- Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề thi môn Toán của khối A, khối B và cả khối D. - Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh.. - Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân từng phần. - Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và phần cuối của chuyên ñề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân.. - ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh 5. - Các tính chất của tích phân 5. - II.3 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích 5. - II.4 Tính tích phân bằng phương pháp ñổi biến số 10. - Phương pháp tích phân từng phần 23. - Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính. - Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30. - Chú ý 1: ðể tính tích phân = b. - VD4: Tính các tích phân sau:. - Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức trong bảng nguyên hàm.. - Nhận xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết phân tích phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/ trong bảng nguyên hàm và công thức 3/ bổ sung.. - Nhận xét: Câu 4: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức trong bảng nguyên hàm.. - Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến ñổi tích thành tổng rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung.. - Nhận xét: Câu 9 biểu thức trong dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối bằng cách xét dấu biểu thức x 2 – 1 trên [-2;2] và kết hợp với tính chất 5/ của tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối.. - Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực hiện phép chia ña thức ñược như câu 2 và 3, mặt khác biểu thức dưới mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x +1) nên ta tách biểu thức trong dấu tích phân như sau: 2. - BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính các tích phân sau:. - Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ b. - f(x) dx chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x), cận a và b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. - Trong một số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp bằng công thức hay qua các bước phân tích ta vẫn không giải ñược. - VD5: Tính các tích phân sau:. - Phân tích: Biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử căn bằng phép biến ñổi bình phương hai vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa căn bậc hai về dạng A 2 , khi ñó ta sẽ liên tưởng ngay ñến công thức: 1-sin 2 x = cos 2 x = cos x , do ñó:. - sint ⇒ dx = a.cost.dt. - dx 2 2 ∫ a.cost 2 2 dt 2. - ðến ñây, công thức nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên ta tính ñược tích phân theo biến số t một cách dễ dàng. - Ở ñây ta cần lưu ý: Biểu thức trong dấu tích phân này là hàm số theo biến số t ñơn ñiệu trên [α;β].. - Ta mở rộng tích phân dạng trên như sau:. - a .sint ⇒ u'(x) dx = a.cost.dt. - VD6: Tính tích phân sau: I. - VD7: Tính tích phân sau. - Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng phương pháp hệ số bất ñịnh như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức trong dấu tích phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3.. - Nhận xét: a 2 + x 2 = 0 vô nghiệm nên ta không phân tích biểu thức trong dấu tích phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3.. - VD8: Tính tích phân sau: I 1+ 2 ∫ 2 1. - Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 2 2. - x = sint b * Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 2 2. - Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 1 2 2. - b * Hàm số trong dấu tích phân chứa x(a -bx) ta thường ñặt a 2. - x = sin t b BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 2: Tính các tích phân sau:. - Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau : 1) I. - BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 3: Tính các tích phân sau:. - BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các ñề tuyển sinh ðại học). - Nếu tích phân có dạng ∫ b. - Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích phân bằng tích phân ñổi biến số loại 1 không ñược nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích phân có chứa:. - cosx.dx thì ta thử ñặt u = sinx.. - sinx.dx thì ta thử ñặt u = cosx.. - VD 10: Tính các tích phân sau:. - (1+sinx ) .cosx.dx (Tương tự) 2. - 4+3x .12x.dx. - 1+2x .x .dx (HD: I ∫ 2 2 2. - sin x.cosx.dx ðặt: u = sinx ⇒ du = cosx.dx ðổi cận:. - Nhận xét: ðối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể ñặt u bằng biểu thức trong dấu căn, nhưng sau khi ñổi biến thì tích phân m ới vẫn còn chứa căn thức nên việc tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn (tức là học sinh phải ñưa về x α. - 1+lnx.dx. - Tính các tích phân sau:. - 5sinx -1 cos x.dx b) I ∫ 2 2 3. - 1+ 2x .x .dx c) I ∫ 1 3 2 3. - sin x.cosx.dx f) I. - cos x.dx g) I. - sin x.cos x.dx h) I. - (1+sin2x ) .cos2x.dx. - sinx - sin x .dx k) I. - Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tốt nghiệp). - sin x.dx (TNTHPT Năm 93-94) b) I ∫ 2 3 2. - cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99). - (x+sin x)cosx.dx (TNTHPT 04-05) 3. - Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học). - Tính các tích phân sau: (Các dạng khác). - 1+lnx .dx. - a) Phương pháp tính tích phân từng phần:. - Chú ý: Khi tính tích phân từng phần ta phải nắm nguyên tắc sau:. - b) Một số dạng thường dùng phương pháp tích phân từng phần:. - Nếu biểu thức trong dấu tích phân có chứa:. - Dạng 1: P x sin(nx).dx P x cos(nx).dx P x .e dx P x .a dx. - dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay a dx Dạng 2: P x lnx.dx P x log x.dx. - Dạng 3: a sin(nx)dx x hay e cos(nx)dx x hay a cos(nx)dx x hay a cos(nx)dx x thì phải sử dụng tích phân từng phần ñến hai lần.. - VD 11: Tính các tích phân sau:. - Nhận xét: Ví dụ trên là dạng 1 của tích phân từng phần ∫ P x .e dx. - nx do ñó hướng học sinh ñặt u = P(x) nhưng do P(x) là tam thức bậc hai nên ta tính tích phân từng phần hai lần. - Tù ñó rút ra nhận xét chung cho học sinh: Nếu P(x) là ña thức bậc k thì tính tích phân từng phần k lần.. - Nhận xét: Dạng 3 của tích phân từng phần là tích phân có dạng ∫ e sin(nx)dx x nhưng biểu thức trong dấu tích phân của ví dụ trên chứa cos x 2 do ñó hạ bậc ta sẽ ñưa tích phân về ñúng dạng 3.. - 4e cos xdx = 2e 1+cos x dx = 2 2e 1+cos x dx = 2 2e dx+ 2e cos x.dx = 2 Ta có:. - 2e cos x.dx 2. - Nhận xét: Ở ví dụ trên học sinh phải tính tích phân từng phần hai lần, trong khi tính lần hai biểu thức xuất hiện tích phân I cần tính ban ñầu nên ta còn gọi dạng trên là. - Trong dạng bài tập này khi làm học sinh cần lưu ý về dấu khi sử dụng công thức tích phân từng phần.. - x.tg xdx = x.( -1)dx cos x. - Nhận xét: Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa ln(u(x)) thường xuất hiện phân số nên rèn luyện cho học sinh khéo léo kết hợp thêm tính chất của nguyên hàm. - f(x)dx = F(x)+C với C là một hằng số thích hợp ta có thể ñơn giản ñược phân số ñể cho bước tính tích phân tiếp theo ñơn giản hơn.. - 3x sinx ta biến ñổi như trên ñể học sinh dễ nhận dạng tích phân từng phần dạng 1.. - Nhận xét: ðến ñây tích phân tiếp theo có dạng 1 của tích phân từng phần.. - Do ña thức là bậc hai nên ñể tính I, học sinh phải tính tích phân từng phần 2 lần:. - v = sinx dv = cosx.dx. - Nhận xét: Qua ví dụ trên, ñể tính tích phân ñôi khi học sinh phải áp dụng cả hai phương pháp ñổi biến số loại 2 và tích phân từng phần.. - ðối với bài tích phân lượng giác trước hết chuyển sang chế ñộ Rad.. - Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên ñề trên, tôi chỉ nêu ra một số bài tập minh họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân từng phần. - Tuyển tập các chuyên ñề và kỹ thuật tính tích phân - Trần Phương 4. - ðạo hàm và tích phân - Võ ðại Mau &. - Chuyên ñề tích phân và ñại số tổ hợp xác suất - Phạm An Hòa &. - Trắc nghiệm khách quan giải tích và tích phân - ðoàn Vương Nguyên.
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt