- ĐỘNG LỰC CỦA MÔ HÌNH TRUYỀN BỆNH SỐT RÉT. - Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu một mô hình toán học của bệnh sốt rét, trong đó người và muỗi tương tác và gây bệnh lẫn nhau. - Mô hình được biểu diễn bởi một hệ các phương trình vi phân phụ thuộc các tham số. - Chúng tôi xác định nhân tố quyết định cho sự truyền nhiễm của bệnh sốt rét là số sinh sản cơ sở R 0 . - Khi R 0 1 thì sự truyền bệnh tắt dần, trong khi R 0 1 thì sự truyền bệnh được duy trì. - Từ khóa: điểm cân bằng, số sinh sản cơ sở 1 PHẦN GIỚI THIỆU. - Người bị nhiễm bệnh khi bị muỗi Anophele nhiễm bệnh cắn và muỗi cũng nhiễm bệnh khi cắn phải người bị bệnh sốt rét.. - Mô hình toán học của bệnh sốt rét được bắt đầu nghiên cứu năm 1911 với mô hình của Ross R. - Gần đây, có rất nhiều mô hình nghiên cứu bệnh sốt rét. - Tùy theo mục địch nghiên cứu mà các mô hình có sự khác nhau về động lực.. - Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát bệnh sốt rét theo mô hình SIRS (susceptibility, infection, recovery, susceptibility) cho người và SIS (susceptibility, infection, susceptibility) cho muỗi. - Sự lan truyền của bệnh được nghiên cứu thông qua số người và số muỗi bị nhiễm bệnh. - Qua phân tích chúng tôi tìm điều kiện cho tính ổn định của các trạng thái cân bằng và xác định số sinh sản R 0 là nhân tố quyết định sự truyền bệnh. - Mô phỏng số cho mô hình được thực hiện bằng các phần mềm Mathematica và AUTO.. - 2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC. - Trong mô hình của Ross, một cá thể người được xếp vào trạng thái có khả năng nhiễm bệnh hoặc bị nhiễm bệnh. - Đối với mô hình của chúng tôi, số lượng người N h được chia thành số người có khả năng nhiễm bệnh S h , số người bị nhiễm bệnh I h và số người bình phục R h . - số lượng của muỗi N m được chia thành số lượng muỗi có khả năng nhiễm bệnh S m và số lượng muỗi bị nhiễm bệnh I m . - Biểu đồ dòng của mô hình được cho dưới đây.. - Hình 1: Biểu đồ dòng của mô hình bệnh sốt rét. - Ta thấy h N h lượng người sinh ra và h h R lượng người bình phục nhưng không miễn dịch tham gia vào số lượng người có khả năng nhiễm bệnh S h . - mh m h b S I ) m / N h lượng người bị muỗi nhiễm bệnh cắn chuyển vào lượng người bị nhiễm bệnh I h . - Ngoài ra, còn có h h S người chết vì lý do khác rời khỏi lượng người có khả năng nhiễm bệnh S h . - Bằng cách lý luận như trên thì mô hình bệnh sốt rét cho bởi hệ phương trình vi phân sau:. - Bảng 1: Các tham số trong mô hình. - Để thuận lợi cho việc phân tích mô hình ta thực hiện phép đổi biến sau:. - (2) Mô hình bệnh sốt rét được đưa về dạng đơn giản hơn:. - s h tỷ lệ với số người có khả năng nhiễm bệnh i h tỷ lệ với số người bị nhiễm bệnh. - s m tỷ lệ với số muỗi có khả năng nhiễm bệnh i m tỷ lệ với số muỗi bị nhiễm bệnh. - 3 PHÂN TÍCH TỔNG QUÁT MÔ HÌNH. - Điểm cân bằng:. - Các điểm cân bằng của mô hình nhận được bằng cách giải hệ với các vế phải của hệ (3) bằng 0. - Ta tìm được 2 điểm cân bằng với tọa độ dạng. - Điểm cân bằng bệnh tự do (disease free equilibrium) E . - Điểm cân bằng bệnh địa phương (endemic disease equilibrium) E 1. - Động lực của mô hình bệnh sốt rét quyết định bởi một giá trị ngưỡng R 0 gọi là số sinh sản. - Trong thực tế, R 0 là số trung bình của tái nhiễm bệnh được tạo nên khi một cá thể bị nhiễm bệnh trở lại vật thể chủ ban đầu. - Trong phần sau ta sẽ chứng minh khi R 0 1 thì sự truyền bệnh sẽ tắt dần, trong khi R 0 1 thì sự truyền bệnh vẫn tồn tại.. - các thành phần nhiễm bệnh i h , i m dần về giá trị 0 khi t. - Điều này cho thấy sự truyền bệnh tắt dần.. - các thành phần nhiễm bệnh i h , i m dần về các giá trị dương không đổi khi t. - Kết quả này khẳng định sự truyền bệnh vẫn còn.. - 4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG 4.1 Điểm cân bằng bệnh tự do (Disease-free eqilibrium) Điểm cân bằng bệnh tự do E luôn tồn tại.. - Các giá trị riêng nhận được bằng cách giải phương trình đặc trưng det( J E 0. - m ) N ] 0 Giải