- SỐ CHÍNH PHƯƠNG. - I- ĐỊNH NGHĨA : Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.. - 1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng . - 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.. - 3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. - Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).. - 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. - Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).. - 5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.. - Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.. - Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.. - 6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.. - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.. - III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.. - A- Dạng 1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.. - y 4 là số chính phương.. - Vì x, y, z Z nên x 2 Z , 5 xy Z , 5 y 2 Z x 2 5 xy 5 y 2 Z Vậy A là số chính phương.. - Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.. - 1 là số chính phương.. - k(k + 1)(k + 2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.. - Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.. - n chữ số 4 n - 1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1. - Ta thấy 2.10 n có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3. - n - 1 chữ số 0. - 89 là số chính phương.. - Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương.. - 2n chữ số 1 n chữ số 4. - 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6. - 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8. - n-2 chữ số 9 n chữ số 0. - n chữ số 1 n-1 chữ số 5. - Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.. - (n 2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương.. - Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n 6 - n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương.. - n 2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.. - Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. - Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.. - Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. - Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng là số chính phương.. - Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.. - a 2 + b 2 không thể là số chính phương.. - 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương.. - Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không thể chia hết cho 4 (1) a- Giả sử p + 1 là số chính phương. - p + 1 không phải là số chính phương.. - p - 1 không là số chính phương.. - Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương.. - Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương.. - 2N - 1 không là số chính phương.. - 2N không là số chính phương.. - 2N + 1 không là số chính phương.. - 2010 chữ số 1 2009 chữ số 0. - 2009 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9. - DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. - Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương a) n 2 + 2n + 12 b) n(n + 3). - a) Vì n 2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n 2 + 2n + 12 = k 2 (k N). - Tìm a để các số sau là những số chính phương a) a 2 + a + 43. - n! là một số chính phương.. - 1 = 1 2 là số chính phương Với n = 2 thì 1. - 3 không là số chính phương. - là số chính phương. - n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.. - Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n 2 là số chính phương.. - Giả sử 2010 + n 2 là số chính phương thì 2010 + n 2 = m 2 (m N ) Từ đó suy ra m 2 - n m + n) (m – n. - Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n 2 là số chính phương.. - Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương.. - Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 0. - 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 1. - Do x là chữ số nên x 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 <. - Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.. - Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25. - Chỉ có 121 là số chính phương.. - Bài 6: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24 Vì n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k 2 , 2n + 1 = m 2 (k, m N. - Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số n là số chính phương Giả sử n = a 2 (a N) thì. - C.DẠNG 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG. - Bài 1 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. - Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. - Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số B. - Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.. - Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.. - Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n 2 với a, b N, 1 a 9. - Thay a + b = 11 vào (1) được n a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương Bằng phép thử với a = 1. - Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.. - Gọi số chính phương đó là abcd . - Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x 2 = y 3 với x, y N. - Vì y 3 = x 2 nên y cũng là một số chính phương.. - Ta có : 1000 abcd y 21 và y chính phương. - Bài 5 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.. - 0 b, c, d 9 abcd chính phương d. - k là một số có hai chữ số mà k 2 có tận cùng bằng 5 k tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương k = 45. - Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. - Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a – b = 4 Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11 a = 6, b = 5 , ab = 65. - Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. - Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương.. - Tìm số chính phương ban đầu.. - Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.. - ab là một lập phương và a + b là một số chính phương Đặt ab = t 3 (t N), a + b N). - Vì 10 ab 99 ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương. - Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại Vậy số cần tìm là ab = 27. - Bài 9 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.. - Bài 10 : Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.