Giáo trình Toán học phần 8

- Đ−a về dạng chính tắc của ph−ơng trình parabole.
- a(x, y)c(x, y) thì ph−ơng trình (7.1.4) có nghiệm phức y(x.
- Đ−a về dạng chính tắc của ph−ơng trình ellipse.
- Ví dụ Đ−a về chính tắc ph−ơng trình sau đây.
- 9u = 0 Giải ph−ơng trình đặc tr−ng.
- Dạng chính tắc của ph−ơng trình là.
- Ph−ơng trình vật lý - toán.
- Ph−ơng trình truyền sóng.
- Khi đó độ lệch u(x, t) là nghiệm của ph−ơng trình.
- gọi là ph−ơng trình truyền sóng trong không gian một chiều..
- 0, ph−ơng trình u(x, t).
- (7.2.1) là ph−ơng trình thuần nhất.
- 0, ph−ơng trình (7.2.1) là ph−ơng trình không thuần nhất..
- Ph−ơng trình truyền nhiệt.
- Bài toán đòi hỏi xác.
- Khi đó nhiệt độ u(M, t) là nghiệm của ph−ơng trình.
- gọi là ph−ơng trình truyền nhiệt trong không gian ba chiều..
- 0, ph−ơng trình (7.2.2) là ph−ơng trình thuần nhất.
- 0, ph−ơng trình (7.2.2) là ph−ơng trình không thuần nhất..
- Ph−ơng trình Laplace.
- Xét phân bố nhiệt trên vật rắn truyền nhiệt đẳng h−ớng, nhiệt độ u(x, y, z, t) tại điểm M(x, y, z) vào thời điểm t thoả m~n ph−ơng trình (7.2.2).
- thuộc thời gian thì u′ t = 0 và khi đó ph−ơng trình (7.2.2) trở thành.
- gọi là ph−ơng trình Laplace..
- 0, ph−ơng trình (7.2.3) là ph−ơng trình thuần nhất.
- 0 ph−ơng trình (7.2.3) là ph−ơng trình không thuần nhất còn gọi là ph−ơng trình Poisson..
- Các bài toán cơ bản.
- Bài toán tổng quát.
- Các bài toán Vật lý - Kỹ thuật th−ờng dẫn đến việc giải các ph−ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 có dạng tổng quát nh− sau..
- Vì vậy các ph−ơng trình trên đ−ợc gọi là các ph−ơng trình Vật lý - Toán.
- Ph−ơng trình Hyperbole (7.3.1) xuất hiện trong các bài toán dao động, truyền sóng gọi là ph−ơng trình truyền sóng.
- Ph−ơng trình Parabole (7.3.2) xuất hiện trong các bài toán truyền nhiệt, phân bố nhiệt gọi là ph−ơng trình truyền nhiệt.
- Ph−ơng trình Ellipse (7.3.3) xuất hiện trong các bài toán về quá trình dừng gọi là ph−ơng trình Laplace..
- Vì vậy khi thiết lập các bài toán về ph−ơng trình Vật lý - Toán chúng ta yêu cầu.
- Bài toán có nghiệm duy nhất : Ph−ơng trình có đúng một nghiệm thoả m~n các điều kiện phụ cho tr−ớc..
- Bài toán tổng quát của ph−ơng trình Vật lý - Toán phát biểu nh− sau : Tìm nghiệm duy nhất và ổn định của ph−ơng trình Vật lý - Toán thoả mAn các điều kiện phụ cho tr−ớc..
- Bài toán Cauchy : Tìm nghiệm duy nhất và ổn định của ph−ơng trình truyền sóng (truyền nhiệt) thoả m~n các điều kiện ban đầu.
- Bài toán hỗn hợp : Tìm nghiệm duy nhất và ổn định của ph−ơng trình truyền sóng (truyền nhiệt) thoả m~n các điều kiện ban đầu và điều kiện biên.
- Bài toán Diriclet : Tìm nghiệm duy nhất và ổn định của ph−ơng trình Laplace thoả m~n.
- Bài toán Neuman : Tìm nghiệm duy nhất và ổn định của ph−ơng trình Laplace thoả.
- Các bài toán với ph−ơng trình thuần nhất gọi tắt là bài toán thuần nhất, với ph−ơng trình không thuần nhất gọi là bài toán không thuần nhất.
- Bài toán Cauchy (CH) Bài toán hỗn hợp (HH).
- Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n ph−ơng trình truyền sóng ph−ơng trình truyền sóng.
- Bài toán Cauchy (CP) Bài toán hỗn hợp (HP).
- Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n ph−ơng trình truyền nhiệt ph−ơng trình truyền nhiệt.
- Bài toán Diriclet (DE) Bài toán Neumann (NE) Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n ph−ơng trình Laplace ph−ơng trình Laplace.
- Bài toán Cauchy thuần nhất.
- Bài toán CH1a.
- Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n ph−ơng trình truyền sóng.
- Thế vào ph−ơng trình (7.4.1), nhận đ−ợc ph−ơng trình u 0.
- Tích phân ph−ơng trình thứ hai, đ−a về hệ ph−ơng trình ϕ(x.
- Giải hệ ph−ơng trình trên tìm ϕ(x) và ψ(x) và suy ra nghiệm của bài toán u(x, t.
- Bài toán CH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.4.3).
- Nếu u i là nghiệm của bài toán 2.
- thì u = u 1 - u 2 là nghiệm của bài toán 2.
- Bài toán CH1b.
- Định lý Cho g ∈ C 2 (D, 3) và v(x, t) là nghiệm của bài toán CH1a với t v.
- g(x) Bài toán CH1b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây.
- Bài toán Cauchy không thuần nhất.
- Bài toán CH1c.
- Bài toán CH1.
- Tìm nghiệm của bài toán CH1 d−ới dạng u(x, t.
- u c (x, t) với u α (x, t) là nghiệm của bài toán CH1α..
- Bài toán CH1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.5.2)..
- Ví dụ Giải bài toán 2.
- Bài toán giả Cauchy.
- Bài toán SH1a.
- Bài toán SH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức.
- Bài toán SH1b.
- 3) Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n ph−ơng trình truyền sóng.
- là nghiệm của bài toán SH1b..
- Bài toán SH1.
- Tìm nghiệm của bài toán SH1 d−ới dạng u(x, t.
- u b (x, t) trong đó u α (x, t) là nghiệm của bài toán SH1α..
- Nhận xét Ph−ơng pháp trên có thể sử dụng để giải các bài toán giả Cauchy khác..
- Bài toán hỗn hợp thuần nhất.
- Bài toán HH1a.
- Cho các miền D = [0, l], H = D ì [0, T] và các hàm g, h ∈ C(D, 3) Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n ph−ơng trình truyền sóng.
- Đạo hàm u(x, t) hai lần theo x, theo t sau đó thế vào ph−ơng trình (7.7.1) X(x)T”(t.
- Chúng ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình vi phân hệ số hằng sau đây.
- Ph−ơng trình vi phân (7.7.4) có ph−ơng trình đặc tr−ng k 2 + λ = 0.
- α 2 thì ph−ơng trình (7.7.4) có nghiệm tổng quát X(x.
- Nếu λ = 0 thì ph−ơng trình (7.7.4) có nghiệm tổng quát X(x.
- Nếu λ = α 2 thì ph−ơng trình (7.7.4) có nghiệm tổng quát X(x.
- Suy ra hệ ph−ơng trình (7.7.4) và (7.7.6) có họ nghiệm riêng trực giao trên [0, l].
- Thế các λ k vào ph−ơng trình (7.7.5) giải ra đ−ợc.
- Kiểm tra trực tiếp thấy rằng chuỗi (7.7.7) và các chuỗi đạo hàm riêng của nó thoả m~n ph−ơng trình (7.7.1) và các điều kiện phụ .
- Suy ra nghiệm của bài toán.
- Bài toán hỗn hợp không thuần nhất.
- Bài toán HH1b.
- Cho các miền D = [0, l], H = D ì [0, T], các hàm f ∈ C(H, 3) và g, h ∈ C(D, 3) Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n ph−ơng trình truyền sóng.
- Chúng ta nhận đ−ợc họ ph−ơng trình vi phân hệ số hằng.
- Giải họ ph−ơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng (7.8.2) tìm các hàm T k (t) sau đó thế vào công thức (7.8.1) suy ra nghiệm của bài toán HH1b.
- Chuỗi hàm (7.8.1) với các hàm T k (t) xác định từ họ ph−ơng trình (7.8.2) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HH1b..
- Bài toán HH1.
- Trong đó hàm v(x, t) là nghiệm của bài toán HH1a.
- q’(0) Hàm w(x, t) là nghiệm của bài toán HH1b.
- Tìm nghiệm của bài toán d−ới dạng u(x, t.
- xt trong đó hàm v(x, t) là nghiệm của bài toán HH1a với g 1 (x.
- 0 còn hàm w(x, t) là nghiệm của bài toán HH1b với f 1 (x, t.
- Giải bài toán HH1 a k

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt