- Bài báo này trình bày các kết quả nghiên cứu về sự chuyển đổi sư phạm trong dạy học khái niệm phân số ở bậc tiểu học.. - Từ khóa: Sự chuyển đổi sư phạm, đối tượng toán học, lịch sử toán, khái niệm phân số. - Trong môn Toán ở nhà trường tiểu học, khái niệm phân số được GV truyền thụ từ những gì SGK, sách giáo viên (SGV) ghi chép mà không nhắc đến đối tượng này xuất hiện như thế nào hay có ý nghĩa gì trong lịch sử hình thành của nó. - Phân số có vị trí, vai trò quan trọng trong các mạch kiến thức toán ở tiểu học, đồng thời nó là cơ sở để mở rộng các loại số khác: hỗn số, số thập phân, số hữu tỉ,…Do đó, nhiệm vụ đặt ra đối với GV tiểu học là cần làm sao cho HS có những hiểu biết đúng đắn về khái niệm phân số, đặc biệt là hình thành khái niệm ban đầu về phân số. - Như vậy, nghiên cứu sự chuyển đổi sư phạm trong dạy học khái niệm phân số cho phép làm sáng tỏ khái niệm này ở các cấp độ tri thức khác nhau: tri thức bác học, tri thức cần giảng dạy, tri thức soạn giảng, tri thức được dạy. - Tuy nhiên, chúng tôi chỉ trình bày ở đây sự chuyển đổi sư phạm khái niệm phân số với hai cấp độ: tri thức bác học và tri thức cần giảng dạy.. - 2.1 Phân số ở cấp độ Tri thức bác học. - Nghiên cứu các tài liệu lịch sử, chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ thống số từ số tự nhiên sang số biểu diễn bởi phân số được tiến hành theo hai cách: xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và xuất phát từ nội bộ toán học. - Thứ nhất, phân số ra đời để giải quyết các vấn đề thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp cả những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau. - Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để cho phép chia các số nguyên cho một số khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng b x a. - Trong quá trình mở rộng như trên, phân số được tiếp cận theo 4 cách như sau:. - 2.1.1 Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể. - Trong lịch sử, khái niệm về đại lượng phân số phát triển từ thời cổ đại khi “phân số” đã được quan niệm như. - Một đại lượng phân số không được xem như là một số trong nhiều thế kỷ, đúng hơn, nó đã được sử dụng như một đơn vị mới biểu diễn cho một phần hoặc các phần của một số cho đến khi Stevin tuyên bố rằng đại lượng này là một con số bằng cách định nghĩa phân số như là “một phần của các bộ phận của cái toàn thể” (Klein, 1968, tr.290).. - 2.1.2 Cách tiếp cận dựa trên đo lường. - Người ta tìm thấy các phân số từ các số tự nhiên qua các số đo và tỷ lệ, giải quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo lường chung đối với hai đại lượng. - Euclide không xem đại lượng C như là một số, nhưng như là “một phần hay các phần của một số” (Klein, 1968, tr.43).. - 2.1.3 Cách tiếp cận dựa trên phép chia. - Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận dựa trên phép chia vì nhu cầu phải có phân số a. - 2.1.4 Cách tiếp cận dựa trên lý thuyết tập hợp. - Theo cách tiếp cận này, người ta định nghĩa các phân số như là tập hợp các cặp số nguyên có thứ tự. - 2.2 Phân số ở cấp độ Tri thức cần giảng dạy 2.2.1 Phân số trong chương trình đào tạo GV tiểu học Phân số trong giáo trình “Số học” của Bùi Anh Kiệt (2009). - Với cách xây dựng phân số a. - gọi là mẫu số của phân số của phân số. - Do đó, ta có thể hiểu phân số là hình thức biểu diễn số hữu tỉ qua các số nguyên.. - Phân số trong giáo trình “Lý thuyết số” của Trần Diên Hiển - Nguyễn Tiến Tài - Nguyễn văn Ngọc (2001). - ta gọi là một phân số. - Tập tất cả phân số ta kí hiệu là P. - b để chỉ phân số (a . - Khái niệm phân số trong giáo trình này được đồng nhất với khái niệm phân số hình thành trong nhà trường tiểu học. - Cách hình thành phân số như trên là nền tảng để xây dựng tập số hữu tỉ Q. - Mỗi số hữu tỉ là một lớp đương đương gồm các phân số tương đương nhau.. - Phân số theo giáo trình “Phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học” của Đỗ Trung Hiệu – Đỗ Đình Hoan (2005). - Ở Tiểu học, khái niệm phân số được xây dựng theo hướng sau: số biểu thị một cặp số tự nhiên (a, b), trong đó b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị và a chỉ số phần bằng nhau lấy ra, được rồi là phân số. - Ở SGK Toán 4 còn giới thiệu còn nêu lên mối quan hệ giữa khái niệm phân số với phép chia hai số tự nhiên. - Như vậy, bao giờ cũng có thể dùng phân số để ghi lại kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0. - Điều này cho phép coi một số tự nhiên là phân số có mẫu số là 1.. - Ngoài ra, tác giả Phạm Đình Thực (2003) cũng đề xuất cách hình thành phân số cũng tương tự như trong giáo trình của Đỗ Trung Hiệu – Đỗ Đình Hoan (2005).. - Phân số trong giáo trình “Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu họ” của Đào Tam (2005). - Tác giả này đã chia cụ thể 3 cách tiếp cận phân số như sau:. - (ii) Cách thể hiện phân số theo kiểu phép chia:. - Có thể hiểu phân số a. - (iii) Cách thể hiện phân số theo kiểu tỉ số.. - Tác giả đã làm rõ được 3 cách tiếp cận khái niệm phân số. - 2.2.2 Phân số trong SGK Toán hiện hành ở bậc tiểu học. - Dạy học phân số ở Tiểu học nhằm cung cấp cho học sinh một loại số mới, biểu diễn được thương đúng của hai số tự nhiên, cũng nhằm đáp ứng nhu cầu biểu diễn chính xác các số đo đại lượng trong đời sống thực tiễn. - Phân số được chính thức đưa vào giảng dạy một cách đầy đủ ở chương trình toán lớp 4. - Dạy học phân số trong Toán 4 là sự tiếp nối mạch kiến thức về phân số ở lớp 2 và lớp 3, đồng thời làm cơ sở vững chắc để dạy học về phân số thập phân, hỗn số ở lớp 5. - Từ đó, SGK hệ thống hóa và hoàn chỉnh toàn bộ nội dung dạy học phân số ở Tiểu học, chuẩn bị cho dạy học số thập phân.. - Cách tiếp cận phân số trong SGK Toán 2 và Toán 3 (2006) hiện hành Chương trình Toán 2 giới thiệu các phân số: 1. - Trong khi đó, SGK Toán 3 cho HS làm quen với các phân số đơn vị 1. - Ở đây, người ta chỉ ngầm ẩn giới thiệu về khái niệm “phần bằng nhau” chứ không giới thiệu trực tiếp về phân số. - Lớp 3 mang lại cho HS cách tiếp cận phân số đơn vị theo diện tích của một số hình cơ bản như hình vuông, hình chữ nhật. - Các hình này được chia thành các phần bằng nhau, người ta tác động đến một số phần nào đó, từ đó làm nảy sinh khái niệm phân số. - Hình 1 Hình 2 Hình 3 Tóm lại, SGK Toán 2 và 3 chỉ đề cập đến các phân số đơn vị. - giả không nêu tên phân số mà chỉ đề cập một cách ẩn tàng thông qua khái niệm. - Phân số được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết dạng toán “Tìm một trong các phần bằng nhau của một số”.. - Cách tiếp cận phân số trong SGK Toán 4 (2006) hiện hành SGK Toán 4 (tr.106) hình thành khái niệm phân số như sau:. - 6 là phân số. - Phân số 5. - Như vậy, SGK Toán 4 giới thiệu khái niệm phân số qua việc chia cái toàn thể thành b phần bằng nhau. - Như vậy có được phân số a. - Cách trình bày này phù hợp với cách được đề cập trong lịch sử của phân số. - SGK Toán 4 không đưa ra định nghĩa chính thức của phân số theo cách tiếp cận này. - Ở đây, chúng tôi có thể phát biểu như sau: Phân số là cặp số thứ tự (a, b) trong đó a, b là các số tự nhiên và b 0 , b chỉ số phần bằng nhau mà đơn vị trọn vẹn được chia ra và a chỉ số phần bằng nhau đã lấy. - Thêm vào đó, SGK Toán 4 (tr.106) còn nêu lên cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của mẫu số thông qua nhận xét sau: “Mỗi phân số có tử số và mẫu số”. - Ngoài ra, SGK Toán 4 (tr.108) còn tiếp cận phân số như là kết quả của phép chia của hai số tự nhiên mà số chia khác 0 thông qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN”:. - Đến đây, ta thấy được cách giới thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ toán học.. - Chứng tỏ, trong thực tế có những tình huống cho phép làm nảy sinh khái niệm số mới – phân số.. - Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: Khái niệm phân số ra đời cho phép thực hiện mọi phép chia thông qua nhận xét sau trong SGK Toán 4 (tr.108): “Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia’. - Ngầm ẩn sau đó, phân số ra đời còn có một ý nghĩa khác. - Vậy phân số là thương đúng của phép chia một số tự nhiên a cho số tự nhiên b, b 0 . - Hơn nữa, cách tiếp cận phân số dựa trên phép chia tỏ ra hiệu quả hơn cách tiếp trước đó vì giới thiệu thêm phân số không thực sự (phân số tử số lớn hơn mẫu số).. - “Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1”. - phân số bằng nhau. - Kiến thức này rất cần thiết cho việc học quy đồng mẫu số các phân số, so sánh hai phân số, làm tính với các phân số. - Phân số bằng nhau được tác giả giới thiệu qua mô hình trực quan:. - Bài “Phân số bằng nhau” đánh dấu cách tiếp cận phân số dựa trên lý thuyết tập hợp (đã được đề cập trong phần lịch sử) một cách không tường minh.. - Viết tiếp phân số thích hợp vào chỗ chấm:. - Nó có hiệu quả trong các bài tập so sánh các phân số. - 0, 1 không tồn tại số tự nhiên nào nhưng có rất nhiều phân số.. - Giống như cách tiếp cận dựa trên phép chia, cách tiếp cận tỉ số cho phép giới thiệu cả hai loại phân số: phân số thực sự và phân số không thực sự. - Tuy nhiên, đôi khi nó dẫn đến hiểu nhầm của HS không phân biệt được phân số và tỉ số.. - Phân số được nghiên cứu ở lớp 2, lớp 3 ở góc độ ẩn tàng. - Trong khi đó, ở lớp 4 phân số được nghiên cứu như là một “đối tượng” tường minh. - Từ đó, phân số trở thành “công cụ tường minh” để giải quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan.. - Nghiên cứu sự chuyển đổi sư phạm trong dạy học khái niệm phân số cho thấy được sự khác nhau giữa các cấp độ tri thức. - Phân số được tiếp cận trên tư tưởng số