Giáo trình Toán học phần 9

- Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng.
- Suy ra nghiÖm cña bµi to¸n.
- NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo dµi liªn tôc c¸c hµm liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c hµm g vµ h cã ®¹o hµm liªn tôc tõng khóc..
- §−a vÒ chÝnh t¾c c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 sau ®©y..
- LËp bµi to¸n ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tõ c¸c bµi to¸n sau ®©y..
- Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt.
- T×m hµm u ∈ C(H, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt t.
- vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
- T×m nghiÖm riªng bÞ chÆn cña bµi to¸n CP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t.
- ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh (8.1.1) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n T’(t.
- HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n trªn cã hä nghiÖm riªng bÞ chÆn.
- Suy ra hä nghiÖm riªng bÞ chÆn cña bµi to¸n CP1a u α (x, t.
- T×m nghiÖm tæng qu¸t cña bµi to¸n CP1a d¹ng tÝch ph©n suy réng u(x, t.
- d Thay vµo c«ng thøc (8.1.3) vµ biÕn ®æi.
- §¹o hµm I(s), sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn, nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n I’(s.
- Thay vµo tÝch ph©n (8.1.4) suy ra c«ng thøc sau ®©y..
- Bµi to¸n CP1a cã nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.1.5).
- KiÓm tra trùc tiÕp hµm u(x, t) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (8.1.1) tho¶ m~n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2).
- NÕu u i lµ hai nghiÖm cña bµi to¸n.
- th× u = u 1 - u 2 lµ nghiÖm cña bµi to¸n t u.
- Tõ c«ng thøc (8.1.5) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y.
- Theo c«ng thøc (8.1.5) u(x, t.
- H 0 vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
- B(D, 3) vµ hµm v(x, τ, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n CP1a tho¶ m~n v(x, τ, 0.
- Bµi to¸n CP1b cã nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y u(x, t.
- T×m nghiÖm cña bµi to¸n CP1 d−íi d¹ng u(x, t.
- trong ®ã u α (x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n CP1α.
- KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.1.5) vµ (8.2.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y..
- Bµi to¸n CP1 cã nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.2.2)..
- Theo c«ng thøc (8.2.2) u(x, t.
- e ix Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n nhËn ®−îc.
- CÇn ghi nhËn kÕt qu¶ vµ ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n trªn ®Ó sö dông sau nµy..
- t 3 Suy ra nghiÖm cña bµi to¸n.
- NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo dµi liªn tôc c¸c hµm liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c hµm f vµ g cã ®¹o hµm liªn tôc tõng khóc..
- c¸c hµm f ∈ C(D, 3) vµ g ∈ C(D, 3) T×m hµm u ∈ C(H, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt.
- vµ c¸c ®iÒu kiÖn.
- Gi¶ sö f 1 vµ g 1 t−¬ng øng lµ kÐo dµi cña c¸c hµm f vµ g lªn toµn 3, cßn hµm v(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy sau ®©y..
- 3 × 3 + Theo c«ng thøc (8.2.2.
- Bµi to¸n SP1a cã nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc u(x, t.
- Thay vµo c«ng thøc (8.2.2) vµ sö dông tÝch ph©n (8.2.3.
- 3) T×m hµm u ∈ C(H, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt.
- H 0 vµ c¸c ®iÒu kiÖn.
- x¸c ®Þnh theo c«ng thøc.
- Theo c«ng thøc (8.3.2) ta cã u(x, 0.
- TÝnh duy nhÊt vµ æn ®Þnh suy ra tõ c«ng thøc (8.3.2) vµ −íc l−îng tÝch ph©n..
- T×m nghiÖm cña bµi to¸n SP1 d−íi d¹ng u(x, t.
- trong ®ã u α (x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n SP1α.
- KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.3.1) vµ (8.3.2), suy ra c«ng thøc sau ®©y..
- Bµi to¸n SP1 cã nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.3.3) NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n gi¶ Cauchy kh¸c..
- Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] vµ hµm g ∈ C(D, 3) T×m hµm u ∈ C(H, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt.
- vµ ®iÒu kiÖn biªn.
- T×m nghiÖm cña bµi to¸n HP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t.
- ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh (8.4.1) vµ ®iÒu kiÖn biªn (8.4.3) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n.
- LËp luËn t−¬ng tù nh− bµi to¸n HH1a, t×m nghiÖm riªng kh«ng tÇm th−êng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (8.4.4) vµ (8.4.6), nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng trùc giao trªn ®o¹n [0, l].
- Thay vµo ph−¬ng tr×nh (8.4.5) t×m ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp.
- Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña bµi to¸n HP1.
- T×m nghiÖm tæng qu¸t cña bµi to¸n HP1 d¹ng chuçi hµm u(x, t.
- Chuçi hµm (8.4.7) víi c¸c hÖ sè a k tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) lµ nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh cña bµi to¸n HP1a..
- Do ®ã chuçi hµm (8.4.7) víi c¸c hÖ sè a k tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) lµ héi tô ®Òu vµ cã thÓ ®¹o hµm tõng tõ theo x hai lÇn, theo t mét lÇn trªn miÒn H.
- KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi hµm (8.4.7) vµ c¸c chuçi ®¹o hµm riªng cña nã tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh (8.4.1) vµ c¸c ®iÒu kiÖn .
- 0 Theo c«ng thøc (8.4.8) ta cã.
- ThÕ vµo c«ng thøc (8.4.7) suy ra nghiÖm cña bµi to¸n u(x, t.
- Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c hµm f ∈ C(H, 3) vµ g ∈ C(D, 3) T×m hµm u ∈ C(H, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt.
- 0 vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn.
- §−a vÒ hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng.
- Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (8.5.2) t×m c¸c hµm T k (t) thÕ vµo c«ng thøc (8.5.1) suy ra nghiÖm cña bµi to¸n..
- Chuçi hµm (8.5.1) víi c¸c hµm T k (t) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (8.5.2) lµ nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh cña bµi to¸n HP1b..
- T×m hµm u ∈ C(H, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt.
- g(x) vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn.
- Trong ®ã hµm v(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n HP1a t.
- q(0) Hµm w(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n HP1b.
- Gi¶i c¸c bµi to¸n (8.5.4) vµ (8.5.5) t×m hµm v(x, t) vµ hµm w(x, t) thÕ vµo c«ng thøc (8.5.3) suy ra nghiÖm cña bµi to¸n..
- Hµm u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.5.3) víi hµm v(x, t) vµ hµm w(x, t) lµ nghiÖm cña c¸c bµi to¸n (8.5.4) vµ (8.5.5) lµ nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh cña bµi to¸n HP1..
- T×m nghiÖm cña bµi to¸n d−íi d¹ng u(x, t.
- xe -t víi hµm v(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n HP1a víi g 1 (x.
- 0 cßn hµm w(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n HP1b víi f 1 (x, t.
- NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo dµi liªn tôc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c hµm f vµ g cã ®¹o hµm liªn tôc tõng khóc..
- §æi biÕn to¹ ®é cùc x = rcosϕ, y = rsinϕ Theo c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp.
- Suy ra biÓu thøc to¹ ®é cùc cña to¸n tö Laplace.
- [0, 2π] vµ hµm g ∈ C([0, 2π], 3)..
- T×m hµm u ∈ C(D, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh Laplace.
- D 0 (8.6.1) vµ ®iÒu kiÖn biªn.
- T×m nghiÖm cña bµi to¸n DE1a d¹ng t¸ch biÕn u(r, ϕ.
- ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh (8.6.1) nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n.
- 0, víi λ Ph−¬ng tr×nh (8.6.3) cã hä nghiÖm riªng trùc giao, tuÇn hoµn chu kú T = 2π.
- Thay vµo ph−¬ng tr×nh (8.6.4) t×m hä nghiÖm riªng ®éc lËp vµ bÞ chÆn.
- Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña bµi to¸n DE1a.
- T×m nghiÖm tæng qu¸t cña bµi to¸n DE1a d¹ng chuçi hµm u(r, ϕ.
- §Þnh lý Cho g ∈ C 1 ([0, 2π], 3) tho¶ m~n g(0.
- Chuçi hµm (8.6.5) víi c¸c hÖ sè a k vµ b k tÝnh theo c«ng thøc (8.6.6) lµ nghiÖm duy nhÊt vµ æn ®Þnh cña bµi to¸n DE1a..
- Theo c«ng thøc (8.6.6) a k = 0 vµ b k = 2R π 2 ∫ π θ θ θ.
- Suy ra nghiÖm cña bµi to¸n u(r, ϕ.
- Theo kÕt qu¶ ë §8, ch−¬ng 3 suy ra bµi to¸n DE1a cã nghiÖm theo c«ng thøc sau ®©y..
- Gi¶ sö trong h×nh trßn B(0, R) hµm g cã c¸c cùc ®iÓm kh¸c kh«ng a k víi k = 1..n Theo c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n Cauchy (4.7.6) ta cã.
- -2iz Suy ra nghiÖm cña bµi to¸n.
- [0, 2π] vµ c¸c hµm g, h ∈ C([0, 2π], 3) T×m hµm u ∈ C(D, 3) tho¶ m~n ph−¬ng tr×nh Laplace.
- D 0 (8.6.9) vµ ®iÒu kiÖn biªn.
- LËp luËn t−¬ng tù bµi to¸n DE1a, t×m nghiÖm cña bµi to¸n DE1b d¹ng t¸ch biÕn u(r, ϕ.
- Thay vµo ph−¬ng tr×nh (8.6.9) nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp u 0 = a 0 + b 0 lnr.
- T×m nghiÖm tæng qu¸t cña bµi to¸n DE1b d¹ng chuçi hµm u(r, ϕ

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt