- PHÂN TÍCH TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA HỆ THANH KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC. - Dao động, khung không gian, ma trận độ cứng động lực, tần số dao động riêng. - Mục tiêu của nghiên cứu là phân tích tần số dao động riêng của hệ thanh không gian bằng phương pháp độ cứng động lực. - Nghiên cứu trình bày cách xây dựng các ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh thẳng chịu lực dọc trục, chịu xoắn và chịu uốn trên cơ sở tìm nghiệm chính xác của phương trình cân bằng động học theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli.. - Từ đó, các ma trận trên được sử dụng để xây dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử thanh chịu lực tổng quát và ứng dụng nó vào việc phân tích tần số dao động riêng của hệ thanh không gian. - So sánh các kết quả tính toán của phương pháp độ cứng động lực với các kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn cho thấy độ chính xác của phương pháp độ cứng động lực. - Phương pháp độ cứng động lực cho kết quả phân tích chính xác ngay khi xem thanh là một phần tử duy nhất – điều mà phương pháp phần tử hữu hạn không làm được.. - Trong thực tế, phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) thường được sử dụng để xác định các tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của kết cấu. - dụng hàm dạng là trường chuyển vị tĩnh để xấp xỉ chuyển vị của kết cấu, bỏ qua yếu tố động lực khi mô tả ứng xử của kết cấu trong các bài toán động lực học tổng quát. - Đây là một nhược điểm của FEM trong phân tích bài toán động lực học khi cần phải. - rời rạc kết cấu thành nhiều phần tử nhỏ để đạt độ chính xác mong muốn.. - Xuất phát từ các vấn đề vừa nêu, phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method – DSM) ra đời với ý tưởng chủ đạo là sử dụng hàm dạng của phần tử hữu hạn là trường chuyển vị động thoả mãn phương trình cân bằng động. - Khi đó các hàm dạng là các hàm số phụ thuộc vào tần số của tải trọng tác động, do đó ta có thể tìm được chính xác tần số dao động riêng của kết cấu. - Banerjee (2003) đã sử dụng phương pháp này để nghiên cứu về dao động tự do của dầm sandwich, Đỗ Huỳnh Phước (2008) sử dụng phương pháp DSM để phân tích tần số dao động riêng của các hệ thanh phẳng. - Bài báo này trình bày việc áp dụng phương pháp DSM vào việc xác định tần số dao động riêng của hệ thanh không gian.. - Ma trận độ cứng động lực trong hệ toạ độ địa phương trong trường hợp không cản có dạng (Trần Văn Liên, 2005):. - Trong đó, K(ω) và M(ω) lần lượt là ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử, chúng phụ thuộc vào các đặc trưng hình học, vật liệu của phần tử và tần số tải tác động ω.. - Bài toán xác định tần số dao động riêng của kết cấu trong DSM trở thành bài toán trị riêng phi tuyến (Non-Linear Eigenproblem). - Đặc điểm khác nhau nổi bậc của DSM so với FEM là ta sẽ xác định được số lượng vô hạn các tần số dao động riêng ứng với một số lượng hữu hạn các bậc tự do của kết cấu. - Một điểm khác nhau nữa giữa hai phương pháp là bậc tự do của kết cấu khi sử dụng DSM sẽ ít hơn so với FEM, điều này là do trong DSM, sự rời rạc hoá kết cấu thành những phần tử riêng biệt chỉ thực hiện khi kết cấu có sự thay đổi về tiết diện, vật liệu hoặc tại vị trí có tải trọng tập trung hoặc liên kết.. - Bài toán trị riêng phi tuyến của phương pháp độ cứng động lực trong trường hợp không cản có dạng:. - Trong đó, [D(ω)] là ma trận độ cứng động lực phụ thuộc vào tần số, {q} là vectơ chuyển vị nút của kết cấu.. - Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh chịu kéo nén. - Xét một phần tử thanh thẳng chịu lực dọc trục như Hình 1.. - Phần tử chịu kéo (nén). - Phương trình vi phân chủ đạo của phần tử dao động dọc trục tự do:. - với: ψ là tham số động lực của thanh chịu lực dọc trục,. - N = [N 1 N 2 ] là vertor hàm dạng của phần tử thanh chịu lực dọc trục:. - 𝑠𝑖𝑛𝜓𝜉 , 𝑠𝑖𝑛𝜓𝜉 𝑠𝑖𝑛𝜓 P (7) U = [U 1 U 2 ] T là vertor chuyển vị nút Theo phương pháp phần tử hữu hạn:. - [E] là ma trận các hằng số đàn hồi. - [B]: ma trận biến dạng của phần tử chịu kéo nén, có dạng:. - Sử dụng các hàm dạng ở (7), từ (8) và (9) ta được:. - −𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝜓𝑐𝑜𝑠𝜓 𝜓 + 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝜓 P (11) Ma độ cứng động lực của phần tử thanh chịu kéo nén:. - Ma trận độ cứng động lực của phần tử. - thanh chịu xoắn. - Xét một phần tử thanh thẳng chịu xoắn như hình 2.. - Phần tử chịu xoắn. - Về hình thức, phương trình dao động tự do của phần tử thanh chịu xoắn tương tự như (3):. - độ cứng chống xoắn của tiết diện, với G là modul đàn hồi trượt và 𝐾 . - Ma độ cứng động lực của phần tử thanh chịu xoắn:. - −1 𝑐𝑜𝑠χP (14) với: χ là tham số động lực của thanh chịu xoắn được tính theo:. - Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh chịu uốn trong mặt phẳng xy Xét một phần tử thanh thẳng chịu uốn trong mặt phẳng xy như hình 3. - Phần tử chịu uốn trong mặt phẳng xy Phương trình vi phân của phần tử dao động tự do của thanh chịu uốn ứng với tần số ω:. - 𝐶 # 𝑐𝑜𝑠𝜆𝜉 + 𝐶 ! 𝑠𝑖𝑛𝜆𝜉 + 𝐶 1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝜆𝜉 + 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛ℎ𝜆𝜉 (17) Hay viết dưới dạng ma trận:. - λ là tham số động lực của thanh chịu uốn, được xác định bởi:. - trong đó các hàm F i (i=1÷6) là các hàm tần số:. - Thay (20) vào (17) và biểu diễn kết quả dưới dạng ma trận:. - với [N] là ma trận các hàm dạng:. - Sử dụng các hàm dạng ở (22), từ (8) và (9) ta thu được ma trận độ cứng động lực của thanh chịu uốn trong mặt phẳng xy:. - Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh chịu uốn trong mặt phẳng xz Trong mặt phẳng xz, các chuyển vị nút U 2 , U 4 và các lực nút P 2 , P 4 đổi dấu so với trong mặt phẳng xy.. - Như vậy, ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh chịu uốn trong mặt phẳng xz được xác định giống như ma trận độ cứng động lực trong mặt phẳng xy, nhưng thay thế momen quán tính I z bằng I y và các phần tử của ma trận độ cứng phải nhân với hệ số bằng (-1) a+b , trong đó a và b lần lượt là số hiệu của hàng và cột của ma trận.. - Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh không gian. - Giả thiết các biến dạng dọc trục, biến dạng xoắn và biến dạng uốn trong hai mặt phẳng quán tính chính của thanh là độc lập nhau, ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh không gian được xây dựng bằng cách ghép nối các ma trận độ cứng động lực thành phần. - Ghép nối các ma trận và (24) ta được ma trận độ cứng động lực của thanh không gian ở hệ toạ độ địa phương có dạng:. - Phần tử thanh không gian. - i,j=2,6,8,12 tương ứng với biến dạng uốn trong mặt phẳng xy xác định theo (23). - PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC KHUNG KHÔNG GIAN. - Khác với bài toán phân tích tần số dao động riêng bằng phương pháp phần tử hữu hạn là bài toán trị riêng tuyến tính, bài toán phân tích dao động riêng bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực là bài toán trị riêng phi tuyến. - Phương trình xác định tần số dao động riêng trong trường hợp không cản có dạng:. - giải thuật Wittrick – Williams, phương pháp lặp Newtonian,… Trong bài báo này, giải thuật Wittrick - Williams (Lee Usik et al., 2002) được áp dụng để xác định các tần số dao động riêng của kết cấu.. - Bài toán 1:. - Dầm console Bài toán 2:. - Khung không gian. - KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 4.1. - Kết quả bài toán 1. - Kết quả bài toán 1 được trình bày trong Bảng 1 và Hình 7.. - So sánh kết quả thu được với kết quả thực nghiệm của Pretlove (1999), DSM cho kết quả chính xác ngay khi xem thanh là một phần tử duy nhất. - Từ Bảng 1 ta có thể thấy kết quả phân tích của kết cấu không phụ thuộc vào việc chia nhỏ phần tử khi sử dụng DSM.. - FEM cho kết quả tần số dao động riêng ở mode 1 gần với kết quả của DSM, còn các tần số. - khác thì chênh lệch khá lớn với kết quả chính xác.. - Tuy nhiên kết quả hội tụ khá nhanh khi chia thanh thành 4 phần tử.. - Khi phân tích thanh console bằng SAP2000, khi xem thanh là một phần tử duy nhất thì chương trình chỉ phân tích được 3 tần số dao động riêng, và kết quả sai lệch rất nhiều so với kết quả chính xác.. - Khi chia thanh thành nhiều phần tử, kết quả tiến dần đến kết quả chính xác, tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm.. - Một điểm đặc biệt, khi sử dụng SAP2000 để phân tích thì không tìm thấy giá trị tần số dao động riêng ứng với mode thứ 6 khi tính bằng DSM hay FEM (mode thứ 6 là mode dao động xoắn).. - Giá trị tần số dao động riêng f tính bằng các phương pháp Phương. - Kết quả thực. - n_e: thanh được chia thành n phần tử có kích thước bằng nhau. - Tỷ số các tần số dao động riêng tính bằng FEM và SAP2000 so với DSM. - Kết quả bài toán 2. - Kết quả bài toán 2 được trình bày trong Bảng 2 và Hình 8.. - Bảng 2 ghi kết quả tính toán 6 tần số dao động riêng đầu tiên của khung trên hình 6 theo DSM, FEM và SAP2000.. - Khi mô hình một thanh là một phần tử thì FEM cho kết quả các tần số dao động riêng gần với kết quả của DSM, khi chia thanh thành hai phần tử thì có thể xem kết quả của FEM là kết quả chính xác.. - Khi dùng SAP2000 để phân tích khung, nếu mô hình mỗi thanh là một phần tử thì các tần số dao động riêng ở mode 1,2,5,6 rất gần với DSM, còn ở mode 3,4 thì kết quả phân tích của FEM sai khác với kết quả của DSM khá nhiều. - Khi chia thanh thành hai phần tử thì kết quả tiến dần đến kết quả của DSM. - Tuy nhiên nếu tiếp tục chia nhỏ phần tử thì ngoại trừ ở mode 3, thì các tần số dao động riêng ở các mode còn lại có khuynh hướng tiến ra xa dần kết quả phân tích của DSM.. - Các giá trị tần số dao động riêng (Hz) tính bằng các phương pháp Phương. - Tỷ số các tần số dao động riêng tính bằng FEM và SAP2000 so với DSM 5. - Bài báo đã xây dựng được các ma trận độ cứng động lực cho các phần tử thanh chịu kéo nén, xoắn và uốn trên cơ sở tìm nghiệm chính xác của phương trình vi phân dao động tự do theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli. - Khi tần số ω dần đến 0, ta sẽ thu. - được các ma trận độ cứng tĩnh, ma trận khối lượng của phần tử thanh trong phương pháp phần tử hữu hạn. - Điều đó chứng tỏ, kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn là một trường hợp đặc biệt của phương pháp độ cứng động lực.. - Khi sử dụng DSM, độ chính xác của kết quả phân tích không phụ thuộc vào việc rời rạc hoá phần tử (sự rời rạc hoá kết cấu thành những phần tử riêng biệt chỉ thực hiện khi kết cấu có sự thay đổi về tiết diện, vật liệu hoặc tại vị trí có liên kết).. - FEM sử dụng mô hình khối lượng tương thích cho kết quả gần với kết quả chính xác ở những tần số cơ bản đầu khi xem mỗi thanh là một phần tử, tuy nhiên các tần số bậc cao thì sai số rất lớn. - SAP2000 sử dụng mô hình khối lượng thu gọn, nếu rời rạc phần tử quá thô thì kết quả phân tích sẽ sai số rất lớn so với kết quả chính xác, nếu rời rạc thanh thành nhiều phần tử thì kết quả sẽ tiến dần về kết quả phân tích của phương pháp độ cứng động lực.. - Một ưu điểm khác của phương pháp độ cứng động lực là số lượng các tần số dao động riêng tìm được là vô hạn, không phụ thuộc vào việc chia phần tử. - Trong khi đó, phương pháp phần tử hữu hạn (hay SAP2000) chỉ tìm được một số lượng hữu hạn các tần số dao động riêng, vì số lượng tần số dao động riêng phụ thuộc vào số bậc tự do khác không của kết cấu.. - Từ các kết quả chính xác khi phân tích các bài toán hệ thanh không gian bằng phương pháp độ. - cứng động lực và sự tiện lợi của phương pháp, ta nên sử dụng phương pháp này như là một công cụ tính toán đáng tin cậy khi phân tích động lực học kết cấu công trình.. - Phân tích tần số riêng của hệ thanh phẳng bằng phương pháp độ cứng động lực. - Xây dựng ma trận độ cứng động lực và vectơ tải trọng nút của phần tử dầm chịu uốn tổng quát