- 2.1 Vật dẫn cân bằng tĩnh điện: ...3. - 2.1.1 Vật dẫn : ...3. - 2.1.2 Điều kiện cân bằng tĩnh điện của vật dẫn: ...3. - 2.1.3 Các tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện: ...4. - 2.3 Bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và trường ngoài: ...5. - 4 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm: ...9. - 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với một điện tích điểm. - 4.2.2 Quả cần kim loại nối đất tương tác với một điện tích điểm. - 5.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với điện tích điểm. - 5.2.2 Quả cầu kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm. - 5.2.3 Quả cầu kim loại cô lập tương tác với điện tích điểm. - 6.2 Thế năng tương tác giữa điện tích và ảnh. - Ở cấp độ phổ thông, chúng ta thường gặp các bài toán vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm và giải quyết chúng bằng phương pháp ảnh điện. - Để có thể hiểu rõ hơn về phương pháp ảnh điện, về phạm vi ứng dụng và để tránh những sai lầm mắc phải, chúng tôi so sánh cách giải bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện tích điểm theo phương pháp ảnh điện và phương pháp giải phương trình Poisson.. - 2.1 Vật dẫn cân bằng tĩnh điện:. - 2.1.1 Vật dẫn. - Vật dẫn là vật có chứa các hạt mang điện tích tự do. - Trong các vật dẫn kim loại, các điện tích tự do chính là các electron tự do, hay các electron dẫn chuyển động tự do từ nguyên tử này đến nguyên tử khác trong mạng. - 2.1.2 Điều kiện cân bằng tĩnh điện của vật dẫn:. - Khi vật dẫn đạt trạng thái cân bằng tĩnh điện, các điện tích tự do sẽ đứng yên (không xuất hiện chuyển động có hướng) trong vật dẫn.. - Chính từ điều kiện này, ta có: xét một điện tích q nằm cân bằng bên trong vật dẫn. - Khi đó, lực điện tác dụng lên điện tích này là F = 0. - Ngoài ra, để không xuất hiện dòng chuyển dời có hướng của các điện tích trên bề mặt của vật dẫn, điện trường ngoài ngay tại bề mặt vật dẫn phải vuông góc với bề mặt vật dẫn. - 2.1.3 Các tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện:. - Do đó, điện trường bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện là E. - b) Điện tích của vật dẫn cân bằng tĩnh điện chỉ nằm trên bề mặt vật dẫn, bên trong vật dẫn không có điện tích:. - Điều này đúng với mọi mặt Gauss bất kỳ bên trong vật, do đó, bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện không có điện tích.. - Điều này đồng nghĩa với việc điện tích của vật dẫn cân bằng tĩnh điện chỉ nằm trên bề mặt vật dẫn.. - c) Sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dẫn cân bằng tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng của nó:. - Đối với các vật có hình dạng bất kỳ, điện tích sẽ phân bố không đồng đều. - Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì do điện trường luôn nằm vuông góc với bề mặt của vật dẫn, nên tại các chỗ nhọn đường sức điện trường tập trung nhiều hơn tại các chỗ lõm, do đó mà điện tích tập trung tại các chỗ nhọn nhiều hơn tại các chỗ lõm. - Chính sự phân bố điện tích không đều giữa các chỗ lồi và lõm khác nhau nên sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dãn cân bằng tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng của nó.. - d) Điện trường trên bề mặt vật dẫn cân bằng tĩnh điện:. - Khi đó, trên vật dẫn B xuất hiện điện tích q. - Điện tích q được gọi là điện tích hưởng ứng.. - 2.3 Bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và trường ngoài:. - Tùy theo nhu cầu của từng tính huống cụ thể, chúng ta thường cần phải xác định: điện trường tổng hợp bên ngoài, điện thế bên ngoài, mật độ điện tích phân bố trên bề mặt vật dẫn, lực do trường ngoài tác dụng lên vật dẫn, v.v.v.. - ρ với ρ là mật độ điện tích trong miền không gian V giới hạn bởi mặt Gauss trên.. - Để đưa phương trình Poisson (3) về dạng phương trình Laplace, ta xét phương trình (3) đối với các điểm bên ngoài vật dẫn cân bằng và các điện tích trong không gian. - Điều kiện biên thể hiện sự xuất hiện của điện tích điểm: điện thế tại các vị trí của điện tích điểm M vô cùng lớn: ψ M. - Điện tích phân bố đều trên tấm kim loại σ và điện trường bên ngoài vật dẫn là. - 4 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm:. - Như đã đề cập ở phần 3.3, khi có một điện tích điểm q đặt tại vị trí M thì ta có điều kiện biên ψ M. - Tuy nhiên, với điều kiện biên này, chúng ta chưa đủ cơ sở để có thể thể hiện hoàn chỉnh được điện tích điểm q đặt trong không gian. - Xét một lân cận ε bao quanh điểm M, khi đó, điện thế tại lân cận trên xem như là chỉ do điện tích điểm q gây ra, và ta biểu diễn dưới dạng toán học là:. - Với cách biểu diễn này, ta có thể biểu diễn được điện tích điểm hiện diện trong không gian.. - 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với một điện tích điểm:. - Ta xét mặt phẳng rộng vô hạn ở phần 3.4.2 tương tác với một điện tích điểm đặt tại điểm. - Điện tích điểm đặt tại M 0 nên. - Từ điều kiện biên thứ hai, ta thấy rằng ψ bao gồm do điện tích q và mặt phẳng rộng vô hạn trên gây ra.. - rất giống với điện thế do một điện tích điểm gây ra. - Số hạng thứ nhất là điện thế do điện tích điểm q gây ra, còn số hạng thứ hai thì ta có thể xem do điện tích điểm –q gây ra đặt tại điểm z = -a. - Từ đây, ta xác định được lực do mặt phẳng tương tác với điện tích điểm như sau:. - 4.2.2 Quả cần kim loại nối đất tương tác với một điện tích điểm:. - Ta xét quả cầu kim loại nối đất ở phần 3.4.1 tương tác với một điện tích điểm đặt tại điểm. - Từ điều kiện biên thứ hai, ta thấy rằng ψ bao gồm do điện tích q và quả cầu kim loại trên gây ra.. - Số hạng thứ nhất là điện thế do điện tích điểm q gây ra, còn số hạng thứ hai thì ta có thể xem do điện tích điểm qR a gây ra đặt tại điểm z = R a 2 . - Từ đây, ta xác định được lực do quả cầu kim loại tác dụng với điện tích điểm như sau:. - Đối với một bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng tĩnh điện tương tác trong điện trường của một điện tích điểm, ta có các bước như sau:. - Đây là một việc tương đối khó, tuy nhiên, chúng ta có thể đoán được một số nghiệm riêng như: nghiệm riêng do điện tích điểm, nghiệm riêng do điện trường đều, v.v.v. - 5.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với điện tích điểm:. - Ta xét một hệ hai điện tích q và –q nằm đối xứng với nhau qua mặt phẳng z = 0, chúng cách mặt phằng này một khoảng a. - Ta thấy rằng, mặt đẳng thế trên có cùng hình dạng và điện thế với mặt phẳng kim loại ta đang cần xét, do đó, theo phát biểu ở 5.1 thì ta có thể thay tấm kim loại bằng một điện tích “ảnh” –q đối xứng với q qua mặt phẳng kim loại.. - Khi đó lực tương tác giữa điện tích –q và q chính là lực tương tác giữa mặt phẳng kim loại và điện tích q.. - Với nhận xét ở phần 4.1, ta thấy rằng, số hạng thứ hai trong nghiệm của phương trình Laplace chính là do điện tích “ảnh” này gây ra.. - 5.2.2 Quả cầu kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm:. - Trước khi tìm “ảnh” của điện tích q, ta khảo sát về tương tác giữa quả cầu và điện tích q trước.. - Ta xét tại tâm quả cầu, điện thế tại tâm O do các điện tích điểm phân bố trên bề mặt quả cầu ∆ q′. - và điện tích điểm q gây ra. - Ta xét điện tích q đặt tại A và điện tích q’ đặt tại B như hình vẽ. - Khi đó, trên mặt đẳng thế V = 0 giữa hai điện tích điểm, thỏa mãn: 