- Phép chiếu toán tử loại II. - Bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật. - Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn. - Sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để tính biểu thức tenxơ độ dẫn. - Biểu thức độ rộng vạch phổ. - Biểu thức của hàm dạng phổ. - Biểu thức công suất hấp thụ. - Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào. - Khảo sát sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ. - Mặc dù có khá nhiều cách tiếp cận vấn đề này nhưng phép chiếu toán tử vẫn là một phương pháp được quan tâm với lý do là với các toán tử chiếu hoàn toàn xác định, chúng ta có thể thu được một công thức độ dẫn khá hoàn hảo, biểu thức hàm dạng phổ tường minh [15]. - Lý thuyết của Cho và Choi dùng để tính tốc độ hồi phục trong Ge và Si bỏ qua tán xạ thế biến dạng bằng cách sử dụng các toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại I, được định nghĩa bởi Badjou và Argyres [14].. - vì vậy, bằng cách sử dụng phép chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái loại II, biểu thức của tenxơ độ dẫn sẽ được diễn tả một cách tường minh hơn.. - Sang Chil Lee, Jeong Woo Kanga, Hyung Soo Ahn, Min Yang, Nam Lyong Kang, Suck Whan Kim: Sử dụng độ dẫn quang thu được từ phương pháp toán tử chiếu Mori để khảo sát tính chất của cộng hưởng electron-phonon trong hố lượng tử.. - Sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để tìm độ dẫn điện và độ rộng vạch phổ do tương tác electron-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế vô hạn dưới tác dụng của trường laser, từ đó khảo sát số về độ rộng vạch phổ.. - Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt trong vật lý thống kê, trong đó tập trung nhiều vào phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II.. - Chương này trình bày tổng quan về phép chiếu toán tử loại II, bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật, về Hamiltonian của hệ electron-phonon khi có mặt trường ngoài. - Phép chiếu toán tử lần đầu tiên được Hazime Mori đưa ra vào năm 1965 khi nghiên cứu sự chuyển tải của hệ nhiều hạt [32], gọi là phép chiếu toán tử Mori. - Qua quá trình nghiên cứu, phép chiếu toán tử Mori phát triển với nhiều cách định nghĩa toán tử chiếu khác nhau tùy vào mục đích tính toán. - Chẳng hạn, để khai triển biểu thức của tenxơ độ dẫn được cho bởi. - h...J i i µ,ν , (1.1) trong đó J i là phần tử thứ i của mật độ dòng điện trung bình, đã định nghĩa hai toán tử chiếu như sau [39]. - hJ i i µ,ν J i , Q ≡ 1 − P, (1.2) với h...i µ,ν = T R {ρ eq (a + µ a ν. - là toán tử nào đó, ρ eq là toán tử mật độ cân bằng của hệ.. - Nếu toán tử dòng được khai triển J i = P. - Khi đó, các toán tử chiếu có thể được định nghĩa theo cách khác như sau. - (1.4) Ta thấy, phương chiếu được chọn sao cho toán tử P luôn là phương của toán tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương còn lại vuông góc với phương chiếu của P là Q = 1 - P. - Do đó P tác dụng lên toán tử chọn làm phương chiếu A thì bằng chính toán tử A, Q tác dụng lên toán tử A bằng không và tích hai toán tử chiếu bằng không.. - Chẳng hạn, với các toán tử chiếu của Suzuki A. - hJ i i µ,ν J i = J i , QJ i = (1 − P )J i = 0, P Q = QP = 0 (1.5) Phép chiếu thứ nhất chọn phương chiếu là toán tử dòng điện, không phụ thuộc trạng thái, nên gọi là phép chiếu không phụ thuộc trạng thái.. - Phép chiếu thứ hai chọn phương chiếu là các toán tử a + α a β , phụ thuộc vào hai trạng thái α và β, nên gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái.. - J k là thành phần thứ k của toán tử dòng của hệ. - Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái | αi. - βi, toán tử P αβ (k) tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử J k . - Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái. - δi, toán tử P αβ γδ tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử a + α a β. - khi sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái trong nhiều bài toán khác nhau nhóm này đã thu được biểu thức của tenxơ độ dẫn và hàm dạng phổ với dạng phù hợp hơn. - Giả sử độ dẫn suy ra từ mật độ dòng điện được viết theo khai triển của toán tử mật độ thành tổng các số hạng từ bậc một đến bậc n. - Bây giờ ta tìm khai triển của toán tử mật độ dòng điện J. - Giá trị trung bình của một đại lượng bất kỳ theo phương pháp thống kê lượng tử bằng vết nhiều hạt của tích đại lượng này với toán tử mật độ. - Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, toán tử mật độ cân bằng của hệ lúc này là ρ eq . - Khi có mặt trường ngoài phụ thuộc thời gian, toán tử mật độ thay đổi theo thời gian và có thể khai triển thành. - ρ eq + ρ int (t), (1.14) trong đó ρ int (t) là toán tử mật độ khi có nhiễu loạn. - Phương trình Liou- ville cho toán tử mật độ có dạng. - L(t)ρ(t), (1.15) L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L(t)X ≡ [H (t), X], với X là toán tử tuyến tính bất kỳ. - Toán tử Liouville cũng có thể phân tích thành hai thành phần, L(t. - Thay biểu thức của H (t) và ρ(t) trong (1.10) và (1.14) vào phương trình (1.15) ta được. - Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian nên i~ ∂ρ eq. - ∂t = i~e iH eq t. - i~e iH eq t/~ ∂ρ int (t). - ∂t e −iH eq t/~. - ∂t e −iH eq t. - Đây là biểu thức của toán tử mật độ nhiễu loạn khi có trường ngoài tại thời điểm t. - Toán tử mật độ lúc này được phân tích thành tổng hai thành phần, một thành phần chứa toán tử mật độ trung bình và thành phần kia chứa toán tử mật độ nhiễu loạn tại thời điểm t − t 1 . - Tiếp tục thay biểu thức của ρ int (t−t 1 −t 2. - ta được biểu thức khai triển của toán tử mật độ đến số hạng thứ n,. - Từ khai triển của toán tử mật độ, ta có thể tìm giá trị trung bình của một đại lượng động lực bất kỳ một cách chính xác (khai triển đến bậc n). - h..i là kí hiệu trung bình thống kê và toán tử dòng của hệ nhiều electron J k được viết dưới dạng khai triển theo các toán tử dòng của một electron j k. - Từ đó ta tìm được số hạng trung bình bậc 1 của toán tử mật độ dòng. - Thay (1.24) vào (1.30) ta được biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn. - Để thực hiện điều đó, ta định nghĩa hai toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II P αβ γδ và Q γδ αβ như sau [12]. - Bằng cách tác dụng P 0 + Q 0 = 1 về bên phải của toán tử L eq , ta được. - (1.43) Thay (1.43) vào (1.33) ta có biểu thức tenxơ độ dẫn. - Biểu thức của hàm dạng phổ có chứa độ dịch phổ và độ rộng vạch phổ thể hiện các quá trình chuyển mức của electron do tương tác với phonon và điện trường ngoài.. - Bây giờ ta tính biểu thức hàm dạng phổ trong (1.46). - Toán tử P 0 tác dụng lên các toán tử trong SH2(2.3) SH2(2.3. - (2.8) Toán tử P 0 tác dụng lên các toán tử ở bên phải của nó trong SH2(2.6). - Với toán tử sinh hủy electron, ta có. - Với toán tử sinh hủy phonon, ta có. - Biểu thức hàm dạng phổ (2.10) có thể tính cụ thể từ khai triển các số hạng và tính trung bình thống kê theo toán tử mật độ.. - Thay các Hamiltonian tương ứng cùng toán tử Liouville vào, ta có (Phụ lục 7). - SH Trong (2.17) có 16 số hạng, trong đó có 8 số hạng chứa hoặc 2 toán tử sinh phonon hoặc 2 toán tử hủy phonon, đó là SH1.1, SH1.3, SH2.2, SH2.4, SH3.1, SH3.3, SH4.2, SH4.4. - Tám số hạng này sẽ cho đóng góp bằng 0 vì trị trung bình của hai toán tử cùng sinh phonon hoặc cùng hủy phonon bằng không. - Hàm dạng phổ thu được ở (2.20) là một biểu thức phức do có chứa. - Để thu được biểu thức độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật có thế cao vô hạn ta cần tính tường minh yếu tố ma trận tương tác electron-phonon. - Sử dụng biểu thức (C η,α (~q. - Trong biểu thức độ rộng vạch phổ ở phương trình (2.24) có chứa tổng theo trạng thái của electron |ηi và tổng theo vectơ sóng phonon. - Đại lượng V (q 1 ) tương ứng là V (q ) trong biểu thức (2.29) trong đó q z được thay bởi q 1. - C(q 3 ) và D(q 4 ) vào (2.34) ta được biểu thức tường minh của tốc độ hồi phục của bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn:. - Biểu thức của công suất hấp thụ có dạng như sau [13]. - Sử dụng phụ lục 14, ta được biểu thức cuối cùng của phần thực tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ. - Trong chương này biểu thức độ rộng vạch phổ trong bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn sẽ được lập trình tính số và vẽ đồ thị. - Biểu thức của tenxơ độ dẫn, độ rộng vạch phổ, cũng như công suất hấp thụ đều chứa hệ số HS và các hàm phân bố của electron và phonon.. - Biểu thức hệ số HS phụ thuộc vào kích thước dây lượng tử. - Hàm phân bố của electron chứa biểu thức của năng lượng phụ thuộc vào vectơ sóng và chỉ số mức năng lượng. - Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số trường ngoài.. - Khảo sát sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ và kích thước của dây.. - Hình 3.3: Sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ (hình bên trái).. - Hình 3.4: Sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào kích thước của dây (hình bên trái).. - Đồ thị trên hình 3.4 chỉ sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào kích thước của dây. - Sử dụng phương pháp chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái loại II, chúng tôi đã tìm được biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn, độ rộng vạch phổ, công suất hấp thụ cho bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có mặt điện trường. - Trong đó biểu thức độ rộng vạch phổ có chứa đầy đủ các hàm phân bố electron và phonon. - Các biểu thức giải tích thu được ở trên cho phép chúng ta thực hiện tính số để nghiên cứu sự phụ thuộc của tenxơ độ dẫn, độ rộng vạch phổ, công suất hấp thụ vào kích thước dây lượng tử, nhiệt độ và tần số của trường ngoài. - Phương trình Liouville cho toán tử A bất kỳ không phụ thuộc tường minh vào thời gian là:. - e iH eq t/~ ∂A. - e iH eq t/~ A −i. - [H eq , A]H eq )e −iH eq t. - Với các toán tử sinh và hủy điện tử, ta có giao hoán tử. - Do khi khai triển biểu thức trên ta được tám số hạng, mỗi số hạng có chứa một toán tử sinh hoặc hủy phonon nên khi lấy trung bình bằng 0.. - Từ hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy phonon (b 1 , b 2 ) và hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy điện tử (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ta tìm được biểu thức khai triển giao hoán tử như sau:. - f (x)δ(x − a)dx = f (a) ta viết lại biểu thức của (P.25) như sau. - (P.30) Cuối cùng ta thu được biểu thức của công suất