- M ỘT SỐ ÁP DỤNG CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC PHẲNG. - Trong chương trình hình học phẳng có một số hệ thức khá thú vị.. - Nếu áp dụng chúng, ta có thể giải quyết được nhiều bài toán. - Báo cáo nhằm trình bày một số hệ thức hình học hữu ích thường hay được sử dụng.. - 1 Hệ thức Euler. - Với tam giác ABC, ta sử dụng các ký hiệu:. - Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp: r, R.. - Với mọi tam giác ABC ta có hệ thức Euler OI 2 = R 2 − 2Rr, trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp.. - Chứng minh. - Đường phân giác của góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tại D.. - Ta có IBD d = IBC d + CBD. - nên tam giác IBD cân tại D, suy ra ID = BD.. - Dùng định lý hàm số sin cho tam giác ABD ta được BD = 2R sin BAD. - Từ tam giác vuông I AE ta có I A = IE. - Xét phương tích của điểm I đối với đường tròn ngoại tiếp ta có R 2 − OI 2 = P I ( O. - sin A 2 = 2Rr, suy ra công thức Euler.. - Với mọi tam giác ta có bất đẳng thức Euler R ≥ 2r.. - xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều.. - Theo công thức Euler OI 2 = 2Rr − r 2 ta thấy OI 2 ≥ 0, nên suy ngay ra điều cần chứng minh.. - xảy ra khi và chỉ khi O ≡ I , hay tam giác đều.. - Bài toán 1.1 (Áp dụng 1). - Trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức ( p − a. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với p ( p − a. - 2r ≤ R đây chính là bất đẳng thức Euler.. - Bài toán 1.2 (Áp dụng 2). - Trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức sin A. - 2 sin B 2 sin C. - Ta có. - 2 ( a + b + c ) r = Rr ( sin A + sin B + sin C. - 4R = 2R 2 sin A sin B sin C. - 16R 2 sin A 2 sin B. - Suy ra hệ thức r = 4R sin A 2 sin B 2 sin C 2. - Từ đây theo bất đẳng thức Euler ta suy ra điều cần chứng minh.. - 2 Hệ thức về diện tích. - Với mọi tam giác ABC ta có S = 1. - Ta xét 2 trường hợp: 1) tam giác nhọn và 2) tam giác tù. - 1) với tam giác nhọn thì. - 2) với tam giác tù thì. - Trường hợp tam giác vuông là hiển nhiên.. - Bài toán 2.1 (Áp dụng). - Cho tam giác ABC thoả mãn S = 1. - Chứng minh rằng đó là tam giác vuông cân tại C.. - Ta có hệ thức. - Suy ra sin 2A = sin 2B = 1, dẫn đến A = B = π 4 , hay ABC là tam giác vuông cân tại C.. - 3 Hệ thức liên quan đến đường thẳng Euler. - Gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. - Ta có AH k MO 1 , BH k NO 2 nên theo định lý Thales. - 2 , suy ra O 1 ≡ O 2 hay H, G, O thẳng hàng và HG = 2GO, AH = 2OM.. - Ta có AH 2 = 4OM 2 = 4 ( OC 2 − CM 2. - 0, nên suy ra. - Bài toán 3.1 (Áp dụng 1). - Chứng minh rằng với mọi tam giác ta có bất đẳng thức a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2. - Từ hệ thức OH 2 = 9R 2. - do OH 2 ≥ 0 ta suy ra điều cần chứng minh. - xảy ra khi và chỉ khi O ≡ H hay tam giác đều.. - Bài toán 3.2 (Áp dụng 2). - Chứng minh rằng với mọi tam giác ta có bất đẳng thức. - sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 9 4. - Từ định lý hàm số sin và bất đẳng thức ở áp dụng 1 ta có. - sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 1. - 4 Hệ thức Ptolemy. - Khi đó ta có hệ thức AC.BD = AB.CD + AD.BC.. - BDC, nên 2 tam giác [ ABE, DBC đồng dạng.. - BCA, nên 2 tam giác [ ABD, EBC đồng dạng.. - Suy ra AB. - DC hay AB.CD = BD.AE và AD. - BC hay AD.BC = BD.CE. - Từ đó AB.CD + AD.BC = BD.AE + BD.CE = AC.BD.. - Ta có thể chứng minh ngược lại, tứ giác ABCD thỏa mãn hệ thức Ptolemy là từ giác nội tiếp.. - Bài toán 4.1 (Áp dụng, Hệ thức Carnot). - Cho tam giác không tù ABC. - Gọi d a , d b , d c là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp O đến các cạnh BC, CA, AB. - Khi đó ta có hệ thức. - Xét tứ giác nội tiếp AEOF, theo hệ thức Ptolemy ta có AO.EF = AE.OF + AF.OE hay R · a. - Suy ra ( R + r. - Nếu tam giác tù thì hệ thức carnot cần phải đổi lại. - Chẳng hạn nếu góc A tù thì ta có hệ thức − d a + d b + d c = R + r.. - Hệ thức d a + d b + d c = R + r tương đương với d a. - R , tức là cos A + cos B + cos C = 1 + r là một hệ thức khá quen thuộc trong tam giác lượng
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt