- DOI:10.22144/jvn.2016.608 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA. - BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CẤP HAI TRONG HÌNH TRỤ ĐÁY KHÔNG TRƠN. - Bài toán biên ban đầu thứ hai, phương trình Schrödinger, nghiệm suy rộng, hình trụ đáy không trơn. - Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với hệ phương trình Schrödinger tổng quát trong miền chứa điểm nón đã được tác giả Nguyen Manh Hung (1998) nghiên cứu. - Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn Q T , 0. - Bài báo trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng.. - Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn. - Bài toán giá trị biên đối với phương trình Schrödinger trong hình trụ hữu hạn biên trơn đã được xét trong công trình của Lions và Magenes (1972). - Bài báo này đã công bố các kết quả đối với phương trình Schrödinger với các hệ số a pq là những hàm không phụ thuộc vào biến t. - Bài toán giá trị biên đối với hệ phương trình Schrödinger trong hình trụ vô hạn biên không trơn đã được xét trong công trình của Nguyễn Mạnh Hùng và Nguyễn Thị Kim Sơn (2008). - Trong công trình này tác giả đã giải quyết bài toán với hệ. - phương trình Schrödinger tổng quát.. - Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong miền trụ với đáy không trơn. - Giả sử l là một số nguyên không âm, trong bài báo này chúng tôi sử dụng các không gian hàm sau.. - C là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp l 0 trên. - C là không gian các hàm liên tục trên. - là không gian các hàm khả vi vô hạn trên. - là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong. - L là không gian các hàm bình. - T là không gian các hàm bình phương khả tích trên T với chuẩn. - H là không gian gồm các hàm vec tơ. - là không gian gồm các hàm u x t. - L T L là không gian gồm các hàm giá trị phức đo được u :(0. - thỏa mãn. - ở đó a ij a x t ij. - Hơn nữa chúng ta giả sử. - a x t a ij ji x t với mọi i,j 1,...,n. - và tồn tại một hằng số dương. - 0 sao cho. - Trong hình trụ Q T , 0. - T , chúng ta xét bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai:. - đươ ̣c go ̣i là nghiê ̣m suy rô ̣ng trong không gian H 1,0. - và với mỗi. - T , đẳng thức sau. - n a x u j x i au dxdt i u dxdt t i j. - e t QT , sao cho. - Giả sử các hệ số của toán tử L(x,t,D) thỏa mãn điều kiện (1.2) và. - Thì bài toán có không quá một nghiệm suy rộng trong không gian. - Bổ đề 2.1 Giả sử các hệ số. - a a x t i j n a a x t của toán tử L(x,t,D) thỏa mãn điều kiện (1.2) và a x t ij. - Khi đó tồn tại hằng số 0 0 sao cho. - (Xem Nguyen Manh Hung and Phung Kim Chuc (2012) để biết chi tiết về sự tồn tại của 0. - Bổ đề 2.2 (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) Giả sử u(t) và. - 0 0 0 , ở đó L là hằng số dương. - Bây giờ ta chứng minh định lí 2.1.. - Chứng minh. - Giả sử tồn tại. - 0 bài toán (1.3. - Khi đó u thỏa mãn đồng nhất thức tích phân (1.6) với f = 0 và u(x,0. - t và chọn hàm thử lại chính hàm đã chọn ở trên vào (1.6) với f = 0, ta nhận được.. - n a x t j x i a dxdt i t t dxdt. - Cộng đẳng thức (2.2) với liên hợp phức của nó ta được. - 0 , ta nhận được đẳng thức sau:. - B dxdt dxdt. - Sử dụng giả thiết về a a ij , và bất đẳng thức Cauchy ta được. - Thay vào (2.5) ta được. - ta nhận được (1 2. - Áp dụng Bất đẳng thức Gronwall-Bellman ta được J b. - trong không gian. - Định lí được chứng minh.. - 3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM. - Khi đó tồn tại một hằng số 0 sao cho với mỗi. - 0 , bài toán có duy nhất một nghiệm suy rộng u x t. - Hơn nữa bất đẳng thức sau đúng. - Sự duy nhất nghiêm của bài toán được suy ra từ Định lí 2.1. - Sự tồn tại nghiệm của bài toán được chứng minh nhờ phương pháp xấp xỉ Galerkin.. - Giả sử. - là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai:. - Nhân đẳng thức (3.1) với. - Giả sử là một số dương. - T , tích phân hai vế của (3,3) theo t từ 0 đến ta được. - i u u dxdt t t i f u dxdt t. - Cộng (3.4) với liên hợp phức của nó ta có. - Từ đây, tích phân từng phần (3.5) với điều kiện (3.2) ta nhận được. - Áp dụng bổ đề (2.1) và bất đẳng thức Cauchy ta được. - bất đẳng thức Gronwall- Bellman ) vào (3.7) ta được. - Với mỗi hằng số dương sao cho. - 0 ta thấy tồn tại một hằng số dương. - 0 ) sao cho. - Nhân cả hai vế của (3.8) với e 2. - sau đó lấy tích phân theo biến từ 0 đến ta được. - ở đó C 2 là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào. - là một dãy bị chặn đều trong không gian H 1,0 ( e. - Bây giờ ta chứng minh u x t. - là nghiệm suy rộng của bài toán (1.3. - (1.5) trong không gian. - do u N ( ,0) 0 x nên dễ dàng chứng minh được u x ( ,0) 0 trong. - Ta còn phải đi chứng minh hàm u x t. - Nhân cả hai vế (3.1) với d t H l. - Lấy tổng đẳng thức nhận được theo tất cả l từ 1 đến N và lấy tích phân theo t từ 0 đến T.. - n a u x N j x i au N dxdt i u t N dxdt i j. - n a u x N j x i au dxdt i u N t dxdt i j. - Cho đẳng thức trên qua giới hạn với dãy hội yếu khi N dần tới. - ta được. - a x j x i au dxdt i u dxdt t i j. - thỏa mãn điều kiện. - Định lý được chứng minh.. - Kết quả của bài toán đã nêu trong bài báo được lấy làm cơ sở để nghiên cứu tính chính quy của nghiệm và biểu diễn tiêm cận nghiệm của bài toán.. - Phương pháp giải quyết bài toán trong bài báo được áp dụng giải quyết các bài toán tương tự như các công trình của Nguyễn Mạnh Hùng và Phùng Kim Chức . - Chúng ta có thể thay đổi 0 để được không gian nghiệm rộng hơn.