Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển Toán - Phần 1

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

176
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hãy tham khảo đề thi và đáp án đề thi môn Toán để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển Toán - Phần 1

Upload by wWw.chuyenhungvuong.net M cl c 1 Đ thi ch n đ i tuy n toán 3 1.1 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1989 - 1990 (Ngày thi: 16, 17/5/1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1990 - 1991 (Ngày thi 8, 9/5/1991) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Đ thi ch n đ i tuy n năm h c 1991 - 1992 (Ngày thi 19, 20/05/1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1992 - 1993 (Ngày 4, 5/05/1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1993 - 1994 (Ngày 18, 19/05/1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1994 - 1995 (Ngày 5, 6/5/1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1995 - 1996 (Ngày 17, 18/5/1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1996 - 1997 (Ngày 16, 17/5/1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1997 - 1998 (Ngày 13, 14/5/1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.10 Đ thi ch n đ i tuy n năm h c 2001 - 2002 (Ngày thi 7, 8/5/2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.11 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 2003 - 2004 (Ngày 7, 8/5/2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Đáp án tuy n sinh 18 2.1 Đáp án ch nđ i tuy n năm h c 1991 - 1992 . . . . . . . . . 18 2.2 Đáp án ch nđ i tuy n năm h c 1992 - 1993 . . . . . . . . . 24 2.3 Đáp án ch nđ i tuy n năm h c 1993 - 1994 . . . . . . . . . 34 2.4 Đáp án ch nđ i tuy n năm h c 1994 - 1995 . . . . . . . . . 45 2.5 Đáp án ch nđ i tuy n năm h c 1995 - 1996 . . . . . . . . . 51 2.6 Đáp án ch nđ i tuy n năm h c 1996 - 1997 . . . . . . . . . 59 1
2 M CL C 2.7 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1997 - 1998 . . . . . . . . . 66 2.8 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 2001 - 2002 . . . . . . . . . 76 2.9 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 2003 - 2004 . . . . . . . . . 81
Chương 1 Đ thi ch n đ i tuy n toán 1.1 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1989 - 1990 (Ngày thi: 16, 17/5/1990) Bài 1: Trong m t ph ng cho đa giác l i M0 , M1 , . . . , M2n (n 1) mà 2n + 1 đ nh M0 , M1, . . . , M2n n m (theo th t ngư c chi u quay c a kim đ ng h ) trên m t đư ng tròn (C) bán kính R. Gi s có đi m A bên trong đa giác l i đó sao cho các góc M0 AM1 , M1AM2 , . . . , M2n−1 AM2n, M2n AM0 đ u 360 b ng nhau, (và b ng 2n+1 đ ). Gi s A không trùng v i tâm c a (C) và g i B là đi m n m trên đư ng tròn (O) sao cho đư ng th ng AB vuông góc v i đư ng kính đi qua A. Ch ng minh: 2n + 1 AM0 + AM1 + · · · + AM2n 1 1 1 < AB <
4 Chương 1. Đ thi ch n đ i tuy n toán 1. V i hai ph n t b t kỳ c a T thì ư c s chung l n nh t và b i s chung nh nh t c a chúng cũng là nh ng ph n t c a T . 2. V i m i ph n t x c a T , có ph n t x c a T sao cho x và x nguyên t cùng nhau và b i s chung nh nh t c a chúng là s l n nh t c a T. V i m i t p h p T như th , ký hi u l(T ) là s ph n t c a nó. Tìm s l(T ) l n nh t, bi t r ng l(T ) nh hơn 1990. Bài 5: Cho t di n mà m i c p c nh đ i di n đ u có tích đ dài b ng l. G i các góc gi a các c nh đ i di n đó là α, β, γ và g i các bán kính c a các đư ng tròn ngo i ti p các m t c a t di n là R1 , R2 , R3, R4 . Ch ng minh: l sin2 α + sin2 β + sin2 γ √ R1 R2 R3 R4 Bài 6: Có n em h c sinh (n 3) đ ng thành m t vòng tròn và luôn quay m t vào cô giáo tâm vòng tròn. M i l n cô giáo th i còi thì có hai em nào đó đ ng sát c nh nhau đ i ch cho nhau, còn các em khác không d i ch . Tìm s M bé nh t đ sau M l n th i còi, b ng các đ i ch như nói trên m t cách thích h p, các h c sinh đ ng đư c thành vòng tròn sao cho: Hai em b t kỳ lúc ban đ u đ ng sát c nh nhau thì lúc k t thúc cũng đ ng sát c nh nhau, nhưng trong hai em đó, t m g i là A và B, n u A lúc ban đ u đ ng bên tay trái c a B thì lúc k t thúc A đ ng bên tay ph i c a B. 1.2 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1990 - 1991 (Ngày thi 8, 9/5/1991) Bài 1: Trong m t ph ng xét t p h p S g m n đi m phân bi t (n 3) tho mãn ba đi u ki n sau: 1. Kho ng cách gi a hai đi m b t kỳ thu c S đ u không vư t quá 1 đơn v dài. 2. M i đi m A thu c S có đúng hai đi m "k v i nó", nghĩa là hai đi m thu c S có cùng kho ng cách b ng 1 đ n đi m A. 3. V i hai đi m tuỳ ý A, B thu c S g i A và A là hai đi m k v i A, g i B và B là hai đi m k v i B thì A AA = B BB .
1.2. Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1990 - 1991 (Ngày thi 8, 9/5/1991) 5 H i có t n t i t p h p S như th khi n = 1991 không và khi n = 2000 không? Vì sao? Bài 2: Cho dãy s th c dương a1, a2, . . . , an v i n l n hơn 2 và a1 khác an , là dãy không gi m (nghĩa là ak ak+1 v i k = 1, 2, . . . , n − 1) ho c là dãy không tăng (nghĩa là ak ak+1 v i k = 1, 2, . . . , n − 1), và cho các s a1 −a2 th c dương x, y tho mãn x y a1 −an . Ch ng minh r ng: a1 ak + ··· + + ···+ a2 x + a3y ak+1 x + ak+2 y an−2 an−1 an n ··· + + + an−1 x + an y an x + a1 y a1 x + a2 y x+y Bài 3: Cho dãy s th c dương x1, x2, . . . , xn , . . . xác đ nh b i: x1 = 1, x2 = 9, x3 = 9, x4 = 1 √ xn+4 = 4 xn xn+1 xn+2 xn+3 v i n 1 Ch ng minh r ng dãy s trên có gi i h n. Tìm gi i h n đó. Bài 4: G i T là hình t di n tuỳ ý tho mãn hai đi u ki n sau: 1. M i c nh có đ dài không vư t quá 1 đơn v dài. 2. M i m t là m t tam giác vuông. Ký hi u s(T ) là t ng bình phương di n tích b n m t c a hình t di n T . Tìm giá tr l n nh t c a s(T ). Bài 5: V i m i s t nhiên n, đ nh nghĩa s f (n) như sau: f (1) = 1 và khi n > 1 thì f (n) = 1 + a1p1 + · · · + ak pk , trong đó n = p1 . . . pk là s phân tích thành th a s nguyên t c a n (các s nguyên t p1 , . . . , pk đôi m t khác nhau và a1, . . . , ak là s nguyên dương). V i m i s t nhiên s, đ t fs (n) = f (f (. . . (f (n)) . . .)), trong đó v ph i có đúng s l n ch f . Ch ng minh r ng v i s t nhiên a cho trư c, có s t nhiên s0 đ v i m i s nguyên s > s0 thì t ng fs (a) + fs−1 (a) không ph thu c vào s. Bài 6: Cho t p h p X g m 2n s th c đôi m t khác nhau (n 3). Xét m t t p h p K g m m t s c p s th c (x, y) v i x, y thu c X, x khác y, mà K tho mãn hai đi u ki n sau: 1. N u c p s (x, y) thu c K thì c p s (y, x) không thu c K. 2. M i s x thu c X có m t nhi u nh t trong 19 c p s c a K. Ch ng minh r ng ta có th phân chia t p h p X thành 5 t p h p con không r ng và đôi m t không giao nhau x1 , x2, x3, x4 , x5 sao cho v i m i i = 1, 2, 3, 4, 5 thì s c p s (x, y) thu c K mà x và y cùng thu c Xi không vư t quá 3n.
6 Chương 1. Đ thi ch n đ i tuy n toán 1.3 Đ thi ch n đ i tuy n năm h c 1991 - 1992 (Ngày thi 19, 20/05/1992) Bài 1: Cho hai s t nhiên n và m (n > 1). Hãy tìm s nguyên dương k nh nh t có tính ch t sau: Trong k s nguyên tuỳ ý a1, a2 , . . . , sk mà ai − aj (i = j và i, j ch y t 1 đ n k) không chia h t cho n, luôn t n t i hai s ap, as (p = s) tho mãn m + ap − as chia h t cho n. Bài 2: Cho đa th c f (x) v i h s th c và có b c l n hơn ho c b ng 1. Ch ng minh r ng v i m i s c > 0, t n t i s nguyên dương n0 tho mãn đi u ki n sau: N u đa th c P (x) v i h s th c có b c l n hơn ho c b ng n0 , và có h s c a s h ng b c cao nh t b ng 1 thì các s nguyên x mà |f (P (x))| c không vư t quá b c c a P (x). Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c (a = b = c). Trong m t ph ng ABC l y các đi m A , B , C sao cho: 1. Các c p đi m A và A , B và B , C và C ho c đ u cùng phía ho c đ u khác phía theo th t đ i v i các đư ng th ng BC, CA, AB. 2. Các tam giác A BC, B CA, C AB là các tam giác cân đ ng d ng. Hãy xác đ nh các góc A BC theo a, b, c đ các đ dài AA , BB , CC không ph i là ba đ dài c a ba c nh m t tam giác. (Tam giác đư c hi u theo nghĩa thông thư ng: ba đ nh c a nó không th ng hàng). Bài 4: Trong m t ph ng cho m t h h u h n hình tròn tho mãn: hai hình tròn b t kỳ ho c ngoài nhau ho c ti p xúc ngoài v i nhau và m i hình tròn không ti p xúc v i quá 6 hình tròn khác. Gi s m i hình tròn không ti p xúc v i 6 hình tròn khác đã đư c đ t ng v i m t s th c nào đó. Ch ng minh r ng không có quá m t cách đ t ng v i m i hình tròn còn l i m t s th c b ng trung bình c ng c a 6 s ng v i 6 hình tròn ti p xúc nó. Bài 5: Tìm t t c các c p s nguyên dương (x, y) tho mãn phương trình x2 + y 2 − 5xy + 5 = 0 . Bài 6: Trong m t h i th o khoa h c t t c các đ i bi u tham d bi t t ng c ng 2n ngôn ng n 2. M i ngư i bi t đúng 2 ngôn ng và b t c hai ngư i nào cũng bi t chung nhi u nh t m t ngôn ng . Bi t r ng v i m t s nguyên k tho mãn 1 k n − 1 đ u có không quá k − 1 ngôn ng mà m i ngôn ng này có không quá k ngư i bi t. Ch ng minh r ng ta có th
1.4. Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1992 - 1993 (Ngày 4, 5/05/1993) 7 ch n ra m t nhóm 2n đ i bi u bi t t ng c ng 2n ngôn ng và m i ngôn ng có đúng 2 đ i bi u trong nhóm bi t. 1.4 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1992 - 1993 (Ngày 4, 5/05/1993) Bài 1: G i hình ch nh t kích thư c 2 × 3 (ho c 3 × 2) b c t b m t hình vuông 1 × 1 m t góc là hình ch nh t khuy t đơn (xem hình 1). G i hình ch nh t kích thư c 2 × 3 (ho c 3 × 2) b căt b hai hình vuông 1 × 1 hai góc đ i di n là hình ch nh t khuy t kép (xem hình 2). Ngư i ta ghép m t s hình vuông 2 × 2, m t s hình ch nh t khuy t đơn và m t s hình ch nh t khuy t kép v i nhau sao cho không có hai hình nào ch m lên nhau, đ t o thành m t hình ch nh t kích thư c 1993 × 2000. G i s là t ng s các hình vuông 2 × 2 và hình ch nh t khuy t kép c n dùng trong m i cách ghép hình nói trên. Tìm giá tr l n nh t c a s. Bài 2: Cho dãy s {an } đư c xác đ nh b i: 1 a1 = 1 và an+1 = an + √ v i n = 1, 2, 3, . . . an aα Hãy tìm t t c các s th c α sao cho dãy {un } xác đ nh b i un = n n v i n = 1, 2, 3, . . . có gi i h n h u h n khác 0 khi n → +∞. Bài 3: Xét các s th c x1, x2, x3 , x4 tho mãn: 1 x2 + x 2 + x 2 + x 2 1 2 3 4 1 2 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c: A = (x1 − 2x2 + x3 )2 + (x2 − 2x3 + x4)2 + (x2 − 2x1 )2 + (x3 − 2x4 )2
8 Chương 1. Đ thi ch n đ i tuy n toán Bài 4: G i H, I, O theo th t là tr c tâm, tâm đư ng tròn n i ti p và tâm đư ng tròn ngo i ti p c a m t tam giác. Ch ng minh r ng 2.IO IH. H i d u b ng x y ra khi nào? Bài 5: Cho s nguyên k > 1. V i m i s nguyên n > 1, đ t 1 1 1 f (n) = k.n(1 − )(1 − ) . . . (1 − ) p1 p2 pr trong đó p1 , p2 , . . . , pr là t t c các ư c s nguyên t phân bi t c a n. Tìm t t c các giá tr k đ dãy {xm} xác đ nh b i x0 = a và xm+1 = f (xm ), m = 0, 1, 2, 3, . . . là dãy b ch n v i m i s nguyên a > 1. Bài 6: Xét n đi m A1 , A2, . . . , An (n > 2) trong không gian, trong đó không có 4 đi m nào đ ng ph ng. M i c p đi m Ai , Aj (i = j) đư c n i v i nhau b i m t đo n th ng. Tìm giá tr l n nh t c a n sao cho có th tô t t c các đo n th ng đó b ng hai màu xanh, đ tho mãn ba đi u ki n sau: 1. M i đo n th ng đư c tô b ng đúng m t màu. 2. V i m i i = 1, 2, . . . , n s đo n th ng có m t đ u mút là Ai mà đư c tô màu xanh không vư t quá 4. 3. V i m i đo n th ng Ai , Aj đư c tô màu đ đ u tìm th y ít nh t m t đi m Ak (k khác i, j) mà các đo n th ng Ak Ai và Ak Aj đ u đư c tô màu xanh. 1.5 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1993 - 1994 (Ngày 18, 19/05/1994) Bài 1: Given a parallelogram ABCD. Let E be a point on the side BC and F be a point on the side CD such that the triangles ABE and BCF have the same are. The diagonal BD intersects AE at M and intersects AF at N . Prove that. a) There exists a triangle, three sides of which are equal to BM, MN, ND. b) When E, F vary such that the length sides of MN decreases, the radius of the circumcircle of the abovementioned triangle also decreases. Bài 2: Consider the equation x2 + y 2 + z 2 + t2 − Nxyzt − N = 0 where N is a given positive integer.
1.6. Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1994 - 1995 (Ngày 5, 6/5/1995) 9 a) Prove that for an infinite number of values of N , this equation has positive integral solution (each such solution consists of four positive integers x, y, x, t). b) Let N = 4k (8m + 7) where k, m are non-negative integers. Prove that the considered equation has no positive integral solution. Bài 3: Let be given a polynomial P (x) of degree 4, having 4 positive roots. Prove that the equation 1 − 4x 1 − 4x 2 P (x) + (1 − )P (x) − P (x) = 0 x x2 has also 4 positive roots. Bài 4: Given an equilateral triangle ABC and a point M in the plan (ABC). Let A , B , C be respectively the symmetric through M of A, B, C. a) Prove that there exists s unique point P equidistant from A and B , from B and C and from C and A . b) Let D be the midpoint of the side AB. When M varies (M does not coincide with D), prove that the circumcircle of triangle MN P (N is the intersection of the lines DM and AP ) passes through a fixed point. Bài 5: Determine all function f : R → R satisfying √ √ √ f ( 2x) + f ((4 + 3 2)x) = af ((2 + 2)x) for all x. Bài 6: Calculate 1 T = n1 !n2 ! . . . n1994!(n2 + 2n3 + 3n4 + · · · 1993n1994 )! where the sum is taken over all 1994-upple of natural numbers (n1, n2 , . . . , n1994) satisfying n1 + 2n2 + 3n3 + · · · + 1994n1994 = 1994 1.6 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1994 - 1995 (Ngày 5, 6/5/1995) Bài 1. Cho tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c. L y sáu đi m phân bi t A1 , A2, B1, B2 , C1, C2 không trùng v i A, B, C sao cho các đi m A1, A2 n m trên đư ng th ng BC; các đi m B1 , B2 n m trên đư ng th ng CA; các đi m C1, C2 n m trên đư ng th ng AB. G i α, β, γ là các s th c xác đ nh b i −− −→ α− − → −− −→ β− → −− −→ γ − → A1A2 = BC, B1B2 = CA, C1 C2 = AB. a b c
10 Chương 1. Đ thi ch n đ i tuy n toán Xét các đư ng tròn ngo i ti p các tam giác AB1 C1,AB2C2 , BC1A1, BC2A2 , CA1B1, CA2B2 và g i dA , dB , dC theo th t là các tr c đ ng phương c a c p đư ng tròn đi qua A, c p đư ng tròn đi qua B, c p đư ng tròn đi qua C. Ch ng minh r ng dA , dB , dC đ ng quy khi và ch khi aα + bβ + cγ = 0. Bài 2. Tìm t t c các s nguyên k sao cho có vô s giá tr nguyên n ≥ 3 đ đa th c Pn (x) = xn+1 + kxn − 870x2 + 1945x + 1995 có th phân tích đư c thành tích c a hai đa th c v i h s nguyên có b c l n hơn hay b ng 1. Bài 3. Tìm t t c các s nguyên a, b, n l n hơn 1 tho mãn đi u ki n (a3 + b3)n = 4(ab)1995. Bài 4. Trong không gian cho n đi m (n ≥ 2) mà không có b n đi m nào đ ng ph ng và cho 1 (n2 − 3n + 4) đo n th ng mà t t c các đ u mút c a 2 chúng n m trong s n đi m đã cho. Bi t r ng có ít nh t m t đo n th ng mà sau khi b nó đi (gi nguyên các đ u mút) thì s t n t i hai đi m phân bi t mà không ph i là hai đ u mút c a m t đư ng g p khúc nào. Hãy tìm s k l n nh t sau cho có k đo n th ng t o thành đư ng g p khúc khép kín mà m i đ nh c a nó là mút c a đúng hai đo n th ng thu c đư ng g p khúc đó. Bài 5. V i m i s nguyên không âm n đ t f (n) là s nguyên không âm l n nh t sao cho 2f (n) là m t ư c s c a n + 1. C p s nguyên không âm (n, p) đư c g i là đ p n u 2f (n) > p. Hãy tìm t t c các b ba s nguyên không âm (n, p, q) sao cho các c p s (n, p), (p, q), và (n + p + q, n) đ u là các c p s đ p. Bài 6. Cho hàm s th c 2x3 − 3 f (x) = . 3(x2 − 1) 1. Ch ng minh r ng t n t i hàm s g(x) liên t c trên R và có đ ng th i các tính ch t sau f (g(x)) = x, ∀x ∈ R; g(x) > x ∀x ∈ R. 2. Ch ng minh r ng t n t i s th c a > 1 đ dãy {an }, n = 0, 1, 2, ..., đư c xác đ nh b i a0 = a, an+1 = f (an ) ∀n ∈ N là dãy tu n hoàn v i chu kỳ dương nh nh t b ng 1995.
1.7. Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1995 - 1996 (Ngày 17, 18/5/1996) 11 1.7 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1995 - 1996 (Ngày 17, 18/5/1996) Bài 1. Trong m t ph ng cho 3n đi m (n > 1) mà không có ba đi m nào th ng hàng và kho ng cách gi a hai đi m b t kỳ không vư t quá 1. Ch ng minh r ng có th d ng đư c n tam giác đôi m t r i nhau và tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau 1. M i đi m trong 3n đi m đã cho là đ nh c a đúng m t tam giác; 2. T ng di n tích c a n tam giác nh hơn 1 . 2 Hai tam giác đư c g i là r i nhau n u chúng không có đi m nào chung n m bên trong cũng như n m trên c nh tam giác. Bài 2. V i m i s nguyên dương n, g i f (n) là s nguyên l n nh t đ s [ n−1 ] 2 2i + 1 i 3 chia h t cho 2f (n) . i=0 n Tìm t t c các s nguyên dương n mà f (n) = 1996. Bài 3. Xét các s th c a, b, c. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c f (a, b, c) = (a + b)4 + (b + c)4 + (c + a)4 − 4 (a4 + b4 + c4 ). 7 Bài 4. Cho ba đi m A, B, C không th ng hàng. V i m i đi m M c a m t ph ng (ABC) g i M1 là đi m đ i x ng c a M qua đư ng th ng AB, g i M2 là đi m đ i x ng c a M1 qua đư ng th ng BC và g i M là đi m đ i x ng c a M2 qua đư ng th ng CA. Hãy xác đ nh t t c các đi m M c a m t ph ng (ABC) mà kho ng cách MM bé nh t. G i kho ng cách đó là d. Ch ng minh r ng v i m i đi m M c a m t ph ng (ABC) khi ta th c hi n liên ti p ba phép đ i x ng qua ba đư ng th ng ch a ba c nh c a tam giác ABC theo th t khác (so v i th t trên) đ đư c đi m M thì kho ng cách bé nh t c a MM cũng b ng d. Bài 5. Ngư i ta mu n m i m t s em h c sinh t i d m t bu i g p m t, mà trong s đó m i em chưa quen v i ít nh t là 56 em khác, và v i m i c p hai em chưa quen nhau thì đ u có ít nh t m t em quen v i c hai em đó. H i s h c sinh đư c m i d bu i g p m t nói trên có th là 65 em hay không?
