- SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ DỰA VÀO NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND. - Bài toán cân bằng, nguyên lý biến phân Ekeland, tính nửa liên tục giảm nhẹ. - Trong bài báo này, nguyên lý biến phân Ekeland được mở rộng cho hàm hai biến véctơ từ không gian mêtric đủ vào không gian Hausdorff lồi địa phương được trang bị thứ tự bởi một nón lồi đóng có đỉnh. - Dựa vào nguyên lý biến phân Ekeland để thiết lập điều kiện đủ cho tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ trong trường hợp tập xác định là compact.. - Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ dựa vào nguyên lý biến phân Ekeland. - Bài toán này là dạng tổng quát của bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân, chứa rất nhiều bài toán quan trọng khác của tối ưu hóa như: bài toán điểm bất động, bài toán điểm trùng, bài toán mạng giao thông, bài toán cân bằng Nash,… Trước đây để xây dựng điều kiện đủ cho tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng, các tác giả chủ yếu sử dụng giả thiết liên quan về tính lồi như:. - đây, nhiều tác giả cố gắng mở rộng các kết quả của nguyên lý biến phân Ekeland cho trường hợp hàm hai biến và ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng (Bianchi et al., 2005;. - Sử dụng nguyên lý biến phân Ekeland để xây dựng điều kiện đủ cho tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng có ưu điểm là không cần sử dụng bất cứ giả thiết lồi cho tập xác định và ánh xạ. - Dựa vào nguyên lý biến phân Ekeland để thiết lập điều kiện đủ cho tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ trong trường hợp tập xác định là compact. - Mục 4, dựa vào nguyên lý biến phân Ekeland, các điều kiện đủ cho tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ được thiết lập trong trường hợp tập xác định là compact.. - Trong bài báo này, nếu không có gì đặc biệt, giả thiết 𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh. - 𝑌 ∗ là không gian đối ngẫu của 𝑌 và 𝐾 là nón đối cực dương của nón 𝐾, định nghĩa bởi. - Dưới đây, các khái niệm về tính bị chặn của một tập bởi nón thứ tự 𝐾 được nhắc lại.. - (i)Tập 𝐴 được gọi là bị chặn nếu với mọi 𝑈 là lân cận mở chứa 0 , tồn tại số thực đủ lớn 𝛼 sao cho 𝐴 ⊆ 𝛼𝑈.. - (ii)Tập 𝐴 là được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại 𝑦 ∈ 𝑌 sao cho 𝐴 ⊆ 𝑦 𝐾.. - (iii)Tập 𝐴 là được gọi là tựa bị chặn dưới nếu tồn tại một tập bị chặn 𝑀 ⊆ 𝑌 sao cho 𝐴 ⊆ 𝑀 𝐾.. - (iv)Tập 𝐴 là được gọi là bị chặn dưới yếu nếu tồn tại 𝑦 ∈ 𝑌 sao cho 𝐴 ∩ 𝑦 𝐾. - Từ Định nghĩa 1, ta có tính bị chặn dưới thì suy ra tính tựa bị chặn dưới, tính tựa bị chặn dưới thì suy ra tính bị chặn dưới yếu. - 0, 𝑎 ∈ ℝ |0 𝑎 1 là tựa bị chặn dưới nhưng không bị chặn dưới. - Trong trường hợp 𝑌 ℝ , 𝐾 ℝ , khi đó tập 𝐴 𝑎, 0 ∈ ℝ |𝑎 ∈ ℝ là bị chặn dưới yếu nhưng không bị chặn dưới và tựa bị chặn dưới.. - Dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 gọi là dãy giảm ứng với quan hệ ℜ nếu 𝑥 ℜ𝑥 , với mọi 𝑛 ∈ ℕ.. - Quan hệ ℜ được gọi là có tính đóng dưới nếu với mọi dãy giảm 𝑥 hội tụ đến 𝑥̅ thì 𝑥̅ℜ𝑥 , với mọi 𝑛 ∈ ℕ. - Với 𝑥 ∈ 𝑋, nếu mọi dãy giảm 𝑥 ⊆ 𝑆 ℜ 𝑥 đều là dãy tiệm cận thì tồn tại 𝑥. - 𝑆 ℜ 𝑥 sao cho 𝑆 ℜ 𝑥̅ 𝑥̅. - (i)𝑓 được gọi là liên tục tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝜀 0, thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥̅ 𝜀 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥̅ 𝜀, với mọi 𝑛 𝑁.. - (ii)𝑓 được gọi là nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝜀 0, thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥̅. - 𝜀 𝑓 𝑥 , với mọi 𝑛 𝑁.. - (iii)𝑓 được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝜀 0, thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥̅ 𝜀, với mọi 𝑛 𝑁.. - (i)𝑓 được gọi là 𝐾-liên tục tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝑒 ∈ 𝐾\ 0 , thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥̅. - 𝑒 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥̅ 𝑒, với mọi 𝑛 𝑁.. - (i)𝑓 được gọi là 𝐾-nửa liên tục dưới (viết tắt là 𝐾-lsc) tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝑒 ∈ 𝐾\ 0 , thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥̅ 𝑒 𝑓 𝑥 , với mọi 𝑛 𝑁.. - (ii)𝑓 được gọi là 𝐾-nửa liên tục trên (viết tắt là 𝐾-usc) tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝑒 ∈ 𝐾\ 0 , thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥̅ 𝑒, với mọi 𝑛 𝑁.. - (i)𝑓 được gọi là 𝑒, 𝐾 -liên tục tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝜀 0, thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥̅. - 𝑒, với mọi 𝑛 𝑁.. - (ii)𝑓 được gọi là 𝑒, 𝐾 -nửa liên tục dưới (viết tắt là 𝑒, 𝐾 -lsc) tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝜀 0, thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥̅ 𝜀. - 𝑒 𝑓 𝑥 , với mọi 𝑛 𝑁.. - (iii)𝑓 được gọi là 𝑒, 𝐾 -nửa liên tục trên (viết tắt là 𝑒, 𝐾 -usc) tại 𝑥̅ nếu với mọi dãy 𝑥 ⊆ 𝑋 hội tụ đến 𝑥̅, với bất kỳ 𝜀 0, thì tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥̅ 𝜀. - Nhận xét 1 Nghiên cứu của Luc (1986) đưa ra các định nghĩa về tính nửa liên tục dưới và trên theo thứ tự nón cho hàm vectơ tổng quát giữa hai không gian vectơ tôpô. - Trong trường hợp 𝑋 là không gian mêtric, ta có thể thay thế ngôn ngữ lân cận bằng ngôn ngữ dãy hội tụ như Định nghĩa 3(ii) và (iii). - (iii)𝑓 là 𝐾-liên tục tại 𝑥̅ thì 𝑓 là 𝑒, 𝐾 -liên tục tại 𝑥̅ với mọi 𝑒 ∈ 𝐾\ 0. - (iv)𝑓 là 𝐾-lsc tại 𝑥̅ thì 𝑓 là 𝑒, 𝐾 -lsc tại 𝑥̅ với mọi 𝑒 ∈ 𝐾\ 0. - (v)𝑓 là 𝐾-usc tại 𝑥̅ thì 𝑓 là 𝑒, 𝐾 -usc tại 𝑥̅ với mọi 𝑒 ∈ 𝐾\ 0. - 3 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND Định lý 1 Cho (𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh và 𝑘 ∈ 𝐾\ 0 . - (i)𝑓 𝑥, 𝑥 0 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋.. - (ii)𝑓 𝑥, 𝑧 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑦, 𝑧 với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.. - (iii)𝑓 𝑥 , 𝑆 𝑥 là tựa bị chặn dưới.. - (iv)Quan hệ có tính đóng dưới.. - Khi đó, tồn tại 𝑥. - 𝑆 𝑥 sao cho 𝑓 𝑥̅, 𝑥 𝑑 𝑥̅, 𝑥 𝑘 ≰ 0 , ∀𝑥 𝑥̅.. - Từ (i) và 𝑑 𝑥, 𝑥 0 nên ta có 𝑥 𝑥 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋, tức là quan hệ có tính phản xạ. - Vì 𝑘 ∉ 𝐾 nên theo định lý tách tồn tại 𝑧. - 𝐾 sao cho 𝑧 ∗ 𝑘 1. - Từ (iii), tồn tại tập bị chặn 𝑀 ⊆ 𝑌 sao cho 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑀 𝐾. - Áp dụng Bổ đề 1 với quan hệ phản xạ bắc cầu , tồn tại 𝑥. - 𝑆 𝑥 sao cho 𝑆 𝑥̅ 𝑥. - (iii’) 𝑓 𝑥 , 𝑆 𝑥 là bị chặn dưới yếu.. - Bên cạnh đó, ta cũng có thể giảm nhẹ điều kiện (iii) và (iii’) bởi các điều kiện bị chặn dưới bởi hàm hàm tuyến tính 𝑧 ∗ hoặc bằng hàm dưới tuyến tính 𝜑 . - Tuy nhiên, việc sử dụng các điều kiện bị chặn dưới cho hàm 𝑓 sẽ dễ dàng kiểm tra hơn so với các điều kiện bị chặn dưới bởi hàm 𝑧 ∗ và 𝜑. - Mệnh đề 2 Cho (𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh và 𝑘 ∈ 𝐾\ 0 . - Ta chứng minh 𝑥̅ 𝑥 , với mọi 𝑛 ∈ ℕ. - khi đó với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, tồn tại 𝑄 𝑖 ∈ ℕ sao cho,. - Định lý 2 Cho (𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh và 𝑘 ∈ 𝐾\ 0 . - i 𝑓 𝑥, 𝑥 0 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋.. - ii 𝑓 𝑥, 𝑧 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑦, 𝑧 với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧.. - là tựa bị chặn dưới với mọi 𝑥 ∈ 𝑋.. - (iv)Tập 𝑥 ∈ 𝑋|𝑓 𝑥, 𝑥 𝑑 𝑥, 𝑥 𝑘 0 là đóng với mọi 𝑥 ∈ 𝑋.. - Khi đó, với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, tồn tại 𝑥. - 𝑋 sao cho a 𝑓 𝑥 , 𝑥̅ 𝑑 𝑥 , 𝑥̅ 𝑘 0. - Hơn nữa, nếu 𝑥 là điểm 𝜀𝑘 -xấp xỉ cực tiểu của hàm 𝑓 (tức là 𝑓 𝑥 , 𝑥 𝜀𝑘 ≰ 0 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋), thì 𝑥̅ được chọn thỏa đánh giá 𝑑 𝑥 , 𝑥̅. - Dựa vào Mệnh đề 2(a) và Định lý 1 với mêtríc 𝑑. - tồn tại 𝑥. - Định lý 3 Cho (𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh và 𝑘 ∈ 𝐾\ 0 . - ii 𝑓 𝑥, 𝑧 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑦, 𝑧 với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.. - là tựa bị chặn dưới.. - Khi đó, với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, với các số thực dương 𝜀 và 𝜆 cho trước, tồn tại 𝑥. - 𝑋 sao cho. - Nhận xét 4 Định lý 3 tổng quát hơn Định lý 1 trong Bianchi et al., 2007.. - Dưới đây là các kết quả của Định lý 1 và Mệnh đề 2 trong trường đặc biệt 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑔 𝑦 𝑔 𝑥. - Định lý 4 Cho (𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh và 𝑘 ∈ 𝐾\ 0 . - i 𝑓 𝑥 , 𝑆 𝑥 là tựa bị chặn dưới.. - (ii)Quan hệ có tính đóng dưới.. - 𝑆 𝑥 sao cho 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥̅, 𝑥 𝑘 ≰ 𝑓 𝑥. - Mệnh đề 3 Cho (𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh và 𝑘 ∈ 𝐾\ 0 . - 4 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG. - Cho 𝑋 là không gian mêtric, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh với phần trong khác rỗng. - 𝑋 sao cho 𝑓 𝑥̅, 𝑦 ∉ int𝐾, ∀𝑦 ∈ 𝑋.. - điều kiện đủ cho tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ trong trường hợp tập xác định là compact.. - Định lý 5 Cho (𝑋, 𝑑) là không gian mêtric đủ và 𝑋 là tập compact, 𝑌 là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón 𝐾 lồi đóng có đỉnh với int𝐾 ∅ và 𝑘 ∈ 𝐾\ 0 . - là bị chặn dưới yếu.. - Khi đó, tập nghiệm của bài toán (VEP) là khác rỗng.. - Thật vậy, giả sử rằng tồn tại 𝑦 ∈ 𝑋 sao cho 𝑓 𝑥̅, 𝑦 ∈ int𝐾. - Khi đó, tồn tại 𝜀 0 sao cho. - Nhận xét 5 Định lý 5 tổng quát hơn Định lý 3 trong Bianchi et al. - Mặt khác trong Định lý 3 của Bianchi et al. - Khi đó, các giả thiết của Định lý 5 thỏa mãn. - Trong trường hợp này tập nghiệm của bài toán (VEP) là toàn bộ không gian X. - Tuy nhiên, trong trường hợp này không thể áp dụng Định lý 3 trong Bianchi et al., 2007 vì hàm 𝑧 ∗ 𝑓 𝑥. - không bị chặn dưới với mọi 𝑧. - Khi đó, các giả thiết của Định lý 5 thỏa mãn.. - Trong trường hợp này 𝑥 0 nghiệm của bài toán (VEP). - 𝑦 không lồi, cũng không tựa lồi nên các điều kiện đủ cho tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng sử dụng giả thiết liên quan về ánh xạ 𝑓 lồi hoặc tựa lồi theo biến thứ nhất là không thể áp dụng được, cụ thể trong trường hợp này không thể áp dụng Mệnh đề 3.1 và Định lý 3.1 trong Bianchi et al., 2005.