Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 3

Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

253
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán tử và hệ hàm. Do hệ lượng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên người ta không thể biểu diễn các đại lượng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thường như trong cơ học cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lượng tử

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 3

Ch−¬ng Ch−¬ng 3 To¸n To¸n tö vµ hÖ hµm 3.1. 3.1. To¸n tö Do hÖ l−îng tö cã c¸c thuéc tÝnh kh¸c biÖt víi hÖ vÜ m«, nªn ng−êi ta kh«ng thÓ biÓu diÔn c¸c ®¹i l−îng vËt lÝ cña hÖ nµy b»ng c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch th«ng th−êng nh− trong c¬ häc cæ ®iÓn mµ ph¶i dïng ®Õn mét c«ng cô to¸n häc míi cã kh¶ n¨ng m« t¶ b¶n chÊt cña hÖ l−îng tö. Mét trong nh÷ng c«ng cô Êy lµ to¸n tö t¸c dông lªn hµm sãng. 3.1.1. §Þnh nghÜa: To¸n tö lµ mét phÐp to¸n khi ta t¸c dông lªn mét hµm th× cho ra mét hµm míi. Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n ®−îc qui −íc trong to¸n tö A ®èi víi hµm sè ϕx ®øng sau nã ta nhËn ®−îc hµm míi ψx. Hay nãi c¸ch kh¸c ψx lµ kÕt qu¶ cña sù t¸c ®éng to¸n tö A lªn hµm sè ϕx. A ϕx = ψx KÝ hiÖu: (3.1) ˆ VÝ dô: To¸n tö A hµm sè hµm míi nh©n víi a x ax 4 4x3 d/ dx x +5 To¸n tö A = nh©n víi a cã nghÜa lµ thùc hiÖn phÐp nh©n a vµo hµm sè ®øng sau nã. A = d/ dx nghÜa lµ lÊy ®¹o hµm theo x hµm sè ®øng sau nã. Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu ˆ ˆˆˆ c¸c to¸n tö: A , B , C .. . 3.1.2. C¸c phÐp to¸n vÒ to¸n tö a. PhÐp céng cña hai to¸n tö A vµ B: Tæng c¸c to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C ( C = A + B ) sao cho khi C t¸c dông lªn ˆ ˆ ˆ ˆ hµm u (tuú ý) th× b»ng A + B t¸c dông lªn hµm u ®ã. ˆ ˆ A + B = C nÕu C u = A u + B u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ VÝ dô: A = x; B = d/ dx ; u = U (x) ˆ ˆ C = x + d /dx ˆ C u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u ˆ b. TÝch c¸c to¸n tö: TÝch hai to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C hay C' sao cho: 23
C = A. B ⇒ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ C u = A [ B u] ⇒ ˆ ˆ C = B.A C u = B [ A u] ˆˆ ˆˆ VÝ dô: A = x , B = d /dx ˆ ˆ ˆ ˆˆ C u = A [ B u] = x.du /dx C u = B [ A u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u ≠ C u ˆ ˆ ˆˆ NÕu A . B ≠ B . A th× ta nãi hai to¸n tö A , B kh«ng giao ho¸n víi nhau, ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆˆˆ ˆ ta gäi [ A , B ] = A . B - B . A lµ giao ho¸n tö cña hai to¸n tö A vµ B . ˆ NÕu A . B = B . A th× ta nãi hai to¸n tö A vµ B giao ho¸n. ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ [ A,B] = A. B- B. A = 0 ˆˆ ˆˆˆˆ b. Luü thõa cña to¸n tö: Luü thõa cña to¸n tö A ®−îc ®Þnh nghÜa: ˆ ¢2u = (¢.¢)u = ¢ (¢u) VËy ¢2 = ¢.¢ lµ ¢ t¸c dông liªn tiÕp hai lÇn. d , u(x) = x4 VÝ dô: ¢= dx d d ¢2 u = (4x3) = 12x2 (du/dx) = dx dx 3.2. 3.2. To¸n tö tuyÕn tÝnh 3.2.1. §Þnh nghÜa: To¸n tö L ®−îc gäi lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh nÕu nã tho¶ m·n biÓu thøc ˆ sau: L (au + bv) = a L u + b L v (3.2) ˆ ˆ ˆ u,v: hµm ; a,b: c¸c h»ng sè bÊt k× d VÝ dô: to¸n tö cña hµm f(x) theo x lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh v×: dx d d d (af1(x) + bf2(x)) = a. f1(x) + b. f2(x) dx dx dx Mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh nh−: to¸n tö nh©n (víi mét sè, mét hµm sè) d2 d +To¸n tö ∫ , vi ph©n: , .. . dx 2 dx 24
∂2 ∂2 ∂2 +To¸n tö Laplace: ∆ = + 2+ 2 ∂x 2 ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ∇= + + +To¸n tö Napla: ∂x ∂y ∂z ℏ2 ∆ +To¸n tö Hamilton H = - + U(x,y,z) 2m , ( )m C¸c to¸n tö kh«ng tuyÕn tÝnh: (m ≠ 1); 3.2.2. TÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh NÕu hai to¸n tö A , B lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh (t4) th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chóng ˆˆ lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ tÝch cña chóng nh©n víi mét sè còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. A , B : t4 (a. A + b. B ) : t4 th× ˆˆ ˆ ˆ (c. A . B , d. B A ) : t4 ˆˆ ˆˆ 3.2.3. Hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh a. §Þnh nghÜa: NÕu kÕt qu¶ t¸c ®éng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh L lªn mét hµm u a. ˆ b»ng chÝnh hµm u ®ã nh©n víi tham sè L nµo ®ã, th× ta gäi u lµ hµm riªng vµ L lµ trÞ riªng cña to¸n tö L : ˆ L u = Lu (3.3) ˆ u lµ hµm riªng cña L , cßn L lµ trÞ riªng cña L øng víi hµm riªng u. ˆ ˆ d (eax) = a. eax Vd: dx d hµm u(x) = eax lµ hµm riªng cña to¸n tö , cßn a lµ trÞ riªng cña to¸n tö vµ øng dx víi hµm riªng eax Ph−¬ng tr×nh (3.3) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hµm riªng- trÞ riªng cña to¸n tö L . ˆ b. TrÞ riªng kh«ng suy biÕn vµ suy biÕn Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh L cã thÓ tån t¹i nhiÒu hµm riªng vµ trÞ riªng kh¸c nhau. ˆ TËp hîp c¸c trÞ riªng cña L gäi lµ phæ c¸c trÞ riªng. Phæ c¸c trÞ riªng cã thÓ lµ liªn tôc ˆ hoÆc gi¸n ®o¹n, hoÆc mét phÇn gi¸n ®o¹n mét phÇn liªn tôc. 25
- NÕu øng víi mçi hµm riªng u chØ cã mét trÞ riªng L th× ng−êi ta nãi trÞ riªng ®ã lµ kh«ng suy biÕn. - NÕu øng víi mét trÞ riªng L ta cã k hµm riªng u th× ta nãi trÞ riªng L suy biÕn k lÇn hay suy biÕn bËc k. VÝ dô: L u1 = Lu1 ˆ L u2 = Lu2 ˆ L uk = Luk ˆ L lµ trÞ riªng suy biÕn bËc k 3.2.4. C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh a. §Þnh lÝ 1: NÕu un lµ hµm riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh L øng víi trÞ riªng Ln vµ a. ˆ a lµ mét h»ng sè tuú ý ≠ 0 th× aun còng lµ hµm riªng cña L øng víi trÞ riªng Ln. ˆ L un = Lnu n (3.4) ˆ ˆ (a.un) = Ln(a.un) (3.5) L b. §Þnh lÝ 2: NÕu Ln lµ trÞ riªng suy biÕn bËc k cña to¸n tö L : ˆ L u1 = Lnu1 ˆ L u2 = Lnu2 ˆ L uk = Lnuk ˆ th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña k hµm riªng ®ã còng lµ hµm riªng cña L øng víi trÞ riªng Ln. ˆ L (c1u1 + c2u2 +.. . + ckuk) = Ln(c1u1 + c2u2 +.. . + ckuk) (3.6) ˆ c. §Þnh lÝ 3: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai to¸n tö A vµ B cã chung hµm riªng lµ ˆ ˆ chóng ph¶i giao ho¸n víi nhau. A u = Au ˆ B v = Bu ˆ ⇔ u =v [ A, B] = 0 ˆˆ 3.3. Mét sè kh¸i niÖm vÒ c¸c hÖ hµm 3.3.1. HÖ hµm trùc giao: HÖ hµm u, v, w .. . ®−îc gäi lµ hÖ hµm trùc giao nÕu tÝch ph©n cña mét hµm nµo ®ã víi liªn hîp phøc cña mét hµm kh¸c lu«n b»ng 0 trong toµn ph¹m vi biÕn ®æi cña hµm sè. u.v* dx = 0, u.w* dx = 0 , v.w* dx = 0 ... ∫ ∫ ∫ 3.3.2. Hµm chuÈn ho¸: Hµm ψ ®−îc gäi lµ hµm chuÈn ho¸ nÕu ψψ*dx = 1. ∫ 26
ψ 2dx = 1 ∫ hay (3.7) ψ ch−a chuÈn ho¸: ψ 2 ∫ dx = N ( N ≠ 1) §Ó cã ®−îc hµm ψ chuÈn ho¸, ng−êi ta chia ph−¬ng tr×nh nµy cho N: 1 1 ψ ψψ*dx = 1 2 ∫ ∫ dx ⇒ N N 1 1 ψ)( ψ * ) dx = 1 ∫ N N 1 1 Hµm ψ = ψ lµ hµm chuÈn ho¸; lµ thõa sè chuÈn ho¸. N N 3.3.3. HÖ hµm trùc chuÈn ψ1, ψ2, .. ., ψm,.. ., ψn gäi lµ hÖ hµm trùc chuÈn nÕu nã chuÈn ho¸ vµ trùc giao víi nhau tõng ®«i mét. ∫ψm*ψndx = 1 : nÕu m = n (3.8) = 0 : nÕu m ≠ n 3.3.4. HÖ hµm ®Çy ®ñ: HÖ hµm ψ1, ψ2, .. ., ψm,.. ., ψn ®−îc gäi lµ hÖ hµm ®Çy ®ñ, nÕu hµm ψ bÊt k× cã thÓ khai triÓn thµnh chuçi tuyÕn tÝnh cña hÖ hµm Êy. ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + .. . + Cmψm + .. . + Cnψn = ∑ Ciψi (3.9) Ci : hÖ sè khai triÓn chuçi NÕu hÖ hµm ®Çy ®ñ còng lµ hÖ hµm trùc giao th× ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc hÖ sè khai triÓn chuçi. VÝ dô: Muèn x¸c ®Þnh Cm th× ta nh©n ph−¬ng tr×nh víi ψm* vµ lÊy ∫ ∫ψm*ψdx = C1 ∫ψm*ψ1dx + C2 ∫ψm*ψ2dx + .. . + Cm ∫ψm*ψmdx + .. . + Cn ∫ψm*ψndx ∫ψ ψdx * m = Cm ∫ψ ψdx * m NÕu hÖ hµm ®Çy ®ñ tho¶ m·n tÝnh chÊt chuÈn ho¸ th×: Cm = ∫ ψm*ψdx 3.3.5. Hµm ®Òu hoµ (hµm ®Òu ®Æn) 27
Hµm ψ ®−îc gäi lµ hµm ®Òu hoµ nÕu nã ®¬n trÞ, h÷u h¹n vµ liªn tôc trong ph¹m vi biÕn ®æi cña biÕn sè. tö Hermite 3.4. To¸n tö tuyÕn tÝnh tù liªn hîp (to¸n tö Hermite) 3.4.1. §Þnh nghÜa: To¸n tö L ®−îc gäi lµ to¸n tö Hermit nÕu nã tho¶ m·n hÖ thøc sau: ˆ +∞ +∞ * u. L * v*dx ∫ ∫ v L u dx = (3.10) ˆ ˆ −∞ −∞ u,v lµ c¸c hµm bÊt k×, b»ng 0 ë + ∞ vµ - ∞ u*, v*, L * lµ liªn hîp phøc cña u,v, L ˆ ˆ C¸c to¸n tö Hermit: L = x; L = U(x,y,z); L = -i ℏ (to¸n tö ®éng l−îng px ) ˆ ˆ ˆ ∂2 ∂2 ∂2 ℏ2 ∆ + 2+ 2; L= - L= + U(x,y,z) ˆ ˆ ∂x 2 ∂y ∂z 2m ℏ2 ∆ L =- ˆ 2m 3.4.2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö Hermit a. §Þnh lÝ 1: TrÞ riªng cña to¸n tö Hermit lµ trÞ thùc: Ln = Ln* a. ThËt vËy, nÕu L lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit vµ Ln lµ trÞ riªng cña L th× ta cã: ˆ ˆ L ψn = Lnψn (1) ˆ vµ ∫ ψn* L ψn dτ = ∫ ψn L * ψn dτ (2) ˆ ˆ (1) ⇒ ψ* L ψn = ψn* L n ψn ˆ ˆ ⇒ ∫ ψn* L ψn dτ = ∫ ψn* L ψn dτ = Ln ∫ ψn* ψn dτ (3) ˆ ˆ LÊy liªn hîp phøc cña (1): Ln* ψn = Ln* ψn* (4) (4) nh©n víi ψn vµ lÊy ∫ ta ®−îc: ∫ ψn Ln* ψn* dτ = ∫ ψn Ln* ψn* dτ = Ln* ∫ ψn ψ*n dτ (5) 28
tõ (2) (3) Vµ (5) suy ra: Ln∫ ψn* ψn dτ = Ln* ∫ ψn ψn* dτ hay Ln ∫ ψ 2 dτ = Ln* ∫ ψ dτ 2 ⇒ Ln = Ln* VËy trÞ riªng cña to¸n tö Hermit lµ trÞ thùc b. §Þnh lÝ 2: TËp hîp tÊt c¶ c¸c hµm riªng kh¸c nhau cña mét to¸n tö Hermit cã phæ trÞ riªng gi¸n ®o¹n lµm thµnh mét hµm trùc giao. L ψn = Ln ψn (1) ˆ L ψm = Lm ψm (2) ˆ (Ln ≠ Lm) ∫ ψn* L ψn dτ = ∫ ψn L * ψn* dτ (3) ˆ ˆ Tõ (1) nh©n ψm* råi lÊy ∫ ta ®−îc ∫ ψm* L ψn dτ = ∫ ψm* Ln ψn dτ ˆ ⇒ ∫ ψm* L ψn dτ = Ln ∫ ψm* ψn dτ (4) ˆ LÊy liªn hîp phøc (2) råi nh©n víi ψn , sau ®ã lÊy tÝch ph©n ta ®−îc: ∫ ψn L * ψm* dτ = Lm* ∫ ψm* ψn dτ = Lm ∫ ψn ψm* dτ (5) ˆ Tõ (3) so s¸nh (4) vµ (5) ta ®−îc: Ln ∫ ψm* ψn dτ = Lm ∫ ψn ψm* dτ ⇒ (Ln - Lm ) ∫ ψm* ψn dτ = 0 ⇒ ∫ ψm* ψn dτ = 0 ®ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. 3.4.2. TÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit - NÕu L lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit th× L .a (a ≠ 0) còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh ˆ ˆ Hermit. d d VÝ dô: To¸n tö i. lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit th× -i ℏ còng lµ to¸n tö dx dx tuyÕn tÝnh Hermit. - NÕu A vµ B lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit th× giao ho¸n tö A . B = B . A còng lµ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit. 29
- To¸n tö A vµ B lµ Hermit th× tæng hoÆc hiÖu cña chóng còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit. ˆ - NÕu A vµ B lµ c¸c to¸n tö Hermit th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chóng còng lµ ˆ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit. - NÕu ψn kh«ng ph¶i lµ hµm riªng cña to¸n tö Hermite L, nghÜa lµ L ψn ≠ Lnψn ˆ th× ng−êi ta gäi gi¸ trÞ Ln thu ®−îc lµ gi¸ trÞ trung b×nh hay k× väng to¸n häc cña L vµ ˆ ®−îc biÓu diÔn nh− sau: ∫ ψ n L ψ n dτ *ˆ Ln = ∫ψ nψ n dτ * Ln thu ®−îc còng lµ trÞ thùc. Th«ng qua c¸c thuéc tÝnh quan träng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermite ta thÊy r»ng chØ cã lo¹i to¸n tö nµy míi ®ñ kh¶ n¨ng biÓu diÔn b¶n chÊt cña c¸c ®¹i l−îng vËt lý cña hÖ l−îng tö. Vµ ®ã còng lµ lý do t¹i sao to¸n tö Hermite lµ c«ng cô to¸n häc trong c¬ häc l−îng tö. C©u hái vµ bµi tËp To¸n tö lµ g×? ThÕ nµo lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh? 1. Cho biÕt ®iÒu kiÖn ®Ó hai to¸n tö A vµ B ®−îc gäi lµ giao ho¸n víi nhau. 2. Cho biÕt ®Þnh nghÜa vÒ ph−¬ng tr×nh hµm riªng - trÞ riªng cña to¸n tö. 3. Cho biÕt ®Þnh nghÜa vÒ to¸n tö Hermit. 4. To¸n tö Hermit cã nh÷ng tÝnh chÊt g×? Chøng minh. 5. H·y x¸c ®Þnh hµm g(x) thu ®−îc khi cho to¸n tö U t¸c dông lªn hµm f(x) trong 6. ˆ c¸c tr−êng hîp d−íi ®©y: a) u = x; f ( x) = e − x 2 ˆˆ d ; f(x) = e − x 2 b) u = ˆ dx ˆ (to¸n tö nghÞch ®¶o); f(x) = x2 - 3x + 5 c) u = i ˆ du vµ hµm sè f(x) = e − x . H·y thùc hiÖn phÐp 7. Cho to¸n tö x = x; to¸n tö u = 2 ˆ ˆ dx giao ho¸n tö [ x , u ]. Tõ kÕt qu¶ thu ®−îc cho biÕt nhËn xÐt. ˆˆ d 8. H·y chøng minh hµm ψ(x) = 8.e4x lµ hµm riªng cña to¸n tö . Cho biÕt trÞ dx riªng thu ®−îc b»ng bao nhiªu? d 9. H·y chøng minh nh÷ng hµm sau ®©y hµm nµo lµ hµm riªng cña to¸n tö : dx 30
eikx a) b) coskx c) k d) kx e − aα 2 e) d 10. Cho to¸n tö x = x vµ u = 10. , h·y x¸c ®Þnh hµm sãng míi thu ®−îc khi thùc ˆ ˆ dx hiÖn phÐp nh©n to¸n tö cho c¸c tr−êng hîp sau: a) x . u ˆˆ b) u . x biÕt hµm f(x) = e − x 2 ˆˆ 11. H·y chøng minh c¸c trÞ riªng cña to¸n tö Hermite ®Òu lµ nh÷ng tri thùc. 11. 12. H·y chøng minh nh÷ng hµm riªng cña mét to¸n tö Hermite A øng víi nh÷hg trÞ riªng kh¸c nhau sÏ lËp thµnh mét hÖ hµm trùc giao. 13. H·y chøng minh r»ng hµm ψ(x) = 8.e4x lµ hµm riªng cña to¸n tö d/dx. Cho biÕt trÞ riªng thu ®−îc b»ng bao nhiªu? d2 14. Cho to¸n tö h = x 2 − 2 h·y chøng minh hµm sè f(x) = e − x 2 ˆ lµ hµm riªng cña /2 dx ˆ to¸n tö h vµ cho biÕt trÞ riªng t−¬ng øng b»ng bao nhiªu? 31