Tìm hiểu toán cao cấp phần 2

- 4.X ác ðịnh a và b sao cho các hàm số sau ðây là liên tục trên IR..
- Bài 2 Ðạo hàm và vi phân của một số biến.
- KH ÁI NIỆM VỀ ÐẠO HÀM 1.
- N ếu tỉ số c ó giới h ạn  R khi x  x o th ì ta nói f có ðạo hàm tại x o v à giá trị của giới hạn trên ðýợc gọi l à ðạo hàm của hàm số f tại x o .
- Ðạo hàm của f tại x o th ýờng ðýợc ký hiệu là: f’ (x o.
- C ác ký hiệu khác của ðạo hàm.
- Ngoài cách ký hiệu ðạo hàm là f’ (x) ta còn có một số cách ký hi ệu khác nhý sau:.
- Ý nghĩa hình học của ðạo hàm.
- V ậy phýõng trình tiếp tuyến với ðồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo f(x) l à:.
- Ðịnh lý: n ếu f(x) liên tục tại x o th ì f(x) liên tục tại x o.
- B ảng ðạo hàm thông dụng (1) C ’ =0 (C là hằng số).
- Ðạo hàm của tổng, hiệu, tích , thýõng.
- Ðịnh lý: N ế u u(x) v à v(x) ðều có ðạo hàm theo biến x thì ta có:.
- Ðạo hàm của hàm số hợp Ðịnh lý:.
- Khi ấy, hàm số y = f(u(x)) có ðạo hàm tại xo và y’ (xo.
- Ðạo hàm của hàm ngýợc Ðịnh lý:.
- N ếu hàm số y = y(x) có ðạo hàm y’ (xo.
- 0 v à nếu có hàm ngýợc x = x(y) liên tục tại yo=y(xo), th ì hàm ngýợc có ðạo hàm tại yo và:.
- Ðạo hàm của hàm số có dạng y = u(x) v(x) v ới u(x)>0 Ta c ó:.
- Gi ả sử f(x) có ðạo hàm tại mọi x thuộc một khoảng nào ðó.
- Khi ấy f’ (x) là một hàm số x ác ðịnh trên khoảng ðó.
- Nếu hàm số f’ (x) có ðạo hàm thì ðạo hàm này gọi là ðạo h àm cấp 2 của f(x), ký hiệu là f.
- Ta c òn ký hiệu ðạo hàm cấp 2 là.
- T ổng quát, ðạo hàm của ðạo hàm cấp n -1 ðýợc gọi là ðạo hàm cấp n.
- Ðạo hàm cấp n c ủa f(x) ðýợc ký hiệu là v ậy:.
- Ðạo hàm cấp n của f(x) còn ðýợc ký hiệu là:.
- C ông thức.
- X ét hàm số f(x) xác ðịnh trên 1 khoảng quanh xo.
- Khi ta có m ột hằng số  sao cho ứng với mọi số gia  x ðủ nhỏ của biến x, số gia của hàm là  f ( x 0.
- Bi ểu thức A. x ðýợc gọi là vi phân của f(x) tại xo ứng với số gia  x v à ðýợc ký hiệu l à df.
- Ðịnh lý: H àm số f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi f(x) có ðạo hàm tại x o .
- T ừ ðịnh lý trên với f(x.
- x ta có dx.
- Do ðó biểu thức vi phân của một hàm số y=y(x) sẽ ðýợc viết dýới dạng : dy = y.
- T ừ ðịnh nghĩa của vi phân ở trên và công thức : dy = y’ dx.
- V ậy dạng vi phân dy của h àm y = f(x) không thay ðổi dù x là biến ðộc lập hay là hàm kh ả vi theo biến ðộc lập khác.
- Tính chất này ðýợc gọi là tính bất biến của biểu thức vi ph ân..
- T ừ các qui tắc tính ðạo hàm, ta có các qui tắc tính vi phân nhý sau : d(u+v)=du + dv.
- Gi ả sử hàm số y=f(x) khả vi trên một khoảng nào ðó.
- Nhý thế vi phân dy=y’ .dx là m ột hàm theo x trên khoảng ðó và nếu hàm này khả vi thì vi phân của nó ðýợc gọi là vi ph ân cấp 2 cuả y và ðýợc ký hiệu là d 2 y.V ậy:.
- T ổng quát, vi phân cấp n của hàm số y ðýợc ký hiệu là dny và ðýợc ðịnh nghĩa bởi:.
- V í dụ : V ới y= sin x, ta có:.
- Nh ận xét : C ông thức vi phân cấp cao:.
- C ÁC ÐỊNH LÝ CÕ BẢN 1.
- C ực trị ðịa phýõng và ðịnh lý Fermat.
- H àm số f(x) ðýợc gọi là ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo nếu có một lân cận quanh ðiể m xo sao cho v ới mọi x thuộc lân cận này ta có.
- Kh ái niệm cực tiểu ðịa phýõng cũng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự.
- Cực ðại ðịa phýõng v à cực tiểu ðịa phýõng ðýợc gọi chung là cực trị ðịa phýõng..
- Ðịnh lý (Fermat):.
- N ếu hàm số f(x) ðạt cực trị ðịa phýõng tại x o v à có ðạo hàm tại xo thì f’ (x o )=0 Ch ứng minh:.
- Gi ả sử f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại x 0 v à có ðạo hàm tại x o .
- 0 v à trên khoảng này ta có:.
- Ðịnh lý Rolle.
- N ếu f(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trong khoản g (a,b) v à f(a)=f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f ’ (c)=0.
- Ch ứng minh:.
- V ậy ta có thể giả sử f(x) kh ông hằn g tr ên [a,b].
- f(b) v à m  f([a,b]) n ên  c  (a,b) sao cho f(c.
- Ðịnh lý Lagrange.
- N ếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có ðạo hàm tr ên (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho:.
- Ch ứng minh.
- Do ðó,theo ðịnh lý Rolle ta có c (a,b) sao cho c  (a, b) sao cho: g ’ (c) =0.
- Gi ả sử cung AB là ðồ thị của hàm số f(x) thoả ðiều kiện của ðịnh lý Lagrange trên [a,b] nh ý hình vẽ.
- (a,b) sao cho ti ếp tuyến với ðồ thị tại C là son g song v ới ðýờng thẳng AB..
- Ch ú ý: N ếu ðặt h = b -a th ì ðẳng thức trong ðịnh lý Lagrange có thể ðýợc viết l ại nhý sau:.
- Ðịnh lý Cauchy.
- 0 t ại m ọi x  (a,b), th ì tồn tại c  (a,b) sao cho:.
- N ên theo ðịnh lý Rolle ta phải có g(a.
- X ét hàm số h(x.
- h(b) nên t heo ðịnh lý Rolle ta có c  (a,b) sao cho h ’ (c.
- Ðịnh lý Taylor.
- N ếu hàm số f(x) có ðạo hàm ðến cấp n+1 trong một khoảng chứa xo và x thì ta có c ông thức Taylor sau ðây.
- D ạng này ðýợc gọi là phần dý dạng Peano.
- C ông thức Taylor của hàm số f(x) thýờng ðýợc gọi là khai triển Taylor của hàm số f..
- V à công thức này ðýợc gọi là công thức Maclaurin của hàm số f.
- 2.Khai tri ển Maclaurin của một số hàm sõ cấp Khai tri ển hàm số : y = e x.
- V ới mọi k ta có y (k) (x.
- Khai tri ển hàm y=sin x.
- Khai tri ển cos x..
- Khai tri ển.
- Khai tri ển ln(1+x), x >.
- Khai tri ển v à.
- Khai tri ển arctg x

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt