- T ắnh đạo hàm của. - T ìm giới hạn của các hàm số sau đâ y khi x 0:. - T ìm giới hạn của các hàm số sau đây khi x. - Áp dụng định lý Lagrange để chứng minh.. - Kh ảo sát và vẽ đồ thị các hàm số. - Vi ết công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại xo đến cấp n. - T ìm hiệ n c ủa các đýờng cong theo hàm số. - B ài 3 Ứng dụng của đạo hàm. - Trong c ông thức khai triển Maclaurin của hàm số e x. - Ta c òn có thể dùng khai triển Maclaurin để tắnh giới hạn có dạng vô định nhý trong v ắ dụ sau đây. - Nh ờ định lý Cauchy, ngýời ta đã chứng minh đýợc các định lý dýới đây mà ta gọi l à quy t ắc LỖ Hospitale. - Định lý: (Quy tắc LỖ Hospitale 1). - Định lý vẫn đúng khi thay cho qu á trình x a. - định lý vẫn đúng.. - Định lý: (Quy tắc LỖ Hospitale 2). - Định lý cũng đúng cho các quá trình x b. - X ét qúa trình x 0 ta c ó:. - c ó dạng vô định. - c ũng có dạng vô định. - Gi ới hạn này có dạng vô định. - Gi ới hạn này có dạng vô định . - Chi ều biến thiên và cực trị địa phýõng. - Định lý:. - Gi ả sử f có đạo hàm trên khoảng (a,b. - Khi đó điều kiện cần và đủ để hàm số tãng tr ên (a,b) là f(x. - T ýõng tự , điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) gi ảm trên (a,b) là f'(x. - T ừ định lý này, để xét sự biến thiên của hàm số f(x) ta tắnh đạo hàm f'(x)và xét dấu đạo hàm. - Việc xét dấu đạo hàm cũng cho ta biết cực trị địa phýõng của hàm số theo định lý sau đây:. - Định lý. - điều kiện đủ để có cực trị địa phýõng). - Gi ả sử f(x) liên tục tại xo và có đạo hàm trong một khoảng quanh x o (c ó t h ể trừ điểm x o. - Khi đó ta có:. - (i) N ếu khi x výợt qua xo mà fỖ (x) đổi dấu từ Ờ sang + th ì f(x) đạt cực tiểu địa phýõng t ại x o. - (ii) N ếu khi x výợt qua xo mà f'(x) đổi dấu từ + sang Ờ th ì f(x) đạt cực đại địa phýõng t ại x o. - (iii) N ếu khi x výợt qua xo mà f'(x ) kh ông đổi dấu thì không có cực trị địa phýõng tại x o. - Ngo ài cách khảo sát cực trị điạ phýõng bằng việc xét dấu đạo hàm cấp 1 f'(x), ta còn c ó thể xét dấu của đạo hàm cấp 2 f''(x) tại điểm x o , nh ờ vào định lý sau. - Định lý : Gi ả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục f''(x o ) v à f'(x o )=0.. - Khi đó:. - 0 th ì f(x) đạt cực tiểu địa phýõng tại x o. - 0 th ì f(x) đạt cực đại địa phýõng tại x o. - Ch ú ý: Định lý trên có thể đýợc mở rộng và đýợc phát biểu nhý sau: Giả sử f(x) c ó đạo hàm cấp n liên tục trên một khoảng chứa xo và giả sử. - Khi đó. - M ột vấn đề có liên quan đến cực trị là tìm gắa trị nhỏ nhất và gắa trị lớn nhất của m ột hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. - 1) T ìm các khoảng tãng giảm của hàm số và tìm cự c tr ị địa phýõng:. - y Ỗ = 0 tại tại x = 1 và yỖ không xác định tại x = 0. - V ậy hàm số giảm trong khoảng. - 2) T ìm giá trị nhỏ nhất cuả hàm số.. - H àm số f(x) đýợc gọi là lõm trên (a,b) nếu Ờ f (x) l à lồi trên (a,b).. - H àm số f(x) là lồi. - V ề mặt hình học, hàm số f(x) là lồi trên 1 khoảng nghĩa là mọi cung AB của đồ thị h àm số đều nằm dýới dây cung AB.. - Điểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng lõm của hàm số y=f(x) đýợc gọi là điểm u ốn.. - Định lý dýới đây cho ta cách dùng đạo hàm để khảo sát tắnh lồi, lõm và tìm điểm u ốn.. - Khi đó hàm số f là lồi (t ýõng ứng lõm) trên khoảng (a,b) nếu và c h ỉ nếu fỖ Ỗ (x. - V ắ dụ: X ét tắnh lồi, lõm và tìm điểm uốn cho hàm số. - Mi ền xác định của hàm số là D = R . - T ắnh đạo hàm. - V ậy hàm số y lõm trên các khoả ng. - T ừ đó, đồ thị hàm số có 1 điểm uốn là M(0,0).. - S õ đồ khảo sát hàm số. - 1) T ìm miền xác định của hàm số y =f (x) đồng thời nhận xét về tắnh chẳn lẻ, tắnh tuần ho àn cuả hàm số để rút gọn miền khảo sát.. - 2) Kh ảo sát sự biến thiên của hàm số và tìm các cực trị địa phýõng. - Tắnh một số giới h ạn quan trọng và lập bảng biến thiên của hàm số.. - 5) V ẽ đồ thị. - V ắ dụ : Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số. - Mi ền xác định : D = R \ {-1,+1}. - H àm số y là hàm số lẻ.. - C ác đạo hàm:. - Đồ thị của hàm số nhý sau. - ĐÝỜNG CONG THEO THAM SỐ VÀ ĐÝỜNG CONG. - Đýờng cong theo tham số. - Ph ýõng trình tham số của đýờng cong trong mặt phẳng Oxy cho bởi hệ 2 hàm:. - vạch nên một đýờng cong trong mặt phẳng Oxy.. - Để khảo sát đýờng cong theo tham số ta cũng tiến hành tiến các býớc nhý đối với h àm số y = f(x).. - Kh ảo s át sự biến thiên của x và y bằng cách xét dấu các đạo hàm xỖ (t) và yỖ (t) theo t.. - T ìm các tiệm cận V ẽ đồ thị. - Đýờng cong trong tọa độ cực T ọa độ cực:. - Để xác định vị trắ của các điểm trong mặt phẳng, ngoài cách dùng tọa độ
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt