Xây dựng không gian LP cho đại số toán tử

- H Không gian Hilbert..
- B(H ) Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trong H..
- 1.3 Sự thác triển của toán tử.
- 1.4 Không gian Hilbert.
- 1.4.4 Định nghĩa không gian Hilbert.
- 1.5 Toán tử trong không gian Hilbert.
- 1.5.1 Toán tử liên hợp.
- 1.5.2 Toán tử chuẩn tắc.
- 1.5.3 Toán tử dương.
- 1.5.5 Toán tử chéo hóa được.
- 1.5.6 Toán tử unitar.
- 2 Xây dựng không gian L p cho lớp các toán tử compact 21 2.1 Đại số Banach.
- 2.2 Toán tử compact.
- 2.2.1 Khái niệm lớp toán tử compact.
- 2.2.2 Tính chất của toán tử compact.
- 2.2.3 Toán tử hạng một.
- 2.2.5 Toán tử Fredholm.
- cho một số lớp các đại số toán tử trên không gian Hilbert phức H .
- cho trường hợp đại số của các toán tử tuyến tính liên tục trên H .
- Luận văn "Xây dựng không gian L p cho đại số toán tử ".
- Chương 2: Xây dựng không gian L p cho lớp các toán tử com- pact..
- Cặp (X, B ) được gọi là một không gian Borel..
- Khi đó T 0 thác triển (extend) duy nhất thành một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y.
- Cho không gian vectơ X .
- toán tử liên hợp trong B(H.
- toán tử T 1/2 .
- các phép chiếu và toán tử chéo hóa được..
- Theo Bổ đề (1.5.1) với mỗi T thuộc B(H), toán tử T ∗ xác định bởi (1.2) tồn tại và duy nhất.
- thuộc B(H) là toán tử thỏa mãn <.
- Ta nói T ∗ là toán tử liên hợp của T.
- Cho toán tử T thuộc B(H).
- Toán tử T thuộc B(H) gọi là dương, kí hiệu là T ≥ 0 nếu T = T ∗ và.
- sa là tập các toán tử tự liên hợp trong B(H.
- Với mỗi toán tử dương T thuộc B(H), có duy nhất một toán tử dương, kí hiệu là T 1/2 , thỏa mãn (T 1/2 ) 2 = T .
- Hơn nữa T 1/2 giao hoán với mọi toán tử giao hoán với T..
- là toán tử tuyến tính trong B(H.
- Hơn nữa P là toán tử tự liên hợp và dương.
- Ngược lại, nếu P là toán tử tự liên hợp trong B(H) và P 2 = P thì X = {x ∈ H |P x = x.
- Gọi T ∗ là toán tử liên hợp của T.
- Hơn nữa T ∗ T = T T ∗ nên toán tử T là chuẩn tắc..
- (iii) Nếu H là không gian hữu hạn chiều, mỗi toán tử chuẩn tắc đều chéo hóa được.
- Một toán tử unitar là một phép đẳng cấu đẳng cự từ H lên H.
- Toán tử unitar bảo toàn tích trong.
- Thực vậy gọi U là toán tử unitar từ H lên H.
- Hai toán tử S và T thuộc B(H ) gọi là tương đương unitar nếu tồn tại toán tử unitar U thuộc B(H) thỏa mãn S = U T U.
- Toán tử U thuộc B(H) được gọi là đẳng cự một phần (partial isometry) nếu có một không gian con đóng X của H thỏa mãn U | X là đẳng cự và U | X.
- Ta định nghĩa toán tử S : H → H với:.
- Với mỗi toán tử T thuộc B(H), có một toán tử dương duy nhất |T | thuộc B(H) thỏa mãn:.
- tồn tại một toán tử unitar W giao hoán với T, T.
- Cho H là một không gian Hilbert, B (H ) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H với chuẩn ||A.
- ta định nghĩa sự hội tụ của các toán tử như sau:.
- Ta nói các toán tử {A n } thuộc B(H) hội tụ đều đến toán tử A thuộc B(H) khi và chỉ khi ||A n − A.
- Một toán tử liên tục chuẩn-yếu có hạng hữu hạn..
- Dãy {T j } hội tụ toán tử mạnh đến T 0 khi và chỉ khi ||(T j − T 0 )x.
- Tô pô toán tử yếu (weak-operator topology).
- Xây dựng không gian Lp cho lớp các toán tử.
- Trong chương này, chúng tôi xây dựng không gian L p cho lớp các toán tử compact B 0 (H.
- tương ứng các toán tử liên tục triệt tiêu tại vô cùng..
- Đây là sự mở rộng của C c (X ) cho trường hợp đại số toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert phức H.
- Cho H là một không gian Hilbert.
- Gọi B(H ) là tập gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên H với phép cộng, nhân các toán tử tuyến tính theo nghĩa thông thường thì B(H) là một không gian Banach với chuẩn:.
- Cho toán tử T trên không gian Hilbert vô hạn chiều H với trường số F (thực hay phức).
- Cho x là một vectơ riêng của toán tử chuẩn tắc T thuộc B(H), λ là giá trị riêng tương ứng.
- Mỗi toán tử compact, chuẩn tắc T trên không gian Hilbert phức H có một giá trị riêng λ với |λ.
- Vậy P = I và toán tử T là compact và chuẩn tắc..
- Toán tử T thuộc B(H) được gọi là có đối hạng (co-rank) hữu hạn nếu dim((T (H.
- Cho toán tử T thuộc B(H.
- cả hai toán tử ST − I và T S − I là compact..
- Ta có toán tử T | (kerT.
- Do đó tồn tại toán tử nghịch đảo bị chặn S..
- Lớp toán tử này được kí hiệu là F (H.
- Với mỗi toán tử dương T thuộc B(H), ta định nghĩa vết của T , ký hiệu là tr(T), bởi:.
- Ta định nghĩa lớp toán tử vết:.
- và lớp toán tử Hilbert-Schmidt:.
- αtr(T ) với mọi toán tử dương T 1 và T 2 và mỗi α ≥ 0.
- Idean B 2 (H ) các toán tử Hilbert-Schmidt có dạng một không gian Hilbert với tích trong:.
- 2 sẽ hội tụ theo chuẩn tới một toán tử T thuộc B 0 (H.
- Idean B 1 (H ) của lớp các toán tử vết là một đại số Banach với chuẩn.
- Vậy B 1 (H ) là không gian Banach..
- ψ(x y), x, y ∈ H trong đó x y là toán tử hạng một.
- Do đó có duy nhất toán tử S thuộc B(H ) thoả mãn ||S.
- Với mọi toán tử tự liên hợp T thuộc B 1 (H.
- toán tử tích phân T k được xác định bởi:.
- là một toán tử Hilbert-Schmidt trên L 2 (X.
- ta chứng minh T k là toán tử Hilbert- Schmidt.
- 2.3.4 Tích phân của toán tử compact.
- nên các không gian B p (H.
- thể hiện tương tự như không gian các hàm khả tích cấp p, với vết của một toán tử compact là một tích phân..
- Cho H là không gian Hilbert, B(H ) là đại số các toán tử bị chặn trên H.
- A đóng trong tôpô toán tử yếu..
- Nếu a thuộc A thì a ∗ a là toán tử tự liên hợp..
- Theo Định lý 1.5.16, có một toán tử dương duy nhất |a| thuộc A với.
- I − p, các toán tử đều thuộc A .
- Theo Định lý (3.3.5), một toán tử A thuộc B(H ) là liên kết với A khi và chỉ khi A thuộc A.
- Cho A và B là các toán tử đóng liên kết với A .
- Cho toán tử T thuộc B(H) có đồ thị là:.
- và T là một toán tử đóng..
- Với mọi a thuộc A e , M a là một toán tử đóng, xác định trù mật liên kết với A và:.
- Nếu A là một toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H và A là một đại số von Neumann aben chứa A, có một họ {e λ } của các phép chiếu trong A , chỉ số λ trong R , thỏa mãn:.
- cho một số các đại số toán tử trên không gian Hilbert phức H