intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình Toán học phần 6

Chia sẻ: Phuoc Hau Phuoc Hau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
58
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến Đổi Fourier V Biến Đổi Laplace || f∗hλ - f ||1 = ≤ +∞ −∞ ∫ | (f ∗h +∞ +∞ λ )(x) − f (x) | dx = +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ ∫ (f (x − y) − f (x))h λ λ (y)dy dx

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán học phần 6

  1. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace +∞ +∞ +∞ ∫ | (f ∗h ∫ ∫ (f (x − y) − f (x))h || f∗hλ - f ||1 = )(x) − f (x) | dx = (y)dy dx λ λ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞   ∫  ∫ | f (x − y) − f (x) | dx h ≤ (y)dy = (g∗hλ)(0) λ→ g(0) = 0 0   λ →   −∞ − ∞ Suy ra tõ tÝnh chÊt 4. cña bæ ®Ò 2. §3. BiÕn ®æi Fourier • Cho c¸c h m f, F ∈ L1 kÝ hiÖu ) +∞ − i ωt ∫ f (t )e ∀ ω ∈ 3, f (ω) = dt (5.3.1) −∞ ( +∞ 1 itω ∫∞F(ω)e dω ∀ t ∈ 3, F (t) = (5.3.2) 2π − Ngo i ra h m f v h m g gäi l b»ng nhau hÇu kh¾p n¬i trªn 3 nÕu ∫ | f (x) − g(x) | dx = 0 R §Þnh lý Víi c¸c kÝ hiÖu nh− trªn ) ) ∀ f ∈ L1 f ∈ C0 ∩ L1 v || f ||∞ ≤ || f ||1 1. ( ( ∀ F ∈ L1 F ∈ C0 ∩ L1 v || F ||∞ ≤ || f ||1 2. ) ( h. k .n NÕu f = F th× F = f 3. Chøng minh 1. Theo gi¶ thiÕt h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v ta cã ∀ (ω, t) ∈ 32, | f(t)e-iωt | = | f(t) | ) Suy ra tÝch ph©n (5.3.1) bÞ chÆn ®Òu. Do h m f(t)e-iωt liªn tôc nªn h m f (ω) liªn tôc. BiÕn ®æi tÝch ph©n ) π +∞ +∞ π − i ω( t + ) dt = - ∫ f (t − )e − iωt dt f (ω) = ∫ f (t )e ω ω −∞ −∞ Céng hai vÕ víi c«ng thøc (5.3.1) suy ra ) +∞ π 2| f (ω) | ≤ ∫ | f (t ) − f (t − ) || e −iωt | dt = || f - f π ||1 ω→→ 0 +∞ ω −∞ ω Do ¸nh x¹ Φ liªn tôc theo chuÈn theo bæ ®Ò 1. Ngo i ra, ta cã Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 83
  2. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace ) ) +∞ || f ||∞ = supR| f (ω) | ≤ supR ∫ | f (t ) || e − iωt | dt = || f ||1 −∞ 2. KÝ hiÖu F-(t) = F(- t) víi t ∈ 3. BiÕn ®æi c«ng thøc (5.3.2) 1) ( +∞ 1 F(-σ)e − itσ dσ = 2 π −∫ F- (t ) víi σ = -ω F(t ) = 2π ∞ Do h m F ∈ L1 nªn h m F- ∈ L1 v kÕt qu¶ ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt 1. cña ®Þnh lý. 3. Theo tÝnh chÊt 3. cña bæ ®Ò 2 v tÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÞ chÆn ®Òu 1) ( +∞ +∞ 1 f (ω)H(λω)e itω dω = itω ∫∞ ∫∞F(ω)H(λω)e dω λ0→ F(t ) (f ∗ hλ)(t) =  → 2π − 2π − MÆt kh¸c theo tÝnh chÊt 5. cña theo bæ ®Ò 2 || f∗hλ - f ||1 λ→ 0 0 → Do tÝnh chÊt cña sù héi tô theo chuÈn h. k . n ∀ t ∈ 3, (f∗hλ)(t) λ→ f(t) 0 → Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra ( h. k .n F =f • CÆp ¸nh x¹ ) ( F : L1 → C0 , f α f v F-1 : L1 → C0 , F α F (5.3.3) x¸c ®Þnh theo cÆp c«ng thøc (5.3.1) v (5.3.2) gäi l cÆp biÕn ®æi Fourier thuËn nghÞch. ) ( Do tÝnh chÊt 3. cña ®Þnh lý sau n y chóng ta lÊy F = f v ®ång nhÊt f ≡ F . H m f gäi l h m gèc, h m F gäi l h m ¶nh v kÝ hiÖu l f ↔ F. VÝ dô ) +∞ 1 1. f(t) = e η(t) ↔ f (ω) = ∫ η(t )e −(a +iω) t dt = -at víi Re a > 0 a + iω −∞ ) +∞ 2λ 0 1 1 -λ|t| ( λ − iω) t dt + ∫ e −( λ + iω) t dt = (λ > 0) ↔ f (ω) = ∫ e f(t) = e + =2 λ − iω λ + iω λ + ω 2 −∞ 0 +∞ +∞ − iωt itω ∫ δ(t)e ∫ δ(ω)e 2. δ(t) ↔ u(ω) = dω = 1 ↔ F(ω) = 2πδ(ω) dt = 1 v u(t) = −∞ −∞ ) sin Tω T 1 | t |≤ T 3. f(t) =  − iωt ∫e 0 | t | > T ↔ f (ω) = dt = 2 ω  −T ( +∞ sin ωT sin ωT iωt 1 ∫∞2 ω e dω ≡ f(t) ngo¹i trõ c¸c ®iÓm t = ± T F(ω) = 2 ↔ F (t) = ω 2π − 1) ( T 1 | ω|≤ T 1 sin Tt F(ω) =  e itω dω = 2 π −∫ ↔ F (t) = ≡ f (t) 0 | ω | > T πt 2π  T Trang 84 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace §4. TÝnh chÊt cña biÕn ®æi Fourier • Gi¶ sö c¸c h m m chóng ta nãi ®Õn sau ®©y kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v do ®ã lu«n cã ¶nh v nghÞch ¶nh Fourier. KÝ hiÖu f ↔ F víi f(t) l h m gèc v F(ω) l h m ¶nh t−¬ng øng. 1. TuyÕn tÝnh NÕu h m f v h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè phøc λ h m λf + g còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ∀ λ ∈ ∀, λf(t) + g(t) ↔ λF(z) + G(z) (5.4.1) Chøng minh +∞ +∞ +∞ ∫ (λf (t ) + g(t ))e − iωt − i ωt − i ωt dt = λ ∫ f (t )e ∫ g(t )e dt + dt −∞ −∞ −∞ 2. DÞch chuyÓn gèc NÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α h m f(t - α) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ∀ α ∈ 3, f(t - α) ↔ e-iαωF(ω) (5.4.2) Chøng minh +∞ +∞ -iαω − iωt − iω( t − α ) ∫ f (t − α)e ∫ f (t − α)e d( t − α) §æi biÕn τ = t - α dt = e −∞ −∞ 3. §ång d¹ng NÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α kh¸c kh«ng h m f(αt) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ω 1 ∀ α ∈ 3*, f(αt) ↔ F( ) v f(-t) ↔ F(-ω) (5.4.3) |α| α Chøng minh ω +∞ +∞ sgn(α) − i ( αt ) − i ωt ∫ f (αt )e dt = α −∫ f ( α t ) e α d( α t ) §æi biÕn τ = αt −∞ ∞ sin ω VÝ dô Cho f(t) = 1 | t | ≤ 1 ↔ F(ω) = 2 0 | t | > 1 ω  sin(ω / 3) sin ω 1 Ta cã g(t) = f(3t + 3) - f(t + 3) ↔ G(ω) = 2ei3ω - eØ3ω ω ω 2 4. §¹o h m gèc Gi¶ sö h m f v c¸c ®¹o h m cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. f’(t) ↔ iωF(ω) v ∀ n ∈ ∠, f(n)(t) ↔ (iω)nF(ω) (5.4.4) Chøng minh +∞ +∞ +∞ +∞ ∫ f ′(t)e dt = f (t )e − iωt + (iω) ∫ f (t )e −iωt dt = (iω) ∫ f (t )e −iωt dt − iωt f’(t) ↔ −∞ −∞ −∞ −∞ Qui n¹p suy ra c«ng thøc thø hai. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 85
  4. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace 5. TÝch ph©n gèc Gi¶ sö h m f v tÝch ph©n cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. t 1 F(ω) + πF(0)δ(ω) ∫ f (τ)dτ ↔ (5.4.5) iω −∞ Chøng minh t ∫ f (τ)dτ ↔ G(ω), g’(t) = f(t) KÝ hiÖu g(t) = −∞ ∀ ω ∈ 3, (iω)G(ω) = F(ω) Theo tÝnh chÊt 4 1 G(ω) = F(ω) víi ω ≠ 0 v G(0) = πF(0)δ(ω) Suy ra iω 6. ¶nh cña tÝch chËp NÕu h m f v h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× tÝch chËp cña chóng còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. (f∗g)(t) ↔ F(ω)G(ω) (5.4.6) Chøng minh +∞ +∞ +∞ +∞   − iωt   ∫∞ −∫∞f (t − τ)g(τ)dτ e dt = ∫  ∫ f (t − τ)e dt g(τ)e − iωτ dτ − iω( t − τ ) (f∗g)(t) ↔     −    −∞ − ∞ = F(ω)G(ω) 7. HÖ thøc Parseval Gi¶ sö h m f v h m ¶nh F cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. +∞ +∞ 1 2 ∫ | f (t) | dt = ∫ F(ω) dω 2 (5.4.7) 2π −∞ −∞ Chøng minh +∞ +∞ +∞  1 +∞ *  ∫∞  2π −∫∞F (ω)e dω dt f (t ) − itω ∫ | f (t) | dt = ∫ f (t)f (t )dt = 2 *    −∞ −∞ − +∞ +∞ +∞ 1 * 1 2 ∫∞ −∫∞f (t )e dt F (ω)dω = 2π − itω ∫ F(ω) dω =   2π −   −∞ VÝ dô t dη 1. δ(t) ↔ 1 ⇒ η(t) = ∫ δ(τ)dτ ↔ 1 + πδ(ω) v δ(t) = ↔ iω( 1 + πδ(ω)) ≡ 1 iω iω dt −∞ t 1 1 2. g(t) = ∫ f (τ)dτ = (f∗η)(t) ↔ F(ω)( + πδ(ω)) = F(ω) + πF(0)δ(ω) iω iω −∞ 1 1 1 1 1 3. f(t) = [e-λtη(t)]∗[e-µtη(t)] (λ ≠ µ) ↔ F(ω) = − = ( ) λ + iω µ + iω µ − λ λ + iω µ + iω ) 1 (e-λt - e-µt)η(t) ≡ f(t) ↔ F (t) = µ−λ Trang 86 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace C«ng thøc ®èi ngÉu So s¸nh cÆp c«ng thøc Fourier (5.3.1) v (5.3.2) ( +∞ 1 i ( − ω) σ ∫∞f (σ)e dσ = 2π F (-ω) ≡ 2πf(-ω) f(t) ↔ F(ω) ⇒ F(t) ↔ 2π 2π − +∞ 1 1ˆ 1 −i(− t )τ ∫∞f (τ)e dτ = 2π f (-t) ≡ 2π f(-t) F(ω) ↔ f(t) ⇒ f(ω) ↔ (5.4.8) 2π − Tõ ®ã suy ra tÝnh ®èi ngÉu cña cÆp biÕn ®æi Fourier. NÕu biÕn ®æi Fourier thuËn cã tÝnh chÊt α th× biÕn ®èi Fourier nghÞch còng cã tÝnh chÊt ®ã chØ sai kh¸c mét h»ng sè 2π v biÕn sè cã dÊu ng−îc l¹i. Chóng ta cã c¸c c«ng thøc sau ®©y. eiαtf(t) ↔ F(ω - α) ∀α∈3 2’. DÞch chuyÓn ¶nh (5.4.2’) 1 t ∀ α ∈ 3* f ( ) ↔ F(αω) 3’. §ång d¹ng (5.4.3’) |α| α - itf(t) ↔ F’(ω) v ∀ n ∈ ∠, (-it)nf(t) ↔ F(n)(ω) 4’. §¹o h m ¶nh (5.4.4’) ω - 1 f(t) + πf(0)δ(t) ↔ ∫ F(σ)dσ 5’. TÝch ph©n ¶nh (5.4.5’) it −∞ +∞ 1 1 ∫∞F(σ)G(ω − σ)dσ = 2π (F∗G)(ω) f(t)g(t) ↔ 6’. ¶nh cña tÝch (5.5.6’) 2π − VÝ dô 2λ 2λ f(t) = e-λ|t| (λ > 0) ↔ F(ω) = ⇒ g(t) = 2 2 ↔ G(ω) = 2πe-λ|ω| 1. λ +t λ +ω 22 1 11 (Rea > 0) ↔ f(t) = e-atη(t) ⇒ G(ω) = e-aωη(ω) ↔ g(t) = F(ω) = 2. a + iω 2 π a − it iαt u(t) =1 ↔ 2πδ(ω) ⇒ ∀ α ∈ 3, e ↔ 2πδ(ω - α) 3. π π 1 1 -iαt f(t) = sinαt = eiαt - e ↔ F(ω) = δ(ω - α) - δ(ω + α) 2i 2i i i 1π π G(ω) = sinαω ↔ g(t) = ( δ(-t - α) + δ(-t + α)) 2π i i §5. T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Fourier • Tõ cÆp c«ng thøc ®èi ngÉu (5.4.8) suy ra r»ng nÕu chóng ta cã ®−îc mét c«ng thøc cho h m ¶nh th× sÏ cã c«ng thøc t−¬ng tù cho h m gèc v ng−îc l¹i. V× vËy trong môc n y chóng ta chØ ®−a ra c«ng thøc t×m ¶nh hoÆc c«ng thøc t×m gèc. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 87
  6. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace ¶nh cña h m tuÇn ho n Do h m mò g(ω) = e-iωt tuÇn ho n víi chu kú T = 2π nªn h m ¶nh F(ω) lu«n l h m tuÇn ho n víi chu kú T = 2π. Ng−îc l¹i, ta cã +∞ 1 dt = eiαt − iωt ∫ 2πδ(ω − α)e ∀ α ∈ 3, F1(ω) = 2πδ(ω - α) ↔ f1(t) = 2π −∞ NÕu h m f(t) l h m tuÇn ho n chu kú T, khai triÓn Fourier T +∞ f (t )e − ikαt dt , k ∈ 9 v α = 2π 1 ∑ a k e ikαt víi ak = T∫ f(t) = T -∞ 0 Do tÝnh tuyÕn tÝnh +∞ ∑a f(t) ↔ F(ω) = 2 πδ(ω − kα ) (5.5.1) k -∞ VÝ dô +∞ 1 ∑ δ(t − nT ) tuÇn ho n chu kú l T v ∀ k ∈ 9, a k = 1. H m f(t) = suy ra T −∞ 2 π +∞ 2π +∞ ∑ δ(t − nT ) ↔ F(ω) = ∑ δ(ω − k T ) f(t) = T −∞ −∞ 1 -iαt 1 iαt 2. Ta cã f(t) = cosαt = e + e ↔ F(ω) = πδ(ω + α) + πδ(ω - α) suy ra 2 2 +∞ 1 1 1 ∫∞F(σ)G(ω − σ)dσ = 2 G(ω + α) + 2 G(ω - α) víi g(t) ↔ G(ω) f(t)g(t) ↔ 2π − ¶nh cña h m trÞ thùc KÝ hiÖu f*(t) l liªn hîp phøc cña h m f(t). Khi ®ã nÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× h m f* còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v ta cã * +∞  +∞  ∫∞f (t )e dt =  −∫∞f (t )e dt  = F (- ω) − i ωt − i ( − ω) t * *     − Tõ ®ã suy ra c«ng thøc f*(t) ↔ F*(-ω) (5.5.2) • Gi¶ sö ∀ ω ∈ 3, F(ω) = R(ω) + iI(ω) = |F(ω)| eΦ(ω) NÕu f(t) l h m trÞ thùc f*(t) = f(t) ⇒ F*(-ω) = R(-ω) - iI(-ω) ≡ F(ω) = R(ω) + iI(ω) Tõ ®ã suy ra R(-ω) = R(ω), I(-ω) = - I(ω) v |F(-ω)| = |F(ω)|, Φ(-ω) = - Φ(ω) (5.5.3) NÕu f(t) l h m trÞ thùc v ch½n f*(t) = f(t) v f(-t) = f(t) ⇒ F*(-ω) = F(-ω) = F(ω) l h m trÞ thùc v ch½n NÕu f(t) l h m trÞ thùc v lÎ Trang 88 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  7. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace f*(t) = f(t) v f(-t) = - f(t) ⇒ F*(-ω) = - F(-ω) = F(ω) l h m thuÇn ¶o v lÎ NÕu f(t) l h m trÞ thùc bÊt k×, ph©n tÝch 1 1 f(t) = [(f(t) + f(-t)] + [f(t) - f(-t)] = Ef(t) + Of(t) 2 2 víi Ef l h m ch½n v Of l h m lÎ. Dïng tÝnh tuyÕn tÝnh v c¸c kÕt qu¶ ë trªn f(t) ↔ R(ω) + iI(ω) = F(ω) (5.5.4) 2λ 1 VÝ dô f(t) = e-λ|t| = 2E{ e-λtη(t) } (λ > 0) ↔ F(ω) = 2Re{ }= 2 λ + iω λ + ω2 Gèc cña h m h÷u tû Ta ® cã 1 (Rea > 0) ↔ e-atη(t) (5.5.5) a + iω Sö dông c«ng thøc ®¹o h m ¶nh v qui n¹p suy ra t n −1 1 (Rea > 0) ↔ e-atη(t) (5.5.6) ( n − 1)! (a + iω) n XÐt tr−êng hîp h m F(ω) l mét ph©n thøc h÷u tû thùc sù. Do h m F(ω) kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn nã kh«ng cã cùc ®iÓm thùc. Tr−íc hÕt chóng ta ph©n tÝch F(ω) th nh tæng c¸c ph©n thøc ®¬n v ph©n thùc béi. Sau ®ã sö dông c¸c c«ng thøc (5.4.1) - (5.4.7’) ®Ó ®−a vÒ c¸c tr−êng hîp trªn. Trong c¸c tr−êng hîp phøc t¹p h¬n cã thÓ ph¶i dïng ®Õn c¸c c«ng thøc ¶nh cña tÝch hoÆc ¶nh cña tÝch chËp ®Ó t×m gèc. VÝ dô T×m gèc cña ph©n thøc (iω) 2 + 3iω + 2 B C 1. F(ω) = =A+ + 3 + iω (3 + iω) 2 (iω) + 6iω + 9 2 1 2 ↔ f(t) = δ(t) - e-3tη(t) + 2te-3tη(t) =1- + 3 + iω (3 + iω) 2 2ω − 1 2ω − 1 A B 2. F(ω) = = = + − (iω) + 4i(iω) + 5 1 + 2i − iω 1 − 2i + iω ω − 4ω + 5 2 2 −2+i 2+i ↔ f(t) = (-2 + i)e-(1+2i)tη(t) - (2 + i)e-(1-2i)tη(t) = - 1 + 2 i − iω 1 − 2 i + iω Ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng Cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng N M ∑a y (t ) = ∑ b j x ( j) (t ) víi N ≥ M (k) (5.5.7) k k =0 j =0 ChuyÓn qua ¶nh Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 89
  8. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace N M ∑a Y(ω) = ∑ b j (iω) ( j) X(ω) k (iω) (k) k =0 j= 0 Gi¶i ra ®−îc ∑ b (iω) j Y(ω) = j X(ω) = H(ω)X(ω) ↔ y(t) = h(t)∗x(t) (5.5.8) ∑ a (iω) k k VÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh y”(t) + 4y’(t) + 3y(t) = x’(t) + 2x(t) ChuyÓn qua ¶nh [(iω)2 + 4(iω) + 3] Y(ω) = [(iω) + 2] X(ω) Gi¶i ra ®−îc 2 + iω 1 1 1 1 H(ω) = ) ↔ h(t) = (e-t + e-3t)η(t) =( + (1 + iω)(3 + iω) 2 1 + iω 3 + iω 2 Theo c«ng thøc (5.5.8) t ∫ h(τ)dτ x(t) = δ(t) ⇒ y(t) = h(t) v x(t) = η(t) ⇒ y(t) = −α Cho x(t) b»ng mét h m cô thÓ 1 x(t) = e-tη(t) ↔ X(ω) = 1 + iω Gi¶i ra ®−îc nghiÖm t−¬ng øng 1 1 2 1 1 Y(ω) = ( ) ↔ y(t) = (e-t + 2te-t - e-3)η(t) + - 4 1 + iω (1 + iω) 3 + iω 2 4 B¶ng gèc ¶nh Fourier F(ω) F(ω) Tt f(t) Tt f(t) 1 δ(t) 1 7 +∞ +∞ e ikαt , α = 2π ∑a 2 π∑ a k δ(ω − kα ) k T −∞ −∞ 2 η(t) 2 π +∞ 8 +∞ 1 ∑ δ(t − kT ) ∑ δ(ω − kα) + πδ(ω) iω T −∞ −∞ iαω 3 δ(t - α) cosαt π[δ(ω - α) + δ(ω + α)] 9 e 2πδ(ω) 10 sinαt -πi[δ(ω - α) - δ(ω + α)] 41 sin Tω 1 | t | < T 5 11 t n −1 1 e-atη(t) 0 | t | > T 2 , Rea > 0  ω (a + iω) n (n − 1)! sin kαT1 1 | ω | < W 12 1 | t | < T1 6 +∞ sin Wt 2∑ δ(ω − kα) 0 | ω | > W 0 T < | t | ≤ T/2  πt  k −∞ 1 f(t + T) = f(t) Trang 90 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace §6. BiÕn ®æi Laplace • H m f ∈ F(3, ∀) gäi l h m gèc nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y f(t) liªn tôc tõng khóc trªn 3 1. ∀ t < 0, f(t) = 0 2. ∃ M > 0, ∃ s > 0 sao cho ∀ t > 0, | f(t) | < Mest 3. Sè s0 bÐ nhÊt tho¶ m n ®iÒu kiÖn 3. gäi l chØ sè t¨ng cña h m gèc. KÝ hiÖu G l tËp hîp c¸c h m gèc v P+(s0) = { z ∈ ∀ : Rez > s0 } l nöa mÆt ph¼ng ph¶i. NÕu f(t) l h m gèc chØ sè t¨ng s0 ta sÏ viÕt f ∈ G(s0). §Þnh lý Cho f ∈ G(s0). Khi ®ã h m biÕn phøc +∞ − zt ∫ f (t )e dt víi z ∈ P+(s0) F(z) = (5.6.1) 0 gi¶i tÝch trªn nöa mÆt ph¼ng P+(s0) v F(z) Re z →→ 0 ®Òu theo Argz.  +∞ Chøng minh Theo gi¶ thiÕt ta cã −íc l−îng ∀ σ = Rez > s0, ∀ t ∈ 3, | f(t)e-zt | ≤ M e − ( σ−s0 ) t σ→→ 0 +∞ Suy ra tÝch ph©n (5.6.1) héi tô ®Òu trªn P+(s0) v dÇn ®Òu vÒ kh«ng khi σ dÇn ra +∞. Do h m mò g(z) = e-zt l h m gi¶i tÝch nªn h m F(z) gi¶i tÝch trªn P+(s0). Ngo i ra ®¹o h m qua dÊu tÝch ph©n chóng ta nhËn ®−îc c«ng thøc +∞ ∀ z ∈ P+(s0), F’(z) = − ∫ tf (t )e − zt dt 0 • ¸nh x¹ L : G(s0) → H(P+(s0)), f(t) α F(z) (5.6.2) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (5.6.1) gäi l phÐp biÕn ®æi Laplace. H m f(t) gäi l h m gèc, h m F(z) gäi l h m ¶nh cña biÕn ®æi Laplace v kÝ hiÖu l f(t) ↔ F(z). VÝ dô +∞ 1. δ(t) = + ∞ t = 0 ↔ u(z) = − zt ∫ δ(t )e dt ≡ 1 0 t≠0  0 +∞ t < 0 ↔ F(z) = 1 2. η(t) = 0 − zt ∫ η(t )e dt = víi Rez > 0 1 t≥0  z 0 +∞ 1 3. f(t) = eatη(t) ↔ F(z) = ∫ e ( a − z ) t dt = víi Rez > Rea z−a 0 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 91
  10. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace Chó ý 1. BiÕn ®æi Laplace kh«ng ph¶i l song ¸nh v nöa mÆt ph¼ng P+(s0) thay ®æi theo tõng +∞ h m gèc f(t). Tøc l ∃ f(t) ∉ G(s0) v F(z) = ∫ f (t )e − zt dt l h m gi¶i tÝch trªn P+(s0). 0 2. H m gèc ®Þnh nghÜa nh− trªn gäi l gèc ph¶i. T−¬ng tù cã thÓ ®Þnh nghÜa h m gèc tr¸i, h m gèc hai bªn. Do vËy cã thÓ nãi ®Õn phÐp biÕn ®æi Laplace tr¸i, ph¶i v hai bªn. Trong gi¸o tr×nh n y chóng ta chØ xÐt ®Õn biÕn ®æi Laplace ph¶i. 3. NÕu f(t) l h m trÞ phøc tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn 1. v 3. cña ®Þnh nghÜa h m gèc th× f(t)η(t) còng l h m gèc. Sau nay chóng ta sÏ viÕt f(t) thay cho f(t)η(t). §7. BiÕn ®æi Laplace ng−îc • H m F ∈ F(∀, ∀) gäi l h m ¶nh nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1. F(z) gi¶i tÝch trªn nöa mÆt ph¼ng Rez > s F(z) Re z →→ 0 ®Òu theo Argz  2. +∞ σ + i∞ ∫ F(z)dz héi tô tuyÖt ®èi ∀ σ = Re z > s, tÝch ph©n 3. σ − i∞ Sè s0 bÐ nhÊt tho¶ m n ®iÒu kiÖn 1. v 3. gäi l chØ sè cña h m F(z). KÝ hiÖu A l tËp hîp c¸c h m ¶nh. NÕu F(z) l h m ¶nh chØ sè s0 ta sÏ viÕt F ∈ A(s0). §Þnh lý Cho F(z) ∈ A(s0). Khi ®ã h m trÞ phøc σ + i∞ 1 ∫ F(z)e ∀ t ∈ 3, f(t) = zt dz (5.7.1) 2 πi σ − i∞ l h m gèc chØ sè s0 v f(t) ↔ F(z). Chøng minh Theo gi¶ thiÕt 3. víi mçi σ > s0 cè ®Þnh h m F(σ + iω) kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. KÝ hiÖu +∞ 1 F(σ + iω)e iωt dω 2 π −∫ ∀ t ∈ 3, gσ(t) = ∞ σ + i∞ +∞ 1 1 σt σ + iωt ∫∞F(σ + iω)e dω = 2πi σ−∫i∞F(z)e dz ∀ σ > s0, f(t) = gσ(t)e = zt 2π − Theo ®Þnh lý vÒ biÕn ®æi Fourier ng−îc h m gσ ∈ C0 suy ra h m f ∈ CM. Ngo i ra do gi¶ thiÕt 1., 2. v c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6) − σ + i∞ 1 ∑ Re s[F(-z)e zτ zτ ∫iF(-z)e dz = ∀ t = - τ < 0, f(t) = ,ak ] = 0 2πi −σ− ∞ Re a k > s 0 Trang 92 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  11. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace ¦íc l−îng tÝch ph©n ∀ σ > s0, | f(t) | = | gσ(t) | eσt < Meσt víi M = sup{ | gσ(t) |, σ > s0 } Tõ ®ã suy ra h m f(t) l h m gèc v ta cã +∞ +∞ +∞ − iωt −( σ + iω ) t dt = ∫ f (t )e − zt dt ∫g ∫ f (t )e ∀ σ > s0 , F(z) = (t )e dt = σ −∞ −∞ 0 HÖ qu¶ 1 Cho h m F(z) ∈ A(s0) v cã c¸c cùc ®iÓm ak víi k = 1...n n ∑ Re s[ f (z)e F(z) ↔ f(t) = zt (5.7.2) ,a k ] k =1 Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.1) v c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6) A( z ) HÖ qu¶ 2 Cho h m F(z) = l ph©n thøc h÷u tû thùc sù, cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n thùc B( z ) ak víi k = 1..n v c¸c cùc ®iÓm ®¬n phøc bj = αj ± βj víi j = 1..m. Khi ®ã e + 2 ∑ e j (M j cos β j t − N j sin β j t ) n m A(a k ) a k t f(t) = ∑ αt (5.7.3) k =1 B ′(a k ) j =1 A( b j ) A( b j ) trong ®ã Mj = Re v Nj = Im víi j = 1..m B ′(b j ) B ′(b j ) Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.2) v c«ng thøc tÝnh thÆng d− t¹i cùc ®iÓm ®¬n. 3z 2 + 3z + 2 cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n a = 2 v b = -2 ± 2i VÝ du H m F(z) = (z − 2)(z 2 + 4 z + 8) A ( −2 + 2 i ) A (2 ) = 1 + 1 i ⇒ M = 1, N = 1 = 1, Ta cã B ′(−2 + 2i ) 4 4 B (2 ) f(t) = e2t + 2e-2t(cos2t - 1 sin2t) Suy ra 4 HÖ qu¶ 3 Cho F(z) ∈ A(s0) v cã khai triÓn Laurent trªn miÒn | z | > R. Khi ®ã +∞ +∞ a an F(z) = ∑ n ↔ f(t) = ∑ t n −1 (5.7.4) (n − 1)! n z n =1 n =1 Chøng minh Víi Rez > R, chuçi ë vÕ tr¸i (5.7.4) héi tô ®Òu. TÝch ph©n tõng tõ σ + i∞ σ + i∞ t n −1 1 +∞ e zt e zt e zt 1 ∑∫ ∫ dz víi dz = Re z[ n ,0] = f(t) = 2πi n =1 σ−i∞ z n 2πi σ−i∞ z n (n − 1)! z Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 93
  12. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace §8. TÝnh chÊt cña BiÕn ®æi Laplace • Gi¶ sö c¸c h m m chóng ta nãi ®Õn l h m gèc hoÆc l h m ¶nh v do ®ã lu«n cã ¶nh v nghÞch ¶nh Laplace. KÝ hiÖu f ↔ F víi f(t) l h m gèc v F(z) l h m ¶nh t−¬ng øng. 1. TuyÕn tÝnh NÕu h m f v h m g l c¸c h m gèc th× víi mäi sè phøc λ h m λf + g còng l h m gèc. ∀ λ ∈ ∀, λf(t) + g(t) ↔ λF(z) + G(z) (5.8.1) Chøng minh +∞ ∫ [λf (t ) + g(t )]dt = λF(z) + G(z) λf(t) + g(t) ↔ 0 2. DÞch chuyÓn gèc NÕu h m f l h m gèc th× víi mäi sè d−¬ng α h m f(t - α) còng l h m gèc. ∀ α ∈ 3 * , f(t - α) ↔ e-αz F(z) (5.8.2) + Chøng minh +∞ f(t - α) ↔ e-αz ∫ f (t − α)e − z ( t −α ) d(t − α) §æi biÕn τ = t - α 0 3. §ång d¹ng NÕu h m f l h m gèc th× víi mäi sè d−¬ng α h m f(αt) còng l h m gèc. 1 z ∀ α ∈ 3 * , f(αt) ↔ F  (5.8.3) + α α Chøng minh +∞ z 1 − αt ∫ f (α t )e f(αt) ↔ d( α t ) §æi biÕn τ = αt α α 0 4. H m tuÇn ho n NÕu h m f l T - tuÇn ho n sao cho ∀ t ∈ [0, T], f(t) = g(t) víi g l h m gèc th× h m f còng l h m gèc. G( z ) f(t) ↔ F(z) = víi g(t) ↔ G(z) (5.8.4) 1 − e − Tz Chøng minh nT T +∞  +∞  g(t )e − zt dt =  ∑ e −( n −1) Tz  ∫ g(τ)e − zτ dτ ∑∫ F(z) =    n =1 0 n =1 ( n −1) T α 1 1 1 VÝ dô Ta cã sinαt = 1 (eiαt - e-iαt) ↔ −  = 2 víi Rez > 0 2 i  z − iα z + iα  z + α 2 2i T−¬ng tù t×m ¶nh cña cosαt, shαt, cos2αt, ... Trang 94 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  13. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace 5. §¹o h m gèc Gi¶ sö h m f v c¸c ®¹o h m cña nã l c¸c h m gèc. f’(t) ↔ zF(z) - f(0) v ∀ n ∈ ∠, f(n)(t) ↔ zn F(z) - zn-1f(0) - ... - f(n-1)(0) (5.8.5) Chøng minh +∞ +∞ ∫ f ′(t )e − zt + z ∫ f (t )e − zt dt víi Rez > 0 +∞ f’(t) ↔ dt = e f(t)| -zt 0 0 0 Qui n¹p suy ra c«ng thøc thø hai. 6. TÝch ph©n gèc NÕu h m f l h m gèc th× tÝch ph©n cña nã còng l h m gèc. t 1 ∫ f (τ)dτ ↔ F(z) (5.8.6) z 0 Chøng minh t ∫ f (τ)dτ tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn h m gèc v H m g(t) = g(0) = 0. Theo c«ng thøc 5. 0 g(t) ↔ G(z) ⇒ g’(t) = f(t) ↔ zG(z) - g(0) = F(z) 7. Anh cña tÝch chËp NÕu h m f v h m g l c¸c h m gèc th× tÝch chËp cña nã còng l h m gèc. (f∗g)(t) ↔ F(z)G(z) (5.8.7) Chøng minh +∞ +∞  +∞  +∞     ∫ f (τ)g(t − τ)dτ e − zt dt =  ∫ e − zτ x(τ)dτ  ∫ e − z ( t − τ ) y(t − τ)dτ  ∫ 0 (f∗g)(t) ↔     0  0  0  8. C«ng thøc Duhamel Gi¶ sö h m f, h m g v c¸c ®¹o h m cña chóng l c¸c h m gèc. zF(z)G(z) ↔ f(0)g(t) + (f’∗g)(t) ↔ f(t)g(0) + (f∗g’)(t) (5.8.8) Chøng minh zF(z)G(z) = f(0)G(z) + (zF(z) - f(0))G(z) ↔ f(0)g(t) + (f∗g)(t) VÝ du t 1 ∫ δ(τ)dτ ↔ δ(t) ↔ 1 suy ra η(t) = v δ(t) = η’(t) ↔ 1 1. Ta cã z 0 t 1 n! t = ∫ η(τ)dτ ↔ qui n¹p suy ra tn ↔ n +1 víi Rez > 0 2. Ta cã 2 z z 0 C«ng thøc ®æi ngÉu B»ng c¸ch so s¸nh c¸c c«ng thøc ¶nh v nghÞch ¶nh cña biÕn ®æi Laplace chóng ta suy ra c¸c c«ng thøc ®èi ngÉu cña c¸c c«ng thøc (5.8.2) - (5.8.7) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 95
  14. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace ∀ a ∈ ∀, eatf(t) ↔ F(z - a) 2’. DÞch chuyÓn ¶nh (5.8.2’) tf(t) ↔ - F’(z) v ∀ n ∈ ∠, tnf(t) ↔ (-1)nF(n)(z) 5’. §¹o h m ¶nh (5.8.5’) ∞ 1 f(t) ↔ ∫ F(ζ )dζ 6’. TÝch ph©n ¶nh (5.8.6’) t z σ + i∞ f(t)g(t) ↔ 1 = 1 (F∗G)(z) ∫ F(ζ)G(z − ζ )dζ 7’. Anh cña tÝch (5.8.7’) 2πi 2πi σ − i∞ VÝ dô n! n! tn ↔ suy ra e-at tn ↔ 1. Ta cã víi Rez > - Rea n +1 (z + a ) n +1 z ′ α 2 αz α sinαt ↔ suy ra tsinαt ↔ -  2 = 2 2. Ta cã z +α  z + α  (z + α ) 2 2 2 22 ∞ sin τ t dζ π dτ ↔ 1 ( π - arctgz) sin t ↔ ∫ ζ 2 + 1 = 2 - arctgz suy ra sit = ∫ 3. Ta cã τ t z2 z 0 §9. T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Laplace Gèc cña h m h÷u tû • B i to¸n t×m ¶nh cña h m gèc th−êng ®¬n gi¶n, cã thÓ gi¶i ®−îc ngay b»ng c¸ch sö dông c¸c c«ng thøc (5.7.1) - (5.7.7’). B i to¸n t×m gèc phøc t¹p h¬n nhiÒu, ®Ó ®¬n gi¶n chóng ta giíi h¹n trong ph¹m vi t×m h m gèc cña c¸c ph©n thøc h÷u tû. Trong c¸c vÝ dô ë trªn chóng ta ® cã c¸c c«ng thøc sau ®©y. t n −1 1 1 ↔ eat ↔eat (5.9.1) z−a (n − 1)! (z − a ) n α z ↔ cosαt ↔ sinαt (5.9.2) z + α2 z + α2 2 2 Gi¶ sö 1 z ↔ f(t) v ↔ g(t) (z + α 2 ) n −1 (z + α 2 ) n −1 2 2 BiÕn ®æi ′ −1   1 z 1  (z + α 2 ) n −1  ↔ 2(n − 1) tf(t) = ϕ(t) 2 = (5.9.3)  2(n − 1)  (z + α ) 2 2n  Trang 96 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  15. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace ′ 2n − 3   1 1 1 z 2  (z + α 2 ) n −1  = +  2 n −1 2(n − 1)α 2 (z + α ) 2(n − 1)α (z + α ) 2 2n 2 2   2n − 3 1 ↔ tg(t) = ψ(t) f(t) - (5.9.4) 2(n − 1)α 2(n − 1)α 2 2 BiÕn ®æi M( z + p ) N − Mp Mz + N víi α2 = q - p2 > 0 = + (z + 2 pz + q ) ((z + p ) + α ) ((z + p ) + α ) 2 n 2 2n 2 2n ↔ Me-ptϕ(t) + (N - Mp)e-ptψ(t) (5.9.5) Tr−êng hîp F(z) l ph©n thøc bÊt kú, ta ph©n tÝch F(z) th nh tæng c¸c ph©n thøc ®¬n gi¶n d¹ng (5.9.1) - (5.9.5) Sau ®ã dïng c¸c tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh ®Ó t×m h m gèc f(t). VÝ dô T×m gèc cña ph©n thøc 3z 2 + 2z + 2 z+2 1 1 1. F(z) = = +2 - z−2 (z − 2)(z + 4z + 8) ( z + 2) + 4 ( z + 2) 2 + 4 2 2 1 -2t ↔ e2t + 2e-2tcos2t - e sin2t = f(t) 2 3z − 4 3(z − 1) − 1 ↔ f(t) = et g(t) 2. F(z) = = ( z − 2 z + 2) ((z − 1) 2 + 1) 2 2 2 ′ ′ 2 1  1 z  1 1 z 1 =-  2 -  - G(z) = 3 2 - (z + 1) 2 (z 2 + 1) 2 3  z + 1 2  z2 +1 2 z2 +1 1 ↔ 3 tsin t + tcost - 1 sin t = g(t) 2 2 2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng Cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng anx(n)(t) + ... + a1x’(t) + a0x(t) = f(t) x0 = x(0), x1 = x’(0), ..., xn-1 = x(n-1)(0) (5.9.6) • Gi¶ sö c¸c h m x(t), ..., x(n)(t) v f(t) l c¸c h m gèc. ChuyÓn qua ¶nh ↔ X(z) x(t) ↔ zX(z) - x0 x’(t) ... ↔ znX(z) - zn-1x0 - ... - xn-1 x(n)(t) ↔ F(z) f(t) ↔ A(z)X(z) = F(z) + B(z) (5.9.6) Gi¶i ra ®−îc F ( z ) + B( z ) ↔ x(t) X(z) = (5.9.7) A( z ) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 97
  16. Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace x ′′(t) + 4x ′(t) + 4x(t) = t 3 e -2t VÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh x(0) = 1, x ′(0) = 2  Gi¶ sö x(t) v c¸c ®¹o h m cña nã ®Òu l h m gèc. 6 x(t) ↔ X(z), x’(t) ↔ zX(z) - 1, x”(t) ↔ z2X(z) - z - 2 v f(t) = t3e-2t ↔ (z + 2) 4 ChuyÓn qua ¶nh 6 (z2 + 4z + 4)X(z) = + (z + 6) (z + 2) 4 Gi¶i ra ®−îc ↔ x(t) = e −2 t (1 + 4t + 1 t 5 ) 6 4 +1 + X(z) = z+2 (z + 2) (z + 2) 20 4 2 • Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè biÕn thiªn, hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng hoÆc ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n. x ′ + x − y = e t  y ′ + 3x − 2 y = 2e t VÝ dô Gi¶i hÖ ph−¬ng trinhg vi ph©n x(0) = 1, y(0) = 1  Gi¶ sö x(t) v y(t) l c¸c h m gèc, chuyÓn qua ¶nh hÖ ph−¬ng tr×nh (z + 1)X − Y = 1 + 1  z −1  3X + (z − 2)Y = 2 + 1  z −1  Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh suy ra X(z) = 1 = Y(z) ↔ x(t) = et = y(t) z −1 B¶ng gèc ¶nh Laplace Tt f(t) F(z) Tt f(t) F(z) 1 δ(t) 1 5 n −1 1 t , Rez > -α e-αt (z + α) n (n − 1)! e-αtcosβt z+α η(t) 2 6 1 , Rez > 0 , Rez > 0 (z + α) 2 + β 2 z e-αz, z ∈ ∀ e-αtsinβt β δ(t - α) 3 7 , Rez > 0 (z + α) 2 + β 2 δn(t) = δ(n)(t) zn, z ∈ ∀ ηn(t) = η(t)∗...∗η(t) 4 8 1 , Rez > 0 zn Trang 98 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
20=>2