 1 0 6 9 −1  −→  0 1 0 6 9 −1  0 0 −1 −5 −8 1 0 0 1 5 8 −1 Vˆ y: a .   10 15 −2   A−1 =  6 9 −1  5 8 −1 . ’ 3.3. Ha ng cua ma trˆ n a . • Dinh nghı a: Ha ng cua mˆt ma trˆ n A la cˆ p cao nhˆ t cua d .nh thu. -. ˜ . ’ o. a. ` a´ ´ a ’ ¯i ´c con kha c 0 lˆ p tu. ma trˆ n A. Ky hiˆ u la: rank(A) hay r(A) ´ a ` . a . ´ e ` . *. Vı du : Xe t ma trˆ n sau ´ . ´ a .   1 −3 4 2   A= 2 1 1 4  −1 −2 1 −2 Ca c d inh thu. con cˆ p ba cua A la ´ ¯. ´c ´ a ’ ` 1 −3 4 1 4 2 2 1 1 =0 2 1 4 =0 −1 −2 1 −1 1 −2 −3 4 2 1 −3 2 1 1 4 =0 2 1 4 =0 −2 1 −2 −1 −2 −2 Ta co d inh thu. con cˆ p hai cua A la ´ ¯. ´c ´ a ’ ` 1 −3 =7 2 1 Vˆ y r(A) = 2 a . • Phu.o.ng pha p tı ha ng cua ma trˆ n ´ `m . ’ a . 17
´ ’ ´ e ` ¯. ’ ˜ ¯e `m . ’ Chu ng ta co thˆ dung d inh nghı a dˆ tı ha ng cua ma trˆ n, tuy nhiˆn a. e phu.o.ng pha p nay rˆ t ha n chˆ , nhˆ t la khi cˆ p cua ma trˆ n rˆ t lo. Vı thˆ ´ ´ ` a . e´ ´ a ` ´ ’ a . ´ a a ´n. ` e ´ chu ng ta su. du ng phu.o.ng pha p biˆ n d ˆ i so. cˆ p cua ma trˆ n dˆ tı ha ng ´ ’ . ´ ´ e ¯o ’ ´ a ’ ’ a ¯e `m . . cua ma trˆ n, nˆi dung cua phu.o.ng pha p nay la chu ng ta dung ca c phe p ’ a . o . ’ ´ ` ` ´ ` ´ ´ biˆ n d ˆ i so. cˆ p theo hang (ho˘ c cˆt, ho˘ c ca hai) cua ma trˆ n dˆ d u.a ma ´ e ¯o ’ ´ a ` a o . . a ’ . ’ a ¯e ¯ . ’ a ¯o ` . . e . . . ´ a ´ trˆ n d´ vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang thu gon nhˆ t. Khi ˆ y ha ng cua a a a . ’ . ´ o . ´ a o ´ o . ´ o ´ ma trˆ n chı la sˆ ca c hang kha c khˆng (ho˘ c sˆ ca c cˆt kha c khˆng, nˆ u a ´nh ` o ´ ` ´ e nho ho.n) cua ma trˆ n cuˆ i cung. ’ ’ a . ´ o ` *. Vı du 1 : ´ .   1 0 1 −2 1 1 3 −2    Cho ma trˆ n A =  a .  Dung phe p biˆ n d o i so. cˆ p theo ` ´ ´ e ¯ˆ ’ ´ a 2 1 5 −1  1 −1 1 4 ’ hang cua ma ` trˆ n ta co : a. ´       1 0 1 −2 1 0 1 −2 1 0 1 −2 0 1 2 0  0 1 2 0  0 1 2 0        A −→   −→   −→   0 1 3 3  0 0 1 3  0 0 1 3  0 −1 0 6 0 0 2 6 0 0 0 0 Vˆ y ta co : rank(A) = 3. a . ´   1 2 1 ’   *. Vı du 2: Tı λ dˆ A =  2 λ −2  co ha ng la 2 ´ . `m ¯e ´ . ` 3 −6 −3 Ta co : ´     1 2 1 1 1 2      2 λ −2  −→  3 −3 −6  3 −6 −3 2 −2 λ     1 1 2 1 1 2     −→  0 −6 −12  −→  0 −6 −12  0 −4 λ − 2 0 0 λ+6 -e’ Dˆ r(A) = 2 thı λ + 6 = 0 ⇒ λ = −6 ` Vˆ y vo. λ = −6 a ´i . thı ` r(A) = 2 18
ˆ . . ` ´ ˆ ´ §4. HE PHU O NG TRI NH TUYEN TI NH . -. ˜ 4.1. Dinh nghı a • Hˆ gˆm n−ˆ n sˆ {x1 , x2 , x3 , . . . , xn } va m−phu.o.ng trı e ` . o ’ ´ a o ` `nh co da ng: ´ .   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1      a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 (4.1)  ...............      am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm d u.o.c goi la hˆ phu.o.ng trı ¯ . . ` e . ´ `nh tuyˆ n tı e ´nh. ´ • Nˆ u chu ng ta d ˘ t e ´ ¯a .       a11 a12 . . . a1n x1 b1        a21 a22 . . . a2n   x2   b2  A= . . . . .  ; X = .  ; B= .  .   .   .   . . ... .   .   .  am1 am2 ... amn xn bm thı khi ˆ y hˆ phu.o.ng trı ` ´ e a . `nh (4.1) se d u.o.c viˆ t la i theo da ng ma trˆ n nhu. ˜ ¯ . ´ e . . a . sau:      a11 a12 ... a1n x1 b1       a21 a22 ... a2n   x2   b2   . .  .  =  .  .  .   .   . . .  . . ... .  .   .  am1 am2 ... amn xn bm ’ ´ hay co thˆ viˆ t gon la: ´ e e . ` A.X = B • Ma trˆ n A d u.o.c goi la ma trˆ n hˆ sˆ , ma trˆ n B d u.o.c goi la ma trˆ n a . ¯ . . ` a e o . . ´ a. ¯ . . ` a . . do va X d u.o.c goi la ma trˆ n nghiˆ m sˆ o. da ng cˆt. . ´ hˆ sˆ tu e o . ` ¯ . . ` a . e. ´ o ’ . o . • Bˆ n−sˆ co da ng X = (α1 , α2 , . . . , αn ) d u.o.c goi la nghiˆ m cua hˆ o . ´ o ´ . ¯ . . ` e . ’ e . 19
  x1 = α1      x2 = α2 phu.o.ng trı (4.1) nˆ u khi thay `nh ´ e vao hˆ (4.1) thı chu ng ta d u.o.c ` e . ` ´ ¯ .  ...      xn = αn ca c d` ng nhˆ t thu. ´ ¯ˆ o ´ a ´c. • Hˆ (4.1) d u.o.c goi la tu.o.ng thı e . ¯ . . ` ´ch nˆ u no co nghiˆ m, d u.o.c goi la ´ ´ ´ e e. ¯ . . ` khˆng tu.o.ng thı o ´ch nˆ u nhu. no vˆ nghiˆ m, va d u.o.c goi la vˆ d .nh nˆ u ´ e ´ o e . ` ¯ . . ` o ¯i ´ e nhu. no co ho.n mˆt nghiˆ m. ´ ´ o . e.   a11 a12 . . . a1n b1    a21 a22 . . . a2n b2  . . • Ma trˆ n A co da ng: A =  . a. ´ .  . . . . . .  d u o c goi la .  ¯ . . `  . . ... . .  am1 am2 . . . amn bm . . ´ ’ e o o ’ ma trˆ n hˆ sˆ bˆ sung cua ma trˆ n A. a a . 4.2. Dinh ly vˆ su. tˆn ta i nghiˆm cua hˆ phu.o.ng trı -. ´ ` . ` e o . e . ’ e . `nh • Dinh ly : Hˆ (4.1) la tu.o.ng thı khi va chı khi rank(A) = rank(A). -. ´ e . ` ´ch ` ’ • Nhˆ n xe t: a. ´ ´ (1). Nˆ u rank(A) = rank(A) thı hˆ (4.1) vˆ nghiˆ m. e ` e. o e . ´ . ´ e . ´ (2). Nˆ u rank(A) = rank(A) = n thı hˆ (4.1) co nghiˆ m duy nhˆ t. e ` e a ´ ` e. ´ o o ´ (3). Nˆ u rank(A) = rank(A) < n thı hˆ (4.1) co vˆ sˆ nghiˆ m. e e . ´ . `m ’ . *. Vı du 1: Tı m dˆ hˆ sau co nghiˆ m. ¯e e ´ e.   x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2   2x1 − x2 + x3 + x4 = 1    x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m Ta co : ´ 20