Tìm hiểu toán cao cấp phần 1

- B ài 1 Giới hạn và liên tục.
- 1.C ác số thực và đýờng thẳng thực.
- C ác số thực là những số có thể biểu diễn dýới dạng thập phân nhý.
- C ác số thực có thể đýợc biểu diễn về mặt hình học bởi các điểm trên 1 đýờng thẳ ng, đýợc gọi là đýờng thẳng thực nhý minh họa dýới đây:.
- T ập hợp tất cả các số thực (hay đừng thẳng thực ) sẽ đýợc ký hiệu là R.
- Tr ên tập hợp các số thực ta có hai phép toá n c õ bản + và * với một số tắnh chất đại số quen thu ộc đã biết .
- N ếu a,b, và c là các số thực thì ta có a <.
- N ếu (a và b cùng là số dýõng ) hay (a v à b cùng là số âm ) Th ì ta có.
- R c ó một số tập hợp con quen thuộc là tậ p h ợp các số tự nhiên N ,t ập hợp các số nguy ên Z , v à tập hợp các số hữu tỉ Q .
- C ác số thực không thuộc Q đýợc gọi là các số vô tỉ .
- V ới a và b là các số thực , ta ký hiệu : (a ,b ) l à { x  R / a<.
- Theo tắnh ch ất này thì mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên đều có cặn trên đúng (tức là chặn tr ên nhỏ nhất).
- Týõng tự , mọi tập số thực khác rỗng bị c ó chặn dýới đúng..
- Gi á trị tuyệt đối của một số thực x ,ký hiệu bởi |x|, đýợc định nghĩa nhý sau.
- T ừ đó ta có một số tắnh chất dýới đây:.
- H àm số Định nghĩa:.
- M ột hàm số f từ một tập D vào IR là một quy tắc cho ứng với mỗi x  D l à một phần t ử duy nhất f (x.
- M ột hàm số thýờng đýợc cho dýới dạng công thức nhý c ác vắ dụ sau:.
- Khi h àm số đýợc cho bởi một công thức nhý hàm số g(x) ở trên thì tập hợp tất cả các x m à g(x) xác định đýợc gọi là mi ền xác định của hàm số.
- V ắ dụ: Mi ền x ác định của hàm số l à tập hợp các số thực x sao cho : x 2 Ờ 4  0.
- V ậy miền xác định là.
- Đồ thị của hàm số:.
- Đồ thị của hàm số f là đýờng biểu diễn trong mặt phẳng Oxy có phýng trình y=f(x)..
- N ó bao gồm tất cả các điểm (x , f(x)) với x chạy trong miền xác định của hàm số..
- 1) Đồ th ị hàm số y = x 2.
- 2) Đồ thị hàm số y = x 3/2.
- T ổng, hiệu, tắch, thýõng của các hàm số:.
- Ta định nghĩa các hàm f+g, fỜ g, f.g, f/g v à c.f bởi các công thức sau:.
- H ợp nối của các hàm số.
- Mi ền xác định của g f l à tập hợp các giá trị x sao cho f(x.
- mi ền xác định của g..
- V ắ dụ : H àm số y = c ó miền xác định là tập hợp tất cả các số thực x sao cho.
- V ậy miền xác định là D.
- C ÁC DẠNG VÔ ĐỊNH.
- H àm týõng đýõng ,VCB ,VCL Định nghĩa 1:.
- Ta n ói f(x) týõng đýõng với g(x) khi x ->.
- g(x) khi x ->.
- Ho ặc là : khi x ->.
- g(x) T ắnh chất : Khi x ->.
- h(x) V ắ dụ : Khi x ->.
- tg x ~ x ex -1 ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x Định nghĩa 2:.
- Ta n ói f (x) là một đại lýợng vô cùng b é khi x ->.
- ta n ói f (x) là vô cùng lớn (vi ết tắt là VCL) khi x ->.
- Khi x ->.
- ta c ó ln(x), l à các VCL Khi x ->.
- ta c ó x, ln(x), ex là các VCL.
- Ghi ch ú : C ác khái niệm về hàm týõng đýõng, VCB và VCL cũng đýợc định ngh ĩa týõng tự nhý hai định nghĩa trên khi xét giới hạn ở vô tận, tức là khi xét x - >.
- Gi ả sử ta xét giới hạn của f(x) và g(x)trong cùng một qúa trình biến đổi của x.Khi đó.
- 1) Ta n ói f (x) Ờ g (x) c ó dạng vô định.
- 2) Ta n ói f(x).g (x) có dạng vô định o.
- 3) Ta n ói c ó dạng vô định n ếu f(x) và g (x) đều là các VCB.
- 4) Ta n ói c ó dạng vô định n ếu f(x) và g(x) đều là các VCL 5) Ta n ói f(x) g(x) c ó dạng vô định 0 0 khi f (x) v à g (x) đều là các VCB..
- 6) Ta n ói f(x) g(x) c ó dạng vô định  0 n ếu f(x) ->.
- 7) Ta n ói f (x) g(x) c ó dạng vô định 1 n ếu f(x) ->.
- Quy t ắc thay thế týõng đýõng khi tắnh giới hạn..
- Định lý : Gi ả sử ta xét giới hạn trong một quá trìn h bi ến đổi của x.
- g (x) v à g (x) có giới hạn L.
- f(x) c ó giới hạn L.
- Định nghĩa: X ét x ->.
- a (a  R , ho ặc a là vô tận ) Gi ả sử u = f (x)và v = g (x) là các VCB .
- (i) Ta n ói u và v có cùng cấp nếu.
- (ii) Ta n ói u có cấp cao hõn v nếu.
- (iii) Ta n ói u có cấp thấp hõn v nếu.
- Định nghĩa: (So s ánh VCL).
- Gi ả sử f(x) và g (x) là 2 VCL khi x ->.
- Ta n ói.
- V ắ dụ: Khi x ->.
- ta c ó x và c ùng cấp , x 3/2 c ó cấp cao hõn Định lý: Gi ả sử f (x) và g(x) là các VCB khi x ->.
- Định lý: Gi ả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x ->.
- f(x) khi x->a.
- V ắ dụ: Khi x - >.
- KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH.
- Nh ý đã biết , ta có thể dùng các quy tắc tắnh g i ới hạn trong trýờng hợp không phải d ạng vô định và các quy tắc thay thế týõng đýõng để tắnh giới hạn .
- Trong trýờng hợp g ặp các dạng vô định.
- Đối v ới các dạng vô định 0 0 , 1  v à  0 ta th ýờng dùng công thức biến đổi sau đây.
- 0) r ồi xét giới hạn của v.
- Ngo ài ra , đối với c ác dạng vô định v à ta c òn có thể áp dụng quy tắc LỖ.
- D ýới đây chúng ta sẽ xét một số vắ dụ minh họa cho các phýõng pháp khử dạng vô định nêu trên..
- Khi x->.
- T ắnh giới hạn.
- Ta c ó dạng vô định .
- HÀM SỐ LIÊN TỤC.
- Định nghĩa.
- Ta nói f(x) liên tục tại xo nếu.
- Ta nói f (x) liên tục bên phải tại xo n ếu:.
- 0 Ta n ói f(x) liên tục bên trái tại xo nếu:.
- f li ên tục bên trái và liên tục bên phải tại x o.
- Định lý: Cho f(x) v à g(x) là các hàm số liên tục tại xo.
- Khi đó ta có : (i) f(x.
- g (x) cũng liên tục tại xo.
- li ên tục tại xo.
- Định lý: N ếu hàm số f(x) liên tục tại x o v à hàm số g(u ) li ên tục tại u o = f(x o ) th ì h àm số hợp h (x) =gof(x) liên tục tại x o..
- 2.T ắnh chất của hàm hàm số liên tục trên một đoạn.
- Định nghĩa: H àm số f(x) đýợc gọi là liên tục trên đoạn [a,b] nếu:.
- (i) f(x) li ên tục trên khỏang (a,b) ,tức là f (x) liên tục tại mọi xo (a,b) (ii) f(x) li ên tục bên phải tại a..
- (iii) f(x) li ên tục bên trái tại b..
- Li ên quan đến hàm số liên tục trên một đoạn , ngýời ta đã chứng minh đýợc định lý sau đây:.
- Khi đó ta có:.
- T ắnh các giới hạn sau:.
- 2.T ắnh giới hạn

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt