- TỔ CHỨC TOÁN HỌC ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM: MỘT NGHIÊN CỨU THEO CÁCH TIẾP CẬN DIDACTIC TOÁN. - Trong trường trung học phổ thông, học sinh được học khái niệm đạo hàm ngay từ lớp 11 và đến lớp 12, các em gặp lại khái niệm này trong các chủ đề “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số”, “Nguyên hàm”, “Tích phân”. - Do vậy, khái niệm đạo hàm có vai trò khá then chốt trong toán học phổ thông. - Thế thì liên quan đến khái niệm đạo hàm có các tổ chức toán học nào? Để góp phần trả lời câu hỏi vừa nêu, bài báo trình bày các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm đạo hàm trong sách giáo khoa toán 11, và tường thuật các kết quả thực nghiệm thu được từ Trường trung học phổ thông Thốt Nốt (TP. - 1 TỔ CHỨC TOÁN HỌC: MỘT TRONG NHỮNG KHÁI NIỆM TRUNG TÂM CỦA DIDACTIC TOÁN. - Khái niệm tổ chức toán học xuất phát từ quan niệm xem hoạt động toán học như một hoạt. - động của con người: chủ thể thực hiện một kiểu nhiệm vụ nào đó trong một thể chế xác định. - Đối với toán học, các nhà didactic toán (theo Besso và ctv, 2010) lập luận rằng khi tiến hành một nhiệm vụ toán học, chủ thể phải biết “cách thức” thực. - và từ đó khái niệm “tổ chức toán học” (tiếng Anh: praxeology hoặc organisation. - tiếng Pháp: praxéologie) đã được đưa ra gồm bốn thành phần: kiểu nhiệm vụ T, kỹ thuật. - Mô hình này có ý nghĩa là: mỗi hoạt động của con người đều nhằm thực hiện nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T nào nó nhờ sử dụng kỹ thuật. - Về giảng dạy khái niệm đạo hàm trong trường trung học phổ thông có nhiều tác giả trong nước bàn luận. - Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2010) cho rằng các khái niệm Giải tích có tính phức tạp nội tạo cao. - Riêng đối với khái niệm đạo hàm, Nguyễn Phú Lộc (2010) bằng cách tiếp lịch sử và tiếp cận lý thuyết Didactic toán đã chỉ ra rằng có “chướng ngại nhận thức” (cognitive obstacle) cho người mới tiếp xúc khái niệm này. - Trong một nghiên cứu của mình, tác giả Lê Anh Tuấn (2009) tập trung nghiên cứu các ứng dụng của khái niệm đạo hàm, các vấn đề liên quan đạo hàm và tích phân. - Cũng nghiên cứu về đạo hàm, tác giả Nguyễn Thị Mai Liên (2008) đã hệ thống hóa lại các dạng toán có có ứng dụng đạo hàm để giải. - Ngoài các công trình trong nước đáng chú ý nêu trên, có hai tác giả nước ngoài nghiên cứu về sự biểu diễn (representation) của khái niệm đạo hàm. - Tác giả Santos và Thomas quan tâm đến việc sử dụng chức năng vẽ đồ thị của máy tính tay để tạo sự đa biểu diễn trong dạy học khái niệm đạo hàm. - Tác giả Hähkiöniemi (2006) đã chỉ ra vai trò của các biễu diễn trong giảng dạy khái niệm đạo hàm.. - Qua các công trình nêu trên, chúng ta thấy rằng khái niệm đạo hàm đã thu hút nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu. - Đóng góp của chúng tôi qua bài báo này là nghiên cứu các tổ chức toán học xoay quanh định nghĩa khái niệm đạo hàm trong. - sách giáo khoa hiện hành, và chỉ ra một sai lầm trong nhận thức của học sinh về khái niệm đạo hàm bằng một thử nghiệm. - Khái niệm đạo hàm có vai trò quan trọng trong chương trình toán phổ thông. - Khái niệm này thuộc trong chương trình toán lớp 11. - sang lớp 12, học sinh học về khảo sát hàm số, các khái niệm nguyên hàm và tích phân. - Tất cả chúng đều được phát triển trên cơ sở khái niệm đạo hàm. - Về nhận thức, vì đạo hàm được định nghĩa thông qua việc xét một giới hạn dạng 0/0. - Câu hỏi: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 đã bao gồm các tổ chức toán học nào liên quan khái niệm đạo hàm?. - Giả thuyết: “Trong việc tính đạo hàm bằng định nghĩa, nếu giới hạn. - không tồn tại hữu hạn thì HS sẽ bị sai lầm khi kết luận sự tồn tại đạo hàm của hàm số. - B1.Kiểu nhiệm vụ (nêu dạng toán cần xem. - Cách thức thực hiện nhiệm vụ (hoặc quy trình hành động để. - hoàn thành nhiệm vụ). - nhiệm vụ. - 4 TỔ CHỨC TOÁN HỌC ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM. - Cụ thể là phân tích nội dung toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm trong các sách giáo khoa sau đây: M 1 : Đại số &. - Các sách giáo khoa và bài tập trong chương trình toán lớp 11, đã đưa ra 4 kiểu nhiệm vụ chính liên quan đến khái niệm đạo hàm. - Kiểu nhiệm vụ T dn : “Tính đạo hàm của hàm số. - Kỹ thuật dn : Tính đạo hàm của hàm số theo. - Hoặc dùng kỹ thuật dn ' tính đạo hàm của hàm số theo cách sau: Tính. - Nếu kết quả ở bước 1 hữu hạn thì đó chính là đạo hàm của hàm số y f x. - Công nghệ dn : Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.. - Kiểu nhiệm vụ con T. - “Chứng minh hàm số y f x. - không có đạo hàm tại điểm x 0. - Sử dụng đạo hàm một bên.. - Bước 1: Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải lần lượt:. - Định lí “Hàm số y f x. - có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi f x. - Lý thuyết. - Lý thuyết về giới hạn của hàm số (M 1 , tr.154). - Ví dụ 1, M 1 , tr.155 Kiểu nhiệm vụ T pttt : “Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x. - “Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y f x. - Lý thuyết pttt : Đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm.. - Kiểu nhiệm vụ con T (pttt,a. - “Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số.”. - Đạo hàm của hàm số y f x. - tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm. - Đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm.. - Kiểu nhiệm vụ con T (pttt,b. - “Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x. - Bài toán 5, M 1 , tr.156 Kiểu nhiệm vụ con T (pttt,c. - “Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số. - A A ) không thuộc đồ thị hàm số (C).”. - Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm bất kỳ. - Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 0 thuộc đồ thị hàm số đã cho. - Kiểu nhiệm vụ T vt : “Tìm vận tốc tức thời của chuyển động thẳng tại một thời điểm.”. - Kỹ thuật vt : Tính vận tốc tức thời tại một thời điểm t 0 của chuyển động theo phương trình là hàm số thời gian s s t. - Công nghệ vt : Ý nghĩa cơ học của đạo hàm.. - Lý thuyết vt : Đạo hàm và các ý nghĩa.. - Bài toán 7, M 1 , tr.157 Bảng 1: Thống kê số lượng kiểu nhiệm vụ trong các Sách giáo khoa Toán 11. - Kiểu nhiệm vụ Kỹ. - Tổng cộng T dn : Tính đạo hàm của hàm số y f x. - T cm : Chứng minh hàm số không có đạo hàm. - T pttt : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị. - hàm số. - Bình luận: Qua phân tích các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm đạo hàm và cùng các kết quả ghi nhận trong bảng tổng hợp ở trên (Bảng 1), chúng tôi nhận thấy rằng số lượng bài tập ở cả hai sách giáo khoa M 1 , M 2 và E 1 , E 2 là không chênh lệch nhiều. - Riêng kiểu nhiệm vụ “viết phương trình tiếp tuyến” được sách giáo khoa chú trọng và có nhiều bài toán cho học sinh luyện tập.. - 5 HẠN CHẾ VỀ NHẬN THỨC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CỦA HỌC SINH. - Từ các kết quả thu được về tổ chức toán học đối với khái niệm đạo hàm và bản chất phức tạp trong định nghĩa khái niệm đạo hàm. - để xác định hàm số có đạo hàm hay không phải trải qua một quá trình tính toán. - Chính vì những lý do vừa nêu, chúng tôi thấy cần thiết kiểm chứng giả thuyết về việc lĩnh hội khái niệm đạo hàm của học sinh sau đây:. - không tồn tại hữu hạn thì học sinh (HS) sẽ bị sai lầm khi kết luận sự tồn tại đạo hàm của hàm số y f x. - Bài toán: Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau tại x 0. - KN 2: “Không tìm được kết quả giới hạn là. - KN 3: “Không tìm được kết quả giới hạn là. - KN 4: “Không tìm được kết quả giới hạn là. - KN 7: “Tìm được kết quả giới hạn là. - KN 8: “Tìm được kết quả giới hạn là. - KN 9: “Tìm được kết quả giới hạn là. - Xét giới hạn:. - không hữu hạn nên theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm x 0 . - Một mặt, phần lớn HS gặp lúng túng khi tính giới hạn của hàm số tại một điểm trong trường hợp giới hạn vô cực. - và mặt khác đáng chú ý là học sinh không ghi nhớ tính “hữu hạn” của giá trị đạo hàm tại một. - Từ kết quả thử nghiệm trên đây, giả thuyết của chúng tôi nêu ra có thể chấp nhận được, và có thể khẳng định bước đầu rằng khái niệm đạo hàm là khái niệm khó nhận thức đối với học sinh phổ thông.. - Các tổ chức liên quan đến khái niệm đạo hàm trong các sách giáo khoa toán 11, nhìn chung, bao gồm các kiểu nhiệm vụ (dạng toán) cơ bản, theo chúng tôi, phù hợp với xu hướng “giảm tải” của giáo dục phổ thông ở nước ta hiện nay. - Kết quả thử nghiệm cho thấy rằng khái niệm đạo hàm nói riêng và các khái niệm trong Giải tích nói chung là những khái niệm có tính phức tạp “nội tại” cao, khó hiểu được một cách thấu đáo đối với học sinh phổ thông.. - toán có ứng dụng đạo hàm” ở lớp 12 trung học phổ thông. - Tổ chức toán học đối với định sin: một khảo sát theo cách tiếp cận nhân chủng học trong Didactic toán (Tạp chí khoa học, Trường Đại học Cần Thơ (nhận đăng)).. - Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông (Luận văn thạc sĩ)