12 Chương 1. Đ thi ch n đ i tuy n toán Bài 6. Hãy tìm t t c các s th c a sao cho dãy s {xn }, n = 0, 1, 2, ..., xác đ nh b i √ a x0 = 1996, xn+1 = v i n = 0, 1, 2, , ... 1 + x2n có gi i h n h u h n khi n → ∞. 1.8 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1996 - 1997 (Ngày 16, 17/5/1997) Bài 1. Cho t di n ABCD v i BC = a, CA = b, AB = c, DA = a1 , DB = b1, DC = c1 . Ch ng minh r ng có đi m P duy nh t tho mãn P A2 +a2 +b2 +c2 = P B 2 +b2 +c2 +a2 = P C 2 +c2 +a2 +b2 = P D2 +a2 +b2 +c2 1 1 1 1 1 1 và v i đi m P đó ta luôn có P A2 + P B 2 + P C 2 + P D2 ≥ 4R2 , trong đó R là bán kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD. Tìm đi u ki n c n và đ v i đ dài các c nh c a t di n đ b t đ ng th c trên tr thành đ ng th c. Bài 2. m t nư c có 25 thành ph . Hãy xác đ nh s k bé nh t sao cho có th thi t l p các đư ng bay (dùng cho c đi l n v ) gi a các thành ph đ hai đi u ki n sau đư c đ ng th i tho mãn 1. T m i thành ph có đư ng bay tr c ti p đ n đúng k thành ph khác; 2. N u gi a hai thành ph không có đư ng bay tr c ti p thì t n t i ít nh t m t thành ph có đư ng bay tr c ti p đ n hai thành ph đó. Bài 3. Hãy tìm s th c α l n nh t sao cho t n t i vô h n s t nhiên (an ), n = 1, 2, 3, ..., tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau 1. an > 1997n v i m i n ∈ N∗ ; 2. v i m i n ≥ 2 đ u có un ≥ aα , trong đó un là ư c s chung l n nh t n c a h t t c các s ai + ak mà i + k = n. Bài 4. Cho hàm s f : N → Z tho mãn các đi u ki n f (0) = 2, f(1) = 503 và f (n + 2) = 503f (n + 1) − 1996f (n) v i m i n ∈ N. V i m i s k ∈ N∗ l y s nguyên s1, s2 , ..., sk sao cho si ≥ k v i m i i = 1, 2, ..., k. V i m i s si (i = 1, 2, ..., k) l y m t ư c nguyên t p(si ) nào đó c a f (2si ). Ch ng minh r ng v i s nguyên dương t ≤ k, ta có k . . p(si ). t khi và ch khi k . t . .2 .2 i=1
1.9. Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1997 - 1998 (Ngày 13, 14/5/1998) 13 Bài 5. Hãy xác đ nh t t c các c p s th c a, b sao cho v i m i n ∈ N∗ và v i m i nghi m th c xn c a phương trình 4n2 x = log2 (2n2 x + 1) ta luôn có axn + bxn ≥ 2 + 3xn . Bài 6. Cho các s nguyên dương n, k, p v i k ≥ 2 và k(p + 1) ≤ n. Cho n đi m phân bi t cùng n m trên m t đư ng tròn. Tô t t c n đi m đó b i hai màu xanh, đ (m i đi m tô b i m t màu) sao cho có đúng k đi m đư c tô b i màu xanh và trên m i cung tròn mà hai đ u mút là hai đi m màu xanh liên ti p (tính theo chi u quay c a kim đ ng h ) đ u có ít nh t p đi m đư c tô b i màu đ . H i có t t c bao nhiêu cách tô màu khác nhau? (Hai cách tô màu đư c g i là khác nhau n u có ít nh t m t đi m đư c tô b i hai màu khác nhau trong hai cách đó). 1.9 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 1997 - 1998 (Ngày 13, 14/5/1998) Bài 1. Cho hàm s f (x) xác đ nh trên R sao cho v i m i s th c dương c t n t i đa th c h s th c Pc (x) tho mãn |f (x) − Pc (x)| ≤ cx1998 v i m i x ∈ R. Ch ng minh r ng f (x) là m t đa th c v i h s th c. Bài 2. Trong m t ph ng cho đư ng tròn (C) bán kính R ch a và ti p xúc v i đư ng tròn (C ) bán kính R . Xét h H các đư ng trong bên trong 2 (C), bên ngoài (C ), ti p xúc v i (C) và (C ). V i m i s nguyên n ≥ 3 và các s dương p1 , pn , ch ng minh r ng h th c (p1 − pn )2 = (n − 1)2 (2(p1 + pn ) − (n − 1)2 − 8) là đi u ki n c n và đ đ có n đư ng tròn phân bi t (C1 ), (C2 ), ..., (Cn) c a h H mà (Ci ) ti p xúc ngoài v i (Ci−1 ) và (Ci+1 ) (i = 2, 3, ..., n − 1), đó R R (C1 ) có bán kính p1 , (Cn ) có bánh kính pn . Bài 3. Cho các s nguyên dương m > 3. Gi s p1 , p2 , ..., pk là t t c các s nguyên t không vư t quá m. Ch ng minh r ng k 1 1 + 2 > ln(ln m). i=1 pi pi
14 Chương 1. Đ thi ch n đ i tuy n toán Bài 4. Tìm t t c các đa th c P (x) h s nguyên v i h s b c cao nh t b ng 1, có tính chât: T n t i vô s các s vô t α đ P (α) đ u là s nguyên dương. Bài 5. Gi s d là ư c dương c a 5 + 19981998 . Ch ng minh r ng d có th bi u di n dư i d ng d = 2x2 + 2xy + 3y 2 , đó x, y là các s nguyên khi và ch khi d chia cho 20 có dư 3 ho c 7. Bài 6. Trong m t cu c h i th o có n, n ≥ 10 ngư i tham d . Bi t r ng n+2 1. M i ngư i quen v i ít nh t 3 ngư i tham d . 2. Hai ngư i b t kỳ A và B n u không quen nhau thì quen nhau gián ti p, nghĩa là có k (k ≥ 1) ngư i A1, A2, ..., Ak sao cho A quen A1 , Ai quen Ai+1, (i = 1, 2, ..., k − 1) và Ak quen B. 3. Không th x p n ngư i thành m t hàng ngang sao cho hai ngư i c nh nhau b t kỳ đ u quen nhau. Ch ng minh r ng có th chia n ngư i thành hai nhóm: nhóm th nh t x p đư c quanh m t bàn tròn sao cho hai ngư i c nh nhau b t kỳ đ u quen nhau, còn nhóm th hai g m ngư i đôi m t không quen nhau. 1.10 Đ thi ch n đ i tuy n năm h c 2001 - 2002 (Ngày thi 7, 8/5/2002) Bài 1. Tìm t t c các tam giác ABC có BCA là góc nh n và đư ng trung tr c c a đo n th ng BC c t các tia Ax và Ay, là các tia chia góc BAC thành ba ph n b ng nhau (BAx = xAy = yAC) t i các đi m M và N tho mãn: AB = N P = 2HM trong đó: H là hình chi u vuông góc c a A trên BC và M là trung đi m c a đo n th ng BC. Bài 2. Ngư i ta ghi lên b ng s nguyên dương N0 . Hai ngư i A và B chơi trò chơi trò chơi sau: Ngư i A xoá s N0 r i ghi lên b ng s N1 ∈ {N0 − 1; [N0 /3]}. Ti p theo ngư i B xoá s N1 r i ghi lên b ng s N2 ∈ {N1 − 1; [N1 /3]}. Đ n lư t mình ngư i A l i th c hi n phép toán trên đ i v i N2 ;...Trò chơi c ti p t c cho đ n khi trên b ng xu t hi n s 0. Ngư i ghi s 0 đ u tiên đư c coi là th ng cu c, ngư i còn l i b coi là thua cu c. H i ai, ngư i A hay ngư i B, là ngư i có cách chơi đ ch c ch n th ng n u: 1) N0 = 120
1.11. Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 2003 - 2004 (Ngày 7, 8/5/2004) 15 2) N0 = (32002 − 1)/2 3) N0 = (32002 + 1)/2 √ Bài 3. Cho s nguyên dương m có m t ư c nguyên t l n hơn 2m + 1. Hãy tìm s nguyên dương M nh nh t sao cho t n t i m t t p h p g m h u h n s nguyên dương đôi m t khác nhau tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: i) m và M tương ng là s nh nh t và s l n nh t trong T . ii) Tích t t c các s thu c T là m t s chính phương. Bài 4. Cho s nguyên dương n ≥ 2 và cho b ng ô vuông kích thư c n × 2n (b ng g m n hàng và 2n c t). Ngư i ta đánh d u m t cách ng u nhiên n2 ô vuông con c a b ng. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên k mà 1 < k ≤ [n/2] + 1, luôn t n t i k hàng sao cho b ng ô vuông kích thư c k × 2n, đư c t o nên t k hàng đó, có không ít hơn k!(n − 2k + 2) (n − k + 1)(n − k + 2) . . . (n − 1) c t ch g m các ô đư c đánh d u. ([a] ký hi u s nguyên l n nh t không vư t quá a). Bài 5. Hãy tìm t t c các đa th c P (x) v i h s nguyên sao cho đa th c Q(x) = (x2 + 6x + 10)[P (x)]2 − 1 là bình phương c a m t đa th c v i h s nguyên. Bài 6. Ch ng minh r ng t n t i s nguyên m ≥ 2002 và m s nguyên dương đôi m t khác nhau a1, a2, . . . , am sao cho s m m a2 i −4 a2 i i=1 i=1 là s chính phương. 1.11 Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 2003 - 2004 (Ngày 7, 8/5/2004) Bài 1. Xét t p h p S g m 2004 s nguyên dương phân bi t a1, a2, . . . , a2004, có tính ch t: N u v i m i i = 1, 1, . . . , 2004, ký hi u f (ai ) là s các s th c thu c S nguyên t cùng nhau v i ai thì d(ai ) < 2003 và f (ai ) = f (aj ) v i m i i, j ∈ {1, 2, . . . , 2004}.
16 Chương 1. Đ thi ch n đ i tuy n toán Hãy tìm s nguyên dương k nh nh t sao cho trong m i k t p con c a m t t p S tuỳ ý có tính ch t nêu trên đ u t n t i hai s phân bi t mà ư c s chung l n nh t c a chúng khác 1. (k - t p con là t p con có k ph n t ). Bài 2. Hãy xác đ nh t t c các s th c α mà ng v i m i α, có m t và ch m t hàm s f xác đ nh trên t p h p R, l y giá tr trong R và tho mãn h th c. f (x2 + y + f (y)) = (f (x))2 + αy v i m i x, y thu c R. (R ký hi u t p h p các s th c). Bài 3. Trong m t ph ng, cho hai đư ng tròn (O1) và (O2 ) c t nhau t i hai đi m A và B. Các ti p tuy n t i A và B c a đư ng tròn (O1 ) c t nhau t i đi m K. Xét m t đi m M (không trùng v i A và B) n m trên đư ng tròn (O1 ). G i P là giao đi m th hai c a đư ng th ng MA và đư ng tròn (O2 ). G i C là giao đi m th hai c a đư ng th ng MK và đư ng tròn (O1 ). G i Q là giao đi m th hai c a đư ng th ng CA và đư ng tròn (O2 ). Ch ng minh r ng: 1) Trung đi m c a đo n th ng P Q n m trên đư ng th ng MC. 2) Đư ng th ng P Q luôn đi qua m t đi m c đ nh khi đi m M di đ ng trên đư ng tròn (O1 ). ((O) ký hi u đư ng tròn tâm O). Bài 4. Cho dãy s (xn ), n = 1, 2, 3, . . . xác đ nh b i x1 = 603, x2 = 102 và xn+2 = xn+1 +xn +2 xn+1 xn − 2 v i m i n ≥ 1 Ch ng minh r ng: 1) T t c các s h ng c a dãy s đã cho đ u là các s nguyên dương. 2) T n t i vô s s nguyên dương n sao cho bi u di n th p phân c a xn có b n ch s t n cùng là 2003. 3) Không t n t i s nguyên dương n mà bi u di n th p phân c a xn có b n ch s t n cùng là 2004. Bài 5. Xét l c giác l i ABCDEF . G i A1, B1, C1 , D1 , E1 , F1 l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, BC, CD, DE, EF, F A. Ký hi u p và p1 tương ng là chu vi c a l c giác ABCDEF và c a l c giác A1B1 C1D1 E1 F1 . Gi s l c giác A1B1 C1D1 E1F1 có t t c các góc trong b ng nhau. Ch ng minh r ng: √ 2 3 p≥ p1 3 H i d u đ ng th c x y ra khi và chi khi nào? Bài 6. Cho S là m t t p h p g m m t s s nguyên dương mà s nh nh t và s l n nh t trong S là hai s nguyên t cùng nhau.
1.11. Đ thi ch n đ i tuy n toán năm h c 2003 - 2004 (Ngày 7, 8/5/2004) 17 V i m i s t nhiên n, ký hi u Sn là t p h p g m t t c các s t nhiên mà m i s đ u là t ng c a nhi u nh t n s (không nh t thi t đôi m t khác nhau) thu c t p S. Quy ư c 0 là t ng c a 0 s thu c S. G i a là s l n nh t trong S. Ch ng minh r ng t n t i s nguyên dương k và s nguyên b sao cho |Sn | = an + b v i m i n > k. (|X| ký hi u s ph n t c a t p h p X)
Chương 2 Đáp án tuy n sinh 2.1 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1991 - 1992 Bài 1. Trong trư ng h p m chia h t cho n (k c khi m = 0 (n u coi 0 là s t nhiên, chia h t cho n)), rõ ràng không có s nguyên k > 1 tho mãn đ bài mà k ≤ n. V y k = n + 1. Sau đây xét m > 0, m không chia h t cho n, (n > 1). v i l ∈ Z. Xét ϕ(l) : Zn = Z/nZ → Zn x → lm + x = lm + x thì nó xác đ nh tác đ ng c a nhóm c ng Z lên Zn . Nhóm d ng t i x g m các l ∈ Z mà lm = 0 t c là lm (m t b i c a m) là b i c a n, v y nhóm d ng đó goòm các b i c a BSCBN(m,n) = m.n . m = n = n0 , trong đó d = (m, n). m d 1 d T đó m i qu đ o α c a tác đ ng nói trên có n0 ph n t , c th là dãy xα thu c α thì α = {ϕ(l)(xα) | l = 01, ..., n0 − 1} và Zn là h p r i r c c a n n0 = d qu đ o như th . Chú ý: do m không chia h t cho n nên n0 > 1. V y s N = d[ n0 ] + 1 > 1 2 và rõ ràng N ≤ n. Hãy ch ng minh N b ng s k c n tìm. 1) a1, a2, ..., aN là N ph n t phân bi t c a Zn thì do có đúng d qu đ o r i nhau nên có hơn [ n0 ] ph n t ai đó n m trong m t qu đ o α nào đó và 2 do α có n0 ph n t , có ap, as thu c α mà ϕ(1)(ap ) = as , t c m + ap = as hay m + ap − as = 0. 2) Khi d = 1 và n0 = 2 hay 3 thì N = 2 rõ ràng có tính ch t bé nh t c n tìm, t c N = k. Trong các trư ng h p khác thì N > 2 và l y trong m i qu đ o α ph n t xα thì t p h p {ϕ(2l)(xα) | l = 0, 1, ..., [ n0 ], α ch y qua t p các quĩu đ o} 2 18
2.1. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1991 - 1992 19 g m N − 1 ph n t phân bi t c a Zn mà không có hai ph n t khác nhau nào có hi u b ng m. V y N có tính ch t bé nh t đang xét. K t lu n: m chia h t cho n (k c m = 0): k = n + 1. Còn các trư ng h p khác: đ t d = (m, n), n0 = n thì k = d[ n0 ] + 1. d 2 Bài 2. Do f (x) là đa th c có b c không nh hơn 1 nên |f (x)| → +∞ khi |x| → +∞, v y có x0 > 0 đ |f (x)| > c v i m i x mà |x| > x0 . Kí hi u n0 ! n0 là s nguyên dương bé nh t tho mãn 2n0 > x0. Hãy ch ng minh n0 là s c n tìm. Gi s p(x) là đa th c có deg P = k ≥ n0 và có h s c a s h ng b c k b ng 1. V i k + 1 s nguyên phân bi t tuỳ ý b1 < b2 < · · · < bk+1 , theo công th c n i suy Lagrange, ta có k+1 (x − bj ) P (x) = P (bi ) . i=1 j=i (bi − bj ) Tính ch t h s c a s h ng b c cao nh t c a P (x) b ng 1 cho k+1 1 1= P (bi ). i=1 bi − bj j=i k+1 1 ≤ max |P (bi )|. 1≤i≤k+1 i=1 (bi − b1) · · · (bi − bi−1 )(bi+1 − bi ) · · · (bk+1 − bi ) k+1 1 ≤ max |P (bi )| (do bj − bl ≥ j − l ∀j > l) 1≤i≤k+1 i=1 (i − 1)!(k + 1 − i)! k 1 j 2k ≤ max |P (bi )| Ck = max |P (bi )| 1≤i≤k+1 j=0 k! k! 1≤i≤k+1 T đó k! n0 ! max |P (bi )| ≥ k ≥ n > x0 1≤i≤k+1 2 2 0 . V y có i ∈ {1, 2, ..., k + 1} đ |f (P (bi ))| > c, t c là s các s nguyên x mà |f (P (x))| ≤ c không vư t quá k = deg P . Bài 3. Coi các tam giác cân A BC, B CA, C AB có các đ nh cân theo th t là A , B , C , (đ nh cân đ i di n v i đáy). Coi tam giác ABC xác đ nh hư ng thu n trong m t ph ng và đ t θ = (AC , AB) = (BA , BC) = (CB , CA) (góc đ nh hư ng), đây − π < θ < π ,2 2 θ = 0, và A , B , C theo th t thu c các trung tr c c a BC, CA, AB. −→ − −→ −→ − −→ − −→ − → −→ − − −→ −→ − − −→ 1) AA = AB + BA = AB + f (BC), BB = BC + CB = BC + → → −→ − − − − → −→ − − → − − → → → − f (CA), CC = OA + AC + OA + f (AB), trong đó f là tích, phép v t
20 Chương 2. Đáp án tuy n sinh 1 −→ − → −→ − − − (véctơ) h s 2 cos θ v i phép quay (véctơ) góc −θ. V y AA + BB + CC = − → − −→ − → − − → − → − → − → → − −→ − → −→ − − − AB + BC + CA + f (BC + CA + AB) = 0 . Chú ý r ng AA , BB , CC là nh ng véctơ khác véctơ không (vì a, b, c khác nhau đôi m t) nên suy ra −→ − luôn có tam giác có c nh dài AA , BB , CC tr khi và ch khi AA song −→ − song v i BB . − → −→ − − 2) V i hai véctơ CM, ON trong m t ph ng đã xác đ nh hương, kí hi u  −→ − − → −→ − − → 0 n u OM = 0 hay ON = 0 − → −→  − → −→ − − − − − → − −→ − − → − → OM × ON = |OM ||ON | sin(OM, ON ) n u OM 0 , ON = 0 hay   −→ − − → ON = 0 −→ − L y h to đ Đ cac vuông góc đ nh hương thu n trong m t ph ng, OM (x, y), −→ − ON (x , y ) thì do sin(OM, ON ) = sin((Ox, ON ) − (Ox, OM )) tính đư c − → −→ − − −→ − → − − −→ − → − − OM × ON = xy − x y.T đó d th y (OM + OM ) × CN = OM × ON + − → −→ − → − − − −→ − → − − − → −→ − → − → − − − − OM × CN , OM × (ON + ON ) = OM × ON + OM × CN . −→ − −→ − Tr l i bài toán: D th y t đ nh nghĩa AA song song v i BB khi và −→ − → − − ch khi AA × BB = 0. Ta có −→ − → − − −→ −→− −−→ −→ − −→ − −→ − → −→ − AA × BB = (AB + BB ) × (BC + CB ) = AB × BC + AB × CB + −→ − − → −→ −→ − − − + BA × BC + BA × CB − → − − → Tính t ng s h ng c a t ng này: AB× BC = 2S, S là di n tích c a tam giác − → b ABC; AB × CB = c 2 cos θ sin(θ − A), trong đó A = (AB, AC), đ ý r ng −→ − − −→ (AB, CB ) = (AB, AC) + (AC, CA) + (CA, CB ) = A + π − θ; BA × BC = a −→ −→ − − a b 2 cos θ a sin θ; BA × CB = 2 cos θ 2 cos θ sin C, trong đó C = (CA, AB), đ ý r ng (BA , CB ) = (BA , BC) + (BC, CA) + (CA, CB ) = θ + π − C − θ = π − C.