Ứng dụng xác suất trong Tin học

- 1.3 Biến ngẫu nhiên.
- 1.5 Kỳ vọng và phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên.
- 1.8 Biến ngẫu nhiên phân phối mũ.
- 2.2 Cận Chernoff cho tổng các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập.
- 3.1 Biến ngẫu nhiên Bernoulli.
- 3.1.1 Biến ngẫu nhiên Bernoulli và biến ngẫu nhiên nhị thức.
- 3.1.2 Các tính chất của biến ngẫu nhiên nhị thức.
- 3.2 Biến ngẫu nhiên Poisson.
- 3.2.1 Biến ngẫu nhiên Poisson và mẫu Poisson.
- 3.2.2 Tổng Poisson của các biến ngẫu nhiên.
- Một biến ngẫu nhiên X là một hàm thực của các phần tử của không gian mẫu.
- Hàm phân phối F của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa bởi F (x.
- Cho X là một biến ngẫu nhiên rởi rạc, ta định nghĩa hàm khối lượng xác suất p(x) của X là.
- x→∞ F (x, y) với F W là kí hiệu hàm phân phối của biến ngẫu nhiên W.
- Hai biến ngẫu nhiên được gọi là độc lập nếu với các tập số thực bất kỳ C và D P {X ∈ C , Y ∈ D.
- Ta cũng có thể định nghĩa hàm phân phối đồng thời của một số bất kỳ các biến ngẫu nhiên X 1.
- Thông thường, nếu X là một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω, P.
- Lưu ý rằng không phải mọi biến ngẫu nhiên đều.
- biến ngẫu nhiên có cùng phân bố xác suất sẽ có giá trị kỳ vọng bằng nhau..
- Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x i , i ≥ 1, thì kỳ vọng của X được tính như sau.
- Một biến ngẫu nhiên mà chỉ nhận hai giá trị 0 hoặc 1 thường được gọi là biến ngẫu nhiên Bernoulli.
- Như vậy, giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên Bernoulli chính là xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1..
- 2 Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f (x), thì giá trị kỳ vọng của X được tính như sau.
- Giờ giả sử ta quan tâm đến giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g(X) với g.
- Phương sai của một biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là V ar(X), được định nghĩa như sau.
- Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên Bernoulli X có E [X.
- ngẫu nhiên đó thường ở cách giá trị kỳ vọng bao xa..
- Phương sai của biến ngẫu nhiên giá trị thực là moment trung tâm bậc hai.
- Phương sai của một biến ngẫu nhiên là bình phương của độ lệch tiêu chuẩn.
- Hiệp phương sai (covariance) của hai biến ngẫu nhiên X và Y được định nghĩa như sau Cov(X, Y.
- Cho các biến ngẫu nhiên X, Y, Z bất kỳ và hằng số c:.
- 0 khi X và Y độc lập, nên từ phương trình trên suy ra nếu các biến ngẫu nhiên độc lập thì.
- Hãy tính giá trị kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên này..
- Nếu X là một biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số n và p, thì.
- Như vậy, X i là một biến ngẫu nhiên hình học với tham số (m − i)/m.
- Hơn nữa, vì dễ thấy rằng các biến ngẫu nhiên X i , i = 0.
- Vì X i là một biến ngẫu nhiên Bernoulli, nên ta có E [X i.
- X n là một dãy các biến ngẫu nhiên nhị thức độc lập, và mỗi biến X i sẽ nhận với xác suất p.
- Vì I i là một biến ngẫu nhiên Bernoulli nên.
- Hàm moment tổng quát của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa như sau φ(t.
- Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối hình học với tham số p nếu.
- Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với trung bình µ và phương sai σ 2 nếu hàm mật độ xác suất của nó là.
- Hàm moment tổng quát của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tiêu chuẩn Z là.
- Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn độc lập với trung bình µ x và µ y , và phương sai σ x 2 và σ 2 y .
- 2 Cho biến ngẫu nhiên không âm X, ta định nghĩa biến đổi Laplace g(t), t >.
- Nếu Y là một biến ngẫu nhiên rời rạc, thì (1.11) chính là E [X.
- Tổng một số ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên.
- là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, có hàm moment tổng quát φ X (t.
- và giả sử N là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, độc lập với các X i .
- Gọi X là biến ngẫu nhiên mà nó nhận một trong các giá trị 1, 2.
- Như vậy, bằng việc đưa vào các biến ngẫu nhiên X 1.
- e −λs e −λt ) nên suy ra các biến ngẫu nhiên phân phối mũ là các biến ngẫu nhiên không có trí nhớ..
- Xét một biến ngẫu nhiên dương liên tục X có hàm phân phối F và hàm mật độ f .
- X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối mũ với các tốc độ µ 1.
- Rõ ràng, C 1 là giá trị nhỏ nhất trong n biến ngẫu nhiên phân phối mũ độc lập, mỗi biến ngẫu nhiên có tốc độ 1.
- bởi phương trình (1.15) nên C 1 sẽ là biến ngẫu nhiên phân phối.
- mũ độc lập với tốc độ 1 nên nó sẽ là một biến ngẫu nhiên phân phối mũ có tốc độ n − 1..
- Do vậy, C 2 bằng C 1 cộng với giá trị nhỏ nhất trong (n − 1) 2 biến ngẫu nhiên phân phối mũ độc lập có tốc độ 1.
- Do tính không có trí nhơ của biến ngẫu nhiên phân phối mũ, cùng với kết quả giá trị nhỏ.
- bằng tổng tốc độ của các biến ngẫu nhiên trong tập, nên ta có.
- X (1) là biến ngẫu nhiên phân phối mũ có tốc độ 3λ X (2.
- X (1) là biến ngẫu nhiên phân phối mũ có tốc độ 2λ X (3.
- X (2) là biến ngẫu nhiên phân phối mũ có tốc độ λ.
- V ar(Y ) ε 2 Biến ngẫu nhiên Y n = X 1 +...+X n n có kỳ vọng.
- X n là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với kỳ vọng E [X] hữu hạn, thì.
- là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với kỳ vọng µ và độ lệch tiêu chuẩn σ, thì S n = P n.
- Giả sử X là một biến ngẫu nhiên có kỳ vọng µ và phương sai hữu hạn σ 2 .
- Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ.
- Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ, thì φ(t.
- X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có E [X i.
- X n là các biến ngẫu nhiên độc lập.
- 2.2 Cận Chernoff cho tổng các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập..
- Bổ đề 2.2.1 được dùng để tìm cận Chernoff cho tổng các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập..
- n là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, đặt X = P n.
- Vì X i là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với tham số (1, p) nên theo (2.1), ta có E.
- Như vậy, biến ngẫu nhiên Bernoulli chính là biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số (1, p)..
- Hàm khối lượng xác suất của một biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số (n, p) được cho bởi.
- Nếu gọi X là số mặt ngửa xuất hiện, thì X là một biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số (n = 5, p = 1/2).
- với Y là một biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số n − 1, p.
- Vậy, nếu X là một biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số n và p, thì E [X.
- Nếu X là một biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số (n, p), với 0 <.
- Một biến ngẫu nhiên X được gọi là một biến ngẫu nhiên Poisson với tham số λ >.
- Nếu X là một biến ngẫu nhiên nhị thức (n, p), thì với λ = np, ta có.
- Vì mỗi X i là một biến ngẫu nhiên Bernoulli (hay nhị thức), nên hàm moment tổng quát của nó là.
- với giả thiết X xấp xỉ một biến ngẫu nhiên Poisson với trung bình P.
- Giả thiết số thành công là xấp xỉ một biến ngẫu nhiên Poisson với trung bình bằng.
- Khi đó, biến ngẫu nhiên.
- được gọi là một biến ngẫu nhiên tổng Poisson với tham số Poisson λ và hàm phân phối thành phần F.
- k, là số lần phép thử thứ j xảy ra, thì các biến ngẫu nhiên N j , j = 1.
- k, là các biến ngẫu nhiên Poisson với các trung bình tương ứng là λp j , j = 1.
- i=1 X i là một biến ngẫu nhiên tổng Poisson và X i là các biến ngẫu nhiên rời rạc thỏa mãn.
- trong đó, theo Mệnh đề (3.2.1) thì các biến ngẫu nhiên N j , j = 1.
- k, là các biến ngẫu nhiên Poisson độc lập với trung bình tương ứng là λp j , j = 1.
- Ta có thể tính toán trực tiếp kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên tổng Poisson S như sau:.
- tổng các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với các trung bình tương ứng p 1 , p 2.
- n là các biến ngẫu nhiên Poisson độc lập với các trung bình tương ứng p i .
- U n là các biến ngẫu nhiên độc lập, đồng thời độc lập với Y i , và thỏa mãn.
- Bây giờ ta định nghĩa các biến ngẫu nhiên X i , i = 1.
- i=1 Y i và chú ý rằng X là tổng các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập và Y là biến ngẫu nhiên Poisson với giá trị kỳ vọng E [Y.
- Khi tất cả p i đều bằng p, thì X trở thành biến ngẫu nhiên nhị thức