Sử dụng các hàm phân bố Gauss để miêu tả hàm phân bố mật độ xác suất của tán xạ nhiều lần

- SỬ DỤNG CÁC HÀM PHÂN BỐ GAUSS ĐỂ MIÊU TẢ HÀM PHÂN BỐ MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA TÁN XẠ NHIỀU LẦN.
- Tán xạ nhiều lần được xem là nguyên nhân chính dẫn đến các sai số trong việc xác định vị trí của các hạt tới trong thực nghiệm.
- Hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ nhiều lần đóng vai trò quan trọng trong quá trình làm khớp các số liệu thực nghiệm.
- Hiện nay, nhiều công trình vẫn đang sử dụng hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ nhiều lần tuân theo phân bố Gauss.
- Điều này dẫn đến các sai số trong quá trình làm khớp.
- Để xác định hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ nhiều lần, trong bài báo này, mô phỏng tương tác của hạt tới để đạt được phân bố của góc tán xạ bằng chương trình g4beamline đã được tiến hành và dựa vào các tính toán  2 và hệ số Kullback-Leibler để xác định số hàm Gauss có thể được áp dụng để miêu tả hàm mật độ xác suất..
- Sử dụng các hàm phân bố Gauss để miêu tả hàm phân bố mật độ xác suất của tán xạ nhiều lần.
- Góc tán xạ của tương tác này nhỏ và tuân theo phân bố Gauss.
- Trong công thức (1.
- 0 là góc tán xạ (rad), c là vận tốc ánh sáng, p (MeV/c) là động lượng của hạt tới, x là bề dày của vật liệu, X 0 là độ dài bức xạ, z là điện tích của hạt tới..
- Hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ nhiều lần được chia thành hai hàm phân bố Gauss (Frühwirth and Liendl, 2001), các kết quả tính toán và mô phỏng tương đối miêu tả được phần lõi cũng như phần đuôi của phân bố góc tán xạ.
- Tuy nhiên, các công bố trên vẫn chưa miêu tả được chính xác hoàn toàn cũng như chưa đánh giá được độ chính xác khi thêm nhiều hàm Gauss..
- Việc hiểu rõ hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ nhiều lần đóng vai trong quá trình làm khớp track-fitting trong thực nghiệm vật lý năng lượng cao.
- Mục đích của quá trình track-fitting nhằm tái tạo lại thông tin của hạt tới thông qua các số liệu thực nghiệm như vị trí của hạt tới được ghi nhận được bởi các đầu dò kết hợp với mô hình toán học nhằm đưa ra quỹ đạo của hạt tới đồng thời đưa ra các thông tin hạt như động lượng, loại hạt, hướng bay.
- Quá trình track-fitting sử dụng phương pháp nguyên lý cơ hội cực đại để xác định các tham số quan tâm..
- Hiện nay, thuật toán Kalman filter (Fruhwirth, 1987) đang được sử dụng rộng rãi trong track-.
- Việc mở rộng hàm phân bố mật độ xác suất sẽ miêu tả gần đúng với thực tế các phân bố..
- Strandlie and Wroldsen, 2005) đã sử dụng thuật toán Gaussian Sum Filter với việc mở rộng phân bố mật độ xác suất của quá trình tán xạ nhiều lần và phân bố mật độ xác suất của năng lượng mất..
- Với mục tiêu xử lý được phân bố của góc tán xạ nhiều lần, trong bài báo này, mô hình hoá hàm phân bố mật độ xác suất với với nhiều hàm Gauss và áp dụng đối với vật liệu nhôm với bề dày 5mm được tiến hành.
- Từ đó, đưa ra được dạng phân bố mật độ xác suất miêu tả tương đối hoàn chỉnh của phân bố góc tán xạ nhiều lần..
- 2 MÔ PHỎNG.
- Trong bài toán mô hình hoá hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ nhiều lần, chương trình mô phỏng g4beamline (Roberts, 2004) được sử dụng..
- Chùm 10 6 electron có động lượng 1,0 GeV/c được sử dụng để bắn qua bia nhôm có bề dày 5mm (rộng:.
- Để thu được tín hiệu, virtualdetector được sử dụng có kích thước tương tự như kích thước bia nhôm.
- Hình 1 thể hiện quá trình mô phỏng bằng g4beamline và kết quả góc tán xạ nhiều lần thu được thể hiện trong Hình 2..
- Hình 2: Phân bố góc tán xạ nhiều lần 3 MÔ HÌNH HOÁ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ.
- XÁC SUẤT CỦA GÓC TÁN XẠ NHIỀU LẦN Để miêu tả phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ nhiều lần, hàm Gauss đã được sử dụng.
- hàm phân bố khi làm khớp với một hàm Gauss thể hiện trong Hình 2..
- Hình 3: Phân bố góc tán xạ nhiều lần với đường làm khớp một Gauss màu đỏ Trong Hình 3, sử dụng một hàm Gauss để miêu.
- tả phân bố góc tán xạ chưa đầy đủ.
- Sự khác biệt giữa hàm làm khớp và phân bố gây ra bởi đuôi của góc tán xạ nhiều lần.
- Tán xạ một lần tuân theo phân bố Gauss, tuy nhiên, khi các quá trình tán xạ xảy ra liên tiếp, các hàm phân bố sẽ bị cuộn lại với nhau, từ đó dẫn đến đuôi của góc tán xạ nhiều lần cao hơn trong hàm Gauss.
- Để giải quyết bài toán đuôi góc tán xạ nhiều lần, trong công trình về mô phỏng và tính toán cho góc tán xạ nhiều lần ( Frühwirth and Liendl, 2001), các hàm Gauss khác đã được đưa thêm vào để miêu tả phân bố góc tán xạ : (i) một hàm Gauss với độ lệch chuẩn nhỏ để miêu tả phần lõi của quá trình, nguyên nhân từ quá trình tán xạ một lần và (ii) một hoặc nhiều hàm Gauss khác để miêu tả phần.
- đuôi của quá trình, nguyên nhân do chồng chập của nhiều lần tán xạ..
- Hàm miêu tả với hai hàm Gauss có dạng như trong công thức (2).
- là hàm phân bố Gauss với σ i là độ lệch chuẩn và trị trung bình của góc tán xạ.
- Hình 4: Phân bố góc tán xạ nhiều lần khi được làm khớp 2 hàm Gauss.
- Hình 5: Phân bố góc tán xạ nhiều lần khi được làm khớp với hai hàm Gauss với các thành phần Khi sử dụng công thức số (2) để làm khớp số liệu.
- của góc tán xạ nhiều lần, hàm phân bố có dạng như trong Hình 4 và Hình 5.
- So sánh các kết quả trong Hình 2 và Hình 3, góc tán xạ được miêu tả đầy đủ hơn khi sử dụng hai hàm Gauss so với khi sử dụng một hàm Gauss..
- Tuy nhiên, trong Hình 4 và Hình 5, vẫn còn phần số liệu chưa khớp với hai hàm Gauss.
- Về mặc toán học, chúng ta có thể mở rộng công thức số (2) với nhiều hàm Gauss khác để miêu tả trọn vẹn phân bố của góc tán xạ nhiều lần..
- Trong công thức (4), w i là trọng số ứng với hàm Gauss và N gaus là số hàm Gauss được sử dụng..
- Áp dụng công thức (4), hàm phân bố với tổng hợp của ba và bốn hàm Gauss được thể hiện trong hình 6 và Hình 7.
- Trong Hình 6 và 7, hàm làm khớp tương đối phù hợp hơn số với khi sử dụng chỉ một hay hai hàm Gauss.
- Khi tăng số lượng hàm Gauss, hàm làm khớp sẽ miêu tả tốt thực phân bố của góc tán xạ nhiều lần.
- Tuy nhiên, việc sử dụng nhiều hàm Gauss sẽ dẫn đến việc tăng thời gian tính toán của máy tính cũng như xuất hiện cực trị địa phương..
- Hình 6: Phân bố góc tán xạ nhiều lần khi được làm khớp với ba hàm Gauss.
- Hình 7: Phân bố góc tán xạ nhiều lần khi được làm khớp với bốn hàm Gauss 4 XÁC ĐỊNH SỐ HÀM GAUS TRONG.
- HÀM LÀM KHỚP 4.1 Giá trị  2.
- Trong quá trình làm khớp số liệu thực nghiệm, hệ số  2 được sử dụng để đánh giá khác biệt giữa thực nghiệm và giá trị được tính toán từ hàm làm khớp.
- Giá trị  2 được xác định bởi công thức:.
- (5) Trong công thức tính  2 (5.
- Chương trình làm khớp với số lượng làm khác nhau được viết dựa trên chương trình ROOT (CERN group, 1994).
- Trong ROOT, giá trị  2 được giá định bởi hàm có sẵn:.
- 2 = fitFunc→GetChisquare() (6) Trong bài báo này, tác giả sử dụng công thức (6) trong ROOT để lấy được giá trị của  2.
- Khi làm khớp với số lượng hàm khác nhau, giá trị  2 sẽ khác nhau.
- Bảng (1) thể hiện mối quan hệ giữa số lượng hàm làm khớp và giá trị  2.
- Bảng 1: Giá trị  2 ứng với số lượng hàm khác nhau.
- Số hàm Gauss  2.
- Trong Bảng 1, khi tăng số lượng hàm lên thì giá trị  2 sẽ giảm dần.
- Điều này có nghĩa là giá trị thu được hàm làm khớp gần với giá trị từ mô phỏng..
- Việc tăng số lượng hàm sẽ giảm được giá trị của  2 nhưng khi số lượng hàm được sử dụng nhiều, cực đại hoá địa phương của quá trình làm khớp sẽ xuất hiện.
- Hình 8: Miêu tả mối quan hệ giữa giá trị chi bình phương và số hàm được làm khớp Trong Hình 8, giá trị  2 sẽ giảm dần khi tăng số.
- hàm làm khớp.
- Tuy nhiên, khi sử dụng ba, bốn hàm để làm khớp, không có sự khác biệt lớn giữa các giá trị  2 .
- Điều này có thể hình dung khi tăng số hàm làm khớp, hiện tượng cực tiểu địa phương sẽ xuất hiện..
- 4.2 Hệ số hội tụ Kullback-Leibler.
- Trong thực tế, việc sử dụng nhiều hàm Gauss với các trọng số nhất định sẽ có thể miêu tả tốt được hàm phân bố góc tán xạ nhiều lần.
- Tuy nhiên, việc sử dụng nhiều hàm Gauss có thể dẫn đến việc bị cực trị hoá địa phương làm cho quy luật của quá trình không được tường minh.
- Hơn nữa, khi làm khớp với nhiều hàm Gauss sẽ tốn thời gian cho quá trình tính toán mà kết quả có thể không được cải thiện hơn..
- Để đánh giá được sự trùng khớp giữa hàm làm khớp với thực tế, hệ số Kullback-Leibler (Frühwirth and Liendl, 2001) được sử dụng..
- Hệ số Kullback-Leibler được định nghĩa như trong công thức (7):.
- Trong công thức (7), f(x) là một hàm đã biết rõ và g(x) là một hàm xấp xỉ.
- Bằng cách xác định giá trị cực tiểu của hệ số D KL , hàm g(x) có thể được xác định..
- Trong trường hợp các giá trị x là rời rạc, công thức (7) có thể được xấp xỉ gần đúng như sau:.
- Bảng 2 : Số liệu hệ số D KL theo số lượng hàm được sử dụng trong làm khớp.
- Số hàm Gauss Giá trị D KL.
- Hình 9: Mối quan hệ giữa hệ số D KL và số hàm được làm khớp D KL.
- Hình 9 thể hiện mối quan hệ giữa hệ số KL và số hàm được sử dụng trong quá trình làm khớp.
- Từ Hình 9 và Bảng 2 , không có sự khác biệt lớn khi tính giá trị KL.
- Về mặt toán học, giá trị KL ~ 0 là tối ưu, khi đó, hàm miêu tả phù hợp với các giá trị cần khảo sát.
- Dựa vào Hình 9, vùng bão hoà của giá trị KL bắt đầu từ số lượng hàm 3.
- Khi đó, việc tăng thêm số lượng hàm sẽ không ảnh hưởng lớn đến giá trị KL..
- Trong bài báo này, nghiên cứu về việc sử dụng mô hình toán học để miêu tả lại hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ thông qua việc kết hợp của nhiều hàm phân bố Gauss khác nhau với độ lệch chuẩn và trọng số tương ứng đã được tiến hành.
- Việc xác định được số lượng hàm cũng như các tham số liên quan đóng vai trò quan trọng trong quá trình track-fitting khi sử dụng thuật toán Gaussian Sum Filter..
- Mô phỏng lại quá trình tán xạ bằng cách sử dụng hạt tới electron có động lượng là 1,0 GeV/c bắn vào bia nhôm với bề dày 5mm đã được thực hiên bằng chương trình g4beamline.
- Qua quá trình làm khớp, với ba hàm Gauss, hàm phân bố mật độ xác suất có thể được miêu tả tương đối đầy đủ..
- Tuy nhiên, trong thực tế, năng lượng của hạt tới không đơn năng, do đó, việc mở sử dụng ba hàm Gauss để miêu tả hàm phân bố mật độ xác suất của góc tán xạ sẽ không hợp lý.
- Có thể áp dụng hoặc mở rộng thêm nhiều hàm phân bố Gauss khác để miêu tả toàn diện hơn..
- Molière's Theory of Multiple Scattering