phương trình trên ta được các giá trị riêng. - đóng vai trò quyết định cho tính ổn định của E 0 và E 1. - Định lí 1: Điểm cân bằng bệnh-tự do E 0 luôn tồn tại và ổn định địa phương khi. - Hệ phương trình với các vế phải của hệ (3) bằng 0 luôn có nghiệm nên hệ luôn có điểm cân bằng E . - Phương trình đặc trưng cho ta các giá trị riêng. - m 0 nên các giá trị riêng. - Do đó giá trị riêng. - Vậy điểm cân bằng bệnh tự do E 0 ổn định địa phương khi R 0 1 . - Chú ý 1: Khi R 0 1 thì giá trị riêng 5 của ma trận Jacobi dương nên E 0 không. - ổn định.. - Định lí sau cho ta tính ổn định mạnh hơn đối với E 0. - Định lí 2: Khi thì điểm cân bằng bệnh-tự do ổn định tiệm cận.. - Như trong trường hợp tổng quát, hệ (6) có điểm cân bằng bệnh-tự do E . - Khi R 0 1 các giá trị riêng của ma trận Jacobi tại E 0 có phần thực âm nên E 0 ổn định địa phương.. - Khi R 0 1 thì các giá trị riêng của A có phần thực âm. - Ns i h m 0 khi t. - Nhận xét 1: Khi R 0 1 và x t. - Do đó sự truyền bệnh tắt dần.. - Nhận xét 2: Theo trên, sự truyền bệnh tắt dần khi R 0 1 hay ( h h ) m. - 4.2 Điểm cân bằng bệnh địa phương (Endemic disease eqilibrium). - Điểm cân bằng bệnh địa phương E 1. - Các giá trị riêng nhận được bằng cách giải phương trình đặc trưng det( J E 1. - a a a ) 0 Giải phương trình trên ta được các giá trị riêng. - Các giá trị riêng 3. - a 2 0 , a a 1 2 a Định lí 3: Điểm cân bằng bệnh địa phương E 1 tồn tại và ổn định địa phương khi. - Khi R 0 1 thì. - Do đó, điểm cân bằng E 1 tồn tại.. - Dễ dàng ta thấy khi R 0 1 thì a 2 0 và a 0 0 . - Do đó tiêu chuẩn Routh-Hurwitz, các giá trị riêng 3. - Vậy điểm cân bằng bệnh E 1 ổn định địa phương khi R 0 1 . - Nhận xét 3: Khi R 0 1 và. - Do đó sự truyền bệnh vẫn duy trì.. - Chú ý 2: Ta chứng minh được khi R 0 1 thì hệ có nghiệm tuần hoàn với các thành phần i h và i m dương. - Trong phần này ta nghiên cứu về sự thay đổi của nghiệm của mô hình khi tham số thay đổi. - Sự thay đổi về chất của động lực của mô hình gọi là sự phân nhánh. - Để giải thích được hiện tượng phân nhánh bằng lý thuyết của hệ động lực ta đưa vào hệ (3) điểm cân bằng ảo E 1 khi R 0 1. - Điểm cân bằng bệnh tự do E 0 luôn tồn tại. - Điểm này ổn định khi R 0 1 tương ứng với sự truyền bệnh tắt dần. - Điểm cân bằng bệnh địa phương E 1 ổn định khi R 0 1 tương ứng với sự truyền bệnh tồn tại. - Tại giá trị này của R 0 , điểm cân bằng bệnh-tự do E 0 mất tính ổn định (do giá trị riêng 5 của tuyến tính hóa chuyển dấu từ âm sang dương), chuyển từ ổn định sang không ổn định. - Cũng từ giá trị này, khi R 0 1 điểm cân bằng bệnh E 1 chuyển từ không ổn định sang ổn định. - Hai điểm cân bằng E 0 và E 1 thay đổi tính ổn định và trao đổi tính ổn định cho nhau. - Phân nhánh này giải thích được ý nghĩa của số sinh sản cơ sở R 0 , số quyết định sự truyền bệnh tắt dần hay vẫn tồn tại.. - Ngoài ra, phân nhánh saddle-node xảy ra tại giá trị R 0 R 0. - 1 của điểm cân bằng bệnh E 1 . - Với các giá trị R 0 1 tồn tại hai điểm cân bằng sinh từ E 1 , một điểm không ổn định và điểm còn lại ổn định tiệm cận.. - Hình 5: Biểu đồ phân nhánh của mô hình bệnh sốt rét được xác định bằng AUTO. - Trong biểu đồ, trục hoành thể hiện các giá trị của m (tỷ lệ sinh của muỗi), kí hiệu bởi PAR(6), còn trục tung thể hiện giá trị trung bình theo chuẩn trong không gian. - Đường qua các nghiệm 1, 2, 3 là đường của điểm cân bằng bệnh tự do E 0 . - Đường qua các nghiệm 9 - 14 và 9 - 21 là đường của điểm cân bằng bệnh E 1 . - Giá trị phân nhánh. - Tại giá trị này phân nhánh transcitical xảy ra. - Hai điểm cân bằng trao đổi tính ổn định cho nhau. - Ngoài ra phân nhánh saddle node của điểm cân bằng bệnh E 1 xảy ra tại nghiệm 19. - Phát hiện này giải thích được hiện tượng khi R 0 1 thì sự truyền bệnh tắt dần, còn khi R 0 1 thì sự truyền bệnh còn tiếp diễn và sự truyền bệnh có chu kỳ. - Bằng cách khống chế các tham số ở vế trái của (9) đủ nhỏ để (9) xảy ra, ta có thể làm cho sự truyền bệnh tắt dần