1. - Ta thấy rằng, mặt đẳng thế trên có cùng hình dạng và điện thế với quả cầu kim loại ta đang cần xét, do đó, theo phát biểu ở 5.1 thì ta có thể thay quả cầu kim loại bằng một điện tích “ảnh” q’. - Lực tương tác giữa q’ và q chính là lực tương tác giữa quả cầu và điện tích điểm q:. - 5.2.3 Quả cầu kim loại cô lập tương tác với điện tích điểm:. - Như vậy, để có thể xét bài toán một cách dễ dàng, ta xem quả cầu kim loại này là sự chồng chập của một quả cầu nối đất có điện tích q’ tính như bài 5.2 và một quả cầu có điện tích –q’ phân bố đều trên bề mặt của nó.. - Khi đó, ta sẽ thấy rằng, “ảnh” trong trường hợp này gồm hai điện tích điểm: điện tích q’ được đặt như trong bài 5.2 và điện tích –q’ được đặt tại tâm O của quả cầu.. - Lực tương tác tác dụng lên điện tích điểm q của quả cầu cô lập là:. - Trong hai trường hợp đơn giản: mặt phẳng rộng vô hạn và quả cầu thì việc xác định điện tích. - Thông qua các trường hợp trên, ta rút ra các bước cơ bản để xác điện tích “ảnh”:. - Xác định điện tích hướng ứng xuất hiện trên mặt đẳng thế - bởi sau đó ta dùng điện tích này để xác định điện tích “ảnh”.. - Từ việc xác định điện tích “ảnh”, ta khảo sát điện thế do các điện tích gây ra, và sử dụng điều kiện về điện thế nằm trên mặt đẳng thế cần xét để tìm ra vị trí của điện tích “ảnh”.. - Trong một số trường hợp, “ảnh” của điện tích điểm bao gồm nhiều điện tích điểm khác nhau, quan trọng là điều kiện về mặt đẳng thế được đảm bảo để có thể sử dụng phát biểu 5.1.. - 6.2 Thế năng tương tác giữa điện tích và ảnh:. - Lấy ví dụ đơn giản trong bài 5.2.1, nếu chúng ta cần xác định thế năng tương tác giữa mặt phẳng rộng vô hạn và điện tích điểm q là bao nhiêu thì chúng ta xác định nó như thế nào?. - Theo cách nghĩ thông thường, ta thấy rằng: tương tác giữa mặt phẳng rộng vô hạn và điện tích q chính là tương tác giữa điện tích “ảnh. - q và điện tích điểm q, do đó, thế năng tương tác giữa chúng là:. - Ta thử tính thế năng tương tác giữa mặt phẳng và điện tích q theo cách sau:. - Như vậy, thực tế rằng, thế năng tương tác giữa mặt phẳng và điện tích q chỉ bằng một nửa so với tương tác giữa hai điện tích –q và q.. - Điều này có thể được giải thích như sau: do miền không gian chứa điện trường thực chất chỉ còn một nửa (do mặt phẳng kim loại chắn điện trường), cường độ điện trường tại mỗi điểm trong hai trường hợp là như nhau, do đó, mật độ năng lượng điện trường là như nhau, nên năng lượng điện trường tích trữ dưới dạng thế năng trong trường hợp mặt phẳng kim loại tương tác với điện tích điểm giảm đi một nửa.. - Ta cũng thây rằng, thế năng tương tác giữa quả cầu và điện tích q chỉ bằng một nửa so với giữa điện tích q và điện tích ảnh của nó.. - Như vậy, tốt nhất, để xác định thế năng trong bài toán tương tác với vật dẫn cân bằng, ta sử dụng định nghĩa của thế năng và không được sử dụng thế năng tương tác giữa ảnh và điện tích điểm.. - Một điện tích điểm có khối lượng m và điện tích Q được đặt ở vị trí cách mỗi mặt phẳng một đoạn d. - Thả tự do điện tích. - a) Gia tốc của điện tích khi vừa thả tự do.. - b) Vận tốc của điện tích điểm khi nó đi được một đoạn d 2. - Từ một khoảng cách rất xa, có một điện tích q bay đến trên đường thẳng cách tâm quả cầu đoạn 2R. - Vận tốc của điện tích q lúc đó v0. - Hãy xác định khoảng cách bé nhất giữa điện tích điểm và tâm O của quả cầu kim loại.. - Tính thế năng tương tác giữa một quả cầu kim loại cô lập bán kính R và điện tích điểm q đặt cách tâm O một khoảng a ≥ R. - Xác định sự phân bố điện tích trên bề mặt quả cầu nối đất bán kính R khi tương tác với một điện tích điểm q đặt cách tâm O của quả cầu một đoạn a.