- ỔN ĐỊNH HÖLDER CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU BANG-BANG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH Trương Gia Đại. - Hölder stability for bang-bang optimal control problems of semilinear elliptic partial differential equations. - Điều khiển bang-bang, điều kiện tối ưu bậc hai, phương trình elliptic nửa tuyến tính, sự ổn định Hölder. - Bang-bang control, hölder stability, second-order optimality condition, semilinear elliptic equation. - This paper studies Hölder stability of a class of bang-bang optimal control problems governed by semilinear elliptic partial differential equations. - A new second-order sufficient optimality condition for the class of bang-bang optimal control problems is establish. - Bài báo nghiên cứu sự ổn định Hölder của một lớp các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. - Một điều kiện đủ tối ưu bậc hai mới cho lớp bài toán điều khiển tối ưu bang- bang được thiết lập. - Điều kiện đủ tối ưu này được sử dụng để chứng minh các kết quả mới về tính ổn định Hölder cho lớp bài toán điều khiển đang khảo sát.. - Ổn định Hölder của bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. - Hiện nay các bài toán điều khiển tối ưu bang- bang cho các phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu rộng rãi. - Tuy nhiên, các kết quả liên quan đến bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng còn khá hạn chế. - Một số kết quả đầu tiên trong hướng nghiên cứu này như: Casas (2012), Casaset al. - Tiếp nối các kết quả nghiên cứu của Casas (2012), Casas et al. - (2017), trong bài báo này nghiên cứu sự ổn định nghiệm của một lớp các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính được cho dưới dạng. - 𝑥 ∈ Ω, (1.1) trong đó u là biến điều khiển và trạng thái 𝑦 là nghiệm của bài toán Dirichlet sau. - Trong trường hợp tổng quát các nghiệm địa phương 𝑢 của bài toán (1.1) thường thỏa mãn tính chất bang-bang sau đây. - 𝑥 ∈ Ω, nên bài toán (1.1) còn được gọi là bài toán bang- bang.. - Mục tiêu chính của bài báo này là khảo sát sự ổn định Hölder cho các nghiệm địa phương của bài toán điều khiển tối ưu bang-bang (1.1) dưới tác động của nhiễu. - Để thu được các kết quả ổn định nghiệm cho bài toán (1.1), một điều kiện đủ tối ưu bậc hai cho bài toán (1.1) đã được thiết lập, đồng thời cũng phát biểu lại một kết quả rằng bài toán điều khiển tối ưu nhiễu luôn có nghiệm toàn cục. - Các kết quả này được sử dụng để chứng minh kết quả chính của bài báo về sự ổn định Hölder cho các nghiệm địa phương của bài toán (1.1).. - Phần còn lại của bài báo được bố cục như sau:. - Mục 2 phát biểu các giả thiết căn bản trong lý thuyết điều khiển tối ưu cần thiết cho bài báo này và nhắc lại một số kết quả đã biết về điều khiển tối ưu cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. - Mục 3 nhắc lại các điều kiện cần tối ưu bậc nhất và thiết lập mới một điều kiện đủ tối ưu bậc hai cho bài toán (1.1). - Mục 4 tập trung vào kết quả chính của bài báo bao gồm các đánh giá Hölder cho các nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu so với nghiệm địa phương đang xét của bài toán (1.1). - Kết luận và hướng phát triển được nêu trong Mục 5 của bài báo.. - 2 CÁC GIẢ THIẾT CĂN BẢN VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ. - Với mỗi 𝑀 0 và 𝜀 0 tồn tại 𝛿 0 phụ thuộc vào M và 𝜀 sao cho. - trong đó các hàm hệ số 𝑎 ∈ 𝐶 Ω thỏa mãn điều kiện: tồn tại 𝜆 0 sao cho. - Tập các điều khiển chấp nhận được sẽ được ký hiệu bởi. - Một điều khiển 𝑢 ∈ 𝒰 được gọi là nghiệm toàn cục của bài toán (1.1) nếu. - Điều khiển 𝑢 được gọi là nghiệm địa phương của bài toán (1.1) theo nghĩa 𝐿 Ω nếu tồn tại một quả cầu đóng 𝐵 𝑢 sao cho. - Dưới các giả thiết (A1)-(A3), bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm toàn cục. - Kết quả này là một trường hợp riêng của Casas et al. - Các kết quả trình bày dưới đây liên quan đến phương trình (1.2) được tham khảo trong Tröltzsch (2010) (Chapter 4). - Hàm điều khiển-trạng thái 𝐺: 𝐿 Ω → 𝐻 Ω ∩ C Ω xác định bởi 𝐺 𝑢 𝑦 thuộc lớp 𝒞. - 𝑧 0 trên Γ, (2.2) và với bất kỳ 𝑣 , 𝑣 ∈ 𝐿 Ω , 𝑤. - 3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN BANG-BANG. - Trong mục này, một điều kiện đủ tối ưu bậc hai được thiết lập cho điều khiển bang-bang 𝑢 ∈ 𝒰 theo đạo hàm bậc hai của hàm mục tiêu 𝐽. - Nếu 𝑢 là một nghiệm địa phương của bài toán (1.1) theo nghĩa 𝐿 Ω , thì tồn tại một trạng thái 𝑦 ∈ Y và một trạng thái liên hợp 𝜑 ∈ 𝑌 thỏa mãn các điều kiện cần tối ưu bậc nhất. - 𝑦 0 trên Γ, (3.1) 𝐴 ∗ 𝜑 𝑥, 𝑦 𝜑 𝑥, 𝑦 trong Ω. - Hệ thống các điều kiện được gọi là hệ thống tối ưu bậc nhất của bài toán điều khiển (1.1).. - và 𝑢 là nghiệm địa phương của bài toán (1.1) theo nghĩa 𝐿 Ω . - 𝛽 𝑥 , nếu 𝜑 𝑥 0 (3.4) và. - Khi đó, do (3.4) và (3.5) ta có. - (3.6) Điều khiển 𝑢 thỏa tính chất (3.6) được gọi là điều khiển bang-bang.. - Ta biết rằng, chẳng hạn xem Bonnans and Shapiro, 2000 (Section 6.3), nón các hướng dừng liên kết với một điều khiển 𝑢 ∈ 𝒰 được định nghĩa bởi. - Tuy nhiên, theo (3.4) và (3.7), nếu 𝑢 là điều khiển bang-bang thì 𝐶 0 . - Ta thấy rằng 𝐶 ⊆ 𝐶 và 𝐶 𝐶 , hơn nữa ta có 𝐶 ⊂ 𝐶 trong trường hợp tổng quát.. - Để khảo sát một điều khiển bang-bang 𝑢 của bài toán (1.1) thì phải quan tâm đến trường hợp tập 𝑥 ∈ Ω|𝜑 𝑥 0 có độ đo Lebesgue bằng không.. - (A4) Giả sử 𝑢 ∈ 𝒰 thỏa hệ thống tối ưu bật nhất và điều kiện dưới đây. - ∃𝐾 0 sao cho ⟦ 𝑥 ∈ Ω: |𝜑 𝑥 | 𝜀 ⟧ 𝐾𝜀, ∀𝜀 0, (3.10). - trong đó. - Khi đó, tồn tại 𝜅 0 sao cho. - (3.11) Định lý 3.1. - Giả sử 𝑢 ∈ 𝒰 thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A4) và tồn tại các hằng số 𝛿 0 và 𝜏 0 sao cho. - ∀𝑣 ∈ 𝐶 , (3.12) trong đó 𝑧 𝐺 𝑢 𝑣 là nghiệm yếu của phương trình (2.2) với 𝑦 𝑦 . - Bằng cách sử dụng giả thiết (A4.ae) với ae=1 và áp dụng Qui and Wachsmuth (2017) (Theorem 3.1) ta thu được kết quả của định lý. - Lược đồ chứng minh trực tiếp Định lý 3.1 với giả thiết (A4). - Với 𝑢 ∈ 𝐵 𝑢 ∩ 𝒰 , ta định nghĩa điều khiển. - 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑢 𝑥 , nếu |𝜑 𝑥 | τ 0, nếu ngược lại, và điều khiển 𝑤 𝑢 𝑢 𝑣.. - Để minh họa cho ý nghĩa các kết quả về điều kiện đủ tối ưu bậc hai thu được trong mục này độc giả có thể tìm đọc (Casas, 2012, Example 2.1) với những phân tích rất sâu sắc về ví dụ này.. - 4 ỔN ĐỊNH HÖLDER CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN BANG-BANG. - Trong mục này sẽ khảo sát sự ổn định Hölder cho lớp bài toán điều khiển tối ưu dưới tác động của nhiễu. - Bài toán nhiễu được cho dưới dạng. - u ∈ 𝒰 𝜀 , (4.1) trong đó. - 𝑒 𝑥 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 , với 𝑦 𝐺 𝑢 𝑒 là nghiệm yếu của bài toán Dirichlet nhiễu sau đây. - 𝐴𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑢 𝑒 trong Ω 𝑦 0 trên Γ, (4.2) và 𝑒 ∈ 𝐿 Ω , 𝑒 ∈ 𝐿 Ω là các tham số.. - Định lý 4.1. - (Qui và Wachsmuth, 2017, Theorem 4.1) Giả sử (A1)-(A3) được thỏa mãn và 𝑢 là một nghiệm địa phương của bài toán (1.1) ứng với. - Khi đó, bài toán nhiễu (4.1) có ít nhất một nghiệm toàn cục 𝑢 ứng với trạng thái nhiễu tối ưu 𝑦 ∈ 𝐻 Ω ∩ 𝐶 Ω với mọi 𝑒 ∈ 𝐸.. - Định lý sau đây phát biểu một tiêu chuẩn về sự ổn định Hölder cho bài toán nhiễu (4.1) trong 𝐿 Ω . - Đây là kết quả chính của bài báo này.. - Định lý 4.2. - Giả sử (A1)-(A4) được thỏa mãn và 𝑢 là một nghiệm địa phương của bài toán (1.1) tương ứng với 𝜀 0 thỏa điều kiện (3.12). - Khi đó, tồn tại hằng số 𝜚 0 sao cho. - trong đó 𝑢 là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒 ∈ 𝐸 đủ bé.. - Áp dụng Định lý 3.1 cho 𝑢 ∈ 𝒰 𝜀 , ta thu được. - Thêm vào đó, vì 𝑢 là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒, nên ta có 𝒥 𝑢 , 𝑒 𝒥 𝑢, 𝑒 . - trong đó 𝑦 𝑦 𝜃 𝑦 𝑦 . - (A1) và (2.1) ta có 0 𝜕𝑓/𝜕𝑦. - (4.8) Từ và (4.8) ta suy ra. - Từ (4.9) và (4.10) ta suy ra rằng 𝜅. - trong đó ‖𝑢 𝑢‖ |Ω| ‖𝑢 𝑢‖ 𝜀|Ω. - trong đó 𝑢 là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với tham số e đủ bé.. - trong đó 𝑙 0 và 𝑙 , 0.. - Khi đó, ta có 𝑢 → 𝑢 trong 𝐿 Ω khi 𝑒 → 0 trong E, trong đó 𝑢 là nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu (4.1) ứng với tham số 𝑒 ∈ 𝐸.. - Kết quả về tính ổn định Hölder của nghiệm của bài toán nhiễu thu được trong Định lý 4.2 dựa trên giả thiết (A4). - Về mặt kết quả, Định lý 4.2 thu được kết quả ổn định cho các nghiệm toàn cục của bài toán nhiễu trong khi Qui and Wachsmuth (2017) (Theorem 4.5) thu được kết quả ổn định cho các điểm KKT của bài toán nhiễu đủ gần nghiệm địa phương của bài toán gốc, hai kết quả ổn định vừa nêu là hoàn toàn khác nhau.. - Ý nghĩa của kết quả ổn định Hölder. - Tính ổn định Lipschitz của nghiệm của các bài toán tối ưu có tham số rất quan trọng trong việc nghiên cứu và thiết lập các thuật toán giải số cho các bài toán tối ưu. - Tuy nhiên, khi tính ổn định Lipschitz không đạt được thì tính ổn định Hölder được lựa chọn để thay thế như một giải pháp tất yếu. - Trong quá trình nghiên cứu sự ổn định của các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang có nhiễu, trong nghiên cứu này đã thu được các kết quả mới về tính ổn định Hölder cho lớp bài toán này.. - Độc giả có thể tìm đọc cuốn sách chuyên khảo rất nổi tiếng Tröltzsch (2010) với rất nhiều bài toán cụ thể và ví dụ số phong phú liên quan đến các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cùng những phân tích sâu sắc về tính cần thiết của sự ổn định nghiệm trong ứng dụng thực tế.. - Bài báo đã thu được các kết quả mới về điều kiện đủ tối ưu bậc hai và đặc biệt là tính ổn định Hölder của một lớp các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. - kết quả ổn định Hölder thu được sẽ áp dụng vào việc thiết lập các phương pháp số giải các bài toán điều khiển tối ưu bang-bang cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính.. - Nguyễn Thành Quí về những trao đổi rất hữu ích liên quan đến chủ đề nghiên cứu của bài báo.. - Second order analysis for bang-bang control problems of PDEs. - Sufficient second-order conditions for bang-bang. - Qui, N.T., Wachsmuth, D., 2017, Stability for bang- bang control problems of partial differential equations