Để học tốt môn lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng

- Bài viết này chia sẻ với đồng nghiệp và các bạn sinh viên một số phương pháp tiếp cận các dạng bài toán xác suất và thống kê trong nội dung môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, thông qua phân tích và suy luận để đi tới một lời giải đúng..
- Từ khóa: Mô hình, phương pháp tiếp cận, xác suất, thống kê ứng dụng.
- Xác suất và thống kê toán học là những nội dung mà sinh viên các trường đại học đều cảm thấy vừa thực tế, vừa trừu tượng.
- Thậm chí, có người sau khi ra trường nhiều năm vẫn cho rằng, môn Xác suất và thống kê là một trong những môn học khó nhất, dù rằng trên thực tế, không có môn học nào dễ và đều có những bài toán rất khó.
- Vậy tại sao bài toán ở mức độ vừa sức nhưng nhiều sinh viên lại cho là khó và làm thế nào để sinh viên thấy đó là bài toán vừa sức? Với mong muốn góp phần cùng các bạn sinh viên học tốt môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, bài viết này sẽ trao đổi với các đồng nghiệp và các bạn sinh viên một số phương pháp tiếp cận thông qua phân tích, suy luận để đi tới một lời giải đúng cho các dạng bài toán xác suất và thống kê trong nội dung chương trình của môn học..
- Những đặc trưng quan trọng của xác suất - thống kê.
- Trước hết, cần phải xác định, xác suất - thống kê là môn học vừa mang tính lý thuyết (trong đó yêu cầu những suy luận chặt chẽ, mạch lạc), vừa mang tính ứng dụng.
- Có thể nói, xác suất - thống kê vừa có sức hấp dẫn, lôi cuốn bởi vẻ đẹp truyền thông (nhìn thấy được, có thể tiếp cận được), vừa có vẻ đẹp nội tâm như những nét duyên ngầm.
- ĐỂ HỌC TỐT MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG.
- Xác suất - thống kê tự nó vừa phải xây dựng mô hình toán học, đồng thời vừa giải quyết vấn đề trên mô hình đó..
- Mô hình toán học trong các bài toán thực tế của xác suất - thống kê thường không có sẵn ở dạng tường minh, mà ở dạng tiềm ẩn.
- Để xây dựng mô hình toán học cho các bài toán này, phải cần đến sự kết nối giữa các điều kiện thực tế với các điều kiện tương ứng trong toán học thông qua những suy luận chặt chẽ và đúng đắn..
- Cần có sự kết nối chính xác giữa ngôn ngữ thực tế trong bài toán với ngôn ngữ toán học..
- Phương pháp chung tiếp cận một bài toán xác suất - thống kê.
- Khi đứng trước một bài toán xác suất - thống kê, chúng ta thường băn khoăn: Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? Nó liên quan đến nội dung nào mà ta đã được học? Các tính toán dựa theo công thức nào? Căn cứ nào để chúng ta đưa ra đánh giá, phân tích và kết luận?.
- Để tiếp cận một bài toán xác suất - thống kê, nói chung, chúng ta phải thực hiện qua hai bước sau đây:.
- Bước 1: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét.
- Nếu chúng ta xác định sai mô hình thì toàn bộ các kết quả của bước sau cũng không đúng.
- Xác định mô hình toán học ở đây là trình bày những điều kiện thực tế, những đòi hỏi trong vấn đề đang xét dưới dạng ngôn ngữ toán học để từ đó chỉ ra vấn đề đang xét liên quan đến mô hình lý thuyết nào mà chúng ta đã được học.
- Đây chính là vẻ đẹp bên trong của xác suất - thống kê..
- Bước 2: Giải quyết vấn đề trên mô hình toán học đã được thiết lập.
- Sau khi đã xác định được mô hình toán học của vấn đề đang xét, chúng ta chỉ ra các công thức tính, hệ thức liên hệ liên quan đến đặc trưng của mô hình.
- Do vậy, đối với một bài toán thực tế, mô hình xác suất, mô hình ngẫu nhiên hay mô hình thống kê thường ở dạng tiềm ần mà chúng ta phải phân tích, suy luận để xây dựng mô hình toán học, và từ đó mới có thể lựa chọn được phương pháp và công cụ thích hợp để giải quyết..
- Tóm lại, một bài toán về Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng thường bao gồm hai bước:.
- thiết lập mô hình toán học của bài toán, giải quyết bài toán trên mô hình đó.
- Tùy vào bài toán mà nó có thể liên quan đến một hoặc nhiều mô hình khác nhau..
- Một số mô hình thông dụng trong Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng Để giúp các bạn sinh viên thuận lợi trong việc giải một bài toán Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, tác giả giới thiệu một số mô hình thường được sử dụng như sau..
- Các mô hình tính xác suất của một biến cố A.
- Mô hình tính trực tiếp.
- Mô hình dùng công thức xác suất đầy đủ.
- chúng tạo thành một hệ đầy đủ k biến cố, và xác suất P(A) sẽ được tính theo công thức xác suất đầy đủ, theo trình tự sau:.
- Tính các xác suất:.
- Tính các xác suất có điều kiện: (Xác suất của biến cố A trong tình huống cụ thể là xảy ra), j = 1, 2.
- Suy ra xác suất cần tính:.
- (Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho biến cố A theo hệ đầy đủ.
- Mô hình dùng công thức Bayes.
- Khi bài toán yêu cầu tính xác suất của biến cố A, trong điều kiện biến cố B nào đó đã xảy ra, thì xác suất cần tính chính là có thể được tính theo công thức Bayes:.
- Mô hình dùng công thức Bernoulli.
- Nếu trong bài toán, một phép thử được lặp lại n lần, trong mỗi lần thử đều quan sát một biến cố B mà ta gọi sự kiện “thành công”, với xác suất thành công trong mỗi lần thử là p, thì xác suất để có đúng k thành công trong n lần thử là.
- và giả sử biến cố A gồm những số lần thành công được ràng buộc bởi một điều kiện nào đó, thì xác suất P(A) được tính theo công thức:.
- Mô hình tính theo phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên.
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:.
- thì xác suất cần tính là:.
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm mật độ , thì xác suất cần tính là:.
- 1) Tìm xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra đều có lỗi..
- 2) Giả sử cả hai sản phẩm lấy ra đều lỗi, tìm xác suất để chúng được lấy ra từ hộp loại 1..
- Để giải tính xác suất (1), ta không thể tính trực tiếp, vì nó phụ thuộc vào các tình huống hộp được lấy ra thuộc loại nào.
- Vậy xác suất (1) phải tính theo mô hình công thức xác suất đầy đủ.
- Xác suất cần tính trong (2) xét trong điều kiện đã có biến cố “2 sản phẩm lấy ra đều có lỗi”, vậy xác suất này phải tính theo công thức Bayess.
- Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho biến cố A theo hệ đầy đủ ta có xác suất cần tính là:.
- Vì vậy, xác suất cần tính là.
- Các mô hình phân phối xác suất quan trọng 4.2.1.
- Mô hình phân phối nhị thức.
- Giả sử trong một phép thử, ta quan sát biến cố A (mà ta gọi là sự kiện “Thành công”, với xác suất p = P(A) gọi là xác suất thành công).
- Khi đó, gọi X là số lần xuất hiện A (số thành công) trong n lần lặp lại phép thử này là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p), tức là X có bảng phân phối xác suất như sau:.
- Theo đó, trong thực tế, mô hình này khá phổ biến: số phần tử có tính n khách hàng có đặc điểm A nào đó trong n khách vào một hệ thống dịch vụ, số tín hiệu A nào đó trong số n tín hiệu nhận được từ một máy thu… đều là các biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức..
- Mô hình phân phối siêu bội.
- Số phần tử có tính chất A trong n phần tử được lấy ra (lấy không hoàn lại) từ một tổng thể (có kích thước N không lớn lắm so với n), là một biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với các tham số n, M, N (M là số phần tử có tính chất A trong tổng thể), tức là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:.
- Theo đó, mô hình siêu bội phổ biến đối với việc lấy mẫu không hoàn lại để quan sát tính chất A trên tổng thể có kích thước nhỏ, chẳng hạn: số sản phẩm có tính chất A trong n sản phẩm được mua từ một lô hàng, số người có đặc điểm A trong n người chọn ra từ một nhóm người… là các biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội..
- Mô hình phân phối Poisson.
- Số lần xuất hiện một biến cố ngẫu nhiên A trong một khoảng thời gian, không gian nhất định nào đó là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson.
- Nếu X có phân phối Poisson thì giá trị.
- trung bình là tham số của phân phối này.
- với xác suất tương ứng:.
- Theo đó, mô hình Poisson là mô hình khá phổ biến khi quan sát số lần xuất hiện một biến cố A trong một khoảng thời gian, không gian nhất định nào đó.
- Chú ý: Các mô hình nhị thức hoặc siêu bội quan tâm đến số phần tử có cùng tính chất nào đó trong n phần tử được đếm, trong khi mô hình Poisson chỉ quan tâm số lượng phần tử, hay một biến cố nào đó được đếm trong khoảng thời gian, không gian nhất định..
- Mô hình phân phối chuẩn.
- 1) Tìm xác suất để trong một giờ làm việc, có từ 30 đến 40 khách được phục vụ ở hệ dịch vụ A..
- Tìm xác suất để có ít nhất 2 khách hàng nữ không phải ngồi chờ..
- Nhận xét: Trong bài toán thực tế này, trước hết cần hiểu rằng, giả thiết số khách chọn các mức phí dịch vụ tương ứng theo tỷ lệ có nghĩa là xác suất để một khách hàng vào chọn mức phí 100 nghìn đồng là 5/10, chọn mức phí 150 nghìn đồng là 3/10 và chọn mức phí 200 nghìn đồng là 2/10.
- Mặt khác, các biến quan sát có phân phối xác suất chưa được chỉ ra tường minh mà đang ở dạng tiềm ẩn.
- Để giải được các yêu cầu (1), (2), chúng ta phải chỉ ra mô hình phân phối của chúng, từ đó xác lập được công thức tính.
- Vì vậy, xác suất cần tính (theo mô hình Poisson đã chỉ ra) là:.
- Khi đó, là các biến ngẫu nhiên có phân phối.
- 3) Gọi Z là số khách hàng nữ được gọi vào ngay để phục vụ trong số 4 người được gọi vào, Z là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội với các tham số n = 4, M = 7, N = 10, theo đó: Biến cố cần tính xác suất là.
- Vì vậy, xác suất cần tính là:.
- Một số chú ý về các mô hình thống kê.
- Các mô hình thống kê như: mô hình ước lượng, mô hình dự báo, mô hình kiểm định thường dễ nhận dạng hơn các mô hình trong Lý thuyết xác suất.
- Nhầm lẫn giữa ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình tổng thể và cho tỷ lệ tổng thể..
- Nhầm lẫn giữa các trường hợp của bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể..
- Nhầm lẫn giữa các trường hợp của một bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung.
- Xác định sai giả thuyết H 0 và đối thuyết H 1 trong bài toán kiểm định..
- Do đó, khi yêu cầu ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình tổng thể thì trong bài toán phải đề cập đến một biến quan sát X nào đó mà giá trị trung bình ở đây là giá trị trung bình EX của biến quan sát này.
- còn khi yêu cầu ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể thì trong bài toán đề cập đến việc quan sát một thuộc tính A nào đó của các phần tử của tổng thể và tỷ lệ tổng thể ở đây chính là tỷ lệ thuộc tính A: p = P(A) trên tổng thể..
- Để không xảy ra nhầm lẫn (a4), chúng ta lưu ý rằng, bài toán tìm khoảng tin cậy cho giá trị trung bình được chia ra ba trường hợp khác nhau để giải quyết, trong đó, mỗi trường hợp có công thức tương ứng cho khoảng tin cậy: (1) biết phương sai tổng thể (trường hợp này ít xảy ra trong thực tế, vì một khi chưa biết thì cũng chưa biết phương sai, trừ trường hợp trong bài toán thực tế có ấn định trước.
- Khoảng tin cậy (đối xứng) cho giá trị trung bình có dạng:.
- Các khoảng tin cậy một phía cho giá trị trung bình.
- Để tránh được sai lầm (a6), chúng ta lưu ý rằng, đối với bài toán kiểm định giả thuyết về tham số của tổng thể, trong nội dung chương trình môn Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng chỉ xét đối với trường hợp giả thuyết đơn, tức là có dạng giả thuyết.
- Giá trị được cho trong bài toán chính là mức ấn định (hay mức dùng để đánh giá) về giá trị trung bình hay tỷ lệ..
- Đối thuyết H 1 không phải do ta chọn mà nó nằm trong từng câu chữ của yêu cầu của bài toán.
- Giá trị sẽ chia trục số thành hai phía: một phía thỏa mãn yêu cầu của bài toán, một phía không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
- Môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng đóng vai trò truyền tải những nội dung cơ bản và cần thiết về Lý thuyết xác suất và thống kê toán học đến với sinh viên các chuyên ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh.
- Lý thuyết xác suất còn giúp người học rèn luyện khả năng tư duy mạch lạc và chặt chẽ, khả năng này vô cùng cần thiết trong điều hành và xử lý công việc.
- Thống kê là một trong những ngành khoa học có ứng dụng nhiều nhất hiện nay và có vai trò lớn trong tất cả các nghiên cứu định lượng.
- Giáo sư Đại học Yale) đã chia sẻ: “Xác suất - thống kê hấp dẫn tôi không chỉ bởi vẻ đẹp Toán học mà vì ý nghĩa thực sự của nó trong cuộc sống.
- Xác suất - thống kê là nền tảng của khoa học dữ liệu và có lẽ sẽ là một trong những môn học quan trọng nhất trong tương lai”.
- “Tư duy thống kê là thứ nên trang bị cho toàn xã hội, giúp cho từng cá nhân có cách đánh giá khoa học về các sự kiện diễn ra quanh mình”.
- Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như (2004), Thống kê Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội..
- Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân..
- Nguyễn Huy Hoàng, Nguyễn Trung Đông, Nguyễn Văn Phong, Dương Thị Phương Liên, Nguyễn Tuấn Duy, Võ Thị Bích Khuê (2021), Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, Bộ môn Toán - Thống kê, Trường Đại học Tài chính - Marketing.

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt