Giáo trình Toán học phần 3

- Phép tĩnh tiến vectơ b ω α w = ω + b Vậy phép biến hình tuyến tính là phép đồng dạng..
- và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z.
- Suy ra phép biến hình nghịch đảo là tích của các phép biến hình sau đây..
- Suy ra x + iy.
- Bu - Cv + A = 0 Qua phép biến hình nghịch đảo 1.
- Đ−ờng tròn.
- đi qua gốc A ≠ 0 và D = 0 biến thành đ−ờng thẳng không qua gốc không qua gốc A ≠ 0 và D ≠ 0 biến thành đ−ờng tròn không qua gốc Vậy phép biến hình nghịch đảo biến đ−ờng tròn suy rộng thành đ−ờng tròn suy rộng..
- c d và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z.
- Suy ra phép biến hình phân tuyến tính là tích của các phép biến hình sau đây..
- Vậy phép biến hình phân tuyến tính bảo toàn đ−ờng tròn suy rộng và tính đối xứng qua.
- thì có thể xác định đ−ợc phép biến hình phân tuyến tính..
- Qua phép biến hình Jucop.
- Đ−ờng tròn | z.
- Các ví dụ biến hình bảo giác.
- Ví dụ 1 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác nửa mặt phẳng D.
- Do ∂D và ∂G đều là đ−ờng tròn nên chúng ta chọn phép biến hình phân tuyến tính w = cz d.
- ∂G suy ra z = x.
- Ví dụ 2 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D.
- 0 suy ra f(1/ a.
- ∂G suy ra.
- Ví dụ 3 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D.
- Sau đó dùng phép biến hình phân tuyến tính (2.11.1) biến nửa mặt phẳng trên thành phần trong của hình tròn đơn vị..
- Lấy tích các phép biến hình w.
- Ví dụ 4 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D.
- điểm 1 thành điểm 0 bằng phép biến hình phân tuyến tính.
- Lấy tích các phép biến hình w = ω 2.
- Ví dụ 5 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D.
- Lấy tích các phép biến hình w = iω = i z.
- Ví dụ 6 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D.
- Tr−ớc hết biến hình tròn với lát cắt [1/3, 1] thành mặt phẳng với lát cắt [-1, 5/3] bằng phép biến hình Jucop.
- Cuối cùng dùng phép biến hình Jucop ng−ợc..
- Lấy tích các phép biến hình w = ω + ω z + 2 1.
- Tìm góc quay và hệ số co của phép biến hình w = f(z) tại điểm z ∈ D..
- Chứng minh các công thức sau đây..
- Tìm ảnh của miền D qua phép biến hình w = f(z).
- Cho phép biến hình w = (1 + i)z - 1.
- Tìm ảnh của các đ−ờng cong sau đây qua các phép biến hình w = z 1.
- Tìm phép biến hình phân tuyến tính.
- Biến hình tròn | z | <.
- Tìm phép biến hình biến các miền sau đây thành nửa mặt phẳng trên Imw >.
- Tích Phân Phức.
- Tích phân phức.
- iy(t) Tích phân.
- Kí hiệu Γ = γ([α, β]) là đ−ờng cong định h−ớng.
- Tích phân.
- gọi là tích phân của hàm phức f(z) trên đ−ờng cong Γ .
- Nếu tích phân (3.1.1) tồn tại hữu hạn thì hàm f gọi là khả tích trên đ−ờng cong Γ..
- Định lý Hàm phức f liên tục trên đ−ờng cong Γ trơn từng khúc thì khả tích..
- Tính tích phân I.
- Suy ra.
- D là đ−ờng cong định h−ớng, trơn từng khúc và nằm gọn trong miền D.
- Định h−ớng Nếu hàm f khả tích trên đ−ờng cong Γ.
- (ab) thì hàm f cũng khả tích trên đ−ờng cong Γ.
- Hệ thức Chasles Nếu hàm f khả tích trên đ−ờng cong Γ = (ab) thì với mọi c ∈ Γ hàm f khả tích trên các đ−ờng cong Γ 1 = (ac) và Γ 2 = (cb)..
- Ước l−ợng tích phân Kí hiệu s(Γ) là độ dài của đ−ờng cong Γ.
- Nếu hàm f khả tích trên đ−ờng cong Γ thì hàm | f(z.
- khả tích trên đ−ờng cong Γ..
- Kết hợp công thức (3.1.3) với công thức tích phân đ−ờng loại 1 suy ra.
- iv(x, y) khả tích trên đ−ờng cong Γ thì các hàm u(x, y) và v(x, y) khả tích trên đ−ờng cong Γ..
- Kết hợp công thức (3.1.1) và công thức Newton - Leibniz của tích phân xác định..
- Ví dụ Tính tích phân I.
- suy ra I = F(b.
- Định lý Cho hàm f giải tích trên miền D đơn liên và đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và nằm gọn trong miền D.
- Kí hiệu D Γ ⊂ D là miền đơn liên có biên định h−ớng d−ơng là đ−ờng cong Γ.
- Hệ quả 1 Cho miền D đơn liên có biên định h−ớng d−ơng là đ−ờng cong đơn, kín, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D..
- Theo định nghĩa tích phân, ta có thể xem tích phân trên ∂D nh− là giới hạn của tích phân trên đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng, nằm gọn trong miền D.
- Hệ quả 2 Cho miền D đa liên có biên định h−ớng d−ơng gồm hữu hạn đ−ờng cong đơn, kín, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D..
- Hệ quả 3 Cho miền D đa liên có biên định h−ớng d−ơng gồm hữu hạn đ−ờng cong đơn, kín, trơn từng khúc ∂D = L + 0 + L − 1.
- Suy ra từ công thức (3.3.3) và tính định h−ớng, tính cộng tính của tích phân..
- Khi đó tích phân.
- không phụ thuộc đ−ờng cong đơn, trơn từng khúc, nối a với z và nằm gọn trong miền D..
- Giả sử (amb) và (anb) là hai đ−ờng cong đơn, trơn từng khúc, nối a với z và nằm gọn trong D.
- đ−ờng cong đơn, trơn từng khúc, kín và nằm gọn trong D..
- Từ công thức (3.3.1) và tính cộng tính 0.
- Theo công thức (3.3.5) hàm F xác định đơn trị trên miền D và F(a.
- Suy ra hàm F giải tích trong D và F’(z.
- Công thức tích phân Cauchy.
- Bổ đề Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và D = D Γ .
- Tích Phân Phức Với a ∉ D , hàm f(z).
- liên tục trên D , giải tích trong D.
- Theo công thức (3.3.2) tích phân của hàm f trên đ−ờng cong kín Γ bằng không..
- Hàm f(z) liên tục trên D , giải tích trong D 1 1 theo công thức (3.3.4) và các ví dụ trong Đ1..
- Định lý Cho hàm f giải tích trong miền D và đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc,.
- Công thức (3.4.2) gọi là công thức tích phân Cauchy..
- Từ giả thiết suy ra hàm g(z).
- giải tích trong miền D..
- Sử dụng công thức (3.3.1) ta có 0.
- Kết hợp với công thức (3.4.1) suy ra công thức (3.4.2).
- Hệ quả 1 Cho miền D có biên định h−ớng d−ơng gồm hữu hạn đ−ờng cong đơn, kín, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D..
- Nếu D là miền đơn liên thì biên ∂D là đ−ờng cong Γ định h−ớng d−ơng, đơn, kín và trơn từng khúc.
- tích phân..
- Hệ quả 2 Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D Γ Γ.
- Suy ra từ công thức (3.4.3).
- Theo công thức (3.3.4).
- thoả m~n công thức (3.4.4) trong đ−ờng tròn | z + 1.
- 1 suy ra I 1 = 2πif(-1.
- thoả m~n công thức (3.4.4) trong đ−ờng tròn | z - 1.
- 1 suy ra I 2 = 2πig(1.
- Tích phân Cauchy.
- Cho đ−ờng cong định h−ớng Γ đơn, trơn từng khúc và hàm f liên tục trên Γ..
- gọi là tích phân Cauchy dọc theo đ−ờng cong Γ

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt