- Chuyên đề 6 : BẤT ĐẲNG THỨC. - Bất đẳng thức Cauchy. - Ta có: a + b 2 a.b dấu. - xảy ra khi a = b 2. - ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011. - Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1. - 4] và x y, x z . - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z. - Giải Áp dụng bất đẳng thức 1 1 2. - Ta có: P x y z 1 1 1. - xảy ra khi và chỉ khi z x. - 4] và x y thì t [1. - TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN. - Ta có: f’(t. - xảy ra khi và chỉ khi. - Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 34. - Vậy P P xy. - y xy xy x xy. - Tương tự như trên ta có minP = 34 33. - Cách 3: Ta có:. - Ta có:. - xảy ra t 1. - xảy ra.. - ab a b ab ab. - Suy ra P 2 2 2. - Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011. - Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a 2 + b 2. - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 a 3 3 b 3 3 9 a 2 2 b 2 2. - Suy ra: P = 4(t 3 – 3t. - ª Theo giả thiết ta có: 2(a 2 + b 2. - Ta có. - xảy ra khi và chỉ khi a b 2 1 1. - Ta có: P'(t. - Suy ra: P(t. - xảy ra khi và chỉ khi:. - Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010. - Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2. - Đặt t = ab + bc + ca, ta có: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. - Theo B.C.S ta có: t 2 = (ab + bc + ca) 2 ≤ 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2. - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. - 4 ta có A = 8. - Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009. - Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z. - 3yz, ta có (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3(x + y)(x + z)(y + z. - Chia hai vế cho x 3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về 1 u. - Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009. - Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x + y) 3 + 4xy 2. - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2. - xảy ra khi : x y. - 1 2 Ta có: x y 2 2 (x 2 y ) 2 2. - Vậy: A min 9 khi x y. - Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008. - Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. - Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007. - Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1.. - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. - Ta có: x 2 (y + z. - xảy ra x = y = z = 1. - Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2.. - Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007. - Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. - Ta có: P x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2. - Do x 2 + y 2 + z 2 = x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 xy yz zx. - 2 Suy ra: P 9. - 2 Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9. - Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006. - Cho hai số thực x 0 và y 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:. - (x + y)xy = x 2 + y 2 xy.. - Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 3 1 . - x y ta có: a + b = a 2 + b 2 ab (1) A = a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 + b 2 ab. - Suy ra: A = (a + b) 2 16 Với x = y = 1. - Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.. - Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006. - Cho x, y là các số thực thay đổi. - 4y 1 y 3 Do đó ta có bảng biến thiên như hình bên:. - Vậy A 2 + 3 với mọi số thực x, y.. - Khi x = 0 và y = 1. - 3 thì A = 2 + 3 nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 3 . - Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005. - 0 ta có: 4ab. - xảy ra khi và chỉ khi a = b.. - Áp dụng kết quả trên ta có:. - Ta thấy trong các bất đẳng thức thì dấu. - Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 4 . - Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005. - Chứng minh rằng với mọi x R, ta có. - Khi nào đẳng thức xảy ra?. - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:. - Tương tự ta có. - Cộng các bất đẳng thức chia hai vế của bất đẳng thức nhận được cho 2, ta có điều phải chứng minh.. - Đẳng thức xảy ra là các đẳng thức x = 0.. - Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005. - Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có. - Suy ra VT . - xy yz zx Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.. - Ta có x 2 1 2 y 2 1 2 z 2 1 2. - xảy ra khi x = y = z = 1. - Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia… ta có: 1 . - Xảy ra dấu