Dạy và học định nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số thông qua quá trình mô hình hóa toán học

- DẠY VÀ HỌC ĐỊNH NGHĨA CHÍNH XÁC VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ THÔNG QUA QUÁ TRÌNH MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC.
- Mô hình hóa, giới hạn, xấp xỉ.
- x xấp xỉ f x.
- Bài báo đề cập đến việc dạy học định nghĩa chính xác về khái niệm giới hạn từ một trường hợp cụ thể.
- Tiếp theo, một số hoạt động dạy và học đã được xây dựng với mục đích giảm bớt những khó khăn cho học sinh khi họ lĩnh hội khái niệm trừu tượng này thông qua quá trình mô hình hóa toán học.
- Qua đó, học sinh sẽ có được hiểu biết sâu sắc hơn về mối liên hệ giữa khái niệm giới hạn và thực tiễn..
- Dạy và học định nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số thông qua quá trình mô hình hóa toán học.
- Trong quá trình dạy học toán, điều quan trọng là làm thế nào giúp học sinh (HS) hiểu rõ hơn khái niệm, nhận biết được sự thể hiện của khái niệm đó trong thực tế.
- Bởi lẽ, khái niệm là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học, là tiền đề để hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong nội bộ toán, các tình huống thực tế.
- Khái niệm toán học ở bậc phổ thông dù có trừu tượng nhưng vẫn có thể tìm thấy sự thể hiện của chúng trong thực tiễn và khái niệm giới hạn cũng không phải là một ngoại lệ..
- Khái niệm giới hạn đã được định nghĩa theo hai quan điểm, trong đó định nghĩa bằng ngôn ngữ.
- đã biến mất trong các sách giáo khoa hiện hành với mục đích làm giảm khó khăn cho HS khi họ lĩnh hội khái niệm này.
- Nhưng quan điểm này hình thành nghĩa đúng của khái niệm giới hạn và rõ ràng giúp cho HS hiểu rõ bản chất của nó là điều vô cùng cần thiết.
- Một trong những cơ hội để HS có thể hiểu rõ hơn về khái niệm theo quan điểm này là giáo viên (GV) ủy thác cho học sinh giải quyết các tình huống thực tế, từ đó HS khám phá ra nét hoàn toàn tương đồng của ý nghĩa bài toán thực tế với định nghĩa giới hạn bằng ngôn ngữ.
- Để giải quyết các vấn đề thực tế, HS phải trải qua quá trình mô hình hóa toán học – quá trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngoài toán học thành vấn đề của toán học, rồi sử dụng các công cụ toán để tìm câu trả lời cho vấn đề được đặt ra ban đầu.
- viết, việc bổ sung ý nghĩa còn thiếu về khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ.
- cho HS thông qua quá trình mô hình hóa toán học được đề cập..
- 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Quá trình mô hình hóa toán học.
- Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014), “Mô hình hóa toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi.
- Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận”..
- Phỏng theo Stewart (2012), sơ đồ tóm lược các bước của quá trình mô hình hóa như sau:.
- Sơ đồ: Quá trình mô hình hóa Bốn bước của quá trình mô hình hóa cụ thể như.
- Lập một mô hình toán học bằng cách xác định và đặt tên cho các biến số, có thể đưa ra các giả định nhằm làm đơn giản hóa hiện tượng để áp dụng toán học một cách dễ dàng..
- Áp dụng kiến thức toán học vào mô hình vừa được xây dựng nên để đưa ra các kết luận về toán học..
- Vận dụng các kết luận toán học và giải thích chúng trong mối liên hệ với hiện thực ở thế giới thực bằng cách đưa ra sự giải thích và những dự báo..
- Nếu chúng không phù hợp với thực tế thì cần sửa đổi mô hình hoặc xây dựng mô hình mới và bắt đầu quy trình lại một lần nữa..
- 2.2 Những quan điểm về khái niệm giới hạn trong lịch sử.
- Nói về những quan điểm về khái niệm giới hạn trong lịch sử, Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011) nhận định:.
- Quan điểm đầu tiên về khái niệm giới hạn tồn tại từ thời Euclide (tư tưởng của nó thể hiện trong Phương pháp vét cạn) đến tận Newton.
- Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi đây là quan điểm “ xấp xỉ x.
- Quan điểm thứ hai về khái niệm giới hạn xuất hiện khi Cauchy  1821  đưa ra định nghĩa chính xác cho khái niệm này.
- Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi đây là quan điểm “ xấp xỉ f x.
- Trong quan điểm “ xấp xỉ f x.
- chúng ta hiểu khái niệm giới hạn (thể hiện trong kí hiệu hiện đại.
- x a ) có nghĩa là độ xấp xỉ của.
- f x với L mà ta mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ của x với a cần chọn..
- Quan điểm thứ hai đã hình thành nghĩa đúng của khái niệm giới hạn.
- Năm 1876, Weierstrass đã thể hiện quan điểm “ xấp xỉ f x.
- của khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ.
- Với ngôn ngữ hình thức, người ta có thể trình bày khái niệm giới hạn như sau:.
- Hai quan điểm kể trên thể hiện sự đối lập nhau về vai trò của độ xấp xỉ biến  và độ xấp xỉ giá trị hàm số.
- trong quan điểm “ xấp xỉ x.
- độ xấp xỉ  kéo theo độ xấp xỉ.
- “xấp xỉ f x.
- độ xấp xỉ  mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ.
- 2.3 Xây dựng một kịch bản dạy học định nghĩa chính xác của khái niệm giới hạn thông qua quá trình mô hình hóa toán học.
- Trong phần này, một kịch bản dạy học định nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số với mục đích giảm bớt khó khăn cho HS khi lĩnh hội khái niệm trừu tượng này được giới thiệu.
- Các công cụ của lí thuyết tình huống do Brousseau (1998) đặt nền móng được vận dụng để xây dựng kịch bản dạy học.
- Kịch bản có thể tiến hành dạy học trong một buổi (70 phút, làm việc theo nhóm) trên đối tượng là các em HS lớp 11 hoặc các em HS lớp 12 trung học phổ thông đã học xong khái niệm giới hạn của hàm số..
- Mục đích xây dựng định nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số..
- Mục đích kích thích tính tò mò, tạo sự quan tâm đến tình huống và gợi lên ý niệm về sự xấp xỉ cho HS trong tình huống thực tế..
- Mục đích làm rõ ràng hơn cho HS về sự thể hiện của quan điểm “ xấp xỉ f x.
- của khái niệm giới hạn trong tình huống thực tế..
- GV bắt đầu hoạt động 1 bằng cách phát phiếu học tập có tình huống 1 kèm theo câu hỏi cho các nhóm, yêu cầu HS thảo luận và điền câu trả lời vào phiếu học tập..
- Tình huống 1.
- Các nhóm thảo luận và trả lời vào phiếu học tập các câu hỏi tình huống do GV đặt ra.
- Vì 7 chính là giới hạn chính xác của f x.
- Cuối cùng, GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa chính xác về giới hạn qua ngôn ngữ.
- như một mô hình.
- Ta nói rằng giới hạn của f x.
- Tiếp theo, một số hoạt động dạy và học xuất phát từ tình huống thực tiễn được xây dựng nhằm làm rõ ràng hơn cho HS về quan điểm “ xấp xỉ f x.
- của khái niệm giới hạn.
- Tình huống thực tế được lựa chọn dưới đây với ngữ cảnh khá quen thuộc để HS có thể hiểu rõ tình huống và có khả năng tìm ra mô hình toán phù hợp..
- Tình huống 2.
- Câu hỏi 2: Các em có liên hệ đến các kiến thức toán học nào đã biết không? Kiến thức toán học đó là gì?.
- Mỗi HS sẽ có được những câu trả lời riêng cho mình và sẽ có hàng loạt các ý kiến, các tranh luận về hai bức ảnh đã được đưa ra chẳng hạn: về những người thợ cơ khí đang làm việc, những miếng kim loại hình tròn, chi phí sản xuất vật liệu,… Những kiến thức toán học nhắc đến là: hình tròn, diện tích, bán kính..
- Câu hỏi 3: Nếu yêu cầu phải làm ra nhiều miếng kim loại hình tròn có diện tích chính xác.
- Do đó, người thợ cơ khí khó chắc chắn sẽ làm được những miếng kim loại hình tròn có diện tích chính xác tuyệt đối là 1000 cm 2.
- Câu hỏi 4: Nếu yêu cầu phải làm ra nhiều miếng kim loại hình tròn có diện tích là 1000.
- gì về diện tích của các miếng kim loại đó với diện tích chuẩn 1000 cm 2.
- Bằng cách tận dụng kết luận của câu hỏi 3, HS có thể đưa ra nhận xét rằng diện tích của các miếng kim loại sau khi được người thợ làm xong sẽ sai khác một con số rất nhỏ và luôn gần bằng với diện tích 1000 cm 2 .
- Từ đó, HS bắt đầu hình thành những ý niệm về sự xấp xỉ trong tình huống thực tế vừa nêu..
- GV đưa ra tình huống 3 bằng cách phát phiếu học tập cho các nhóm.
- Tình huống 3.
- Một thợ cơ khí được yêu cầu làm ra một miếng kim loại hình tròn có diện tích là 1000 cm 2.
- b) Nếu sai số cho phép đối với diện tích miếng kim loại là 5 cm 2 thì người thợ máy phải kiểm soát sai số đối với bán kính miếng kim loại trong phạm vi bao nhiêu?.
- c) Làm lại câu (b) với sai số cho phép đối với diện tích miếng kim loại là 3 cm 2.
- d) Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa sai số đối với diện tích và sai số đối với bán kính?.
- Để giải các câu (a), (b) và (c) của bài toán này, HS thường phải trải qua 4 bước của quá trình mô hình hóa toán học nhưng đôi lúc các em không nhận ra.
- Lập ra một mô hình toán học.
- Gọi S và R lần lượt là diện tích và bán kính của miếng kim loại hình tròn.
- Vì sai số cho phép đối với diện tích miếng kim loại là 5 cm 2 nên ta có 995.
- Đưa ra sự giải thích cho tình huống thực tế.
- Để chắc chắn rằng giá trị của diện tích sẽ nằm trong đoạn.
- Do đó, sai số cho phép đối với bán kính là xấp xỉ 0,044 cm..
- Kiểm nghiệm lại các dự báo, sự giải thích và mô hình toán học đã xây dựng.
- Mô hình toán học được đưa ra là hoàn toàn phù hợp với giả thiết của bài toán.
- Nếu sai số đối với diện tích càng lớn thì sai số đối với bán kính cũng càng lớn và ngược lại.
- điều này nhằm dẫn đến một kết luận là “ sai số đối với diện tích sẽ quyết định sai số đối với bán kính ” hay có thể nói theo một cách khác “ độ xấp xỉ của diện tích đang thiết kế với diện tích chuẩn 1000.
- cm 2 sẽ quyết định độ xấp xỉ của bán kính đang thiết kế với bán kính chuẩn.
- Cuối cùng, yêu cầu trong câu (e) với mục đích chỉ rõ cho học sinh sự thể hiện của định nghĩa chính xác về giới hạn trong thực tế.
- Người thợ cơ khí không thể nào cắt được một miếng kim loại có diện tích chính xác là 1000 cm 2.
- thợ cơ khí muốn mức độ sai lệch về diện tích không được lớn hơn  5 cm 2 .
- Bản chất của khái niệm giới hạn được lột tả một cách sâu sắc dưới sự phản ánh của thực tế.
- Những chướng ngại tri thức luận của HS khi lĩnh hội khái niệm tinh tế này phần nào được giảm đi đáng kể..
- Hơn thế, khái niệm giới hạn cũng phản ánh lại thế giới hiện thực.
- Chính điều này, HS hiểu sâu hơn mối liên hệ chặt chẽ giữa khái niệm này và rộng hơn là giữa các kiến thức toán học khác với thực tiễn cuộc sống.
- Ngoài ra, thông qua quá trình mô hình hóa toán học, một số hoạt động dạy và học các khái niệm khác chẳng hạn như: đạo hàm, tích phân.
- thức toán học ở mức độ cao hơn và nâng cao các kĩ năng giải quyết các vấn đề thực tiễn..
- Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm.
- Dạy và học khái niệm giới hạn hàm số ở trường trung học phổ thông