- Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. - Ma trận 2. - Ma trận khả nghịch 5. - Phương trình ma trận. - MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. - 1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. - Ma trận. - Ma trận vuông.. - Các phép toán ma trận.. - Một ma trận loại m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng. - a ij là hệ số ở dòng i, cột j của ma trận A (hệ số này còn được ký hiệu là A ij. - Ký hiệu M m×n ( R ) là tập hợp tất cả những ma trận loại m × n trên R. - Ma trận có các hệ số bằng 0, được gọi là ma trận không, ký hiệu 0 m×n (hay 0).. - Ma trận vuông. - Ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n × n, (số dòng bằng số cột). - Ký hiệu M n ( R ) là tập hợp các ma trận vuông cấp n . - Một ma trận chéo cấp n là một ma trận vuông cấp n mà tất cả các hệ số nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. - Nếu A là một ma trận chéo cấp n, ta ký hiệu A = diag(a 11 , a 22. - Ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu I n hay I, là ma trận chéo cấp n mà tất cả các hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1.. - Ma trận tam giác trên (tương ứng ma trận tam giác dưới ) là một ma trận vuông mà tất cả các hệ số nằm phía dưới (tương ứng phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. - A = (a ij ) n×n là ma trận tam giác trên khi và chỉ khi a ij = 0, ∀1 ≤ j <. - B = (b ij ) n×n là ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi. - Các phép toán ma trận. - Cho hai ma trận cùng loại A = (a ij ) m×n và B = (b ij ) m×n . - Cho A = (a ij ) là một ma trận loại m × n . - Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A >. - A thì ta nói A là ma trận đối xứng . - −A thì nói A là ma trận phản xứng.. - là ma trận đối xứng.. - là ma trận phản xứng.. - Cho ma trận A = (a ij ) và số thực α ∈ R . - Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là. - Ma trận (−1)A được ký hiệu là −A, được gọi là ma trận đối của A. - Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B, là ma trận được xác định bởi:. - Cho hai ma trận A = (a ij ) loại m × n và B = (b ij ) loại n × p. - Ta định nghĩa tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB, là ma trận định bởi:. - Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nghĩa là (AB)C = A(BC).. - Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng , nghĩa là. - Phép nhân ma trận không có tính giao hoán, nghĩa là thông thường ta có AB 6= BA.. - Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc M n ( R. - và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A.. - Ma trận bậc thang.. - Hạng của ma trận.. - Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) là ma trận có. - Ma trận bậc thang. - Ta nói A là ma trận bậc thang nếu A thỏa hai tính chất sau:. - Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng. - Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút gọn nếu các tính chất sau được thoả. - C là ma trận bậc thang rút gọn, D không là ma trận bậc thang rút gọn.. - Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B, thì ta nói B là một dạng bậc thang của ma trận A.. - Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0.. - Hạng của ma trận. - Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. - Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu R A. - Thuật toán Gauss - Tìm dạng bậc thang của ma trận A ∈ M m×n ( R. - Tìm một dạng bậc thang R của ma trận. - Tìm hạng của các ma trận sau A. - Tìm ma trận dạng bậc thang rút gọn của ma trận A ∈ M m×n ( R. - Tìm ma trận dạng bậc thang rút gọn của ma trận. - được gọi là ma trận hệ số của hệ. - Ma trận B. - Ma trận X. - được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng ) của hệ. - Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau.. - (2) Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có. - Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có. - Lập ma trận mở rộng ˜ A = (A|B).. - Đưa ma trận ˜ A về dạng bậc thang R.. - Ma trận R có 1 dòng là. - Ma trận R có dạng. - Ma trận mở rộng ˜ A = (A|B). - Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng A ˜ là. - Ta có ma trận mở rộng. - Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng:. - Ma trận mở rộng. - Đưa ma trận ˜ A về dạng bậc thang rút gọn R A. - Trường hợp 1.Ma trận R A có một dòng. - Trường hợp 2.Ma trận R A có dạng. - Nếu ˜ A = (A|B) là ma trận mở rộng của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(˜ A. - Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng. - Dạng bậc thang của ma trận mở rộng. - Ma trận khả nghịch. - Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch.. - Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = I n . - Nếu B thỏa điều kiện trên được gọi là ma trận nghịch đảo của A.. - Ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch là duy nhất.. - Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A −1. - Giả sử A khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là A −1 . - Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch. - ϕ k biến ma trận A thành ma trận đơn vị I n . - Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. - Trường hợp 2: Mọi ma trận A i trong dãy biến đổi trên đều không có dòng hay cột bằng 0. - Khi đó ma trận cuối cùng trong dãy trên có dạng (I n |B). - Nếu bài toán chỉ yêu cầu kiểm tra ma trận A có khả nghịch. - Vậy ma trận khả nghịch là A −1. - Cho các ma trận A, A 0 ∈ M n ( R ) khả nghịch và B ∈ M n×p ( R. - Cho hai ma trận. - Tìm ma trận X thỏa AXA = AB.. - Tìm ma trận X thỏa A 2 XA 2 = ABA 2. - Cho các ma trận A ∈ M n ( R ) khả nghịch và B ∈ M n×p ( R
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt