- Nguyên lí chồng chất các trạng thái Nguyên lí chồng chất các trạng thái Nguyên lí chồng chất các trạng thái Nguyên lí chồng chất các trạng thái 4.1.1. - Hàm sóng. - Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ l−ợng tử) đ−ợc đặc tr−ng bằng một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ. - gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ. - Mọi thông tin về hệ l−ợng tử chỉ có thể thu đ−ợc từ hàm sóng mô tả trạng thái cuả hệ.. - 3- Tính liên tục: Vì trạng thái của hệ l−ợng tử phải biến đổi liên tục trong không gian, nên hàm sóng Ψ mô tả trạng thái của hạt phải là một hàm liên tục.. - Nguyên lí chồng chất trạng thái. - Trong cơ học l−ợng tử xuất phát từ bản chất của hàm sóng ng−ời ta thừa nhận một nguyên lí, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái. - ψ n là các hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ l−ợng tử, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả đ−ợc trạng thái của hệ l−ợng tử đó. - C n ψ n : hàm trạng thái (4.3) C 1 , C 2. - Nguyên lí chồng chất phản ánh tính chất độc lập của một trạng thái này đối với một trạng thaí khác.. - Tiên đề về toán tử (tiên đề 2) Tiên đề về toán tử (tiên đề 2) Tiên đề về toán tử (tiên đề 2) Tiên đề về toán tử (tiên đề 2). - Nội dung: T−ơng ứng với mỗi đại l−ợng vật lí L của hệ l−ợng tử ở trạng thái ψ thì có một toán tử Hermit L t−ơng ứng. - Một toán tử trong cơ học l−ợng tử t−ơng đ−ơng với một đại l−ợng vật lí trong cơ. - a.Toán tử toạ độ: xˆ = x. - q( x,y,z) b.Toán tử xung l−ợng (động l−ợng) thành phần. - Toán tử xung l−ợng pˆ = p ˆ x + p ˆ y + p ˆ z. - Toán tử bình ph−ơng xung l−ợng. - Toán tử thế năng. - Toán tử động năng. - Toán tử năng l−ợng (toán tử Hamilton) E = T + U → H ˆ = T ˆ + U ˆ. - Phổ trị riêng của toán tử Hermite và những giá trị khả dĩ của các đại l−ợng vật lí t−ơng ứng. - Đại l−ợng vật lí L của một hệ l−ợng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những giá trị riêng của toán tử t−ơng ứng Lˆ thoả mãn ph−ơng trình trị riêng ở thời điểm t:. - Những giá trị ψ mà ở đó đại l−ợng vật lí L có giá trị xác định. - Nếu hệ l−ợng tử ở trạng thái ψ mà hàm ψ này đồng nhất với một hàm riêng φ k. - nào đó của toán tử Hermite Lˆ , thì ở trạng thái ψ đó đại l−ợng vật lí L có giá trị xác. - định và bằng trị riêng L k của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ. - Những trạng thái ψ L mà ở đó một đại l−ợng vật lí L có giá trị xác định là những trạng thái thoả mãn ph−ơng trình trị riêng của toán tử t−ơng ứng Lˆ. - Nếu hệ l−ợng tử ở vào trạng thái ψ, mà ψ không trùng với một hàm riêng nào của Lˆ thì đại l−ợng vật lí L của trạng thái ψ đó không có giá trị xác định. - Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái và tính đầy đủ, trực giao của hệ hàm riêng của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ ng−ời ta biểu diễn hàm ψ mô tả trạng thái của hệ thành chuỗi tuyến tính theo các hàm riêng.. - Nh− vậy, trạng thái ψ đ−ợc xem là sự chồng chất những trạng thái riêng U i của toán tử Hermite Lˆ . - Lúc đó ứng với mỗi trạng thái riêng trên, đại l−ợng vật lí L nhận những giá trị xác định L i là trị riêng t−ơng ứng với hàm riêng U i. - Điều kiện để hai đại l−ợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng hai đại l−ợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng hai đại l−ợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng hai đại l−ợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng thái thái thái. - Ta đã biết, đại l−ợng vật lí A của trạng thái ψ 1 có giá trị xác định nếu ψ 1 là hàm riêng của toán tử Aˆ . - Đại l−ợng vật lí B của trạng thái ψ 2 có giá trị xác định nếu ψ 2 là hàm riêng của Bˆ . - Do đó, hai đại l−ợng vật lí A, B của cùng trạng thái ψ sẽ có giá trị xác định đồng thời nếu ψ là hàm riêng chung của hai toán tử Aˆ , Bˆ . - Ng−ợc lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có chung hàm riêng và hai đại l−ợng vật lí t−ơng ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định.. - đồng thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau. - Các toán tử giao hoán:. - Toán tử xˆ , yˆ , zˆ giao hoán với nhau từng đôi một [ xˆ , yˆ. - Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong cùng một trạng thái.. - Toán tử thành phần động l−ợng p x , p y , p z giao hoán với nhau từng đôi một, nên có giá trị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái.. - b- Các toán tử không giao hoán:. - Do đó, chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái.. - Tuy nhiên, toán tử bình ph−ơng mômen động l−ợng Mˆ 2 = Mˆ x 2 + Mˆ y 2 + Mˆ z 2 lại giao hoán với mỗi toán tử Mˆ x, Mˆ y , Mˆ z. - Một cách hoàn toàn t−ơng tự chúng ta cũng có thể chứng minh đ−ợc ba toán tử hình chiếu momen động spin S x , S y , S z ở cùng một trạng thái không giao hoán với nhau từng đôi một. - Ng−ợc lại, toán tử bình ph−ơng momen động spin giao hoán với một trong S x , S y , S z. - Tiên đề về ph−ơng trình Schrodinger 4.5. - Tiên đề về ph−ơng trình Schrodinger. - Trạng thái dừng Trạng thái dừng Trạng thái dừng Trạng thái dừng 4.5.1. - Tiên đề 3 - Ph−ơng trình Schodinger tổng quát. - Hàm sóng ψ(q,t) mô tả trạng thái của hệ l−ợng tử biến thiên theo thời gian đ−ợc xác định bởi ph−ơng trình Schrodinger tổng quát:. - 1 , Hˆ : toán tử Haminton Hˆ = Hˆ (q,t). - ψ : hàm sóng mô tả trạng thái của hệ theo thời gian ψ(q,t). - Ph−ơng trình (4.7) do Schrodinger đ−a ra năm 1926 nh− một tiên đề, nghĩa là không thể suy ra từ bất kì một nguyên lí nào khác. - Sự đúng đắn của ph−ơng trình chỉ có thể đ−ợc khẳng định bằng các kết quả kiểm chứng khi áp dụng cho các hệ l−ợng tử cụ thể.. - Ph−ơng trình (4.7) là ph−ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất. - và ψ 2 là hai nghiệm độc lập của (4.7) thì mọi tổ hợp tuyến tính ψ = C 1 ψ 1 +C 2 ψ 2 của chúng cũng là nghiệm của ph−ơng trình.. - Vì vậy, ph−ơng trình Schodinger tổng quát cũng thể hiện nguyên lí chồng chất trạng thái trong cơ học l−ợng tử. - Do những điều đó, ph−ơng trình Schrodinger tổng quát là ph−ơng trình gốc và toán tử Haminton là toán tử quan trọng nhất của cơ học l−ợng tử không t−ơng đối tính.. - Ph−ơng trình Schodinger của các trạng thái dừng. - Thay vào ph−ơng trình Schodinger tổng quát:. - (4.12) là ph−ơng trình hàm riêng trị riêng của Hˆ , mà trị riệng của Hˆ là năng l−ợng toàn phần E nên λ = E là trị thực.. - Các hàm ψ (q) là hàm riêng của toán tử Hˆ , nó mô tả những trạng thái năng l−ợng không biến đổi theo thời gian E = λ = const. - Trạng thái có E không biến đổi theo thời gian gọi là trạng thái dừng.. - Ph−ơng trình Schodinger cho trạng thái dừng:. - Ph−ơng trình (4.13) hoặc (4.14) là ph−ơng trình quan trọng nhất của cơ học l−ợng tử. - Vì hoá học l−ợng tử chủ yếu nghiên cứu các hệ ở trạng thái dừng.. - Giải ph−ơng trình (4.10). - Nh− vậy: nghiệm tổng quát của ph−ơng trình Schrodinger sẽ là:. - Ph−ơng trình (4.15) cho ta thấy ở trạng thái dừng, mật độ xác suất không phụ thuộc vào thời gian. - Do đó, khi giải ph−ơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng ta chỉ cần tìm đến ψ (q) là đủ, vì hóa l−ợng tử chủ yếu nghiên cứu các trạng thái dừng của phân tử.. - Giả sử có một tiểu phân (hạt) khối l−ợng m chuyển động trong hộp thế một chiều theo ph−ơng x với bề rộng OA = a. - Mô hình này gọi là mô hình hộp thế một chiều, trạng thái của hạt trong hộp thế một chiều là trạng thái dừng.. - Ta có ph−ơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng:. - Vì là hộp thế một chiều theo ph−ơng x nên: 2 2 dx. - Đây là ph−ơng trình vi phân tuyến tính bậc hai có nghiệm tổng quát:. - Xác suất này có cực đại tại những vị trí khác nhau tuỳ theo trạng thái của hệ. - ở trạng thái cơ bản. - Ph−ơng trình Schrodinger có dạng:. - Để giải ph−ơng trình (4.19) ta phân li biến số: ψ (x,y,z. - Ph−ơng trình (4.22) có thể đ−ợc xem nh− là tổng của 3 ph−ơng trình có dạng giống nhau:. - Các ph−ơng trình (a), (b), (c) chính là ph−ơng trình sóng của hạt trong hộp thế một chiều mà nghiệm ta đã biết:. - Theo cơ học l−ợng tử, thay thế năng vào ph−ơng trình Schrodinger, ta có:. - Ph−ơng trình (4.27) đ−ợc viết lại:. - tỉ số α / β có thể bỏ qua, lúc đó ph−ơng trình có dạng:. - Ph−ơng trình vi phân này có nghiệm là:. - Nghiệm đúng của hàm ψ trong ph−ơng trình là : ψ = H ( ξ ) e − Z ở đây hàm H(ξ) phải đ−ợc xác định. - ξ để đ−a ph−ơng trình (4.35) về dạng Hermit.. - Giải ph−ơng trình này ng−ời ta đ−ợc nghiệm:. - Hãy cho biết nội dung, ý nghĩa của nguyên lý chồng chất trạng thái.. - Hãy cho biết điều kiện để hai đại l−ợng vật lý xác định đồng thời trong một trạng thái.. - Hãy cho biết nội dung của tiên đề về ph−ơng trình Schrodinger.. - Hãy cho biết đặc điểm toán học của ph−ơng trình Schrodinger. - Giải ph−ơng trình này thu đ−ợc những kết quả gì?. - Chứng minh rằng ở trạng thái dừng hàm mật độ xác suất có giá trị không phụ thuộc vào thời gian.. - Tại sao trạng thái dừng có giá trị năng l−ợng xác định?. - b- Hãy viết ph−ơng trình Schrodinger cho bài toán trên và giải ph−ơng trình đó.. - b) áp dụng ph−ơng pháp biến phân, xác định năng l−ợng E ở trạng thái cơ bản ứng với điều kiện biên,. - Hãy cho biết ứng với những giá trị nào khi electron chuyển động trong giếng thế một chiều với độ dài là a ở trạng thái n = 3 sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu.
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt