- Ta c ó chuỗi hội tụ và có tổng là. - Ta c ó chuỗi phân kỳ.. - K ết luận: chu ỗi hình học hội tụ khi và chỉ khi |q| <. - C ác tắnh chấ t c ủa chuỗi số. - Trong m ục này sẽ phát biểu một số tắnh chất của chuỗi số. - Các tắnh chất này có thể ki ểm chứng dễ dàng từ định nghĩa của chuỗi số.. - Định lý:. - T ắnh hội tụ hay ph ân kỳ của một chuỗi số sẽ không đổi khi ta bỏ đi một số hữu hạn số h ạng đầu của chuỗi số.. - T ắnh hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số sẽ không đổi nếu ta bỏ đi hay thêm vào một s ố hữu hạn số hạng ở những vị trắ bất kỳ.. - Định lý. - N ếu chuỗi số h ội tụ và có tổng bằng S thì vớc ta có chuỗi c ũng hội t ụ và. - N ếu v à l à các chuỗi số hội tụ thì các chuỗi tổng và chuỗi hiệu sau đây. - c ũng là các ch u ỗi hội tụ. - 3.Ti êu chuẩn hội tụ Cauchy:. - Định lý: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số. - h ội tụ là với mọi >. - T ừ định lý trên ta suy ra định lý về điều kiện cần cho sự hội tụ của một chuỗi số sau đây.. - N ếu chuỗi h ội tụ thì. - V ậy chuỗi số ph ân kỳ nếu un kh ông tiến về 0 khi n. - Chu ỗi ph ân kỳ vì kh ác 0.. - Chu ỗi ph ân kỳ vì kh ông tồn tại.. - II.CHU ỖI SỐ DÝạNG. - Chu ỗi số đýợc gọi là ch u ỗi số dýõng nếu tất cả các số hạng của chuỗi số đều là số dýõng. - Trýờng hợp tất cả các số hạng đều là số không âm thì chuỗi số đýợc g ọi là chuỗi số không âm. - Lýu ý rằng khi xét tắnh hội tụ hay phân kỳ cũng nhý tắnh t ổng của chuỗi số không âm ta có thể loạ i b ỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số kh ông âm cũng thýờng đýợc gọi là chuỗi số dýõng.. - Nh ận xét rằng dãy các tổng riêng Sn c ủa chuỗi số dýõng là dãy tãng nên chuỗi s ố hội tụ khi và chỉ khi dãy Sn b ị chặn trên.. - 1.C ác tiêu chuẩn so sánh Định lý:. - Gi ả sử hai chuỗi số dýõng v à th ỏa điều kiện un vn v ới n khá lớn (ngh ĩa là ứng với mọi n lớn hõn một số n 0 n ào đó). - N ếu h ội tụ thì h ội tụ.. - N ếu ph ân kỳ thì ph ân kỳ.. - Hai chu ỗi số dýõng v à h ội tụ khi và chỉ khi chuỗi h ội. - V ắ dụ: Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - V ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát h ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh đýợc. - ph át biểu trong định lý trên chuỗi số h ội tụ.. - N ếu tồn tại giới hạn v ới L là một số thực dýõn g th ì các chuỗi số. - d ýõng v à c ùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.. - N ếu th ì từ sự hội tụ của chuỗi s ẽ kéo theo sự hội tụ của. - chu ỗi , v à từ sự phân kỳ của chuỗi s ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi. - Vậy: nếu un ~ vn th ì các chuỗi số dýõng v à c ùng hội tụ ho ặc cùng phân kỳ.. - Để áp dụng các tiêu chuẩn so s ánh ta phải ghi nhớ tắnh chất hội tụ hay phân kỳ của m ột số chuỗi thýờng gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. - đây về sự hội tụ của chuỗi. - Chu ỗi h ội tụ. - K ết quả này có thể đýợc chứng minh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tắch phân Cauchy. - 1 ta c ó chuỗi ph ân kỳ.. - 1) Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - M à chuỗi ph ân kỳ và l à một hằng số khác 0 nên. - chu ỗi c ũng phân kỳ.. - 2) Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - V ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát h ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có. - chu ỗi c ũng hội tụ.. - 3) Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - V ì chuỗi ph ân kỳ nên chuỗi c ũng phân kỳ.. - Định lý: (Ti êu chuẩn dỖ Alembert) Xét chuỗi số dýõng. - th ì chuỗi số h ội tụ.. - th ì chuỗi số ph ân kỳ.. - T ừ định lý trên ta rút ra hệ quả sau đây, cũng đýợc gọi là tiêu chuẩn hội tụ d Ỗ Alembert:. - H ệ quả: Cho chu ỗi số dýõng . - 1 th ì chuỗi số h ội tụ.. - 1 th ì chuỗi số ph ân kỳ.. - chu ỗi số dýõng h ội tụ hay phân kỳ. - h ợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn điều kiện. - và chuỗi l à một v ắ dụ cho tr ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn điều kiện. - S ýu tầm by hoangly85 1) X ét chuỗi số v ới x là một số thực cho trýớc. - Khảo sát sự hội tụ của chu ỗi s ố.. - S ố hạng thứ n của chuỗi số là . - Nh ận xét rằng với x = 0 thì các số hạng đều b ằng 0 nên chuỗi hội tụ. - V ậy chuỗi h ội tụ với mọi x.. - Suy ra chu ỗi ph ân kỳ.. - Định lý: (Ti êu chuẩn cãn thức Cauchy) Xét chuỗi số dýõng. - T ừ định lý trên ta rút ra hệ quả sau đây, cũng đýợc gọi là tiêu chuẩn cãn thức Cauchy:. - S ýu tầm by hoangly85 h ợp chuỗi số dýõng phân kỳ th ỏa mãn điều kiện. - và chuỗi l à một vắ dụ cho tr ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn điều kiện. - X ét chuỗi số v ới x là một số thực cho trýớc. - Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.. - T ừ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi h ội tụ với mọi x.. - X ét sự hội tụ của chuỗi số. - Suy ra chu ỗi số ph ân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy.. - Định lý: (ti êu chuẩn tắch phân Cauchy). - N ếu chuỗi số c ó dạng , ngh ĩa là v ới mọi n. - h ội tụ h ội tụ V ắ dụ:. - 1) X ét sự hội tụ của chuỗi điều hòa mở rộng. - 1) kh ông hội tụ về 0 nên chuỗi phân k ỳ. - D ễ thấy rằng các tiêu chuẩn dỖ Alembert và tiêu chuẩn cãn th ức Cauchy đều không cho ta kết luận đýợc về tắnh hội tụ hay ph ân kỳ của chuỗi số.. - th ỏa các điều kiện giả thiết trong tiêu chuẩn tắch phân Cauchy. - t ắch phân suy rộng h ội tụ khi và chỉ khi >. - 1 n ên chuỗi h ội tụ khi v à chỉ khi. - h ội tụ. - 2) X ét sự hội tụ của chuỗi. - V ậy chuỗi ph ân kỳ.. - D ùng định nghĩa để khảo sát sự hội tụ và tắnh tổng (nếu có) của chuỗi số:. - Kh ảo sát dự hội tụ của các chuỗi số.. - S ử dụng tiêu chuẩn cãn thức Cauchy khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:. - S ử dụng tiêu chuẩn dỖ Alembert khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:. - S ử dụng tiêu chuẩn tắch phân Cauchy khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:. - C ác chuỗi sau đây hội tụ hay phân kỳ:. - Ch ứng minh rằng nếu các chuỗi v à h ội tụ thì chuỗi số. - h ội tụ tuyệt đối.. - C ác chuỗi số sau đây hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ hay phân kỳ?. - T ìm miền hội tụ của chuỗi hàm.. - T ìm miền hội tụ của các chuỗi sau đây:
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt