intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình Toán học phần 9

Chia sẻ: Phuoc Hau Phuoc Hau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
88
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng ′ T k′ (t ) + (2kπ)2Tk(t) = Tìm được các ẩn m 2(-1) k +1 ′ t , Tk(0) = 0, Tk (0) = 0 kπ (-1) k +1 1 sin 2 kπt với k ∈ ∠* t − 3 2( kπ ) 2 kπ Suy ra nghiệm của b i toán Tk(t) =

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán học phần 9

  1. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng Gi¶i b i to¸n HH2a 2(-1) k +1 1 fk(t) = 2t ∫ x sin kπxdx = t víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 T k′ (t ) + (2kπ)2Tk(t) = ′ ′ t , Tk(0) = 0, Tk (0) = 0 kπ T×m ®−îc c¸c h m (-1) k +1   1 t − sin 2 kπt  víi k ∈ ∠* Tk(t) = 2( kπ )  2 kπ 3  Suy ra nghiÖm cña b i to¸n (-1) k +1  +∞  1 1 ∑ t − sin 2 kπt  sin kπx u(x, t) = xt + cos2πtsinπx +  2 kπ 2π 3 3  k k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. B i tËp ch−¬ng 7 • §−a vÒ chÝnh t¾c c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 sau ®©y. ∂2u ∂2u ∂2u 1. +2 + 5 2 - 16u = 0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2. -2 + +9 -9 + 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 3. 2 +3 + +7 -4 =0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u - cos2x 2 + sinx 4. - 2sinx =0 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 • LËp b i to¸n ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tõ c¸c b i to¸n sau ®©y. 7. D©y rÊt m¶nh cã ®é d i l ®Æt trªn trôc Ox, mót x = 0 cè ®Þnh, mót x = l chuyÓn ®éng theo qui luËt Asinωt, dao ®éng trong m«i tr−êng cã lùc c¸n tû lÖ víi vËn tèc, hÖ sè tû lÖ l λ, ®é lÖch ban ®Çu l g(x), vËn tèc ban ®Çu l h(x). X¸c ®Þnh dao ®éng cña d©y? 8. §Üa rÊt máng ®ång chÊt b¸n kÝnh R ®Æt trong mÆt ph¼ng Oxy, mËt ®é nguån nhiÖt trong tû lÖ víi kho¶ng c¸ch ®Õn t©m, nhiÖt ®é m«i tr−êng gi÷ ë nhiÖt ®é u0, nhiÖt ®é ban ®Çu l g(x, y). X¸c ®Þnh ph©n bè nhiÖt trªn ®Üa? Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 131
  2. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng • Gi¶i b i to¸n Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 ut=0 = ex, = e-x 9. t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u 2∂ u ∂u 2 + te-x 10. =a ut=0 = sinx, = x + cosx t=0 ∂t ∂t ∂x 2 2 ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tsinx 11. ut=0 = cosx, =x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tcosx 12. ut=0 = sinx, = 2x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x • Gi¶i b i to¸n gi¶ Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + te-x 13. ut=0 = sinx, = x, u(0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tsinx = sinx, u(0, t) = e-t 14. ut=0 = xcosx, t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u = a2 2 + xsinx = 3 x 2, 15. ut=0 = cosx, (0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u = a2 2 + xcosx 16. ut=0 = sinx, = cosx, (0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂x • Gi¶i c¸c b i to¸n hçn hîp sau ®©y víi H = [0, l] × 3+ ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 17. ut=0 = x(l - x), = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 18. ut=0 = 0, = xsinx v u(0, t) = u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 19. ut=0 = xcosx, = 0 v u(0, t) = t, u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 + bshx 20. ut=0 = 0, = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 + tcosx 21. ut=0 = sinx, = x v u(0, t) = 0, u(l, t) = t  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = 0 v u(0, t) = 0, u(l, t) = Asinωt = a2 2 22. ut=0 = 0,  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u + 2λ = a2 2 23. ut=0 = g(x), = h(x) v u(0, t) = u(l, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂t ∂x Trang 132 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. Ch−¬ng 8 Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt §1. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt B i to¸n CP1a Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.1.1) ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.1.2) • T×m nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.1.1) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n T’(t) + λa2T(t) = 0 X”(x) + λX(x) = 0 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n trªn cã hä nghiÖm riªng bÞ chÆn 2 T(t) = e −( αa ) t v X(x) = A(α)cosαx + B(α)sinαx víi α ∈ 3+ Suy ra hä nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a 2 uα(x, t) = e −( αa ) t (A(α)cosαx + B(α)sinαx), α ∈ 3+ • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n CP1a d¹ng tÝch ph©n suy réng +∞ +∞ − ( αa ) 2 t ∫ u α (x, t )dα = ∫e [A(α) cos αx + B(α ) sin αx]dα u(x, t) = (8.1.3) 0 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2) +∞ ∫ [A(α) cos αx + B(α) sin αx]dα = g(x) u(x, 0) = 0 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh tÝch ph©n Fourier th× +∞ +∞ 1 1 A(α) = ∫ g(ξ) cos(αξ )dξ v B(α) = ∫ g(ξ) sin(αξ )dξ π −∞ π −∞ Thay v o c«ng thøc (8.1.3) v biÕn ®æi +∞ +∞ 1  − ( αa ) 2 t ∫∞ ∫ g(ξ) cos α(ξ − x)dξ e dα u(x, t) = π−  0    §æi thø tù lÊy tÝch ph©n Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 133
  4. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt +∞ +∞ 1  − ( αa ) 2 t  u(x, t) = ∫  ∫ e cos α(ξ − x)dα g(ξ)dξ (8.1.4) π − ∞ 0    • §æi biÕn β = αa t ⇒ dβ = a t dα ξ−x ⇒ ξ = x + 2a t s, dξ = 2a t ds s= 2a t BiÕn ®æi tÝch ph©n bªn trong cña tÝch ph©n (8.1.4) +∞ +∞ 1 1 2 −β 2 − ( αa ) t ∫e ∫e cos α(ξ − x)dα = cos 2sβ dβ = I(s) at0 at 0 §¹o h m I(s), sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn, nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n +∞ π π −s 2 −β 2 ∫ sin 2sβde ⇒ I(s) = I’(s) = = -2sI(s) v I(0) = e 2 2 0 Thay v o tÝch ph©n (8.1.4) suy ra c«ng thøc sau ®©y. ( ξ − x )2 +∞ +∞ 1 1 − −s2 ∫ g(x + 2a ∫ g(ξ)e dξ 4a 2t u(x, t) = t s)e ds = (8.1.5) π 2a πt −∞ −∞ §Þnh lý Cho h m g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.1.5) Chøng minh • Theo gi¶ thiÕt h m g liªn tôc v bÞ chÆn 2 2 ∀ (x, t) ∈ H, ∀ s ∈ 3,  g(x + 2a t s) e −s  ≤ M e −s Suy ra tÝch ph©n (8.1.5) bÞ chÆn ®Òu. Do ®ã cã thÓ lÊy giíi h¹n v ®¹o h m qua dÊu tÝch ph©n theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp h m u(x, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (8.1.1) tho¶ m n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2) ( ξ −x )2 +∞ ∂u ξ−x − ∫ g( ξ ) 4a dξ 4a 2 t = e ∂x πt 3 3/2 −∞ (ξ −x )2 +∞ −1 (ξ − x ) 2 ∂2u  − ∫  4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2 g(ξ) 3 +5 dξ e 4a 2 t =  ∂x 2   −∞ ( ξ −x )2 +∞ −1 (ξ − x ) 2 ∂2u ∂u  − ∫  4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2 g(ξ) +3 dξ = a2 e 4a 2 t =  ∂t ∂x 2   −∞ +∞ 1 2 t s)e − s ds = g(x) ∫ g(x + 2a lim u(x, t) = lim t →0 + π t →0 + −∞ ∂2u ∂u • NÕu ui l hai nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = gi ∂t ∂x ∂2u ∂u = a2 2 , u(x, 0) = g1 - g2 = g th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n ∂t ∂x Trang 134 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt Tõ c«ng thøc (8.1.5) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y +∞ 1 2 t ) | e − s ds ≤ supD  g(ξ)  ∫ | g(x + 2as ∀ (x, t) ∈ H, | u(x, t) | ≤ π −∞ Tõ ®ã suy ra g = g1 - g2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0 || g || = || g 1 - g 2 || < δ ⇒ || u || = || u 1 - u 2 || < ε VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. ∂2u ∂u = 4 2 v u(x, 0) = xe-x VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x -x H m g(x) = xe tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.1.5) +∞ 1 t )2 t (s + 2 t )]e −( s + 2 e 4 t − x ds ∫ [(x − 8t ) + 4 u(x, t) = π −∞ +∞ +∞   1 e 4 t − x  (x − 8t ) ∫ e − σ dσ + 4 t ∫ σe − σ dσ  víi σ = s + 2 t 2 2 =   π   −∞ −∞ 4t-x = (x - 8t)e §2. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CP1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v h m v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1a tho¶ m n v(x, τ, 0) = f(x, τ). B i to¸n CP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y ( ξ −x )2 +∞ f (ξ, τ) t t − 1 ∫ dτ ∫ 4a 2 ( t − τ) dξ u(x, t) = ∫ v(x, τ, t − τ)dτ = e (8.2.1) π t −τ 2a 0 −∞ 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) nªn h m v ∈ C2(H × 3+, 3). Do ®ã cã thÓ ®¹o h m tÝch ph©n (8.2.1) theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 135
  6. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt ∂v ∂2v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ + v(x, t, 0) = a2 ∫ 2 (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = ∂t 0 ∂x 0 ∂2u = a2 + f(x, t) v u(x, 0) = 0 ∂x 2 • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ b i to¸n CP1a. B i to¸n CP1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) • T×m nghiÖm cña b i to¸n CP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.1.5) v (8.2.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. +∞ +∞ 1  t 2 2  ∫ g(x + 2a t s)e −s ds + ∫ dτ ∫ f (x + 2a τ s, t − τ)e −s ds  u(x, t) =   π  −∞  −∞ 0  + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1 dξ  ∫ dξ + ∫ d τ ∫ 4a 2 t = (8.2.2) e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.2.2). ∂2u ∂u = a2 2 + 3t2 v u(x, 0) = sinx VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x 2 H m f(x, t) = t , g(x) = sinx tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.2.2) +∞  +∞  t 1 1 2 2 −s2 −s ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ ∫ sin(x + 2a ts)e ds + u(x, t) = π 0  π   −∞ • KÝ hiÖu +∞ 1 2 i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e I(t) = π −∞ §¹o h m I(t), biÕn ®æi v sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn Trang 136 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  7. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt +∞ +∞ − ia − ia a2 +∞ 2 2 2 i(x +2a d (e − s ) = e i ( x + 2a e −s i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e ∫e ts ) ts ) I’(t) = - 2 πt − ∞ 2 πt π −∞ −∞ = - a2 I(t) víi I(0) = eix Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n nhËn ®−îc 2 2 I(t) = e −a t eix = e −a t (cosx + i sinx) (8.2.3) T¸ch phÇn thùc, phÇn ¶o suy ra c¸c tÝch ph©n cÇn t×m. CÇn ghi nhËn kÕt qu¶ v ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n trªn ®Ó sö dông sau n y. • TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n  +∞  t 1 2 −s2 ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ = t 3 J(t) =   π 0  Suy ra nghiÖm cña b i to¸n 2 u(x, t) = Im I(t) + J(t) = e − a t sinx + t3 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §3. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SP1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(D, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SP l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CP t−¬ng ®−¬ng. Gi¶ sö f1 v g1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f v g lªn to n 3, cßn h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. 2∂ v ∂v 2 + f1(x, t) v u(x, 0) = g1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ =a ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (8.2.2) , ta cã  + ∞ g (ξ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f1 (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1  dξ  ∫ dξ + ∫ dτ ∫ 4a 2 t 1 v(x, t) = e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 137
  8. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt  + ∞ g (ξ) − ξ 2 f1 (ξ, t − τ) − 4 a 2 τ  2 2 ξ +∞ t 1  dξ  = 0 ∫ t dξ + ∫ dτ ∫ 1 v(0, t) = e e 4a t  2a π  − ∞ τ  −∞ 0 Suy ra c¸c h m f1 v g1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0 f1(x, t) =   - f(-x, t) x < 0 v g1(x) = - g(-x) x < 0   §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(H, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc  + ∞ g( ξ )  − ( ξ − x ) 2  ( ξ + x )2 1 −   e 4a t − e 4a 2 t  dξ + ∫ t  2 u(x, t) =  2a π 0     f (ξ, t − τ)  − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t −  dξ  e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.1)   τ  0 0 ∂2u ∂u = a2 2 + 2xt víi (x, t) ∈ 3+×3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = sinx v u(0, t) = 0 Do c¸c h m f v g l h m lÎ nªn c¸c h m kÐo d i lÎ f1 = f v g1 = g. Thay v o c«ng thøc (8.2.2) v sö dông tÝch ph©n (8.2.3) , ta cã +∞ t +∞ 1 1 −s 2 2 τs)e − s dsdτ ∫ sin(x + 2a ∫ ∫ 2(t − τ)(x + 2a u(x, t) = t s)e ds + π π −∞ 0 −∞  +∞ 2 +∞  t 1 2 2(t − τ)dτ x ∫ e − s ds − a τ ∫ d(e −s )  ∫ = ImI(t) +   π0  −∞  −∞ 2 = e −a t sinx + xt2 B i to¸n SP1b Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ v h m h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = 0, u(0, t) = h(t) §Þnh lý Cho h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3). B i to¸n SP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh Trang 138 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x2 h ( t − τ) − 4 a 2 τ t x ∫ 3 / 2 e dτ u(x, t) = (8.3.2) 2a π 0 τ Chøng minh • Do h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3) nªn tÝch ph©n (8.3.2) héi tô ®Òu H. Do ®ã cã thÓ ®¹o h m theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp x2 x2 ∂u h ( t − τ) − 4 a 2 τ h(t − τ) − 2 t t x2 1 ∫ τ3 / 2 ∫ τ 5 / 2 e 4 a τ dτ dτ - = e ∂x 2a π 4a 3 π 0 0 x2 x2 ∂2u −x h(t − τ) − 4a 2 τ h(t − τ) − 4a 2 τ t t x3 ∫ τ5 / 2 ∫ τ 7 / 2 e dτ dτ + 5 = e ∂x 2 4a 3 π 8a π 0 0 x2 x2 ∂u t − x h(0) − 4a 2 t x 1 ∫τ dh(t − τ) 4a 2 τ = e - e ∂t 3/2 3/2 2a π t 2a π 0 x2  −3  − 4a 2 τ t x2 x dτ = a2 u′xx ′ ∫ h(t − τ) 5 / 2 + 2 7 / 2 e =  2τ  4a τ 2a π 0   Theo c«ng thøc (8.3.2) ta cã u(x, 0) = 0 §æi biÕn tÝch ph©n (8.3.2) +∞ x2 x 2 2 ∫ )e −s ds h( t − s= , u(x, t) = 22 2a τ π 4a s x 2a t Suy ra u(0, t) = h(t) • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ c«ng thøc (8.3.2) v −íc l−îng tÝch ph©n. B i to¸n SP1 Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = h(t) • T×m nghiÖm cña b i to¸n SP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n SP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.3.1) v (8.3.2), suy ra c«ng thøc sau ®©y. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 139
  10. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt  + ∞ g( ξ )  − ( ξ − x ) 2  2 ( ξ + x )2 x dξ + x h(t − τ) e 4a 2 τ dτ t − 1 −   e 4a 2 t − e 4a 2 t ∫ ∫ τ3 / 2 u(x, t) = 2a π  0 t      0  f (ξ, t − τ)  − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t −  dξ  e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.3)  τ   0 0 §Þnh lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.3.3) NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n gi¶ Cauchy kh¸c. §4. B i to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt B i to¸n HP1a Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] v h m g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.4.1) ∂t ∂x ®iÒu kiªn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.4.2) v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (8.4.3) • T×m nghiÖm cña b i to¸n HP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v ®iÒu kiÖn biªn (8.4.3) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n X”(x) + λX(x) = 0 (8.4.4) T’(t) + λa T(t) = 0 2 (8.4.5) X(0) = X(l) = 0 víi λ ∈ 3 (8.4.6) LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n HH1a, t×m nghiÖm riªng kh«ng tÇm th−êng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (8.4.4) v (8.4.6), nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng trùc giao trªn ®o¹n [0, l] 2 kπ  kπ  x víi Ak ∈ 3 v λk =   , k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin l l Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.4.5) t×m ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp Trang 140 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  11. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt 2  kπa  − t víi Bk ∈ 3, k ∈ ∠* l Tk(t) = Bk e Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n HP1 2  kπa  kπ − t x víi ak = AkBk , k ∈ ∠* l uk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = ak e sin l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n HP1 d¹ng chuçi h m 2  kπa  kπ +∞ +∞ − t ∑u ∑a l u(x, t) = (x, t ) = e sin x (8.4.7) k k l k =1 k =1 Thay v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.4.2) kπ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sin x = g(x) l k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× kπ l 2 ak = ∫ g(x ) sin xdx (8.4.8) l0 l §Þnh lý Cho h m g ∈ C1(D, 3) tho¶ m n g(0) = g(l) = 0. Chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1a. Chøng minh • H m g theo gi¶ thiÕt tho¶ m n ®iÒu kiÖn Diriclet v do ®ã khai triÓn ®−îc th nh chuçi Fourier héi tô ®Òu trªn ®o¹n [0, l]. Do ®ã chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l héi tô ®Òu v cã thÓ ®¹o h m tõng tõ theo x hai lÇn, theo t mét lÇn trªn miÒn H. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi h m (8.4.7) v c¸c chuçi ®¹o h m riªng cña nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v c¸c ®iÒu kiÖn (8.4.2), (8.4.3) • LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CP1 suy ra tÝnh æn ®Þnh v duy nhÊt nghiÖm. ∂2u ∂u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = ∂t ∂x 2 u(x, 0) = x(1 - x) v u(0, t) = u(1, t) = 0 Theo c«ng thøc (8.4.8) ta cã k = 2n 0 1 − (-1) k l  8 ak = 2 ∫ x(1 − x) sin kπxdx = 4 = k = 2n + 1 kπ33  (2n + 1) 3 π 3  0 ThÕ v o c«ng thøc (8.4.7) suy ra nghiÖm cña b i to¸n 8 +∞ 1 u(x, t) = 3 ∑ 22 e −( 2 n +1) π t sin(2n + 1)πx π n =0 (2n + 1) 3 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 141
  12. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt §5. B i to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n HP1b Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 • T×m nghiÖm b i to¸n HP1b d¹ng chuçi h m kπ +∞ ∑ T (t ) sin u(x, t) = (8.5.1) x k l k =1 Khai triÓn Fourier h m f(x, t) ®o¹n [0, l], thÕ v o b i to¸n HP1b   2  Tk (t ) +  kπa  Tk (t )  sin kπ x = kπ +∞ +∞ ∑ ′  l  ∑f (t ) sin x  k l l   k =1   k =1 kπx kπ l +∞ 2 ∑T víi fk(t) = ∫ f (x, t ) sin dx v x =0 (0) sin k l0 l l k =1 §−a vÒ hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2  kπa  ′ Tk (t) +   Tk(t) = fk(t), Tk(0) = 0 (8.5.2) l Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (8.5.2) t×m c¸c h m Tk(t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.1) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3). Chuçi h m (8.5.1) víi c¸c h m Tk(t) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (8.5.2) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1b. B i to¸n HP1 Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C([0, T], 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u ∂ 2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t) Trang 142 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  13. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt • T×m nghiÖm b i to¸n HP1 d−íi d¹ng x u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) + (q(t) - p(t)) (8.5.3) l Trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a ∂2v ∂v = a2 2 ∂t ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l v(0, t) = v(l, t) = 0 (8.5.4) víi ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b ∂2w ∂2w ∂w x = a2 2 + f(x, t) - p’(t) - (q’(t) - p’(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t ∂x ∂x l w(x, 0) = 0 w(0, t) = w(l, t) = 0 (8.5.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) t×m h m v(x, t) v h m w(x, t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3) v p, q ∈ C1([0, T], 3) tho¶ mn g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.5.3) víi h m v(x, t) v h m w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1. ∂2u ∂u = 4 2 víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = e-t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xe-t víi h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a víi g1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b víi f1(x, t) = xe-t. B i to¸n HP1a cã nghiÖm v(x, t) = 0 Gi¶i b i to¸n HP1b 2(-1) k +1 − t 1 fk(t) = 2 e − t ∫ x sin kπxdx = e víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 − t ′ Tk (t) + (2kπ)2Tk(t) = e , Tk(0) = 0 kπ Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 143
  14. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt T×m ®−îc c¸c h m ( ) víi k ∈ ∠ 2(-1) k 2 e − ( 2 kπ ) t − e − t * Tk(t) = kπ(4 k π − 1) 22 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n ( ) +∞ 2(-1) k ∑ 2 e −( 2 kπ) t − e − t sin kπx u(x, t) = xe-t + kπ(4 k 2 π 2 − 1) k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §6. B i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn • XÐt to¸n tö vi ph©n Laplace trong mÆt ph¼ng ∂ 2u ∂ 2 u ∆u(x, y) = + ∂x2 ∂y2 §æi biÕn to¹ ®é cùc x = rcosϕ, y = rsinϕ Theo c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u = cos ϕ − sin ϕ + = ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u + = sin ϕ + cos ϕ = ∂y ∂r ∂y ∂ϕ ∂y ∂r r ∂ϕ ∂2u 2 ∂2u 2 ∂2u ∂u 1 ∂u 1 ∂ 2u = cos2ϕ 2 − cosϕsinϕ + 2 cosϕsinϕ + sin2ϕ + 2 sin2ϕ 2 ∂x2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r ∂2u ∂2u 2 ∂2u 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂2u = sin 2 ϕ 2 + cosϕsinϕ − 2 cosϕsinϕ + cos 2 ϕ + 2 cos 2 ϕ 2 ∂y2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r Suy ra biÓu thøc to¹ ®é cùc cña to¸n tö Laplace ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u 1 ∂  ∂u  1 ∂ 2 u + +2 ∆u(r, ϕ) = r  + = ∂r 2 r ∂r r ∂ϕ2 r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ2 B i to¸n DE1a Cho miÒn D = [0, R] × [0, 2π] v h m g ∈ C([0, 2π], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u(r, ϕ) = 0 víi (r, ϕ) ∈ D0 (8.6.1) v ®iÒu kiÖn biªn u(R, θ) = g(θ) (8.6.2) Trang 144 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  15. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt • T×m nghiÖm cña b i to¸n DE1a d¹ng t¸ch biÕn u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.6.1) nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n Φ”(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0 (8.6.3) r V”(r) + rV’(r) - λV(r) = 0, víi λ ∈ 3 2 (8.6.4) Ph−¬ng tr×nh (8.6.3) cã hä nghiÖm riªng trùc giao, tuÇn ho n chu kú T = 2π Φk(x) = Akcoskϕ + Bksinkϕ, λk = k2 víi Ak, Bk ∈ 3, k ∈ ∠ Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.6.4) t×m hä nghiÖm riªng ®éc lËp v bÞ chÆn Vk(r) = Ckrk víi Ck ∈ 3, k ∈ ∠ Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n DE1a u0 = a0 , uk(r, ϕ) = rk(akcoskϕ + bksinkϕ) víi ak = CkAk , bk = CkBk , k ∈ ∠* • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n DE1a d¹ng chuçi h m +∞ u(r, ϕ) = a0 + ∑ r k (a k cos kϕ + b k sin kϕ) (8.6.5) k =1 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn (8.6.2) +∞ u(R, θ) = a0 + ∑ R k (a k cos kθ + b k sin kθ) = g(θ) k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× 2π 2π 2π 1 1 1 ∫ g(θ)dθ , ak = πR k ∫ g(θ) cos kθdθ , bk = ∫ g(θ) sin kθdθ a0 = (8.6.6) 2π 0 πR k 0 0 §Þnh lý Cho g ∈ C1([0, 2π], 3) tho¶ m n g(0) = g(2π). Chuçi h m (8.6.5) víi c¸c hÖ sè ak v bk tÝnh theo c«ng thøc (8.6.6) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n DE1a. Chøng minh LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CP1 ∆u = 0 víi u(R, θ) = 2Rsinθ VÝ dô Gi¶i b i to¸n DE1 H m g(θ) = 2Rsinθ tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.6.6) 2π k = 1 víi k ∈ ∠* 1 2 ∫ sin θ sin kθdθ =  0 ak = 0 v bk = 2R k ≠1 πR k  0 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n u(r, ϕ) = 2rsinϕ ≡ 2y • KÝ hiÖu u(z) = u(r, ϕ) víi z = reiϕ ∈ D0 Theo kÕt qu¶ ë §8, ch−¬ng 3 suy ra b i to¸n DE1a cã nghiÖm theo c«ng thøc sau ®©y. ζ + z g( ζ ) 1 1 ∫ R ζ − z ζ dζ = Re 2πi |ζ|∫ RF(ζ)dζ = ReI(z) u(z) = Re (8.6.7) 2 πi |ζ|= = Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 145
  16. Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt Gi¶ sö trong h×nh trßn B(0, R) h m g cã c¸c cùc ®iÓm kh¸c kh«ng ak víi k = 1..n Theo c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n Cauchy (4.7.6) ta cã n ∑ Re sF(a I(z) = ResF(z) + ResF(0) + (8.6.8) ) k k =1 ∆u = 0 víi u(R, θ) = 2Rsinθ VÝ dô Gi¶i b i to¸n DE1 ChuyÓn qua to¹ vÞ phøc 1 ζ2 − R2 1 ζ + z ζ2 − R2 1 iθ -iθ g(ζ) = 2R (e - e ) = v F(ζ) = i ζ − z ζ2 i ζ2 2i Ta cã 2( z 2 − R 2 ) 2 R 2 I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] = + = -2iz iz iz Suy ra nghiÖm cña b i to¸n u(z) = Re(-2iz) = 2y B i to¸n DE1b Cho miÒn D = [ρ, R] × [0, 2π] v c¸c h m g, h ∈ C([0, 2π], 3) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u(r, ϕ) = 0 víi (r, ϕ) ∈ D0 (8.6.9) v ®iÒu kiÖn biªn u(ρ, θ) = g(θ), u(R, θ) = h(θ) (8.6.10) • LËp luËn t−¬ng tù b i to¸n DE1a, t×m nghiÖm cña b i to¸n DE1b d¹ng t¸ch biÕn u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.6.9) nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp u0 = a0 + b0lnr uk(r, ϕ) = (akrk + bkr-k)coskϕ + (ckrk + dkr-k)sinkϕ víi ak , bk , ck , dk ∈ 3, k ∈ ∠* • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n DE1b d¹ng chuçi h m u(r, ϕ) = a0 + b0lnr +∞ ∑ [(a r k + b k r − k ) cos kϕ + (c k r k + d k r − k ) sin kϕ] + (8.6.11) k k =1 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn (8.6.10) +∞ u(ρ, θ) = a0 + b0lnρ + ∑ [(a k ρk + b k ρ− k ) cos kθ + (c k ρk + d k ρ− k ) sin kθ] = g(θ) k =1 +∞ u(R, θ) = a0 + b0lnR + ∑ [(a k R k + b k R − k ) cos kθ + (c k R k + d k R − k ) sin kθ] = h(θ) k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× Trang 146 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
40=>1